專題：（幾何法）求解空間角、空間距離

號考點梳理

＞考點一：異面直線所成的角

＞考點二：線面角+點面距離

＞考點三：二面角

暨赳識梳理

一、線線角的定義與求解

線線角主要是求異面直線所成角。

1、線線角的定義：

①定義：設(shè)。涉是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點。作直線a'〃a,b'Hb,把儲與〃所成的銳角或

直角叫做異面直線a,b所成的角（或夾角）

②范圍：fo,|

2、求異面直線所成角一般步驟：

（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c，線段的中點或端點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線.

（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

（4）取舍：因為異面直線所成角。的取值范圍是[0,],所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作

為異面直線所成的角.

Q羸麗

【考點一異面直線所成角】

【后納總結(jié)】求異面直線所成角一般步驟】

（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c，線段的中點或端點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線.

（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

（4）取舍：因為異面直線所成角。的取值范圍是,所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作

為異面直線所成的角.

（平行四邊形平移法）

1.（23-24高一下.江蘇無錫.期中）正方體48。-ABGQ中，P為百口的中點，則直線OP與直線與C

所成角為（）

A.工B.至C.￡D.工

3662

【答案】C

【分析】利用正方體的性質(zhì)，通過平行至相交直線所成角，再利用余弦定理即可求解.

【詳解】

如圖，設(shè)。為底面中心，尸為上底面中心，易得DP//QB],

所以異面直線DP與B?所成的角就是NQBC或其補角,

設(shè)正方體的棱長為2,可得4c=2拒，QC=應(yīng)，Q4=遍,

由余弦定理得:

所以NQ4c=￡,異面直線?！概c戊。所成的角是臺,

66

故選：C.

【變式】（2025高二?河北唐山?期末）在平行六面體A8cr>-A4G2中，底面ABCD是邊長為2的正

方形，的=4,ZA.AD=ZA.AB=6Q°,則異面直線AC與。C所成角的正弦值為（）

AV14Q屈r11V14八3V14

7141414

【答案】B

【分析】根據(jù)定義作出異面直線所成的角，然后在三角形中由余弦定理計算.

【解析】連接4旦建接,

在平行六面體ABC。-ABGR中，由AD與BG平行且相等得平行四邊形ABCQ，因此CQ//A瓦,

/.4及AC是異面直線AC與。G直線所成角或其補角,

由已知AC=2&，ZABB,=120°,ZBlBC=60°,

2222

由余弦定理得ABt=V2+4-2x2x4xcosl20°=2幣,CBX=72+4-2x2x4xcos60°=26,

28+8-12_3

cos/耳AC=

2x2g2/一舊

故選：B.

（中位線平移法）

2.（24-25高二上?安徽）如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，所有棱長均為4,。是A2的中點.

B

⑴求證：2￡//平面4℃；

（2）求異面直線A。與BQ所成角的正弦值.

【答案】（1）證明過程見解析

⑵逅

4

【分析】（1）連接AG交4C于。，利用三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進行證明即可;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合異面直線所成角定理、直棱柱的性質(zhì)、余弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系

式進行求解即可.

【詳解】（1）連接AG交AC于。,

在直三棱柱ABC-A4G中，所有棱長均為4,

因此四邊形A41GC是正方形，所以。是AC的中點，而。是48的中點,

因此有。。//8G，而ODu平面AOC,8C1①平面AOC,

所以BG〃平面AQC；

（2）由（1）可知：OO//BC],

因此異面直線AQ與8G所成角為NA。。（或其補角），

因為MGC是正方形，所以AO=gaC=gj42+42=2四,

在直三棱柱ABC-A與G中，所有棱長均為4,

因此四邊形84GC是正方形，因此有==1A/42+42=2A/2,

在直三棱柱ABC-A與G中，側(cè)棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直線,

因此有4。=yJ^A2+AD2=J42+[gx4]=2下,

8+20—8Tio

由余弦定理可知:cos271,00=

2x20x26

因此sin/ADO=y/1-cos2ZA,DO=(_12=巫

16~~T

【變式】（2025?全國?模擬預(yù)測）在正三棱柱A8C-A4G中，。為棱AB的中點，BQ與交于點￡,

若AB=A4,則CD與AE所成角的余弦值為

【答案】g

4

【分析】作出輔助線，找到C。與所成的角，證出線面垂直，得到E尸，入了，設(shè)出AB=2,利用

余弦定理求出4尸，\E,求出余弦值.

