專題01集合與邏輯（15個(gè)考點(diǎn)）

【知識(shí)梳理+解題方法】

一.集合的含義

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、集合的含義：

集合是一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)看待，就叫做集合，簡(jiǎn)稱集，其中各事物

叫做集合的元素或簡(jiǎn)稱元，是具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.

2、集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

（1）列舉法就是把集合中的每一個(gè)元素全部寫出來(lái)；描述法指的就是用詞匯或者用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出集合中

的元素；區(qū)間表示法就是用區(qū)間的形式來(lái)表示集合中的元素；圖示法（數(shù)軸表示法，韋恩圖法）用圖的形

式來(lái)描述表示出集合的每一個(gè)元素.

（2）有限集常用列舉法表示，而無(wú)限集常用描述法或區(qū)間表示法表示，抽象集常用圖示法表示.（有限集

就是集合中的元素個(gè)數(shù)是能夠確定的.無(wú)限集是集合的元素個(gè)數(shù)無(wú)法精確.抽象集合就是只給出集合元素

滿足的性質(zhì)，探討集合中的元素屬性，要求有較高的抽象思維和邏輯推理能力.）

用描述法表示集合時(shí)，集合中元素的意義取決于它的“代表”元素的特征.

【典型例題分析】

題型一：判斷能否構(gòu)成集合

典例1：下列研究對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合？如果能，采用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎舅?

（1）小于5的自然數(shù)；

（2）某班所有個(gè)子高的同學(xué)；

（3）不等式2x+l>7的整數(shù)解.

分析：根據(jù)集合元素的確定性，互異性進(jìn)行判斷即可.

解答：（1）小于5的自然數(shù)為0,1,2,3,4,元素確定，所以能構(gòu)成集合.為{0,1,2,3,4}.

（2）個(gè)子高的標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以集合元素?zé)o法確定，所以不能構(gòu)成集合.

（3）由2x+l>7得x>3,因?yàn)閤為整數(shù)，集合元素確定，但集合元素個(gè)數(shù)為無(wú)限個(gè)，所以用描述法表示為

{小>3,且xeZ}.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的含義和表示，利用元素的確定性，互異性是判斷元素能否構(gòu)成集合的條件，比

較基礎(chǔ).

典例2：下列集合中表示同一集合的是（）

A.M={(3,2)}N={3,2}B.M={(x,y)\x+y=l]N=[y\x+y=l]

C.M={(4,5)}N={(5,4)}D.M={2,1}N={1,2}

分析：利用集合的三個(gè)性質(zhì)及其定義，對(duì)A、B、C、。四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷.

解答：A、M={(3,2)),M集合的元素表示點(diǎn)的集合，N={3,2},N表示數(shù)集，故不是同一集合，故A

錯(cuò)誤；

B、M={(x,y)|x+y=l},M集合的元素表示點(diǎn)的集合，N={y|x+y=l},N表示直線x+y=l的縱坐標(biāo)，

是數(shù)集，故不是同一集合，故8錯(cuò)誤；

C、M={(4,5)}集合M的元素是點(diǎn)(4,5),N={(5,4)},集合N的元素是點(diǎn)(5,4),故C錯(cuò)誤;

D、M={2,1},N={1,2}根據(jù)集合的無(wú)序性，集合N表示同一集合，故。正確；

故選D

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查集合的定義及其判斷，注意集合的三個(gè)性質(zhì)：確定性，互異性，無(wú)序性，此題是一道

基礎(chǔ)題.

題型二：集合表示的含義

典例3：下面三個(gè)集合：A={x|y=7+1},B={y\y=x2+1],C={(x,y)|y=/+l},請(qǐng)說(shuō)說(shuō)它們各自代表的

含義.

分析：根據(jù)集合的代表元素，確定集合元素的性質(zhì)，A為數(shù)集，8為數(shù)集，C為點(diǎn)集.

解答：A是數(shù)集，是以函數(shù)的定義域構(gòu)成集合，且4=凡

B是數(shù)集，是由函數(shù)的值域構(gòu)成，且B={y|yNl}；

C為點(diǎn)集，是由拋物線y=/+l上的點(diǎn)構(gòu)成.

