平衡中的臨界與極值問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)

會分析平衡中的臨界與極值問題，并會相關(guān)計(jì)算。

【專題解讀】

1.臨界、極值問題特征

⑴臨界問題:當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好

出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。

常見的臨界狀態(tài)有：

①由靜止到運(yùn)動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。

②繩子恰好繃緊，拉力F=0。

③剛好禺開接觸面，支持力八=0。

（2）極值問題:平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值。

2.解決臨界和極值問題的三種方法

正確進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找到平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn);臨界

極限

條件必須在變化中尋找，不能在一個狀態(tài)上研究臨界問題，要把某個

法

物理量推向極大或極小

數(shù)學(xué)通過對問題的分析,根據(jù)平衡條件列出物理量之間的函數(shù)關(guān)系（畫出函

分析數(shù)圖像），用數(shù)學(xué)方法求極值（如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函

法數(shù)極值）

物理

根據(jù)平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行

分析

四邊形定則進(jìn)行動態(tài)分析，確定最大值和最小值

法

【典例剖析】

例1（2025?山東臨沂模擬）如圖所示，半徑均為R的光滑球和不光滑的半球由同種材料制成的，球

和半球放置在豎直墻壁的左側(cè)。當(dāng)半球的球心到豎直墻壁的距離大于2.27?時，半球?qū)⑾蜃蠡瑒印?/p>

當(dāng)半球球心到墻壁的距離為L時，即使給球體向下沿通過球心的豎直方向施加的力再大，半球和

球始終保持靜止，則L的最大值為（）

B.得+2)H

C."+1)RD律+1)R

答案D

解析設(shè)半球質(zhì)量為如則光滑球質(zhì)量為2如對光滑球和不光滑的半球受力分析，如圖所示，當(dāng)

半球的球心到豎直墻壁的距離為2.2R時，由幾何關(guān)系，有sin6="?=0.6,對整體，根據(jù)平衡

條件可得居=RN2=2/ngtanaFN3=mg-\-2mg,又民=好可3,聯(lián)立解得〃=0.5。給球體向下沿通過

球心的豎直方向施加力，半球和球始終保持靜止，需要滿足（R+2/ng）tanaq（/ng+F+2/ng）,即tan

a9（制1+1），當(dāng)半球球心到墻壁的距離為最大值工時，有tana=〃，由幾何關(guān)系，有L=2Rsin

a+R,聯(lián)立解得L=（言+1）R,故D正確。

例2如圖所示，一輕質(zhì)光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質(zhì)量分別為機(jī)和2機(jī)的物塊A、B,通過

不可伸長的輕繩跨過滑輪連接，A、B間的接觸面和輕繩均與木板平行。A與B間、B與木板間的

動摩擦因數(shù)均為〃，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當(dāng)木板與水平面的夾角為45。時，物塊A、

B剛好要滑動，則〃的值為（）

答案C

解析根據(jù)題述，物塊A、B剛要滑動，可知A、B之間的摩擦力和B與木板間的摩擦力均達(dá)到最

大靜摩擦力，隔離A分析受力，由平衡條件可得F=FfAB+mgsin45°,FNA^mgcos45°,FfAB=AFNA,

對A、B整體，由平衡條件可得2R=3mgsin45o—a，F(xiàn)N=3mgcos45°,Ff=//FN,聯(lián)立解得〃=g,

選項(xiàng)C正確。

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

1.（2024.浙江金華模擬）如圖所示，甲、乙兩柱體的截面分別為半徑均為R的圓和半圓，甲的右側(cè)靠

著一塊豎直的擋板。若甲和乙的質(zhì)量相等，柱體的曲面和擋板可視為光滑，開始兩圓柱體柱心連線

沿豎直方向，將擋板緩慢地向右移動，直到圓柱體甲剛要落至地面為止，整個過程半圓柱乙始終保

持靜止，那么半圓柱乙與水平面間動摩擦因數(shù)的最小值為（）

C.-

答案A

解析只要摩擦力最大時剛好不滑動，此時對應(yīng)的動摩擦因數(shù)最小。對整體分析有小=2，卷，F(xiàn)f

=F板,設(shè)QQ與水平面的夾角為仇對甲受力分析，由平衡條件得口板=氣，聯(lián)立解得居=氣，

可知。越小，居越大，由幾何關(guān)系得，。最小為30。，則4=93=〃八=〃-2岫解得〃=今，故

tansuN

A正確。

2.（2025?重慶高三期末）如圖所示，三根長度均為L的輕繩分別連接于C、。兩點(diǎn)，A、8兩端被懸

掛在水平天花板上，相距2L?，F(xiàn)在C點(diǎn)懸掛一個質(zhì)量為根的重物，為使CD繩保持水平，在。點(diǎn)