【解析】連接耳。，取用。中點R連接片尸，EF,則EF〃C。，

所以4.EF為CD與AE所成的角(或其補角).

因為在正三棱柱ABC-A^iG中，。為棱AB的中點，

所以CD，A3,8月，平面ABC,

因為CDu平面ABC,所以BB|_LCZ),

因為B3]CA2=B,BB],ABu平面，

所以平面ABBA,

可得平面AB44，又AFu平面

所以

不妨設(shè)AB=2,則CD=石，旦。=石，所以EF=Y~,BF=Y~，

又COS/A5Z=COS/3I￡)3=^^,

522

所以4歹=7A1+BXF-2\BX-BxFcosZ\BxF=半,

所以AE=/2+E尸2=2,

所以cos/4肝=基=正

4

故答案為：昱

4

（補形法平移）

3.（2025高一.內(nèi)蒙古赤峰.期末）在長方體A8CD-AB1GR中，AD=DC=2,然=2白，則異面

直線與。耳所成角的正弦值為（）

【答案】B

【分析】作圖，構(gòu)造三角形，將BG與DB］的夾角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蝺?nèi)角，運用余弦定理求解.

依題意作上圖，延長AA與氏G。,。］。至a，%。?。，

=BB2=CC2=DD2=A.A,連接53,63，

?.?B出=。。2,q5//。。2，???四邊形耳是平行四邊形，

B}D//BD2,異面直線與。與BC］的夾角就是BC］與瓦）2的夾角/。內(nèi)。2，

1

BD2=^BC-+CD+BB/=,2?+22+（2國=2追，

BQ=JBC'+CC；=4,

222A/13

CXD2=y/cD+(2CCl)=，

fkt曰/萬r)r\BC；+BD；—C[D:5/5

由余弦定理得COSNGBD2==『，

ZnCj3

2

???0<NQBD?〈萬,sinZCtBD2=7l-cosZC1BZ)2=;

故選：B.

【變式】（2025高三?安徽月考）在長方體ABC。-4qGR（平面A禺CR為下底面）中，244,=3AO=6,

AB=4,點/為線段GR的中點，則異面直線4。與即所成角的余弦值為.

【答案】述①/三同

221221

【分析】在長方體ABCD-agQR的上方補一個全等的長方體ABCD-A與CZA，進而在△尸8c2利

用余弦定理求解即可.

【解析】解：在長方體ABCD-A片G2的上方補一個全等的長方體ABC。-482a2，

所以，由長方體的性質(zhì)可知：直線AO〃8C2,

因為2A4,=3AD=6,AB=4,點/為線段C12的中點

所以BF=后,BC2=y/13,FC2=屈,

BF2+BC；-FC；

所以cosNEBC2

2BFBC2221

所以，異面直線4。與8尸所成角的余弦值為士叵.

221

故答案為：窘

膽知識梳理

二、直線與平面所成角（線面角）

1、有關(guān)概念

有關(guān)概念對應(yīng)圖形

一條直線與平面?相交，但不與這個平面垂直，這

斜線

條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線％

/

斜足斜線和平面的交點,圖中點A

過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和

射影斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，圖中斜

線PA在平面?上的射影為直線4。

定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中/用。

直線與平面所成

規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是塑；一條直線和平面平行，

的角

或在平面內(nèi)，它們所成的角是￡

取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為。，。6[0°,90°]

2、線面角的求法

（1）垂線法求線面角（也稱直接法）：

步驟：①先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A,過點A向平面a做

垂線，確定垂足o;

②連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影B0與斜線AB之間的夾角為線面角；

③把投影BO與斜線AB歸到一個三角形中進行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形I

如圖，ABHa=B,作AOLa于點。，為直線A8與平面a所成角

（2）公式法求線面角（也稱等體積法）：

用等體積法，求出斜線PA在面外的一點P到面的距離，利用三角形的正弦公式進行求解。

h

公式為：sin0=y,其中。是斜線與平面所成的角，〃是垂線段的長，/是斜線段的長。

B麗麗

【考點二線面角及點面距離】

【題型一點到面距離】——等體積法

【后納總結(jié)】等體積藩求麻薊面距離

以該點為頂點，平面上的多邊形為底面構(gòu)造三棱錐，通過換底法，利用三棱錐體積不變性，已知其

他面的面積和高，反推點到平面的距離。

【注】也可通過作輔助線，直接找到過該點垂直平面的線段，在相關(guān)幾何圖形中求解。

4.（23-24高一下?廣西玉林?期中）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面8cq綜A班W均為正方形，

AB=BC=1,NABC=90。，點。是棱的A?中點，點。為A/與Aq交點.

