貴州省六盤水市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

1.已知集合力={x\x2—4=0},貝！J()

A.{-2,2}cAB.{-2,2}GAC.2￡4D.-2^A

2.下列圖形中，可以表示函數(shù)y=/(%)的是

C.V3D.2

4.已知函數(shù)/(%)=產(chǎn)(。>0且aW1),則下列選項(xiàng)正確的是()

A.函數(shù)/(%)的值域?yàn)镽B.若a>1,租>71,則a771<a”

C.函數(shù)/(%)的圖象恒過定點(diǎn)(0,1)D.若則

5.已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,13則這個(gè)長(zhǎng)方體外接球的表面積與體積之比為()

A.畛B.JC.曝D.V6

6Z2

6.在△ABC中，。是BC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，E是4。的中點(diǎn)，若荏=4荏+〃而，則2+〃=

()

A.0B.1C.1D.1

7.已知函數(shù)/(久)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，/(%+2)+/(%)=0.當(dāng)0W久W1時(shí)，/(%)=2%,則

/(211)=()

A.-2B.-1C.0D.2

8.已知cos(a+,)=看,cos(a—夕)=看,aC(0,￡),/?C(0,分則tana+tcm/?的值為()

A.浮B.越C.晅D.4V6

333

9.如圖在正方體ABCD—&B1C1A中，M,N,P分別是CiDi，Ci&AM的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是

A.MN||平面4。修B.BrD_L平面MNP

C.四點(diǎn)共面D.MN與ZG所成的角為今

10.下列選項(xiàng)正確的是()

A.'+^>21

yxB.%+->2(%>0)

1D.筌<歷(%,了CN*,久力y)

C%+啟y之3(%>1)

11.已知向量a3的數(shù)量積(又稱向量的點(diǎn)積或內(nèi)積):a-b=\a\|K|cos^a,b^,其中也可表示向量

工方的夾角；定義向量五，1的向量積(又稱向量的叉積或外積)：忖x4=|研可sin,,中,其中色@

表示向量的夾角，則下列說法正確的是()

A.△ABC的面積為何x祠

B.若乙3為非零向量，且,*同=五不，貝胞q=/

C.若忖*可=百4不=g，則k+2升的最小值為2舊

D.已知點(diǎn)2(8,0),3(1,1),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，^\OAXOB\=2V3

12.已知(-2,0),C(0,l),則荏+而=.

13.已知函數(shù)/(久)=『°先?:?：<。，財(cái)^(-7)+/(/943)=_______.

IT"tX.wU

14.已知a,瓦c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且a=4,遮si/M—cosA=2，則△ABC面積的

最大值是.

15.已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)力(0,1)且對(duì)稱軸為x=1.

(1)求/(久)的解析式；

(2)求不等式f(x)<1的解集.

16.已知函數(shù)f(久)=cos2x—2sinxcosx-sin2x,

(1)求函數(shù)fO)的最小正周期；

(2)將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變；再向左平移左個(gè)單位長(zhǎng)

度，得到函數(shù)八(久)的圖象.當(dāng)久e管用時(shí)，求函數(shù)九(%)的最值.

17.如圖，直三棱柱4BC—AiBiQ中，0,E分別是的中點(diǎn)，^AA±=AC=CB=AB.

(1)證明:BQ〃平面4CD；

(2)求直線AC與平面&CD所成角的正弦值.

18.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào).作為普通市民，既是文明城市的最大受益

者，又是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.六盤水市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城

市”知識(shí)競(jìng)賽(滿分100分)，從所有答卷的成績(jī)中抽取了容量為100的樣本，將樣本(成績(jī)均為不

低于50分的整數(shù))分成五段：［50,60),［60,70),…，［90,100］得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值和估計(jì)樣本的下四分位數(shù)；

(2)按照分層抽樣的方法，從樣本中抽取20份成績(jī)，應(yīng)從［80,100］中抽取多少份；

(3)已知落在［50,60)的平均成績(jī)是53,方差是4；落在［60,70)的平均成績(jī)?yōu)?5,方差是7,求

成績(jī)落在［50,70)的平均數(shù)Z和方差s2.

