第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省大安六中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)y=x+1x的導(dǎo)數(shù)是(

)A.1?1x B.1?1x2 2.函數(shù)f(x)=ex?2x+5的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是A.x+y?6=0 B.x?y?6=0 C.x+y+6=0 D.x?y+6=03.三個(gè)班分別從六個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是(

)A.729 B.18 C.216 D.814.在(a+b)n的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=(

)A.4 B.5 C.6 D.75.2016北京車展期間，某調(diào)研機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù)，不同的安排方法種數(shù)為(

)A.12 B.24 C.36 D.606.用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有(

)A.24個(gè) B.30個(gè) C.40個(gè) D.60個(gè)7.張、王夫婦各帶一個(gè)小孩兒到上海迪士尼樂園游玩，購票后依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外兩個(gè)小孩要排在一起，則這6個(gè)人的入園順序的排法種數(shù)是(

)A.12 B.24 C.36 D.488.有4本不同的書，平均分給甲、乙2人，則不同的分法種數(shù)有(

)A.3 B.6 C.12 D.24二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.對(duì)于(2x?1x2)A.展開式共有6項(xiàng) B.展開式中的常數(shù)項(xiàng)是?240

C.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1 D.展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為6410.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是(

)A.(?1,3)為函數(shù)y=f(x)的遞增區(qū)間

B.(3,5)為函數(shù)y=f(x)的遞減區(qū)間

C.函數(shù)y=f(x)在x=0處取得極大值

D.函數(shù)y=f(x)在x=5處取得極小值11.在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品．從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有(

)A.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有C21C982種

B.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有C21C992種

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x2?2x13.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，若f(x)=f′(π2)x214.某人準(zhǔn)備在某一周的七天中選擇互不相鄰的三天出游玩，則不同的選法的種數(shù)為

．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

(1)求(2x+5)4展開式中的第3項(xiàng)．

(2)用二項(xiàng)式定理證明：1110?1能被16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x3?3ax?1在x=?1處取得極值．

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)當(dāng)x∈[?2,1]時(shí)，求函數(shù)f(x)17.(本小題15分)

袋中有10個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，其中紅球3個(gè)，白球7個(gè).每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.求：

(Ⅰ)第一次摸到紅球的概率；

(Ⅱ)在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率；

(Ⅲ)第二次摸到紅球的概率．18.(本小題17分)

已知(1?2x)7=a0+a1x+a2x2+…+19.(本小題17分)

7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？

(1)老師必須站在中間或兩端；

(2)兩名女生必須相鄰而站；

(3)4名男生互不相鄰；

(4)若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：函數(shù)y=x+1x的導(dǎo)數(shù)是：y′=1?1x2．

故選：B2.【答案】A

【解析】解：f′(x)=ex?2，f′(0)=?1，排除B；

CD選項(xiàng)的切線與y軸交于(0,?6)，而實(shí)際上函數(shù)f(x)與y軸交于(0,6)，可排除．

故選：A．

函數(shù)和切線過(0,6)，故CD排除；求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)小于0即可排除B3.【答案】C

【解析】解：每個(gè)班級(jí)都有6種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同選法的種數(shù)是6×6×6=216．

故選：C．

每個(gè)班級(jí)都有6種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．

本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】C

【解析】【分析】

由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得n的值．

本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：在(a+b)n的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式共有7項(xiàng)，

∴n=6，

故選：5.【答案】D

【解析】解：從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù)，

則不同的安排方法種數(shù)為A53=60．

故選：D．

從5人中選36.【答案】A

【解析】【分析】本題考查排列、組合的綜合運(yùn)用，注意題目中要求是偶數(shù)，要優(yōu)先分析個(gè)位數(shù)字．屬較易題．

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行，首先分析個(gè)位數(shù)字，要求是偶數(shù)，則其個(gè)位數(shù)字為2或4，有2種情況，進(jìn)而分析百位、十位，將剩下的4個(gè)數(shù)字，任取2個(gè)，分配在百位、十位即可，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．【解答】

解：根據(jù)題意，要求是偶數(shù)，則其個(gè)位數(shù)字為2或4，有2種情況，

將剩下的4個(gè)數(shù)字，任取2個(gè)，分配在百位、十位，有A42=12種情況，

由分步計(jì)數(shù)原理，可得共2×12=24個(gè)，

7.【答案】B

【解析】解：分3步進(jìn)行分析，

①、先分派兩位爸爸，必須一首一尾，有A22=2種排法，

②、兩個(gè)小孩一定要排在一起，將其看成一個(gè)元素，考慮其順序有A22=2種排法，

③、將兩個(gè)小孩與兩位媽媽進(jìn)行全排列，有A33=6種排法，

則共有2×2×6=24種排法，

故選：B．

根據(jù)題意，分38.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，將4本不同的書，平均分給甲、乙2人，每人得2本，

分2步進(jìn)行分析：

①，在4本書中任選2本，分給甲，有C42=6種情況，

②，剩下的2本送給乙，有1種情況，

則有6種不同的分法；

故選：B．

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在4本書中任選2本，分給甲，②，剩下的29.【答案】CD