可施加外力F重力加速度為g,則下列說法正確的是（）

A.AC繩的拉力為V"2gB.CD繩的拉力為手際

C.外力F的最小值為，igD.外力F的最小值為12g

答案D

2L-L

解析令A(yù)C繩與豎直方向的夾角為仇根據(jù)幾何關(guān)系有sin。=千=%解得。=30。，對C點(diǎn)與

重物進(jìn)行受力分析，如圖甲所示，根據(jù)平衡條件有Tkccosd=mg,Tkcsin0=TCD,解得TAC=^mg,

TCD=^mg,故A、B錯誤;對。點(diǎn)進(jìn)行受力分析，作出矢量動態(tài)三角形如圖乙所示，可知，當(dāng)外力

R方向與繩3。垂直時，外力R最小，則有片面;心/心呼刎且，故C錯誤，D正確。

3.如圖所示，一光滑球體放在支架與豎直墻壁之間，支架的傾角8=60。，光滑球體的質(zhì)量為加

支架的質(zhì)量為2如已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，整個裝置保持靜止，則支架和地面間的動

摩擦因數(shù)至少為（）

解析對光滑球體受力分析如圖甲所示，根據(jù)平衡條件可得RN2cos。="吆，對支架受力分析如圖乙

所示，根據(jù)牛頓第三定律可知FN3=FN2,對支架由平衡條件可得FN4=2mg+FN3cos3,Ff=FN3sin0,

又達(dá)到最大靜摩擦力時K=〃FN4,聯(lián)立以上各式解得〃=?,可知支架和地面間的動摩擦因數(shù)至少

為手，故D正確。

甲

4.如圖所示，學(xué)校門口水平地面上有一質(zhì)量為機(jī)的石墩，石墩與水平地面間的動摩擦因數(shù)為〃,

工作人員用輕繩按圖示方式勻速移動石墩時，兩輕繩與水平面間的夾角均為仇則下列說法正確的

是（）

A.輕繩的合拉力大小為華

B.輕繩的合拉力大小為limg

cos6+〃sin6

c.減小夾角e,輕繩的合拉力一定減小

D.輕繩的合拉力最小時，地面對石墩的摩擦力也最小

答案B

解析設(shè)輕繩的合拉力為國，地面對石墩的支持力為樂，對石墩受力分析，由平衡條件可知Frcos

e=Ff,Ff=*N，F(xiàn)ysin0+F=mg,聯(lián)立解得A錯誤，B正確;輕繩的合拉力大小

Ncos8十/zsincx

為FT=譽(yù).I一0——,可知當(dāng)。+夕=90。時，輕繩的合拉力有最小值，則減小夾角0,

cose+ane和嬴好）

輕繩的合拉力不一定減小，C錯誤;摩擦力大小為4=曷85。=手?=等4,可知增大夾

cos0+/zsin01十〃tan，

角仇摩擦力一直減小，當(dāng)。趨近于90。時，摩擦力最小，故輕繩的合拉力最小時，地面對石墩的

摩擦力不是最小，D錯誤。

5.（河北省“五個一”名校聯(lián)盟高三年級第二次聯(lián)考）如圖所示，三根長度均為L的輕繩分別連接于C、

。兩點(diǎn)，4B兩端被懸掛在水平天花板上，相距為2L?，F(xiàn)在C點(diǎn)上懸掛一重物，為使C。繩保持水平,

在。點(diǎn)上施加的最小力的方向（）

A.水平向右

B.與水平方向的夾角為60。

C.與水平方向的夾角為30。

D.豎直向下

【答案】C

【解析】要使CO水平，各輕繩均應(yīng)繃緊，則AC與水平方向的夾角（銳角）為60。。設(shè)結(jié)點(diǎn)c受力平衡,

受力分析如圖所示，

D點(diǎn)受輕繩的拉力大小等于鳥，方向向左。要使CD水平，D點(diǎn)兩輕繩的拉力與外界的力的合力應(yīng)為零，

則輕繩對。點(diǎn)的拉力可分解為沿BO繩的片及另一分力心,由幾何關(guān)系可知，當(dāng)力耳與B0垂直時，F(xiàn)2

最小，施加的外力與巴反向，此時與水平方向的夾角為30°。故選D。