(注：若將總體劃分為若干層，隨機(jī)抽取兩層，通過分層隨機(jī)抽樣，每層抽取的樣本量、樣本平

2

均數(shù)和樣本方差分別為：m,x,S1-,n,y,s2?.記這兩層總的樣本平均數(shù)為不，樣本方差為s?,則s?=

焉^何區(qū)+(x-研+n［sj+(y-to)2］｝)

19.對(duì)于定義域?yàn)椤５暮瘮?shù)y=/(久)，如果存在區(qū)間［血九］CD,同時(shí)滿足：①f(x)在［私九］上是單調(diào)

函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，/(%)e\m,n\,則稱［m,詞是該函數(shù)的"優(yōu)美區(qū)間

⑴求證：［0,3］是函數(shù)〃無)=#的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”；

（2）求證：函數(shù)g（x）=1不存在“優(yōu)美區(qū)間”；

（3）已知函數(shù)公%）=儼+；）一（°e彳0）有“優(yōu)美區(qū)間”［犯力，當(dāng)n-6取得最大值時(shí)求a的

azx

值.

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】解：因?yàn)?=[X\x2-4=0}={-2,2},

所以{—2,2}￡A,2EA,-26A.

故答案為：A.

【分析】解一元二次方程得出集合4再根據(jù)集合與集合的關(guān)系、元素與集合的關(guān)系，從而逐項(xiàng)判斷

找出正確的選項(xiàng).

2.【答案】B

【解析】【解答】解：根據(jù)函數(shù)的概念可知：B選項(xiàng)符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：因?yàn)閦=(l-i)i=1+i,

則|z|=V2.

故答案為：B.

【分析】利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則得出復(fù)數(shù)z,再結(jié)合復(fù)數(shù)求模公式得出復(fù)數(shù)z的模.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)=ax(a>0且aH1)為指數(shù)函數(shù)，

所以，指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+8),故A錯(cuò)誤；

若a>1,則/(x)=a"在R上單調(diào)遞增，

所以?n>n,

則嚴(yán)>如故B錯(cuò)誤;

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)“久)的圖象恒過定點(diǎn)(0,1),故C正確；

若0<a<1,則/(%)=a久在R上單調(diào)遞減，

由%>0,得0</■(%)<1,故D錯(cuò)誤.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、值域求解方法、圖象恒過定點(diǎn)的性質(zhì)，從而逐項(xiàng)判斷找出正確的

選項(xiàng).

5.【答案】D

【解析】【解答】解：因?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球直徑為體對(duì)角線，且d2=2?+仔+f=6,

則d=y/6,r=苧，

s

p-rru表4仃233

所以，-T=4-3=F=75=V6-

/rT

故答案為：D.

【分析】利用已知條件和長(zhǎng)方體的外接球直徑為體對(duì)角線，從而求出球的半徑，再結(jié)合球的表面積

公式和體積公式，從而得出這個(gè)長(zhǎng)方體外接球的表面積與體積之比.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：因?yàn)镈是BC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，E是力。的中點(diǎn)，

所以癥=3病=乜反+函=^BC-^AC=+=-^AB-^AC

所以AE=4AB+“AC=—法=*B+pC，

因?yàn)檐?，而不共線，

所以4==/,

所以4+〃=今

故答案為：C.

【分析】利用D是BC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，E是4。的中點(diǎn)，再根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已

知條件，則將獲用麗，而表示，再利用福尼不共線，從而求出尢〃的值，進(jìn)而得出4+〃的值.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：由題意，得/(x)=-f(x+2)=f(x+4)=-f(-x),

所以“久)的周期是4,

所以"211)=〃—1)=—/⑴=—2.