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)用描正確理解用描述法表示集合的含義，要通過(guò)代表元素的特點(diǎn)正確理解集合元素的構(gòu)

成.

【解題方法點(diǎn)撥】

研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時(shí)，注意弄

清楚其元素表示的意義是什么.

二.元素與集合關(guān)系的判斷

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、元素與集合的關(guān)系：

一般地，我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡(jiǎn)稱集.元素一般用小寫字母a,b,

c表示，集合一般用大寫字母A,B,C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：或

40A.

2、集合中元素的特征：

（1）確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的.即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于還是不屬于

這集合是確定的.要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總

體是否能構(gòu)成集合.

（2）互異性：集合中的元素必須是互異的.對(duì)于一個(gè)給定的集合，他的任何兩個(gè)元素都是不同的.這個(gè)特

性通常被用來(lái)判斷集合的表示是否正確，或用來(lái)求集合中的未知元素.

（3）無(wú)序性：集合于其中元素的排列順序無(wú)關(guān).這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷兩個(gè)集合的關(guān)系.

【命題方向】

題型一：驗(yàn)證元素是否是集合的元素

典例1：已知集合已={小=層-層，mCZ*zzGZ}.求證：

⑴3GA；

（2）偶數(shù)公-2（任Z）不屬于A.

分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；

（2）用反證法，假設(shè)屬于4再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要

證的結(jié)論.

解答：解：⑴V3=22-I2,3EA；

（2）設(shè)4）-2eA,則存在力,nEZ,使41-2=蘇-〃2=（m+H）（m-n）成立，

1、當(dāng)〃同奇或同偶時(shí)，相均為偶數(shù)，

:.Gn-n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4左-2不是4的倍數(shù)矛盾.

2、當(dāng)"z,n一奇,一偶時(shí)，m-n,77?+”均為奇數(shù)，

：.Gn-n）（m+〃）為奇數(shù)，與4左-2是偶數(shù)矛盾.

綜上44-2CA.

點(diǎn)評(píng)：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷.分類討論的思想.

題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù).

典例2：已知集合4={。+2,2a2+a],若3eA,求實(shí)數(shù)a的值.

分析：通過(guò)3是集合A的元素，直接利用a+2與2/+々=3,求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可.

解答：解：因?yàn)?eA,所以a+2=3或2/+°=3…（2分）

當(dāng)a+2=3時(shí)，a=l,???（5分）

此時(shí)A={3,3},不合條件舍去，…（7分）

當(dāng)2a2+4=3時(shí)，。=1（舍去）或分='，…（10分）

2

由a=-1,得人=成，3}，成立…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力.

【解題方法點(diǎn)撥】

集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意.分類討論的思想方法常用于解決集合問(wèn)題.

三.集合的確定性、互異性、無(wú)序性

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

集合中元素具有確定性、互異性、無(wú)序性三大特征.

（1）確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象都說(shuō)明它是或者不是某個(gè)集合的元素，兩種情況必

居其一且僅居其一，不會(huì)模棱兩可，例如“著名科學(xué)家”，“與2接近的數(shù)”等都不能組成一個(gè)集合.

（2）互異性：一個(gè)給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元素.例如不能寫成

{1,1,2},應(yīng)寫成{1,2}.

（3）無(wú)序性：集合中的元素，不分先后，沒(méi)有如何順序.例如{1,2,3}與{3,2,1}是相同的集合，也是

相等的兩個(gè)集合.

【解題方法點(diǎn)撥】

解答判斷型題目，注意元素必須滿足三個(gè)特性；一般利用分類討論逐一研究，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的思

想，解答問(wèn)題，結(jié)果需要回代驗(yàn)證，元素不許重復(fù).

【命題方向】

本部分內(nèi)容屬于了解性內(nèi)容，但是近幾年高考中基本考查選擇題或填空題，試題多以集合相等，含參

數(shù)的集合的討論為主.

