**一、課程基本信息**課程名稱：高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）授課單元：第一章極限與連續(xù)（第1-4課時(shí)）授課對(duì)象：本科一年級(jí)理工科學(xué)生（非數(shù)學(xué)專業(yè)）課時(shí)安排：4課時(shí)（每課時(shí)45分鐘）教材選用：同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編《高等數(shù)學(xué)》（第七版·上冊(cè)），高等教育出版社參考資料：1.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》（第四版·上冊(cè)），高等教育出版社；2.張筑生編《數(shù)學(xué)分析新講》（第一冊(cè)），北京大學(xué)出版社。**二、教學(xué)目標(biāo)**1.知識(shí)與技能目標(biāo)（1）理解數(shù)列極限（ε-N語言）與函數(shù)極限（ε-δ/ε-M語言）的嚴(yán)格定義，掌握極限的基本性質(zhì)（唯一性、有界性、保號(hào)性）；（2）掌握極限的計(jì)算方法（四則運(yùn)算、夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界定理）；（3）理解函數(shù)連續(xù)性的定義（點(diǎn)連續(xù)、區(qū)間連續(xù)），掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性、初等函數(shù)連續(xù)性）；（4）能正確分類間斷點(diǎn)（第一類：可去/跳躍；第二類：無窮/振蕩）。2.過程與方法目標(biāo)（1）通過“實(shí)例引入—抽象定義—定理推導(dǎo)—例題鞏固”的邏輯鏈，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維與邏輯推理能力；（2）通過ε-N/ε-δ語言的訓(xùn)練，體會(huì)“精確化”思維在數(shù)學(xué)中的作用；（3）通過極限計(jì)算與連續(xù)性判定的練習(xí)，提升學(xué)生運(yùn)算能力與問題解決能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)（1）通過“一尺之棰”“芝諾悖論”等歷史案例，感受極限思想的嚴(yán)謹(jǐn)性與哲學(xué)內(nèi)涵；（2）通過極限在物理（瞬時(shí)速度）、工程（誤差分析）中的應(yīng)用，體會(huì)高等數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值；（3）激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)“嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)”的科學(xué)態(tài)度。**三、教學(xué)重難點(diǎn)**1.教學(xué)重點(diǎn)（1）極限的嚴(yán)格定義（ε-N/ε-δ語言）；（2）極限的計(jì)算方法（四則運(yùn)算、夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界定理）；（3）連續(xù)函數(shù)的定義與間斷點(diǎn)分類。2.教學(xué)難點(diǎn)（1）ε-N/ε-δ語言的邏輯理解與應(yīng)用（如何選取N/δ）；（2）單調(diào)有界定理的應(yīng)用（證明數(shù)列極限存在）；（3）間斷點(diǎn)類型的準(zhǔn)確判定（尤其是可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)的區(qū)別）。**四、教學(xué)方法**1.直觀教學(xué)法：通過“一尺之棰”“芝諾悖論”“函數(shù)圖像”等實(shí)例，直觀引入極限思想；2.問題導(dǎo)向法：設(shè)置“如何描述‘無限接近’？”“極限存在的條件是什么？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考；3.講練結(jié)合法：每講解一個(gè)定義/定理，配套1-2道例題（如用ε-N證明數(shù)列極限、用夾逼準(zhǔn)則求極限），鞏固知識(shí)點(diǎn)；4.小組討論法：針對(duì)“單調(diào)有界定理的應(yīng)用”“間斷點(diǎn)分類”等難點(diǎn)，組織小組討論，促進(jìn)學(xué)生合作學(xué)習(xí)。**五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)****第一課時(shí)：數(shù)列極限的定義與性質(zhì)****1.導(dǎo)入（10分鐘）**實(shí)例1：莊子《天下篇》“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”——引導(dǎo)學(xué)生寫出數(shù)列：\(a_n=\frac{1}{2^n}\)，觀察其變化趨勢(shì)（無限接近0）；實(shí)例2：芝諾悖論“阿基里斯追龜”——通過數(shù)列\(zhòng)(s_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\)，說明“無限項(xiàng)和”可以有限；問題：如何用數(shù)學(xué)語言精確描述“數(shù)列\(zhòng)(a_n\)無限接近某個(gè)常數(shù)A”？**2.