（1）求證：BG〃平面A耳。;

⑵求點A到平面ABtD的距離.

【答案】（1）證明見解析；

⑵且.

3

【分析】（1）根據(jù)已知可得。D//BC，再由線面平行的判定證結(jié)論；

（2）根據(jù)已知44瓦G是等腰直角三角形，應(yīng)用線面垂直的判定和性質(zhì)證。片，AD,并求出相關(guān)線

段長，應(yīng)用等體積法有吃f期=匕「4叫，求點面距離.

【詳解】（1）由。是4片,34的交點，又488出為正方形，則。為的中點，又。是4G中點，

在△網(wǎng)中,又面面故平面

GODUBGODuABXD,BQ<zABtD,BCJ1ABtD.

C,

（2）三棱柱ABC-A4G中，AB=BC=1,ZABC=90°,且

易知是等腰直角三角形，點。是棱的AC中點，

所以AG=04耳==*,

四邊形4?耳A為正方形，的=1,則AD=.+AQ2=F當(dāng)=手，

又B\D=去,而瓦，CC，與G且CG/MA，則AA，與G，

由4瓦門與6=瓦在面內(nèi)，則AA，面AAG，r>4u面4瓦（；，

所以44—0月，而DBJC4，相仆。!=4在面4"海內(nèi)，

則。用_L面ACGA，ADU面ACGA，故。4_LAD,所以s4加=工與。,人。=迫，

由44皿=5旦0.A。=W，則%-4邛=§A41,=五，又匕-二匕1-4期，

若A倒平面A5Q的距離為d,則9電皿產(chǎn)5,可得1=3.

3123

【變式】（2025高一?河北唐山?期中）如圖，在直角梯形42C。中，AB//CD,AB±AD,>AB=AD

=gCO=1.現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形ADEF,然后沿邊AD將正方形ADE/折疊，使即，DC,

M為的中點，如圖2.

圖1圖2

（1）求證：4M〃平面BEC；

（2）求證：8C_L平面BOE；

⑶求點D到平面BEC的距離.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

⑶且

3

【分析】（1）取EC中點N,連接MN,BN,根據(jù)中位線的性質(zhì)證明四邊形A8NM為平行四邊形即可；

（2）根據(jù)線面垂直的判定證明平面A8CD,再在直角梯形ABC。中，根據(jù)勾股定理證明BCLBD,

進而證明平面BDE-

（3）解法一：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)合（2）證明。G,平面BEC,再根據(jù)幾何關(guān)系求。G即可；

解法二：利用等體積法VDBCE=VEBCD求解即可

【解析】（1）證明：取EC中點N,連接MN,BN,

在△即C中，M,N分別為ED,EC的中點，

所以MN〃C￡>,且跖V=-C。.，

2

由已知AB〃CZ),AB^-CD,

2

所以MMN=AB,

所以四邊形A3NM為平行四邊形，

所以BN//AM,

又因為BNu平面BEC,且AM0平面BEC,

所以AM〃平面BEC-,

(2)證明：在正方形中，EDLAD,

因為EZ)_LDC,ADHDC=D,AD,DCu平面ABC。，

所以EO_L平面ABCD,

BCu平面ABCD,：.ED±BC,

又在直角梯形ABC。中，AB=AO=1,CD=2,故BD=亞,NBDC=45。,

由余弦定理8c2=BD2+DC2-2BD-DCcos450=2,所以2C=收，

在△BCD中，BD=BC=拒,CD=2,

所以BZ)2+BC2=Cr)2,故BC_LBD,

因為即r)BZ)=。，ED,BOu平面BOE,

所以8C_L平面BDE-,

(3)解法一：由(2)知BC_L平面BDE,因為BCu平面BCE,

所以平面平面BCE,

過點D作EB的垂線交BE于點G,

?.?平面BOED平面8CE=BE,Z)Gu平面8ZJE,

貝UZ)G_L平面BEC,

所以點D到平面BEC的距離等于線段DG的長度，

,/EZ)_L平面ABCD,BD在平面ABCD內(nèi),

J.EDLBD,

在三角形中，SBDE=；BDDE=；BEDG,

所以DG=嗎好=近,

BE3

所以點。到平面BEC的距離等于逅.