故答案為：A.

【分析】由已知條件和函數(shù)的周期性、奇偶性，從而得出函數(shù)的值.

8.【答案】B

11

【解析】【解答】解：由已知得：cos(a+￡)=、=>cosacos/3—sinasin/i=耳，

cos(a-/?)=9=cosacosR+sinasinp=耳,

兩式相加得：cosacosR=余,

1

cos{a+0)=5,aC

???sin^a+/?)=y/1—cos2(a+jS)=

2V6廣

sinafstn0_s譏(a+6)__g__4A/6

所以tana+tanS

cosa十cosp-cosacos^一磊―3,

故答案為：B.

【分析】利用已知條件和兩角和與差的余弦公式、正弦公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，從而得

出tana+tan/7的值.

9.【答案】A,B,C

【解析】【解答】解：對(duì)于A,在正方體ABCD—AiBiGDi中，連接MN，AC,

所以MN〃DiC,

又因?yàn)镸Nft平面DiCu平面

所以，直線MN〃平面力AC,故A正確；

對(duì)于B,在正方體中，DZ)i1平面&的u面4/停1。1，

所以叫1&6，

因?yàn)?的1BRi，BM，。小是平面內(nèi)的兩條相交直線，

所以&的1平面

由Bi。u面DBi5,

則&的N,P分別是CiG&A的中點(diǎn)，

則NP〃4Q,

所以NP1BD

在正方體中，B1C1_L平面QDiDC,CD】u面CWiDC,

所以血1BG，

因?yàn)镵G1CDr,是平面DBiQ內(nèi)的兩條相交直線，

所以CDi_L平面DBiG，

由Bi。u面。BiQ,

貝北。11BrD,

又因?yàn)镸N〃OiC,

所以MN1B[D,

又因?yàn)镸N,NP是平面MNP內(nèi)兩條相交直線，

則BW1平面MNP,故B正確；

對(duì)于C,由以上可知MN〃。母,4/〃。道今MN〃4B,兩條平行線可以確定一個(gè)平面,

所以&四點(diǎn)共面，故C正確；

對(duì)于D,連接力相交于點(diǎn)0,連接0M,0N,

在正方形4)。記1中，點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

可得0M〃4ci，

所以Z0MN為MN與&G所成的角，

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,MN—寺D]C-2V22+22=~\/2>0M=+D-^02--J1?+(-^/2)2=

V3,ON=V22+l2=V5>

因?yàn)镸N?+。用2=。村2,乙OMN=等故D錯(cuò)誤.

故答案為：ABC.

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理、線面垂直判定定理、兩直線平行確定共面、兩直線夾角定義

法，從而逐項(xiàng)判斷找出正確的選項(xiàng).

10.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：對(duì)于A,若％=-、=1,則/！=—2<2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由基本不等式，可得)+122Jx-=2(%>0)，故B正確；

對(duì)于C，因?yàn)椋?=%—1++1>2(x—1)-+1=3(%>1)，

人.L人~__LN人~~.L

故C正確;

對(duì)于D,因?yàn)椋?y>lyfxy{x,yEN*,xWy),

所以^(，福=7^Q，yeN*,xHy),故D正確?

故答案為：BCD.

【分析】舉反例可判斷選項(xiàng)A；結(jié)合基本不等式求最值的方法，從而判斷出選項(xiàng)B、選項(xiàng)C和選項(xiàng)

D,進(jìn)而找出正確的選項(xiàng).

1L【答案】B,C

【解析】【解答】解：對(duì)于A:因?yàn)镾&4BC弓畫|祠s"?？?發(fā)屈X狗，

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若日石為非零向量，

則xb\=a-b|a||6|sin(a,b)=\a\\b\cos{d,b)^

則但b)=p故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C：因?yàn)閨五x=V3d-b=V3=>|a||b|sin(d,b)=V3|d||h|cos(a,b)=V3=>tan?b)=V3,a.