四.集合的表示法

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方

法叫做列舉法.{1,2,3,…},注意元素之間用逗號(hào)分開(kāi).

2.描述法：常用于表示無(wú)限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符號(hào)或式子等描述出來(lái)，寫在大括號(hào)

內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法.即：{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，尸為這個(gè)集合的元素的共

同屬性）如：小于TT的正實(shí)數(shù)組成的集合表示為：{X[O<X<TT}

3.圖示法（腌〃〃圖）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說(shuō)圓圈），用它的內(nèi)部表示一

個(gè)集合.

4.自然語(yǔ)言（不常用）.

【解題方法點(diǎn)撥】

在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用數(shù)形結(jié)合思想解答問(wèn)題，

例如數(shù)軸的應(yīng)用，論的圖的應(yīng)用，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想解答.注意解題過(guò)程中注意元素的屬性的不同，例如：｛x|2x

-1>0｝表示實(shí)數(shù)尤的范圍；｛（x,y）|y-2x=0｝表示方程的解或點(diǎn)的坐標(biāo).

【命題方向】

本考點(diǎn)是考試命題?？純?nèi)容，多在選擇題，填空題值出現(xiàn)，可以與集合的基本關(guān)系，不等式，簡(jiǎn)易邏

輯，立體幾何，線性規(guī)劃，概率等知識(shí)相結(jié)合.

五.集合的相等

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

（1）若集合A與集合2的元素相同，則稱集合A等于集合2.

（2）對(duì)集合A和集合8,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合8的元素，同時(shí)集合8的任何一個(gè)元素都是

集合A的元素，那么集合A等于集合2,記作就是如果同時(shí)那么就說(shuō)這兩個(gè)集合相

等，記作4=2.

（3）對(duì)于兩個(gè)有限數(shù)集A=B,則這兩個(gè)有限數(shù)集A、2中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：

①兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等；

②兩個(gè)集合的元素之和相等；

③兩個(gè)集合的元素之積相等.由此知，以上敘述實(shí)質(zhì)是一致的，只是表達(dá)方式不同而已.上述概念是判斷

或證明兩個(gè)集合相等的依據(jù).

【解題方法點(diǎn)撥】

集合A與集合8相等，是指A的每一個(gè)元素都在8中，而且8中的每一個(gè)元素都在A中.解題時(shí)往

往只解答一個(gè)問(wèn)題，忽視另一個(gè)問(wèn)題；解題后注意集合滿足元素的互異性.

【命題方向】

通常是判斷兩個(gè)集合是不是同一個(gè)集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運(yùn)算相聯(lián)系，也可能

與函數(shù)的定義域、值域聯(lián)系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)出現(xiàn)在大題的一小問(wèn).

六.集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

概念：

1.如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合8的元素，那么集合A叫做集合8的子集；A&B；如果集合A

是集合B的子集，并且2中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么集合A叫做集合8的真子集，即AuB；

2.如果集合A的每一個(gè)元素都是集合8的元素，反過(guò)來(lái)，集合8的每一個(gè)元素也都是集合A的元素，那

么我們就說(shuō)集合A等于集合3,即A=8.

【解題方法點(diǎn)撥】

1.按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列.

2.注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性質(zhì)來(lái)判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系.

4.有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法.

【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義

域，三角函數(shù)的解集，子集的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)相結(jié)合命題.

七.子集與真子集

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、子集定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素，我們就說(shuō)

這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合8的子集(subset).

記作：(或B24).

2、真子集是對(duì)于子集來(lái)說(shuō)的.

真子集定義：如果集合A&B,但存在元素在8,且元素x不屬于集合A,我們稱集合A是集合8的真子集.

也就是說(shuō)如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是8的子集，

若B中有一個(gè)元素，而A中沒(méi)有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，

注：①空集是所有集合的子集；

②所有集合都是其本身的子集；

③空集是任何非空集合的真子集

例如：所有亞洲國(guó)家的集合是地球上所有國(guó)家的集合的真子集.

所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集.