3

解法二：由（2）8C_L平面BOE,BEu平面8OE,所以BC_L8E,

因為QE=1,AB=AD=-CD=1,

,2

所以BD=④,BC=y/2,BE=6

所以SABz>c=gH>3C=gx0x0=l,

S=-BC-BE=-xy/3xy/2=—,

“BREFCr222

設(shè)點D到平面BCE的距離為h,

根據(jù)VD.8CE=VE-BCD,由（2）可知ED_L平面ABC。

即3心比力=:山8心￡，|x^-/2=|xlxl,解得仁冬

即點D到平面BCE的距離為漁

3

5.（2025高三?江西?期末）如圖多面體ABCDEF中，四邊形A5CD是菱形，ZABC=60°,￡A_L平面

ABCD,EA//BF,AB=AE=2BF=2.

E

（2）求點B到平面CEF的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵1

【分析】⑴利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明；⑵利用心皿=匕.曲，求得點B

到平面CEF的距離.

【解析】(1)證明：取EC的中點G,連接3。交AC于N,連接GN,GF,

因為A3CD是菱形，所以ACS3D,且N是AC的中點，

所以GN〃AE且GN=；AE,又AEHBF,AE=2BF=2,

所以GNUBFaGN=8廣，所以四邊形BNGF是平行四邊形,

所以GF//BN,

又￡AJ_平面ABCD,BNu平面ABCD,所以E4_L5N,

又因為ACcE4=A,AC,E4u平面E4C,

所以A?，平面胡C,所以GP_L平面胡C,

又GFu平面EPC,所以平面EFCJ_平面E4C；

DC

(2)設(shè)8到平面CEF的距離為4,

因為E4_L平面ABC。，ACu平面ABCD,所以E4_LAC,

因為E4//B尸，胡，平面ABCD,所以族_L平面ABCD,

且BCu平面ABCZ),所以叱_L8C,

因為NABC=60°,AB=2,所以AC=2,

所以EC=7AC2+AE2=272,CF=y/BC2+BF2=#)，

EF=d*+f=非，

所以bG_LEC且FG=yjcF2-CG2=石，

所以S“EF=gEC-FG=娓,

取A3中點為M,連接CM,因為A3CD是菱形，ZABC=60°,

所以VABC為等邊三角形，所以J.AB,且CM=d爰—f=6,

又因為￡A_L平面ABCD,CMu平面ABCD,所以E4_LCK,

且AB口出=AAB,￡4u平面池莊，

所以CM_L平面

又因為匕c_D?E,?r=-3SB匕FrFxCM=-3x-2BFxABx3CM=—

因為VB_CEF=Vc-BEF，即1S^CEFXd=3,所以d=也.

332

【變式】（2025?河南新鄉(xiāng)模擬預(yù)測）如圖1,在梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2CD=4,VABC是

等腰直角三角形，其中BC為斜邊.若把AACD沿AC邊折疊到△人（?尸的位置，使平面R4C,平面ABC,

如圖2.

圖1圖2

（1）證明：AB1PA；

（2）若E為棱BC的中點，求點8到平面B4E的距離.

【答案】（1）見解析；（2）巫.

3

【分析】（1）證明A8L平面PAC,則有ABLRl;

（2）等體積法求點到平面的距離.

【解析】（1）證明：：VA3C是等腰直角三角形，BC為斜邊，

ABJ.AC.

?平面PAC_L平面ABC,平面PAC口平面ABC=AC,45u平面ABC

AB_L平面PAC,

,/R4u平面PAC,

；?AB1PA；

%)

(2)解：由(1)知AB1AC,PC_L平面A3C,

由題意可得PC=2,AC-AB-4,AC_LAB,

貝!JBC=4夜，PA=V4+16=2A/5,

E為棱3c的中點，

/.AE=CE=-BC=2y/2,

2

PE=J4+8=273,

在中，AE=2近,PA=275,PE=2《,

'■AE2+PE2=PA2,

即？IE_LPE,

貝I^PAE的面積為工x20x2g=2,

2

設(shè)點B到平面PAE的距離為h

V

,VB—PAE=P-ABE，

—x2y/6h=—x—x—X42X2,

3322

.72A/6

??/z----.