_*->

b=l,\a\\b\=2^

則忖+2同=J|a|2+|2b|2+2a-b>+2\a\\lb\=2V3.

當(dāng)且僅當(dāng)同=|2司時(shí)取到“="，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D：因?yàn)辄c(diǎn)A(V^O),B(L1),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

貝可瓦?x礪］=\OA\\OB\sin^OA,~OB^=|ol||OB|尸而函=?明西|一(昌隔)2

J(|O7||OB|)2-(O1-OB)2=V6^3=舊故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故答案為：BC.

【分析】由新定義結(jié)合三角形面積公式，則判斷出選項(xiàng)A；利用新定義建立關(guān)于標(biāo))的方程，從而

得出<盂)>的值，則判斷出選項(xiàng)B；由已知得出tan〈d屈=6,於3=1,悶|瓦=2,再結(jié)合向量的模

的公式以及基本不等式求最值的方法，則判斷出選項(xiàng)C；由新定義結(jié)合向量積、模的坐標(biāo)公式，則

判斷出選項(xiàng)D,從而找出說法正確的選項(xiàng).

12.【答案】(-4,3)

【解析】【解答】因?yàn)?(1,-l),B(-2,0),C(0,1),

所以荏=(-2,0)-(1,-1)=(-3,1),AC=(0,1)-(1,-1)=(-1,2),

所以屈+AC=(-3,1)+(-1,2)=(-4,3).

故答案為：(—4,3).

【分析】先表示出荏,前的坐標(biāo)，再根據(jù)線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，從而得出AB+AC的坐標(biāo).

13.【答案】6

l3

【解析】【解答】解：因?yàn)?)=log2(l+7)=log28=3,f(log^=4°^=3,

所以f(―7)+/(ZO543)=3+3=6.

故答案為：6.

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式和代入法，從而得出/(-7)+/?。943)的值.

14?【答案】竽

【解析】【解答】解：由題意得：sinA-^cosA=1,sin-1)=1,

Ae(0,7r),A—d=1，',,A=

由余弦定理得：42=b2+c2—2bccos號(hào)>2bc+be=3bc,

16

,'?be4十

貝USAABC<^besin^=竽，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)-

故答案為：孥.

【分析】利用已知條件和輔助角公式以及三角形中角A的取值范圍，從而得出角A的值，再利用余

弦定理和均值不等式求最值的方法，從而得出be的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式得出AABC面

積的最大值.

15.【答案】(1)解：???二次函數(shù)/(%)=久2+板+。圖象經(jīng)過點(diǎn)4(0,1)和對(duì)稱軸為％=1,

4，

I。？+foxO+c=l

IC=1

/(x)=x2—2x+1.

(2)解：???/(%)<1,

x2-2x+1<1,

???x2—2x<0,

0<x<2,

???不等式/(%)<1的解集{"0<%<2}.

【解析】【分析】(1)利用已知條件和點(diǎn)代入法和二次函數(shù)的對(duì)稱性，從而建立關(guān)于b,c的方程組，

解方程組得出b,c的值，進(jìn)而得出二次函數(shù)/(%)的解析式.

(2)利用(1)中二次函數(shù)的解析式結(jié)合一元二次不等式求解方法，從而得出不等式/(%)<1的解集.

(1),:二次函數(shù)/*(%)=x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)4(0,1)和對(duì)稱軸為％=1,

.[=1(b=-2

,L+bxO+c—,3=1'

???/(%)=%2—2%+1.

(2)???/(%)<1,:.%2—2%+1<1,

x2-2x<0,/.0<x<2,

???不等式/(%)<1的解集{%I0V%V2}.

16.【答案】(1)角星：v/(x)=cos2x—Isinxcosx—sin2x,

???/(%)=cos2x—sin2x,

.??/(%)=五cos(2x+勺，

???函數(shù)f(久)的最小正周期7=言=字=7T.