{1,3}c{l,2,3,4)

(1,2,3,4}c{l,2,3,4}

3、真子集和子集的區(qū)別

子集就是一個(gè)集合中的全部元素是另一個(gè)集合中的元素，有可能與另一個(gè)集合相等；

真子集就是一個(gè)集合中的元素全部是另一個(gè)集合中的元素，但不存在相等；

注意集合的元素是要用大括號(hào)括起來(lái)的“{}"，如{1,2},{a,b,g};

另外，{1,2}的子集有：空集，{1},{2},{1,2}.真子集有：空集，{1},{2}.一般來(lái)說(shuō)，真子集是在所

有子集中去掉它本身，所以對(duì)于含有“個(gè)(”不等于0)元素的集合而言，它的子集就有2〃個(gè)；真子集就有

2〃-1.但空集屬特殊情況，它只有一個(gè)子集，沒(méi)有真子集.

【解題方法點(diǎn)撥】

注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，AU8,并且匹A時(shí)，有A=B,但是AuB,并且BuA,是

不能同時(shí)成立的；子集個(gè)數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的.

【命題方向】

本考點(diǎn)要求理解，高考會(huì)考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，常常與集合的運(yùn)算,

概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題.

八.集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合中，元素含有待確定的變量，需要通過(guò)集合的子集、相等、交集、并集、補(bǔ)集等關(guān)

系求出變量的取值等問(wèn)題.

【解題方法點(diǎn)撥】

求參數(shù)的取值或取值范圍的關(guān)健，是轉(zhuǎn)化條件得到相應(yīng)參數(shù)的方程或不等式.本題根據(jù)元素與集合之間的

從屬關(guān)系得到參數(shù)的方程，然后通過(guò)解方程求解.求解中需注意兩個(gè)方面：一是考慮集合元素的無(wú)序性，

由此按分類討論解答，二是涉及其它知識(shí)點(diǎn)例如函數(shù)與方程的思想，函數(shù)的零點(diǎn)，恒成立問(wèn)題等等.

【命題方向】

集合中的參數(shù)取值范圍問(wèn)題，一般難度比較大，幾乎與高中數(shù)學(xué)的所以知識(shí)相聯(lián)系，特別是與函數(shù)問(wèn)題結(jié)

合的題目，涉及恒成立，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等知識(shí)命題，值得重視.

九.并集及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與2的并集，記作AUB.

符號(hào)語(yǔ)言：4^18={衛(wèi)底4或止8}.

AUB實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②尤僅是8中的元素；③x是A且是B中的元素.

運(yùn)算形狀：

@AUB=BUA.②AU0=4.③(4)AUB2A,AUB2B.⑤@AUB=0,兩個(gè)

集合都是空集.?AU(CuA)=U.⑧Cu(AUB)=(CUA)n(CUB).

【解題方法點(diǎn)撥】解答并集問(wèn)題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混用;

注意并集中元素的互異性.不能重復(fù).

【命題方向】掌握并集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)

的定義域，值域聯(lián)合命題.

十.交集及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與8的交集，記作ACB.

符號(hào)語(yǔ)言：AC\B^[x\xEA,且無(wú)68}.

實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素.

當(dāng)兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說(shuō)兩個(gè)集合沒(méi)有交集.

運(yùn)算形狀：

?AHB=BDA.?AA0=0.?AAA=A.④ACBUA,AHBQB.@A^B=A^AQB.@AHB=0,兩個(gè)

集合沒(méi)有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(Ans)=(CuA)U(CuB).

【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問(wèn)題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混用；

求交集的方法是：①有限集找相同；②無(wú)限集用數(shù)軸、韋恩圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)

合命題.

十一.補(bǔ)集及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U.(通

常把給定的集合作為全集).

對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱

為集合A的補(bǔ)集，記作CuA,BPCuA={x\xEU,且通4}.其圖形表示如圖所示的Venn

U

圖.L1—

【解題方法點(diǎn)撥】

常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補(bǔ)集常用于對(duì)立事件，否命題，反證法.