3

【點睛】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，點到平面距離的求法，考查直觀想象能力、推

理論證能力和運算求解能力，是中檔題.

【跑型二線面角的求解】

【歸納總結(jié)】線面角求解的了種蒜

1,直接一一垂線法：先確定線面角是哪個角，再放對應(yīng)三角形中進行求解

2.間接一一公式法/等體積法：以該點為頂點，平面上的多邊形為底面構(gòu)造三棱錐，通過換底法，利

用三棱錐體積不變性，已知其他面的面積和高，反推點到平面的距離。

【注】也可通過作輔助線，直接找到過該點垂直平面的線段，在相關(guān)幾何圖形中求解。

（垂線法）

6.（2025高一?全國月考）已知VA3c為等腰直角三角形，尸為空間一點，且ACMBCMSVIPC1AC<

PC1BC,PC=5,AB的中點為Af,連接尸M,CM,則PM與平面ABC所成的角的大小為.

【答案】45。19

4

【分析】由線面垂直的判定證PCJ_平面ACB,確定PM與平面ABC所成角的平面角，進而求其大小

即可.

【解析】由尸C_LAC,PCLBC,ACHBC=C,AC,BCc^ACB,

所以PC,平面ACB,則NPMC為PM與平面ABC所成的角，

因為AABC為等腰直角三角形，M是的中點，

所以A8=J(5近了+卜=io,CM=^AB=5,又PC=5,

所以NPMC=45。.

故答案為：45°

7.（2025高二?上海黃浦?期末）如圖，在長方體ABCD-ABCiR中，AB=BC=2,AQ與BQ所成

【答案】1/0.5

【分析】由題可得ABCD-ABCiD為正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件可得/C0。為直線與

平面5與2。所成角，進而即得.

【解析】因為在長方體A3CQ-AMG2中，AB=BC=2,

???上下底面為正方形，

連接AR,則8C"/A2，AQ與8G所成的角為

4。與所形成的角為即

A4.2。為正方形，ABCD-A瓦G2為正方體，

因為耳B_L平面GOu平面481G2，

所以用B_LC|。，又48n42=耳，旦8匚平面88Q[￡）,用Z^u平面BBQ。,

所以G。，平面BBQQ,連接30,

則ZQBO為直線BC1與平面88QD所成角,

由題可知RtAGB。中，BQ=2也,CQ=?,

sinZq/JO=〈，即3G與平面BBQQ所成角的正弦值為1.

故答案為：■

【變式】（24-25高一下?全國?期末）在正三棱柱ABC-ABC中，E為棱BC的中點，如圖所示.

G

B

⑴求證：48//平面4EG；

(2)若二面角C-AE-Q的大小為60。,求直線AC和平面AEC,所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵走

4

【分析】(1)連接4C,設(shè)4CcAG=。，連接OE,結(jié)合三角形中位線證得線線平行，利用線面平

行判定定理得證；

(2)由正三棱柱4BC-4耳。1,得88l平面ABC,從而得到AE_L24，AE±BC,證得AE_L平面

BCC國,二面角定義得到二面角C-AE-G的平面角是NCEG=60。，作S，GE,連接A",因

為平面AEG，平面BCG%得到CH，平面AEC.找到直線AC和平面的。所成的角為NC4H,

計算得到結(jié)果;

【詳解】(1)

B

證明：連接AC,設(shè)ACcAG=。，連接OE,

在中，AO=OC,BE=EC,：.OE//A.B,

又平面AEG，(組匚平面人后6，

.?.48//平面AEG.

(2)由正三棱柱ABC-aqG，可得24,平面ABC,

?.,4￡<=平面48(?,，4￡_12旦，：E為BC的中點，AE_L5C,

又3cn3片=3,BC,平面BCC再，

故AE_L平面BCC|B|,

而C]E,ECu平面BCG4，故AE_LC1E,AE±EC,

.??二面角C-AE-G的平面角是ZCEQ=60°,

在平面gee4內(nèi)作C〃，GE,連接A",

*/AEu平面AEG,平面AEC}_L平面BCCiB],

又平面AE￡門平面BCQB]=CXE,C”u平面BCCXBX,

故CH_L平面AEG；,

直線AC和平面AECX所成的角為ZCAH,

又AHu平面AEG，CHAH,

.?.sin/CA”里=CE.sin6(T=j1,

ACAC4

直線AC和平面AEC,所成角的正弦值為3.