(2)解:由(1)知，/(%)=V^cos(2%+勺,

把/(%)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，

得到/勻，

1a)=V2cos(%+

再向左平移百個(gè)單位長(zhǎng)度得：h(x)=y[2cos[(%+勺+引=V2cos(汽+芻=-V2sinx,

當(dāng)口€雋￡)時(shí),g)單調(diào)遞減；當(dāng)％e(,約時(shí)，八⑺單調(diào)遞增，

???當(dāng)％=5時(shí)，h(*)=—V2sin^=—V2,

???當(dāng)％=1時(shí)，h償)=—y/2sin5=一孝，

°\6/6L

當(dāng)久=孕時(shí)，h聆=—必吟=空,

(7127T1

,.'%eG'ld'

.?.當(dāng)時(shí)，A且無最大值.

x=5h[x}min=-/2?h(x)

【解析】【分析】(1)利用二倍角公式和輔助角公式，則化簡(jiǎn)原函數(shù)為余弦型函數(shù)，再利用余弦型函

數(shù)的最小正周期公式，從而得出函數(shù)/(%)的最小正周期.

(2)由(1)知，f(x)=V2cos(2%+^),再利用余弦型函數(shù)的圖象變換得出函數(shù)h(x)的解析式，再

結(jié)合x的取值范圍和余弦型函數(shù)的單調(diào)性，從而得出當(dāng)久e等]時(shí)的函數(shù)/i(x)的最值.

(1)???/(%)=cos2x—2sinxcosx—sin2%:./(%)=cos2x—sin2x,

/(%)=立cos(2x+勺，

???函數(shù)f(%)的最小正周期T=言=字=幾；

|3|乙

(2)由(1)知/(%)=V^cos(2x+勺，

把/(久)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，

得到/式久)=缶。5(%+勺，再向左平移與個(gè)單位長(zhǎng)度得以久)=V2COS[(久+*)+*]=

—y/2sinx,

當(dāng)％c蔚號(hào))時(shí),無(%)單調(diào)遞減，當(dāng)蔚，第)時(shí)，/)單調(diào)遞增,

二當(dāng)x=￡時(shí)，=—V2sin^-=—V2,

二當(dāng)x=看時(shí)，％償)=—?看=—孝，

當(dāng)兀=冬時(shí)，％(等)=—Vising=—呼，

xe(看,用.?.當(dāng)％=狎，h(x)min=-V2,且八(久)無最大值.

17?【答案】(1)證明：連接BCi，連結(jié)4cl交出C于點(diǎn)P,

則P為4cl中點(diǎn),

因?yàn)?。是ZB中點(diǎn)，連結(jié)DP,

則DP是△ABG的中位線，

所以。尸〃BQ,

又因?yàn)镈Pu平面&CD,BCiC平面&CD,

所以BQ〃平面&CD.

(2)解：方法一：由題意，設(shè)Z&=4,記點(diǎn)4到平面&CD距離為八,

在△ABC中，AC=CB,D是AB的中點(diǎn)，

所以CD1AB,

因?yàn)榻?，平面ABC,CDu平面ABC,

所以A4i1CD,

又因?yàn)镃D1AB,ABC\AA1=A,AB,AA1,

所以CD1平面44i。，

???&￡)u平面AAi。，

???CD1ArD,

"七棱錐Ai-AOC=上棱錐4-AiDC，

^SAADC?441=,h.

111

x2x40xDCxAA1=可xxA1DxDCxh,

[111

所以，ix^xlxV3x4=^xixV17Xyj3Xh,

則h=等

記直線AC與平面&CD所成角為仇

則sin。h_2V17

AC=~17~'

方法二：過A作40的垂線，垂足為F,連接FC,

在△ABC中，AC=CB,D是AB的中點(diǎn),

所以CO1AB,

因?yàn)榻衉L平面ABC,CDu平面ABC,

所以1CD,

又因?yàn)镃D1AB,ABC\AA1=A,AB,/L4iu平面A&D,

所以CD_L平面44i。，

???AFu平面4遇。，

CDLAF,

又因?yàn)?F14i。，ArDOCD=D,u平面ZiCO,

所以AF，平面&CD,

則直線AC與面&C。所成角為NFC4

在△414。中由號(hào)2尸.410=；/￡）.A4I，

由題意，設(shè)A&=4,

則公。=V42+I2=V17>

則AF=嗜，

則siMFCA=綜=答?

