【暑期預(yù)習(xí)銜接講義】20252026學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十四講：用頻率估計(jì)概率 （思維導(dǎo)圖+知識(shí)總結(jié)梳理+典例精講+變式訓(xùn)練+高頻精煉）知識(shí)點(diǎn)01：用頻率估計(jì)概率1.頻率：n次重復(fù)試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的次數(shù)m與總次數(shù)n的比值.2.用頻率估計(jì)概率(1)用頻率估計(jì)概率：從長(zhǎng)期實(shí)踐中，人們觀察到，對(duì)一般的隨機(jī)事件，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性.因此，我們可以通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計(jì)它的概率.(2)適用對(duì)象：當(dāng)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，可通過(guò)事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)概率.(3)計(jì)算方法：一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率mn穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)p附近，那么估計(jì)事件A發(fā)生的概率P(A)=p知識(shí)點(diǎn)02：模擬試驗(yàn)1.模擬試驗(yàn)：在用試驗(yàn)法估計(jì)某些事件發(fā)生的概率時(shí)，往往受試驗(yàn)條件的限制，使試驗(yàn)具有一定的難度或所得的結(jié)果誤差較大，或者試驗(yàn)次數(shù)太多，或者試驗(yàn)具有一定的破壞性，導(dǎo)致完成起來(lái)比較困難，這時(shí)，我們可以采用模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)事件發(fā)生的概率.2.模擬試驗(yàn)的兩種方法(1)利用替代物模擬實(shí)際事物進(jìn)行試驗(yàn).(2)利用計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn).利用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一般步驟是：進(jìn)入產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的狀態(tài)→輸入所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的范圍→按鍵得出隨機(jī)數(shù).說(shuō)明：很難找到合適的替代物模擬試驗(yàn)，或者利用替代物模擬試驗(yàn)比較麻煩時(shí)，可選擇(2)中的方法.考點(diǎn)1：求某事件的頻率【典型例題】某人將一枚質(zhì)量均勻的硬幣連續(xù)拋10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列說(shuō)法正確的是（

）A．出現(xiàn)反面的頻率是6 B．出現(xiàn)反面的頻率是4C．出現(xiàn)反面的頻率是0.4 D．出現(xiàn)反面的頻率是0.6【變式訓(xùn)練1】A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】在擲一枚骰子次的試驗(yàn)中，“偶數(shù)朝上”的頻數(shù)為，則“偶數(shù)朝上”的頻率為（

）考點(diǎn)2：由頻率估計(jì)概率【典型例題】山西省農(nóng)業(yè)科學(xué)院高粱研究所在培育高粱晉雜23號(hào)時(shí)，在相同條件下進(jìn)行了發(fā)芽試驗(yàn)，發(fā)芽情況繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，據(jù)此估計(jì)高粱晉雜23號(hào)種子的發(fā)芽概率約為（

）A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85【變式訓(xùn)練1】綠豆在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn)，結(jié)果如表：每批粒數(shù)n400600100020003000發(fā)芽的頻率0.9550.9500.9480.9560.950則綠豆發(fā)芽的概率（精確到0.01）約為（

）A．0.90 B．0.94 C．0.95 D．0.96【變式訓(xùn)練2】從電腦文檔存儲(chǔ)的一篇文章中隨機(jī)抽取若干頁(yè)，統(tǒng)計(jì)其中“的”字出現(xiàn)的頻率約為0.02，由此可以估計(jì)整篇文章中“的”字出現(xiàn)的概率約為（

）A．0.04 B．0.02 C．0.98 D．不能確定考點(diǎn)3：由頻率估計(jì)概率的綜合應(yīng)用【典型例題】在一個(gè)不透明的口袋中裝有5張印有中藥艾片的卡片和若干張印有中藥白果的卡片，它們除卡片上的圖案不同其余均相同，通過(guò)多次摸卡片試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到印有艾片的卡片的頻率穩(wěn)定在0.2附近，則口袋中印有白果的卡片數(shù)約是（

）A．15 B．20 C．25 D．30【變式訓(xùn)練1】A．12 B．18 C．24 D．30【變式訓(xùn)練2】某植物研究院培育的新品植株的成活率約為，若在相同條件下培育50棵同種植株，則成活的植株約為（

）A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵一、單選題1．下列說(shuō)法正確的是（

）A．投一枚骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)是，是隨機(jī)事件C．在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率2．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師與同學(xué)們做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)．不透明袋子中有2個(gè)白球、4個(gè)紅球、5個(gè)黑球和9個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同，從袋子中有放回的隨機(jī)取出一個(gè)球，某種顏色的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則該球的顏色最有可能是（

）A．白色 B．紅色 C．黑色 D．黃色A． B． C． D．4．下列說(shuō)法正確的是（

）A．某彩票的中獎(jiǎng)概率是，那么買(mǎi)100張彩票一定有6張中獎(jiǎng)B．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，概率穩(wěn)定在頻率附近D．試驗(yàn)得到的頻率與概率不可能相等5．袋中有100個(gè)除顏色外完全相同的小球，攪勻后隨機(jī)從中摸出一個(gè)球，記下顏色后放回袋中，記為一次試驗(yàn)，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)從中摸出一個(gè)紅球的頻率穩(wěn)定在，則估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)為（