【命題方向】

通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補(bǔ)集的選擇題，有時(shí)出現(xiàn)在簡(jiǎn)易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、

值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn).

十二.交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

集合交換律AAB=BAA,

集合結(jié)合律(ACB)CC=AC(BAO,(AUB)UC=AU(BUC).

集合分配律AA(BUC)=(AHB)U(AAC),AU(BAC)=(AUB)Cl(AUC).

集合的摩根律Cu(AAB)=CuAUCuB,Cu(AUB)=C"ACCi/8.

集合吸收律AU(AAB)=A,AA(AUB)=A.

集合求補(bǔ)律A^CuA=U,AHCuA=^>.

【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答.

【命題方向】理解交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，每年高考一般都是單獨(dú)命題，一道選擇題或填空題，屬

于基礎(chǔ)題.

十三.Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部來(lái)代表集合，這個(gè)圖形就叫做Venn圖(韋恩圖).集合中圖形語(yǔ)言具有直觀

形象的特點(diǎn)，將集合問(wèn)題圖形化，利用以所圖的直觀性，可以深刻理解集合的有關(guān)概念、運(yùn)算公式，而且

有助于顯示集合間的關(guān)系.

運(yùn)算公式：card(AUB)—card(A)+card(B)-card(AClB)的推廣形式：

card(AUBUC)—card(A)+card(B)+card(C)-card(ACB)-card(BAC)-card(APIC)+card

(ansnc),

或利用論〃〃圖解決.公式不易記住，用正加圖來(lái)解決比較簡(jiǎn)潔、直觀、明了.

【解題方法點(diǎn)撥】在解題時(shí)，弄清元素與集合的隸屬關(guān)系以及集合之間的包含關(guān)系，結(jié)合題目應(yīng)很好地使

用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，利用直觀圖示幫助我們理解抽象概念.Venn圖解題，就必須能正確理解

題目中的集合之間的運(yùn)算及關(guān)系并用圖形準(zhǔn)確表示出來(lái).

【命題方向】一般情況涉及Venn圖的交集、并集、補(bǔ)集的簡(jiǎn)單運(yùn)算，也可以與信息遷移，應(yīng)用性開(kāi)放問(wèn)題.也

可以聯(lián)系實(shí)際命題.

十四.充分條件與必要條件

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、判斷：當(dāng)命題“若p則為真時(shí)，可表示為稱p為q的充分條件，q是p的必要條件.事實(shí)上，

與“p今g”等價(jià)的逆否命題是“今「p”.它的意義是：若q不成立，則p一定不成立.這就是說(shuō)，q對(duì)

于p是必不可少的，所以說(shuō)q是p的必要條件.例如：p：x>2；q：尤>0.顯然xCp,則等價(jià)于關(guān)掰,

則x《p一定成立.

2、充要條件：如果既有“pnq”，又有“qnp”,則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的

充要條件，記作“poq”.p與q互為充要條件.

【解題方法點(diǎn)撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不

可.證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生

答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若p=q為真命題且q=p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若pnq為假命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若p=>q為真命題且q=>p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若pnq為假命題且qnp為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q

的關(guān)系.

【命題方向】

充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開(kāi)始，或者沒(méi)有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過(guò)沒(méi)有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，

多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣.

十五.存在量詞和特稱命題

【存在量詞】：

短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞.符號(hào)：3

特稱命題：含有存在量詞的命題.符號(hào)："才’.

存在量詞：對(duì)應(yīng)日常語(yǔ)言中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有個(gè)”、“某個(gè)”、“有些”、“有的”等詞，用

符號(hào)"于'表示.

【特稱命題】含有存在量詞的命題.FxoeM,有p(xo)成立"簡(jiǎn)記成p(xo)”.

“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”叫做存在量詞.