4

8.（2025高三?江蘇南通?期中）如圖，在三棱錐P-ABC中，24,平面ABC,平面PABJ_平面尸3C,

PA=2,BC=1.

⑴求證：3C_L平面上45；

（2）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）過A作于點M,通過證明出R4J_BC,AMLBC,可得3C_L平面上4B；

（2）過8作班1_LAC于點E,證明3E_L平面PAC可得PB與平面PAC所成角為—3PE,在三角形

BPE中求出表示出sinZBPE,再利用基本不等式求最值即可.

【解析】（1）,；PAJL平面ABC,.,.上4_LAB且R4_L3C

過A作于點M,

???平面PAB_L平面尸3C,平面PABc平面平面7^45,AM1PB,

?0_L平面PBC,又BCu平面P8C

/.AMLBC

'：PAC\AM=A,BC_L平面RIB.

(2)過3作3ELAC于點E,

VPAABC,R4u平面PAC

平面PAC_L平面ABC,又平面PAC。平面ASC=AC,BEu平面PAC

/.BE_L平面PAC,

.?.尸8與平面PAC所成角即為ZBPE

RF

又sinZBPE=—,

PB

_____m_____

設(shè)AB="Z,；.ac=Jw+i,BE=~i==,尸3=J/+4,

yjm+1

4

當(dāng)且僅當(dāng)//=:，即*&時取

m

直線PB與平面PAC所成角的正弦值的最大值為1.

【變式】（23-24高一下?安徽馬鞍山?期末）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABCO為平行四邊形,

，底面A3CD,PB±AC,E,尸分別為線段PADC的中點.

p

c

(1)證明：PA=PC；

(2)證明："〃平面依C；

(3)若尸￡)=1,^DAB=60°,記外與平面PBC所成角為凡求sin6的最大值.

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

(3)273-3

【分析】(1)連接BD,^ACp\BD=O,連接尸。，通過證明ACJ_P。以及AO=OC得到△上4c為

等腰三角形，進而可得結(jié)論；

(2)取PD的中點G,通過證明￡67/平面PBC以及FG//平面尸BC可得面面平行，即可求證；

(3)利用體積法求點A到平面PBC的距離〃，設(shè)R4與平面P3C所成的角為6,表示出sin。，求其

最值。

【詳解】(1)連接80,^ACHBD=O,連接PO.

因為，ED_L平面A3CD,ACu平面ABCD,故PD_LAC,

而尸3_LAC,PBC]PD=P,尸氏PDu平面PDB,

故AC_L平面PD3,而POu平面PD3,故AC_LPO,

由四邊形ABCD為平行四邊形可得AO=OC,

故AR4c為等腰三角形，即PA=PC；

(2)取PD的中點G,連結(jié)EG,/G,

p

c

由中位線性質(zhì)可得EG/MD,且AD/ABC,所以￡67ABC,

因為EGu平面P3C,3Cu平面PBC,所以EG//平面PBC,

同理可證FG//平面PBC,

因為EGQFG=G,EGu平面PBC,FGu平面PBC,

所以平面￡FG〃平面PBC；.

又EFu平面

所以EF〃平面PBC,

(3)設(shè)AE>=尤,x>0,

由(1)可得AC_L平面P￡)3,而3￡>u平面尸故AC人3D,

故四邊形A3。為菱形，而NIMB=6O。，故3D=AS=X.

因為PD_L平面ABCD,ADu平面ABCD,故尸￡>_LA￡>,

故以=4+],同理pc=P3=Jd+i.

故S&PBC=；Xxx+1一％2=1gx"+Y.

