第2課時(shí)函數(shù)概念的綜合應(yīng)用1.相等函數(shù)條件:(1)_______相同,(2)_________完全一致.結(jié)論:兩個(gè)函數(shù)相等.必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是相等函數(shù)?如何判斷兩個(gè)函數(shù)相等?2.什么是函數(shù)的值域?如何求函數(shù)的值域?定義域?qū)?yīng)關(guān)系【思考】函數(shù)有定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域三要素,為什么判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等,只看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系?提示:由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系可以求出函數(shù)的值域,所以判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等,只看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系即可.2.常見(jiàn)函數(shù)的定義域和值域函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)a>0a<0對(duì)應(yīng)關(guān)系y=ax+b(a≠0)y=(k≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)定義域R{x|x≠0}RR值域R{y|y≠0}{y|y≥}{y|y≤}【思考】求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域時(shí)為什么分a>0和a<0兩種情況?提示:當(dāng)a>0時(shí),二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,觀察圖象得值域?yàn)?/p>

當(dāng)a<0時(shí),二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向下的拋物線,觀察圖象得值域?yàn)椤净A(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)f(x)=與g(x)=x是相等函數(shù). (

)(2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域都相同,則這兩個(gè)函數(shù)相等. (

)(3)函數(shù)f(x)=x2-x與g(t)=t2-t是相等函數(shù). (

)(4)若函數(shù)f(x+1)的定義域是[1,2],則x+1∈[1,2]. (

)提示:(1)×.f(x)=與g(x)=x的定義域不相同,所以不是相等函數(shù).(2)×.例如f(x)=與g(x)=的定義域與值域相同,但這兩個(gè)函數(shù)不相等.(3)√.函數(shù)f(x)=x2-x與g(t)=t2-t的定義域都是R,對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,所以這兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù).(4)×.若函數(shù)f(x+1)的定義域是[1,2],則x∈[1,2],x+1∈[2,3].2.下列函數(shù)是同一函數(shù)的一組是 (

)A.f(x)=,g(x)=x-1B.f(x)=,g(x)=C.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2D.f(x)=|x|,g(x)=【解析】選D.對(duì)于選項(xiàng)A,定義域不同,f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},g(x)的定義域?yàn)镽,不是相同函數(shù);對(duì)于選項(xiàng)B,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,f(x)=,g(x)=;對(duì)于選項(xiàng)C,定義域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同;對(duì)于選項(xiàng)D,定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.3.若函數(shù)y=x2-3x的定義域?yàn)閧-1,0,2,3},則其值域?yàn)?(

)A.{-2,0,4}

B.{-2,0,2,4}C.

D.{y|0≤y≤3}【解析】選A.依題意,當(dāng)x=-1時(shí),y=4;當(dāng)x=0時(shí),y=0;當(dāng)x=2時(shí),y=-2;當(dāng)x=3時(shí),y=0,所以函數(shù)y=x2-3x的值域?yàn)閧-2,0,4}.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一相等函數(shù)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.下列各組函數(shù)中是相等函數(shù)的是 (

)A.y=x+1與y= B.y=x2+1與s=t2+1C.y=2x與y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2與y=x22.下列各組函數(shù)中,表示同一個(gè)函數(shù)的是 (

)A.y=x-1和y=B.y=x0和y=1C.f(x)=(x-1)2和g(x)=(x+1)2D.f(x)=和g(x)=3.下列各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)?為什么?(1)y=,y=()2;(2)y=(3)y=,y=x-3.【解析】1.選B.對(duì)于選項(xiàng)A,前者定義域?yàn)镽,后者定義域?yàn)閧x|x≠1},不是相等函數(shù);對(duì)于選項(xiàng)B,雖然變量不同,但定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同,是相等函數(shù);對(duì)于選項(xiàng)C,雖然對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,但定義域不同,不是相等函數(shù);對(duì)于選項(xiàng)D,雖然定義域相同,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,不是相等函數(shù).2.選D.A中的函數(shù)定義域不同;B中y=x0的x不能取0;C中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,故選D.3.(1)y=的定義域?yàn)镽,y=()2的定義域?yàn)閧x|x≥0},兩者定義域不同,故y=與y=()2不是同一函數(shù).(2)y=的定義域?yàn)閧x|-1≤x≤1},y=的定義域?yàn)閧x|-1≤x≤1},即兩者定義域相同.又因?yàn)閥=所以兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同.故y=與y=是同一函數(shù).(3)因?yàn)閥==|x-3|與y=x-3的定義域相同,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,所以y=與y=x-3不是同一函數(shù).【解題策略】判斷函數(shù)相等的三個(gè)步驟和兩個(gè)注意點(diǎn)(1)判斷函數(shù)是否相等的三個(gè)步驟.(2)兩個(gè)注意點(diǎn).①在化簡(jiǎn)解析式時(shí),必須是等價(jià)變形;②與用哪個(gè)字母表示無(wú)關(guān).【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是 (

)A.y=與y=x+3B.y=-1與y=x-1C.y=x0(x≠0)與y=1(x≠0)D.y=x+1,x∈Z與y=x-1,x∈Z【解析】選C.A中兩函數(shù)定義域不同;B中兩函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同;D中兩函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同.類(lèi)型二求函數(shù)的值域(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.求y=的值域.2.求y=x2-2x+3,x∈[0,3)的值域.3.求y=2x-的值域.4.求y=的值域.【解析】1.y=x2+4x+5=(x+2)2+1≥1,所以y=≥1.2.y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖),可得函數(shù)的值域?yàn)閇2,6).