）A．30 B．25 C．20 D．156．一個(gè)不透明袋中裝有6個(gè)白球，若干個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同．通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在附近，則袋中紅球的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．107．在一個(gè)不透明的箱子里裝有白球和紅球共20個(gè)，這些球除顏色外完全相同．每次從箱子中摸出一個(gè)球，記錄下顏色后再放回，經(jīng)過(guò)多次重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.7左右，則箱子中紅球的個(gè)數(shù)約是（

）A．6 B．9 C．12 D．148．某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下的表格，符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（

）實(shí)驗(yàn)次數(shù)10020050080010002000頻率0.1650.1660.1660.1670.1660.167A．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃B．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”C．拋一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是5D．拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率二、填空題9．一個(gè)不透明的袋子里裝有白球、黃球共35個(gè)，這些球除顏色外都相同，小明通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出黃球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中白球的個(gè)數(shù)最有可能是個(gè)．11．不透明的袋中裝有若干個(gè)質(zhì)地均勻的紅球和4個(gè)白球，搖勻后每次隨機(jī)從袋中摸出一個(gè)球，記下顏色后放回袋中，通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋中紅球的個(gè)數(shù)為．12．在一個(gè)不透明的箱子中裝有10個(gè)紅球和若干個(gè)綠球，這些球除顏色外全一樣，攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回，不斷重復(fù)這一過(guò)程，共摸了400次，發(fā)現(xiàn)有80次摸到紅球，由此可估計(jì)箱子中有個(gè)綠球．13．在一個(gè)不透明的袋子里裝有白球和黃球共20個(gè)，這些球除顏色外完全相同．小黃通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出黃球的頻率穩(wěn)定在左右，估計(jì)袋子中白球的個(gè)數(shù)可能是．14．一水塘里有鯉魚(yú)、鰱魚(yú)共1000尾，一漁民通過(guò)多次捕撈試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，鯉魚(yú)出現(xiàn)的頻率為0.36，則水塘有鯉魚(yú)尾．15．為評(píng)估某外賣(mài)平臺(tái)“準(zhǔn)時(shí)送達(dá)”的服務(wù)質(zhì)量，平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了不同訂單量下“準(zhǔn)時(shí)送達(dá)”的頻率，并繪制了折線統(tǒng)計(jì)圖．隨著訂單數(shù)量持續(xù)增加，“準(zhǔn)時(shí)送達(dá)”的頻率逐漸趨于穩(wěn)定．據(jù)此估計(jì)，該平臺(tái)外賣(mài)“準(zhǔn)時(shí)送達(dá)”的概率約為（結(jié)果精確到0.01）．16．為了估計(jì)拋擲同一枚瓶蓋落地后凸面向上的概率，小明做了大量重復(fù)試驗(yàn)．經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)得到凸面向上的頻率穩(wěn)定在，由此可估計(jì)拋擲瓶蓋落地后凸面向上的概率為．三、解答題17．在一個(gè)不透明的口袋中裝有個(gè)2紅球，1個(gè)白球，這3個(gè)球除顏色外其他完全相同．(1)若從口袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，試求摸到紅球的概率；(2)若再往不透明的口袋中裝入若干個(gè)黑球，它們除顏色外其他完全相同，從中摸出1個(gè)球．通過(guò)多次摸球試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，求口袋中黑球大約有多少個(gè)．18．某校學(xué)生會(huì)組織學(xué)生到社區(qū)服務(wù)，因名額有限，小明和小亮只能去一人，小紅提出一個(gè)方法：在一個(gè)不透明的袋子里，裝有紅、黃、綠三種顏色的球共60個(gè)，它們除顏色外都相同，充分搖勻后，任意摸一球，摸到紅球則小明去，摸到綠球則小亮去．已知其中黃球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的4倍，從袋中摸出一個(gè)球是紅球的概率為．(1)從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回?fù)u勻，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，共摸球30次，其中摸到綠球10次，則這30次摸球中，摸到綠球的頻率為_(kāi)__________；(2)袋子中紅、綠球各有多少個(gè)？(3)你認(rèn)為這個(gè)規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．19．在一個(gè)不透明的袋子中裝有20個(gè)球，這些球除顏色外都相同，其中紅球8個(gè)，白球12個(gè)．(1)將20個(gè)球充分混勻，從袋子中任意摸出一個(gè)球，則摸到紅球的可能性是________；(2)先從袋子中取出m個(gè)紅球，再放入m個(gè)一樣的白球并搖勻，經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，隨機(jī)摸出一個(gè)白球的頻率在附近擺動(dòng)，求m的值．20．在一只不透明的口袋里，裝有若干個(gè)除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．