命題全稱命題WxeM,p(x)特稱命題iroeM,p(xo)

表述方①所有的xeM■，使p(x)成立①存在X06M,使p(X0)成立

法②對(duì)一切xew,使p(x)成立②至少有一個(gè)xoeM,使p(尤o)成立

③對(duì)每一個(gè)無(wú)CM,使p(無(wú))成立③某些使p(x)成立

④對(duì)任給一個(gè)尤使p(%)成立④存在某一個(gè)xoeM,使p(xo)成立

⑤若XE.M,則p(無(wú))成立⑤有一個(gè)xoEM,使p(xo)成立

解題方法點(diǎn)撥：由于全稱量詞的否定是存在量詞，而存在量詞的否定又是全稱量詞；因此，全稱命題的否

定一定是特稱命題；特稱命題的否定一定是全稱命題.命題的“否定”與一個(gè)命題的“否命題”是兩個(gè)不

同的概念，對(duì)命題的否定是否定命題所作的判斷，而否命題是對(duì)“若p則qn形式的命題而言，既要否定

條件，也要否定結(jié)論.

常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定如下表所示：

詞語(yǔ)是一定是都是大于小于

詞語(yǔ)的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于

詞語(yǔ)且必有一個(gè)至少有〃個(gè)至多有一個(gè)所有X成立

詞語(yǔ)的否定或一個(gè)也沒(méi)有至多有〃-1個(gè)至少有兩個(gè)存在一個(gè)X不成立

命題方向：本考點(diǎn)通常與全稱命題的否定，多以小題出現(xiàn)在填空題，選擇題中.

十六.命題的真假判斷與應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)

合命題的真假.

注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程尤2-2尤+1=0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰?/p>

的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分.

【解題方法點(diǎn)撥】

1.判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由真

值表得出復(fù)合命題的真假.

2.判斷一個(gè)“若。則形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”,貝IJ“若"貝I

/為真；而要確定“若p則為假，只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明即可.

3.判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真

同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷.

【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題

形式出現(xiàn).

【專題過(guò)關(guān)】

集合的含義（共2小題）

1.（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）下列各對(duì)象的全體，可以構(gòu)成集合的是.（填序號(hào)）

①高一數(shù)學(xué)課本中的難題；

②高一年級(jí)中身高超過(guò)1.70米的同學(xué).

2.（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于某一集合A,若滿足任取a,b,ceA都有“a,b,。為某一三角形的三

邊長(zhǎng)”，則稱集合A為''三角集"，下列集合中為三角集的是（）

A.{x|x是△ABC的高的長(zhǎng)度}

B.{尤|3Z1WO}

x-2

C.{x\\x-l|+|x-3|=2}

D.{x|代數(shù)式log2（3x-2）有意義}

二.元素與集合關(guān)系的判斷（共10小題）

3.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知集合4={/-々，0},若破4則實(shí)數(shù)。的值為.

4.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知集合4={1,2,3},B={1,m,n},若3-mS4,n+lEA,則非零實(shí)數(shù)

m+n的可能取值集合是.

5.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）設(shè)X是一個(gè)集合，T是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬

于T,。屬于T；②T中任意多個(gè)元素的并集屬于T；③T中有限個(gè)元素的交集屬于T.則稱T是集合X上

的一個(gè)拓?fù)?已知集合乂={4,b,C},對(duì)于下面給出的四個(gè)集合J

①1二]。，{a},{a,b},{a,c}}；

②T={0,,{c},{b,c],{a,b,c}}；

③1士。，[a,c},{b,c},{<?},{a,b,c}}；

@T={0,{a},{c},{a,b,c}].

其中是集合X上的拓?fù)涞募蟃的序號(hào)是（）

A.②B.①③C.②④D.②③

6.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）設(shè)集合A={X|X=_L,〃?6N*},若XICA,X2GA,貝|（）

2m

Xi

A.（xi+x2）EAB.（XI-X2）EAC.（XIX2）GAD.——EA

x2

7.（2022?楊浦區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）若集合A具有以下性質(zhì)，則稱集合A是“好集"：①0EA,止人②若入、

則且時(shí)，工￡

（1）分別判斷集合3={-1,0,1},有理數(shù)集Q是否是“好集”，并說(shuō)明理由;

（2）設(shè)集合A是“好集”，求證：若x、yeA,則x+y&L；

（3）對(duì)任意的一個(gè)“好集”A,判斷下面命題的真假，并說(shuō)明理由；命題：若X、疾4則必有xyCA.