而8C=x,

設(shè)/為點A到平面PBC的距離，PA與平面PBC所成的角為6,

,八dd

故9一京T

.2_62

又PABC；XXABC=；XS”BO

V-=PD%-----A，

12

%+一,

xdxSX(IX

而匕-PBC=~^PBC=~-

"W，故八

,,—1X6?,X—1

32，3/+4'

故si"=好=+急:號"2有“'

4

當(dāng)且僅當(dāng)/=§即尤=if時等號成立,

所以Sil1nx=2g-3

h

【點睛】線面角6可以通過體積法求出點到面的距離后，利用sin0=y（/為斜線段的長度）來表示，

可以避免建系產(chǎn)生的復(fù)雜計算.

（等體積法）

9.（2025高三?北京海淀月考）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為。的正方形，PA±

平面ABC。.若尸A=a,則直線P8與平面PCD所成的角的大小為（）

【答案】A

【分析】利用等積法可得8到平面汽力的距離，進而即得.

【解析】因為R4_L平面ABCD,ASu平面ABCD,ADu平面ABCZ）,CDu平面A3CD,

所以PA_LA3,PAYAD,PA±CD,又底面ABCD是邊長為a的正方形，

所以CD_LAD,又PAcAO=A,PAu平面PAD,AOu平面PAD,

所以C￡>_L平面尸AD,PDu平面PAD,

所以CD_L尸￡>,

設(shè)B到平面尸CD的距離為/z,直線尸8與平面PCD所成的角a,

貝\PB=6a,PD=6a,

所以匕_28=VP_BCD，垃aah=；x；xaaa,

所以〃T

yjla

兀

又。￡

所以sina」21,0,—,

PB一伍一2

所以a=

6

故選：A.

【變式】（2025高二?浙江寧波?期中）在三棱錐尸-ASC中，平面ABC,PA=AB=2AC=2,

ZBAC=6CP,尸為棱PC上一點，滿足AF_LPC于?

（1）求證：平面ABb_L平面PBC；

（2）求尸8與平面AB尸所成角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；

⑵亞

4

【分析】（1）由題可得BC±AC,利用線面垂直的性質(zhì)及判定定理可得8CL平面PAC,進而Ab,

平面PBC,然后根據(jù)面面垂直的判定定理即得；

（2）利用等積法可得點尸到平面A3尸的距離，再結(jié)合條件可得尸8=2后，進而即得.

【解析】（1）因為AB=2AC=2,Zfi4c=60。，

BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosABAC=22+]1-2x2xlx-=3,

2

所以BC=6,BC2+AC2=AB2,

所以3CLAC,又平面ABC,BCu平面ABC,

所以外_L3C,又尸ADAC=A,R4u平面PAC,ACu平面PAC,

所以BC,平面PAC,又AFu平面PAC,

所以BC_LAF,又AF_LPC,BClPC=C,3Cu平面PBC,PCu平面P3C,

所以AF_L平面BBC,又AFu平面AB/，

所以平面ABF_L平面PBC；

（2）由AF_L平面PBC,又5Fu平面尸BC,

所以AF_LW,又E4=AB,AF±PC,

所以烏△54F',

設(shè)點P到平面ABF的距離為d,

由VP-ABF=VB-PAF，BC_L平面PAC,BC=A/3,

所以5sABF=,即d=BC=6，

又R4_L平面ABC,ASu平面ABC,

所以上4J_A3,又PA=M=2,

所以尸3=20，

所以PB與平面ABF所成角的正弦值為巨=g=逅.

PB2V24

覆知識梳理

三、二面角有關(guān)概念

1、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這

兩個半平面叫做二面角的面.

2、二面角的平面角：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩

條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角。

3、二面角的大小范圍：[0°*180°]

四'求二面角大小的步驟是：

(1)作：找出這個平面角；

(2)證：證明這個角是二面角的平面角；

(3)求：將作出的角放在三角形中，解這個三角形，計算出平面角的大小.

五、確定二面角的平面角的方法：

(~)定義法(棱上一點雙垂線法)：提供了添輔助線的一種規(guī)律

在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別過該點作垂直于棱的射線.

如圖，以二面角的棱a上的任意一點0為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA,OB,

則/AOB為此二面角的平面角

(二)三垂線法(面上一點雙垂線法)-最常用

1.原理：利用三垂線定理及其逆定理來證明線線垂直，從而找到二面角的平面角。這種方法關(guān)鍵是

找垂直于二面角的面的垂線.

（1）三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜

線垂直.

（2）三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜

線的射影垂直.