CF17

【解析】【分析】（1）利用已知條件和中位線定理得出線線平行，再利用線線平行證出線面平行，即

證出BCi〃平面&CD.

（2）利用兩種方法求解.

方法一：由中點(diǎn)的性質(zhì)和線線垂直與線面垂直的推導(dǎo)關(guān)系，再結(jié)合等體積法和三棱錐的體積公式，從

而得出點(diǎn)Z到平面&C。距離，再利用正弦函數(shù)的定義得出直線AC與平面&CD所成角的正弦值.

思路二：用線面角的定義得出直線2C與面&CD所成角為ZFCA,再結(jié)合解三角形知識(shí)得出直線AC與平

面占CD所成角的正弦值.

（1）連接BQ,連結(jié)4G交&C于點(diǎn)P,貝UP為力G中點(diǎn)，

又。是4B中點(diǎn)，連結(jié)DP,貝IJDP是AABCi的中位線，

所以DP〃BC「

又因?yàn)镈Pu平面AiCD,BQ仁平面&CD,

所以BCi〃平面&CD；

(2)方法一：由題意設(shè)A&=4,記點(diǎn)力到平面&CD距離為八,

在△ABC中，4C=CB,0是4B的中點(diǎn)，

所以CDLAB,

又因?yàn)?平面ABC,CDu平面4BC,

所以A4i1CD,

又CD1AB,ABC}AA1=A,AB,AA1^\^AArD,

所以CD1平面力41。；

vArDu平面440,CD1ArD,

"七棱錐Ai-ADC=七棱錐4-AiDC，

11

???,4人1=wSf]Oc?h，

111

義義

x^xADxDCxAAr=可xmxArDDCh,

§x2x1xy[3x4=§x2x717xy/3xh.

h=①

17

記直線4c與平面aCD所成角為仇si"。=與=察，

Z1CX/

方法二：過A作A。的垂線，垂足為F,連接FC.

在A/BC中，4C=CB,0是4B的中點(diǎn),

所以CDLAB,

又因?yàn)?平面ABC,CDu平面4BC,

所以A4i1CD,

又CD1AB,ABC}AA1=A,AB,AA1^\^AArD,

所以CD1平面力41。；

???AFu平面4削，

?1.CDLAF,

又因?yàn)锳FIAi。，ArDnCD=D,&D,CDu平面&CD,

所以4F1平面ZiCD,

則直線AC與面&CD所成角為ZFC4

在△A1&D中由:力尸?41。=；AZ>AAi，由題意設(shè)441=4,

知=V42+I2=V17>求得ZF=耳??

則siMFCA=綜=答?

CF17

18.【答案】(1)解：由已知可得10x(0.010+0.020+0.025+。+0.010)=1,

???a=0.035,

則樣本成績(jī)?cè)?0分以下的答卷所占的比例為0.010x10x100%=10%,

所以，樣本成績(jī)?cè)?0分以下的答卷所占的比例為：(0.010+0.020)X10X100%=30%,

因此，樣本成績(jī)的下四分位數(shù)一定位于［60,70)內(nèi)，設(shè)為久，

則0.01x10+0.02(%-60)=0.25,

解得x=67.5,

所以因此樣本成績(jī)的下四分位數(shù)為675

(2)解：按照分層抽樣的方法，

從樣本中抽取20份成績(jī)，抽樣的比例為益=：,

則樣本成績(jī)?cè)冢?0,100］有(0.035+0,010)X10X100=45人,

則從樣本成績(jī)［80,100］中抽取45x/=9人.