QY￡A0Y

8.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）設(shè)A、8是R中兩個(gè)子集，對(duì)于x&R,定義：機(jī)=<'「,n=\'「,

1,x€A11,x€B

①若AU8,則對(duì)任意xeR,機(jī)（1-n）=；

②若對(duì)任意xCR,m+w=l,若4={1,2,3},貝IB為.

9.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）設(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若xeA（XTM且xWO）,則-J-e4.

（1）若2CA,試證明A中還有另外兩個(gè)元素；

（2）集合A是否為雙元素集合，并說(shuō)明理由；

（3）若A中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)8個(gè)，所有元素的和為退，且A中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求

3

集合A.

10.（2022?徐匯區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）設(shè)A是非空實(shí)數(shù)集，且OCA.若對(duì)于任意的無(wú)，疾人都有沖C4,則稱集合A

具有性質(zhì)P；若對(duì)于任意的x,疾4,都有三CA，則稱集合A具有性質(zhì)政.

y

（1）寫出一個(gè)恰含有兩個(gè)元素且具有性質(zhì)P的集合A；

（2）若非空實(shí)數(shù)集A具有性質(zhì)P2,求證：集合A具有性質(zhì)尸1；

（3）設(shè)全集U={x|尤WO,xGR},是否存在具有性質(zhì)Pi的非空實(shí)數(shù)集A,使得集合CuA具有性質(zhì)P2?若存

在，寫出這樣的一個(gè)集合4若不存在，說(shuō)明理由.

11.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）若集合A=｛小2-（a+2）無(wú)+2-a<0,xCZ｝中有且只有一個(gè)元素，則正實(shí)

數(shù)a的取值范圍是.

12.（2022?楊浦區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）設(shè)集合4=｛〃2+〃曰而_3層=1,%，neZj.

（1）證明：若則工6A,且—5——GA；

a2+V3

（2）對(duì)于實(shí)數(shù)p,q,如果l<pWq,證明：2<p3<qJ；并由此說(shuō)明，A中元素若滿足1<b<2+V^，

貝Ub=2+V§；

（3）設(shè)cS4,試求滿足2+V^<cW（2+V3）2的A的元素.

三.集合的確定性、互異性、無(wú)序性（共3小題）

13.（2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）若集合M=｛a,b,c｝中的元素是△A3C的三邊長(zhǎng)，則△A3C一定不是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

14.（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）若a€R,則構(gòu)成集合｛a-1,1｝中的a的取值范圍是.

15.（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）如果集合中的元素是三角形的邊長(zhǎng)，那么這個(gè)三角形一定不可能是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

四.集合的表示法（共3小題）

16.（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若集合A=｛/,x｝,則實(shí)數(shù)x可取的值的全體所構(gòu)成的集合為.

17.（2021秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知集合4=｛0,1,2],則集合2=｛帥=3a,aeA]=.（用列舉

法表示）

18.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）用|卻表示非空集合4中元素的個(gè)數(shù)，定義人*8=["『舊1，出I,

[|B|-|A|,|B|>|A|

若A={0,1},8={玳/+辦）（/+辦+3）=0},A*B=1,則實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成集合S,則S=（請(qǐng)

用列舉法表示）.

五.集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用（共9小題）

19.（2022?楊浦區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知集合2={x€N|-1<XV5},B={0,1,2,3,4,5},則A,B間的關(guān)系

為（）

A.A=BB.BQAC.AEBD.AQB

20.（2022?楊浦區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）設(shè)集合A={x|lWxW2},2={x|x》a},若AuB,則。的范圍是.

21.（2022?徐匯區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（）

A.0^{0}B.{1,2}是ZC.{（a,b）}={a,b]D.{0,1}￡{1,0}

22.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）集合S={x|x=m+_L,〃￡Z},P={x|x=H+A.,?eZ},Q={x|x=K」,

1231234

依Z},則S、P、。之間的關(guān)系是（）

A.SuPuQB.SuP=QC.S=PuQD.PuQuS

23.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）已知集合4={中=共工?后^},集合8={x|p+lWxW20-1},若匹A,

則實(shí)數(shù)p的取值范圍是.