3.設(shè)t=,則x=t2+1,所以y=2(t2+1)-t=因?yàn)閠≥0,所以y∈.4.y=所以函數(shù)y=的值域?yàn)閧y|y≠3}.【解題策略】求函數(shù)值域的常用方法(1)觀察法:對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù),其值域可通過(guò)觀察法得到.(2)配方法:是求“二次函數(shù)”類(lèi)值域的基本方法.(3)換元法:運(yùn)用新元代換,將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域.對(duì)于f(x)=ax+b+(其中a,b,c,d為常數(shù),且ac≠0)型的函數(shù)常用換元法.(4)分離常數(shù)法:此方法主要是針對(duì)有理分式,即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類(lèi)”的形式,便于求值域.【跟蹤訓(xùn)練】求下列函數(shù)的值域1.y=x+1.2.y=.3.y=+1.4.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+4y2=4x,求S=x2+y2的值域.【解析】1.(觀察法)因?yàn)閤∈R,所以x+1∈R,即函數(shù)值域是R.2.y=因?yàn)閤2≥0?x2+2≥2?0<所以值域?yàn)?3.因?yàn)椤?,所以+1≥1,即所求函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞).4.因?yàn)?y2=4x-x2≥0,所以x2-4x≤0,即0≤x≤4,于是S=x2+y2=x2+函數(shù)圖象是夾在y軸和直線x=4內(nèi)的一段.當(dāng)x=4時(shí),Smax=16;當(dāng)x=0時(shí),Smin=0,所以0≤S≤16.【拓展延伸】對(duì)于形如y=的函數(shù),還可以用什么方法求值域?提示:判別式法.把已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的二次方程,再利用方程有解則判別式非負(fù),從而求得原函數(shù)值域.【拓展訓(xùn)練】求函數(shù)y=的值域.【解析】由函數(shù)的表達(dá)式可知,定義域是R,由y=得yx2-x+y=0,當(dāng)y=0時(shí),x=0,所以y可以為0;當(dāng)y≠0時(shí),Δ=1-4y2≥0,所以-≤y≤(y≠0),綜上可得,所求函數(shù)的值域?yàn)?類(lèi)型三抽象函數(shù)的定義域和函數(shù)值(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)角度1抽象函數(shù)的定義域

【典例】(1)已知函數(shù)f(x)=,求f(x+1)的定義域.(2)已知函數(shù)y=f(2x-3)的定義域是[-2,3],求函數(shù)y=f(x+2)的定義域.【思路導(dǎo)引】(1)通過(guò)計(jì)算f(x+1)可知,解不等式x+1≥0即可.(2)由函數(shù)y=f(2x-3)的定義域,先求函數(shù)y=f(x)的定義域,再求函數(shù)y=f(x+2)的定義域.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=,所以f(x+1)=,由x+1≥0可得,x≥-1,故f(x+1)的定義域是[-1,+∞).(2)因?yàn)閤∈[-2,3],所以2x-3∈[-7,3],即函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-7,3],令-7≤x+2≤3,解得-9≤x≤1,所以函數(shù)y=f(x+2)的定義域?yàn)閇-9,1].角度2抽象函數(shù)的函數(shù)值

【典例】(2020·徐州高一檢測(cè))已知f(x)滿足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,那么f(72)= (

)A.p+q B.3p+2qC.2p+3q D.p3+q2【思路導(dǎo)引】注意72與2,3之間的倍數(shù)關(guān)系,再結(jié)合已知條件即可找到求解思路.【解析】選B.因?yàn)閒(ab)=f(a)+f(b),所以f(9)=f(3)+f(3)=2q,f(8)=f(2)+f(2)+f(2)=3p,所以f(72)=f(8×9)=f(8)+f(9)=3p+2q.【解題策略】1.抽象函數(shù)及其求值(1)未給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù).(2)計(jì)算抽象函數(shù)的函數(shù)值,首先要觀察已知和未知的聯(lián)系,給變量賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式,然后經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算和推理加以解決.2.抽象函數(shù)的定義域函數(shù)y=f(g(x))的定義域由y=f(t)與t=g(x)的定義域共同決定:(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閿?shù)集A,則函數(shù)f(g(x))的定義域由g(x)∈A解出.(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閿?shù)集A,則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)間(x)在A中的值域.【題組訓(xùn)練】1.由下表給出函數(shù)y=f(x),則f(f(1))= (

)A.1 B.2 C.4 D.52.已知函數(shù)y=f(n),滿足f(1)=1,且f(n)=nf(n+1),n∈N+,則f(5)=________.

3.(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1],求f(x2+1)的定義域.(2)已知f()的定義域?yàn)閇0,3],求f(x)的定義域.x12345y45321【解析】1.選B.由題可知,f(1)=4,所以f(f(1))=f(4)=2.2.因?yàn)閒(n)=nf(n+1),n∈N+,所以f(n+1)=.又f(1)=1,所以f(2)==1,f(3)=f(4)=f(5)=答案:

3.(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x2+1)中的x2+1相當(dāng)于函數(shù)f(x)中的x,所以0≤x2+1≤1,所以-1≤x2≤0,所以x=0,所以f(x2+1)的定義域?yàn)閧0}.(2)因?yàn)閒()的定義域?yàn)閇0,3],所以0≤x≤3,所以1≤≤2,所以f(x)的定義域?yàn)閇1,2].【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足f(x+2)=,若f(1)=-5,則f(5)=(

)A.2 B.5 C.-5 D.-【解析】選