(3)解：落在［50,60)的人數(shù)為0.010x10x100=10人，

落在［60,70)的人數(shù)為0.020X10X100=20人,

兩組成績(jī)的總平均數(shù)N=干黑7TX53+節(jié)能7TX65=61,

兩組成績(jī)的總方差為：s2=去x{10X［4+(53-61)2］+20*［7+(65-61)2}}=38.

【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，解方程求出a的

值，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則，從而估計(jì)出樣本的下四分位數(shù).

(2)根據(jù)已知條件和分層抽樣方法，從而得出應(yīng)從［80,100］中抽取的份數(shù).

(3)先求出各組的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)公式、方差公式，從而計(jì)算可得成績(jī)落在［50,70)的平均數(shù)2和

方差s2.

(1)由已知可得由已知可得10X(0.010+0.020+0.025+a+0.010)=1

???a=0.035,

樣本成績(jī)?cè)?0分以下的答卷所占的比例為0.010x10x100%=10%,

樣本成績(jī)?cè)?0分以下的答卷所占的比例為(0.010+0,020)X10X100%=30%,

因此樣本成績(jī)的下四分位數(shù)一定位于［60,70)內(nèi)，設(shè)為X,則0.01義10+0.02(久一60)=0.25,解得

x—67.5,

所以因此樣本成績(jī)的下四分位數(shù)為675

(2)按照分層抽樣的方法，從樣本中抽取20份成績(jī)，抽樣的比例為襦=強(qiáng)

樣本成績(jī)?cè)冢?0,100］有(0.035+0,010)X10X100=45人，

則從樣本成績(jī)［80,100］中抽取45x/=9人；

(3)落在［50,60)的人數(shù)為0.010x10x100=10人，

落在［60,70)的人數(shù)為0.020X10X100=20人，

兩組成績(jī)的總平均數(shù)2=I。%x53+1缶n義65=61,

兩組成績(jī)的總方差s2=焉X{10X［4+(53-61)2］+20x［7+(65-61)2}}=38.

19?【答案】(1)證明：???/(%)=1久3在區(qū)間［o,3］上單調(diào)遞增，又因?yàn)?(0)=0,/(3)=3,

.?.當(dāng)xG［0,3］時(shí)，/(久)=J%3e［0,3］-

根據(jù)“優(yōu)美區(qū)間”的定義，

［0,3］是久)=/無3的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”.

(2)證明：因?yàn)間(x)=1(光力0),設(shè)［m,n］U{%I尤00},

可設(shè)q(-8,0)或［私九］c(0,+8),

則函數(shù)g(久)=1—*在［科可上單調(diào)遞增，

若［犯n］是g(久)的“優(yōu)美區(qū)間”，

1

-m

-m=

-l

-

n=n

m,n是方程/—%+1=0的兩個(gè)同號(hào)且不等的實(shí)數(shù)根，

vx2-x+1=0方程無解，

二函數(shù)g(x)=1不存在“優(yōu)美區(qū)間”.

(3)解：因?yàn)?i(x)=("+?”_eR,a。0),{久|xH0卜

設(shè)[TH㈤U{%[%W0},

九(%)有“優(yōu)美區(qū)間”Dn㈤,

[m,n]U(-8,0)或C(0,+OO),

???/l(x)=—技/在［m,71］上單調(diào)遞增，

若［犯詞是函數(shù)h(%)的“優(yōu)美區(qū)間”，

財(cái)齦=叱

(h(ji)—n

?,?根,也是方程-=%,

。a^x

則十工2一(小+。)％+1=0(*)的兩個(gè)同號(hào)且不等的實(shí)數(shù)根,

A=(a2+a)2—4a2=a2(a+3)(a—1)>0,

a>1或a<—3,

由⑴式，得m+n=*=l+},w=2

2