數(shù)列極限的嚴(yán)格定義（20分鐘）**定義（ε-N語言）：設(shè)\(\{a_n\}\)為一數(shù)列，若存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無論多小），總存在正整數(shù)N，當(dāng)\(n>N\)時(shí)，不等式\(|a_n-A|<ε\)恒成立，則稱數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的極限為A，記作\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)或\(a_n\toA\)（\(n\to\infty\)）。關(guān)鍵詞解析：“任意給定”（ε的任意性）：表示“無限接近”的程度可以任意??；“存在正整數(shù)N”（N的存在性）：表示當(dāng)n足夠大時(shí)，\(a_n\)與A的距離可以小于ε；“當(dāng)\(n>N\)時(shí)”（n的無限增大）：表示數(shù)列的“無限過程”。例題1：用ε-N語言證明\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)（教師示范，強(qiáng)調(diào)N的選取方法：\(N=\left\lfloor\frac{1}{ε}\right\rfloor+1\)）。例題2：用ε-N語言證明\(\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}=2\)（學(xué)生嘗試，教師點(diǎn)評(píng)）。**3.數(shù)列極限的性質(zhì)（10分鐘）**唯一性：若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的極限存在，則極限唯一；有界性：若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的極限存在，則\(\{a_n\}\)必有界；保號(hào)性：若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A>0\)（或\(A<0\)），則存在正整數(shù)N，當(dāng)\(n>N\)時(shí)，\(a_n>0\)（或\(a_n<0\)）。說明：性質(zhì)的證明略（留作課后思考），重點(diǎn)通過例子說明性質(zhì)的應(yīng)用（如“有界數(shù)列不一定收斂”：\(a_n=(-1)^n\)）。**4.課堂小結(jié)（5分鐘）**數(shù)列極限的核心思想：無限過程中的精確趨勢(shì)；ε-N語言的邏輯結(jié)構(gòu)：“任意ε>0，存在N>0，當(dāng)n>N時(shí)，|a_n-A|<ε”；數(shù)列極限的基本性質(zhì)（唯一性、有界性、保號(hào)性）。**第二課時(shí)：函數(shù)極限的定義與性質(zhì)****1.復(fù)習(xí)導(dǎo)入（5分鐘）**回顧數(shù)列極限的定義（ε-N語言）；問題：函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)（或\(x\to\infty\)）時(shí)，如何描述“無限接近”某個(gè)常數(shù)A？**2.函數(shù)極限的嚴(yán)格定義（25分鐘）**情形1：\(x\tox_0\)時(shí)的極限（ε-δ語言）：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)的某去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，當(dāng)\(0<|x-x_0|<δ\)時(shí)，不等式\(|f(x)-A|<ε\)恒成立，則稱\(f(x)\)在\(x\tox_0\)時(shí)的極限為A，記作\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)。關(guān)鍵詞解析：“去心鄰域”（\(0<|x-x_0|\)）：極限與\(f(x)\)在\(x_0\)處的定義無關(guān)；“δ的存在性”：表示x與\(x_0\)的距離足夠小時(shí)，\(f(x)\)與A的距離可以小于ε。例題3：用ε-δ語言證明\(\lim_{x\to2}(2x+1)=5\)（教師示范，δ的選?。篭(δ=\frac{ε}{2}\)）。情形2：\(x\to\infty\)時(shí)的極限（ε-M語言）：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\(|x|>M_0\)（\(M_0>0\)）時(shí)有定義，若存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)M（\(M>M_0\)），當(dāng)\(|x|>M\)時(shí)，不等式\(|f(x)-A|<ε\)恒成立，則稱\(f(x)\)在\(x\to\infty\)時(shí)的極限為A，記作\(\lim_{x\to\infty}f(x)=A\)。例題4：用ε-M語言證明\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)（學(xué)生嘗試，教師點(diǎn)評(píng)）。**3.函數(shù)極限的性質(zhì)（10分鐘）**唯一性：若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則極限唯一；局部有界性：若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)，則存在\(x_0\)的某去心鄰域，使得\(f(x)\)在該鄰域內(nèi)有界；局部保號(hào)性：若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A>0\)（或\(A<0\)），則存在\(x_0\)的某去心鄰域，當(dāng)\(x\)在該鄰域內(nèi)時(shí)，\(f(x)>0\)（或\(f(x)<0\)）。