24.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）集合A={y|y=W+3x+l},8={y|y=/-3x+l},則集合A與集合2之間的

關(guān)系是（用=、u、=來(lái)表示）

25.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）已知集合4=兇d-1=0},B={x|x2-2ax+b=Q],若BW0,且求

實(shí)數(shù)a、b的值.

26.（2022?徐匯區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知機(jī)為實(shí)數(shù)，A={x\x1-（m+1）x+m=0],B={x\mjc-1=0}.

（1）當(dāng)AU8時(shí)，求機(jī)的取值集合；

（2）當(dāng)時(shí)，求相的取值集合.

27.(2022?楊浦區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))已知aCR,xGR,集合A={2,4,x2-5x+9),B={3,x^+ax+a],C={/+(a+l)

x-1}.

(1)當(dāng)2EB,8GA時(shí)，求〃、工的值；

(2)當(dāng)B=C時(shí)，求〃、x的值.

六.子集與真子集（共4小題）

28.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）若xeA,則工e4,就稱A是“伙伴關(guān)系集合"，集合M={-1,0,1,2,

x2

3}的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)是.

29.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）下列命題中正確的是（）

A.空集沒(méi)有子集

B.空集是任何一個(gè)集合的真子集

C.任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集

D.設(shè)集合8UA,那么，若xCA,則正8

30.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）己知集合人={x|至工《0，x€Z}，2={yly=，+l，xeA},則集合B的子

x-3

集個(gè)數(shù)為（）

A.5個(gè)B.8個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

31.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知集合4={尤*+4x=0},B={4?+2（o+l）x+a2-1=0}.

（1）若A是B的子集，求實(shí)數(shù)。的值；

（2）若8是A的子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

七.集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題(共1小題)

32.(2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考)設(shè)4={尤*-"+/-19=0},2={尤*-5x+6=0},C=m*+2尤-8=0}

(1)AHB=AUB,求a的值；

(2)若。是(AAB)且ACC=0,求。的值；

(3)AnB=ACCW0,求a的值.

八.并集及其運(yùn)算(共4小題)

33.(2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考)設(shè)全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},8={x￡-4x+3

=0},則AUB=.

34.(2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考)若已知AC{-1,0,1}={0,1},且AU{-2,0,2}={-2,0,1,2},

則滿足上述條件的集合4共有個(gè).

35.(2021秋?普陀區(qū)校級(jí)期末)已知機(jī)21,設(shè)集合A={x|空2<1}，B={x\\x-2m\>m-1}.

(1)求集合A和集合&

(2)求AUB=8,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

36.（2022?徐匯區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知A={m,ai,a3,04},B={ai2,g2,a/}且其中aWZ

（i=l,2,3,4）,若AC8={a2,43},ai+a3—0,且AUB的所有元素之和為56,求43+。4=.

九.交集及其運(yùn)算（共3小題）

37.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知4={小2+。十+1=0,尤611},若40：11+=0,則實(shí)數(shù)夕的取值集合是.

38.（2021秋?浦東新區(qū)期末）設(shè)不等式|2x-1|W3的解集為P,不等式2W2XW8的解集為Q.

（1）求集合P、Q;

（2）己知全集U=K,求P「|Q.

39.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）記2={a|。是等腰三角形},7={加6是至少有一邊為1,且至少有一內(nèi)角為

30°的三角形},則PCT的元素有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

一十.補(bǔ)集及其運(yùn)算（共3小題）

40.（2021秋?楊浦區(qū)期末）已知全集為R,集合A=（1,+8）,則工=.

41.（2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)期末）已知全集。=已集合A={x|l-x>3x+5},貝唾=.

42.（2021秋?浦東新區(qū)期末）已知全集"={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},則工=.

一十一.交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算（共5小題）

43