【解析】解：∵二項(xiàng)式的次數(shù)為6，∴展開式共有7項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；

(2x?1x2)6的通項(xiàng)為C6r(2x)6?r?(?1x2)r=(?1)r26?rC6rx6?3r，當(dāng)r=2時(shí)，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(?1)224C62=240，故10.【答案】ABD

【解析】解：由函數(shù)y=f(x)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：

當(dāng)x<?1或3<x<5時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)?1<x<3或x>5時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(?∞,?1)，(3,5)，B正確；

單調(diào)增區(qū)間為(?1,3)，(5,+∞)，A正確；

f(x)在x=?1，5處取得極小值，在x=3處取得極大值，C錯(cuò)誤，D正確．

故選：ABD．

利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，判斷正誤即可．

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與極值問題，也考查了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．11.【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)題意，若抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件產(chǎn)品中有2件合格品，1件不合格品，

則合格品的取法有C982種，不合格品的取法有C21種，

則恰好有1件是不合格品的取法有C21C982種取法；則A正確，B錯(cuò)誤；

若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2種情況，

①抽出的3件產(chǎn)品中有2件合格品，1件不合格品，有C21C982種取法，

②抽出的3件產(chǎn)品中有1件合格品，2件不合格品，有C22C981種取法，

則抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C21C982+C22C981種，C正確；

也可以使用間接法：在100件產(chǎn)品中任選3件，有C1003種取法，

其中全部為合格品的取法有C983種，

則抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C1003?C983種取法，D正確；

故選：ACD．

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，對(duì)于AB，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得合格品的取法以及不合格品的取法，由分步計(jì)數(shù)原理可得A12.【答案】154【解析】【分析】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．

直接根據(jù)二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】

解：(x2?2x)6的展開式的第313.【答案】0

【解析】解：∵f′(x)=2f′(π2)x?cosx，

∴f′(π2)=2f′(π2)???π2，

∴f′(π214.【答案】10

【解析】【分析】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，將不外出游玩的4天看成4個(gè)元素，排成一排，排好后，在其空位中任選3個(gè)，作為外出游玩的3天，由組合數(shù)公式計(jì)算可得答案．【解答】

解：根據(jù)題意，該人有4天不外出游玩，將不外出游玩的4天排成一排，排好后，有5個(gè)空位，在其中任選3個(gè)，作為外出游玩的3天，有C53=10種選法，

15.【答案】600x2；

【解析】(1)已知二項(xiàng)式的展開式中的第3項(xiàng)為T3=C42(2x)2×52=600x2；

(2)證明：∵1110?1=(10+1)10?1

=C100?101016.【答案】解：(1)f′(x)=3x2?3a，

又函數(shù)f(x)在x=?1處取得極值，則f′(?1)=3?3a=0；

即a=1，此時(shí)f(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞增，在(?1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增；

所以當(dāng)a=1時(shí)滿足條件；

所以a=1；

(2)由(1)可知f(x)在[?2,?1]上單調(diào)遞增，[?1,1]單調(diào)遞減；

所以當(dāng)x∈[?2,1]時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是f(?2)，f(1)中的較小者；

f(?2)=?3，f(1)=?3；

故函數(shù)f(x)的最小值為【解析】本題考查極值，函數(shù)最值，屬于基礎(chǔ)題．

(1)f(x)在x=?1處取得極值，則f′(?1)=0可求出a的值；

(2)求出函數(shù)在[?2,1]上的單調(diào)區(qū)間，從而得出函數(shù)的最小值．17.【答案】解：根據(jù)題意，設(shè)事件A：第一次摸到紅球；事件B：第二次摸到紅球，

則事件A?：第一次摸到白球．

(Ⅰ)袋中有10個(gè)球，第一次從10個(gè)球中摸一個(gè)共10種不同的結(jié)果，其中是紅球的結(jié)果共3種，

所以

P(A)=310，

(Ⅱ)由(Ⅰ)的結(jié)論，P(A)=310，前兩次都摸到紅球的概率P(AB)=310×29=115，

則P(B|A)=P(AB)p(A)=29；

(【解析】先設(shè)事件A：第一次摸到紅球；事件B：第二次摸到紅球，

(Ⅰ)由袋中球的總數(shù)和紅球的數(shù)目，結(jié)合古典概型公式計(jì)算可得答案，

(Ⅱ)根據(jù)題意，計(jì)算P(AB)的值，由條件概率公式計(jì)算可得答案，

(Ⅲ)根據(jù)題意，計(jì)算P(AB)、P(A?B)18.【答案】?1；

a0+a2+a4+【解析】(1)令x=1，則a0+a1+...+a7=?1，

(2)令x=?1，則a0?a1+...?a7=37，

則根據(jù)(1)聯(lián)立方程可得a1+a3+a19.【答案】解：(1)老師必須站在中間或兩端，先排老師有A22種，學(xué)生任意排，故有A31A66=2160，

(2)∵兩個(gè)女生必須相鄰而站；

∴把兩個(gè)女生看做一個(gè)元素，則共有6個(gè)元素進(jìn)行全排列，還有女生內(nèi)部的一個(gè)排列共有A66A22=1440．

(3)∵4名男生互不相