說明：函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限類似，但需注意“局部”性（僅在\(x_0\)的鄰域內(nèi)成立）。**4.課堂小結(jié)（5分鐘）**函數(shù)極限的兩種情形：\(x\tox_0\)（ε-δ語言）、\(x\to\infty\)（ε-M語言）；函數(shù)極限的核心：自變量變化過程中，函數(shù)值的精確趨勢(shì)；函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性）。**第三課時(shí)：極限的計(jì)算方法****1.導(dǎo)入（5分鐘）**問題：已知\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)，\(\lim_{n\to\infty}b_n=B\)，如何求\(\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)\)？引出極限的四則運(yùn)算。**2.極限的四則運(yùn)算（15分鐘）**定理1（四則運(yùn)算）：設(shè)\(\limf(x)=A\)，\(\limg(x)=B\)（極限過程相同），則：（1）\(\lim[f(x)\pmg(x)]=A\pmB\)；（2）\(\lim[f(x)\cdotg(x)]=A\cdotB\)；（3）\(\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）。說明：定理的證明略（利用ε-δ語言），重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)前提條件（極限存在）；例題5：計(jì)算\(\lim_{x\to1}(x^2+2x-3)\)（直接代入，利用四則運(yùn)算）；例題6：計(jì)算\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)（約分后代入，注意\(x\neq2\)）。**3.夾逼準(zhǔn)則（15分鐘）**定理2（數(shù)列夾逼準(zhǔn)則）：設(shè)數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)、\(\{c_n\}\)滿足\(a_n\leqb_n\leqc_n\)（\(n>N_0\)），且\(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=A\)，則\(\lim_{n\to\infty}b_n=A\)；定理3（函數(shù)夾逼準(zhǔn)則）：類似數(shù)列夾逼準(zhǔn)則（自變量變化過程相同）；例題7：計(jì)算\(\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}\)（利用\(\frac{n(n+1)}{2n^2}\leq\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}\leq\frac{n(n+1)}{2n^2}\)，夾逼得極限為\(\frac{1}{2}\)）；例題8：計(jì)算\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)（利用\(|x\sin\frac{1}{x}|\leq|x|\)，夾逼得極限為0）。**4.單調(diào)有界定理（10分鐘）**定理4（單調(diào)有界定理）：?jiǎn)握{(diào)遞增（遞減）且有上界（下界）的數(shù)列必有極限；例題9：證明數(shù)列\(zhòng)(a_n=(1+\frac{1}{n})^n\)收斂（先證明單調(diào)遞增，再證明有上界，具體過程略，結(jié)論為\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\)）；說明：?jiǎn)握{(diào)有界定理是存在性定理，不給出極限值，但可用于證明重要極限（如e的存在性）。**5.課堂小結(jié)（5分鐘）**極限計(jì)算的常用方法：四則運(yùn)算（需驗(yàn)證極限存在）、夾逼準(zhǔn)則（需構(gòu)造兩邊的數(shù)列/函數(shù)）、單調(diào)有界定理（需證明單調(diào)且有界）；注意事項(xiàng)：約分、有理化、變量替換等技巧的應(yīng)用（如例題6中的約分）。**第四課時(shí)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)****1.導(dǎo)入（5分鐘）**實(shí)例：觀察函數(shù)\(f(x)=x^2\)（連續(xù)）與\(g(x)=\frac{1}{x}\)（在\(x=0\)處不連續(xù)）的圖像，引出“連續(xù)性”的概念。**2.函數(shù)連續(xù)性的定義（15分鐘）**點(diǎn)連續(xù)：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)的某鄰域內(nèi)有定義，若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)，則稱\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)；左連續(xù)與右連續(xù)：\(f(x)\)在\(x_0\)處左連續(xù)\(\Leftrightarrow\lim_{x\tox_0^-}f(x)=f(x_0)\)；右連續(xù)\(\Leftrightarrow\lim_{x\tox_0^+}f(x)=f(x_0)\)；區(qū)間連續(xù)：\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)連續(xù)；若同時(shí)在\(a\)處右連續(xù)、\(b\)處左連續(xù)，則稱\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)。