6.（河北名校聯(lián)考普通高中2025屆高三年級適應(yīng)性演練）如圖所示，力/拉著質(zhì)量為的物體沿傾

角為30。的斜面向上勻速運(yùn)動。物體與斜面之間的動摩擦因數(shù)〃=走，重力加速度為g。下列說法中

A,若歹水平向右，則尸=mg

B.若/沿斜面向上，則E=

C.尸的最小值為

D.力廠與斜面成30。角斜向上時，/最小

【答案】D

【解析】.若歹水平向右，對物體，由平衡條件有

mgsin30°+//(mgcos30°+Fsin30°)=Feos30°

代入題中數(shù)據(jù)，解得b=6ng,故A錯誤；

B.若e沿斜面向上，對物體，由平衡條件有R=〃2gsin30o+〃nigcos3()o=〃2g

故B錯誤；

力廠與斜面成。角斜向上時，F(xiàn)有最小值，由平衡條件有Mgsin30°+〃(加gcos30°—Esind)=Ecos。

F_mg_____________mg___________________mg_____

整理得一Q石.273z.A。。A,,no.百.

cos6*+—sin6^(sin60cos6>+cos60sin6*Jsin(60+6*J

可知。=30。時，F(xiàn)有最小值，且最小值/皿二三/摩

故C錯誤，D正確。

7.(2025年5月山西青桐鳴大聯(lián)考)如圖所示，截面為半圓的柱體放在粗糙水平面上，一根輕繩一端固

定在柱體上的八點(diǎn)，給繩另一端施加一個斜向左上的拉力，拉力與豎直方向的夾角為53。，使柱體剛好

要滑動，已知柱體的質(zhì)量為m,柱體與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.5,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，

重力加速度為g，sin53。=0.8,cos53。=0.6,則作用在繩上端的拉力大小為()

55

C.—mgD.—mg

16

【答案】B

【解析】設(shè)繩的拉力大小為F,根據(jù)受力平衡，有人足53。=〃(加g-FCOS53。)

F=—mg

解得11□故選B。

8.(山東省臨沂2025年普通高中學(xué)業(yè)水平等級測評試題三模)如圖所示，甲、乙兩圓柱體的橫截面分

別為半徑相等的圓和半圓，甲的右側(cè)頂著一塊豎直擋板，乙的平面部分與水平面接觸。若乙的質(zhì)量是

甲的2倍，兩柱體的曲面部分和擋板均光滑，開始時兩圓柱體截面的圓心連線沿豎直方向。現(xiàn)將擋板

緩慢向右移動，直到圓柱體甲剛要落至水平面為止，整個過程中半圓柱體乙始終保持靜止，且最大靜

摩擦力等于滑動摩擦力。則乙與水平面間的動摩擦因數(shù)不能小于（）

C.-D.1

32

【答案】B

【解析】.分析可知，當(dāng)摩擦力最大時半圓柱乙剛好不動，此時對應(yīng)的動摩擦因數(shù)〃最小，且剛好達(dá)

到最大靜摩擦力，設(shè)甲質(zhì)量為m,地面對乙的支持力、摩擦力分別為五八/，擋板給甲的力為七，整

體分析可知有然=3mg,f=F^

設(shè)。。2連線與水平方向夾角為。，對甲，由平衡條件得%=器

mg

故可得了=

tan。

可知。越小，/越大，幾何關(guān)系可知，。最小為30。，又因?yàn)?=〃4

聯(lián)立解得動摩擦因數(shù)的最小值〃=F，故選B。

9.（2024福建漳州第二次質(zhì)檢）如圖，斜面體M放置在水平地面上，一物塊m恰好靜止在斜面體上。

現(xiàn)對物塊施加一水平向右的恒力F,物塊與斜面體相對地面仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，則（）

A.