2.三垂線法求二面角的平面角：從二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱（兩

面的交線）作垂線得到棱上的點（即斜足），斜足和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，

即為二面角的平面角

如圖，在平面a內(nèi)選一點A向另一個平面0作垂線AB,垂足為B,再過點B向棱a作垂線B0,

垂足為0,連接,則乙4。8就是二面角的平面角。

（三）垂面法（空間一點垂面法）

過空間中一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。

如圖，過二面角內(nèi)一點A作1a于8,作AC1夕于C,面ABC交棱a于點。，則/BOC就是二

面角的平面角。

（四）射影面積法求二面角cos。=鳥域

S

已知平面夕內(nèi)一個多邊形的面積為S，它在平面a內(nèi)的射影圖形的面積為S的四，平面a和平面夕所

成的二面角的大小為夕，則cos8=2邏

S

（這個方法對于無棱二面角的求解很簡便。）

推導(dǎo)：以多邊形為三角形為例證明，其它情形可自證。

證明：如圖，平面夕內(nèi)的AABC在平面a的射影為△ABC，作ADLNC于。，連結(jié)AD

AAJ_a于A,Dea,

.?.AO在a內(nèi)的射影為AD.

又,/AD±BC,BC<za,

AD±BC（三垂線定理的逆定理）.

ZADA為二面角a-BC-/3的平面角.

設(shè)△age和△AZC的面積分別為s和s',ZADA'=e，則SULBCARS'

22

.-BC-AD?

cAD2s

cos。=-=4--------=——

AD-BCADS

2

Q羸麗

【考點三求二面角（面面角）】

（定義法）

10.（2025高一?天津濱海新?期中）在四面體ABCD中，已知為等邊三角形，VA2C為等腰直

角三角形，斜邊AB=4,CD=2,則二面角C-AB-。的大小為（）

717C7127r

A.-B.-C.-D.—

6433

【答案】A

【分析】根據(jù)四面體中三角形的性質(zhì)作出二面角C-AB-D的平面角，再由余弦定理計算可得結(jié)果.

【解析】取A3的中點為E,連接OECE,如下圖所示：

因為為等邊三角形，AB=4,所以且DE=2百;

又VABC為等腰直角三角形，，所以CE1AB,且CE=2；

由二面角定義可得"EO即為二面角C-AB-O的平面角，

在△￡）（?￡1中，CD=2,CE=2,DE=2^,

2224+12-4—也

由余弦定理可得cosNCED=―FC+FD-3CD

2ECED2x2x2近-2

又NCED?0㈤，所以/C￡D=：

即二面角C—AB—。的大小為

0

故選：A

11.（23-24高一下?廣西北海?期末）如圖，在三棱錐A-3CD中，是等邊三角形，BDLDC,

AB=2,AC=4,ZDBC=60°,E,尸分別AD,DC的中點.

（1）求證：平面平面ADC；

（2）求二面角E-BF-D的余弦值.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）要證明面面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，根據(jù)幾何關(guān)系證明招，平面ADC；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用垂直關(guān)系構(gòu)造二面角的平面角，即可求解.

【詳解】（1）因為△ABD是等邊三角形，點E是AO的中點，AB=2,

所以BE_LAD,且8￡=若，

點及B分別是A2OC的中點，所以斯=1AC=2,

2

△BCD中，ZBDC=90,且即=2,ZDBC=60°,

所以。尸=括，BF=ylBEr+DF1=77>

所以3￡2+￡/2=3/2,即跳;J_EF,

且A￡)nEP=E,且AQEPu平面ADC,

所以BE_L平面APC,3Eu平面BEF,

所以平面BE尸，平面ADC；

(2)ADEF中，DE=1,DF=拒,EF=2,DE2+DF2=EF2>

所以DE1OF，

過點。作ZW_L￡F,

因為平面3EF_L平面ADC,且平面平面ADC=EF；

所以的平面BEF,

作DN工BF,連結(jié)MN,

因為BFu平面BEF,所以ZW_LM,

M.DMPfDN=D,DM,DNu平面DMN,

所以BF_L平面DMN,MNu平面DMN,

所以BF_LA1N,

則NMM）為二面角E-—O的平面角，

△DEF中，DM=DEDF=—,

EF2

,…DBDF2A/32A/21

BF777

所以sin/MND=^=也，cosNMND=之,

DN44