例題10：判斷函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\geq0\\x-1,&x<0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性（計(jì)算左右極限，發(fā)現(xiàn)左極限=-1，右極限=1，不等于\(f(0)=1\)，故不連續(xù)）。**3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（10分鐘）**四則運(yùn)算：連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍為連續(xù)函數(shù)；復(fù)合函數(shù)連續(xù)性：若\(u=g(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，\(y=f(u)\)在\(u_0=g(x_0)\)處連續(xù)，則\(y=f(g(x))\)在\(x_0\)處連續(xù)；初等函數(shù)連續(xù)性：所有初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的（重要結(jié)論，用于簡(jiǎn)化極限計(jì)算）。例題11：計(jì)算\(\lim_{x\to0}\sqrt{1+x^2}\)（利用初等函數(shù)連續(xù)性，直接代入得1）。**4.間斷點(diǎn)的分類（15分鐘）**定義：若\(f(x)\)在\(x_0\)處不連續(xù)，則稱\(x_0\)為\(f(x)\)的間斷點(diǎn)；分類標(biāo)準(zhǔn)：根據(jù)左右極限的存在性；（1）第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在；可去間斷點(diǎn)：左右極限相等，但\(f(x_0)\)無定義或不等于極限值（如\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)在\(x=2\)處）；跳躍間斷點(diǎn)：左右極限不相等（如例題10中的\(x=0\)處）；（2）第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在；無窮間斷點(diǎn)：極限為無窮大（如\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處）；振蕩間斷點(diǎn)：極限不存在且不為無窮大（如\(f(x)=\sin\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處）。例題12：判斷\(f(x)=\frac{1}{1-e^{x/(x-1)}}\)的間斷點(diǎn)類型（\(x=0\)：可去；\(x=1\)：跳躍；\(x\to\infty\)：連續(xù)）。**5.課堂小結(jié)（5分鐘）**連續(xù)函數(shù)的核心：極限值等于函數(shù)值；間斷點(diǎn)的分類：第一類（可去/跳躍）、第二類（無窮/振蕩）；初等函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用：簡(jiǎn)化極限計(jì)算（直接代入）。**六、板書設(shè)計(jì)****主板書（左側(cè)）**第一課時(shí)：數(shù)列極限的定義（ε-N語言）、性質(zhì)（唯一性、有界性、保號(hào)性）；第二課時(shí)：函數(shù)極限的定義（ε-δ/ε-M語言）、性質(zhì)（局部有界性、局部保號(hào)性）；第三課時(shí)：極限的四則運(yùn)算、夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界定理；第四課時(shí)：連續(xù)的定義（點(diǎn)連續(xù)、區(qū)間連續(xù)）、間斷點(diǎn)分類（第一類/第二類）。**副板書（右側(cè)）**例題1-12的解題過程；關(guān)鍵技巧（如N/δ的選取、夾逼準(zhǔn)則的構(gòu)造、間斷點(diǎn)的判斷步驟）；課堂練習(xí)（如用ε-N證明\(\lim_{n\to\infty}\frac{3n+1}{2n}=\frac{3}{2}\)）。**七、作業(yè)布置**1.基礎(chǔ)題（必做）（1）用ε-N語言證明\(\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{3n+2}=\frac{2}{3}\)；（2）用ε-δ語言證明\(\lim_{x\to1}x^2=1\)；（3）計(jì)算\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\)（有理化）；（4）判斷\(f(x)=\begin{cases}\sinx,&x<0\\x,&x\geq0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性。2.提高題（選做）（1）用夾逼準(zhǔn)則求\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}\)；（2）證明數(shù)列\(zhòng)(a_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}\)（n重根號(hào)）收斂，并求其極限；（3）判斷\(f