【暑期預習銜接講義】20252026學年北師大版九年級數學上冊第十四講：用頻率估計概率 （思維導圖+知識總結梳理+典例精講+變式訓練+高頻精煉）知識點01：用頻率估計概率1.頻率：n次重復試驗中，某事件發(fā)生的次數m與總次數n的比值.2.用頻率估計概率(1)用頻率估計概率：從長期實踐中，人們觀察到，對一般的隨機事件，在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個事件出現的頻率，總在一個固定數的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.因此，我們可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率.(2)適用對象：當試驗的所有可能結果不是有限個，或各種結果發(fā)生的可能性不相等時，可通過事件發(fā)生的頻率來估計概率.(3)計算方法：一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率mn穩(wěn)定于某個常數p附近，那么估計事件A發(fā)生的概率P(A)=p知識點02：模擬試驗1.模擬試驗：在用試驗法估計某些事件發(fā)生的概率時，往往受試驗條件的限制，使試驗具有一定的難度或所得的結果誤差較大，或者試驗次數太多，或者試驗具有一定的破壞性，導致完成起來比較困難，這時，我們可以采用模擬試驗的方法估計事件發(fā)生的概率.2.模擬試驗的兩種方法(1)利用替代物模擬實際事物進行試驗.(2)利用計算器產生的隨機數進行模擬試驗.利用計算器產生隨機數的一般步驟是：進入產生隨機數的狀態(tài)→輸入所產生的隨機數的范圍→按鍵得出隨機數.說明：很難找到合適的替代物模擬試驗，或者利用替代物模擬試驗比較麻煩時，可選擇(2)中的方法.考點1：求某事件的頻率【典型例題】某人將一枚質量均勻的硬幣連續(xù)拋10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列說法正確的是（

）A．出現反面的頻率是6 B．出現反面的頻率是4C．出現反面的頻率是0.4 D．出現反面的頻率是0.6【答案】C【分析】此題主要考查了頻數與頻率，正確掌握頻率的定義是解題關鍵．直接利用頻率求法，頻數÷總數＝頻率，進而得出答案．【詳解】解：∵某人將一枚質量均勻的硬幣連續(xù)拋10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，故選：C【變式訓練1】A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查求頻率，直接利用頻率公式進行計算即可．【詳解】解：一共40個字母，字母“i”出現了4次，故選C．【變式訓練2】在擲一枚骰子次的試驗中，“偶數朝上”的頻數為，則“偶數朝上”的頻率為（

）【答案】C【分析】利用頻率頻數總次數，進行計算即可解答．本題考查了頻數與頻率，熟練掌握頻率頻數總次數是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得：故選：C．考點2：由頻率估計概率【典型例題】山西省農業(yè)科學院高粱研究所在培育高粱晉雜23號時，在相同條件下進行了發(fā)芽試驗，發(fā)芽情況繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，據此估計高粱晉雜23號種子的發(fā)芽概率約為（

）A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85【答案】C【分析】本題考查了利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．由圖可知，成活頻率在0.9上下波動，故可估計這種樹苗成活的頻率穩(wěn)定在0.9，成活的概率估計值為0.9．【詳解】解：這種樹苗成活的頻率穩(wěn)定在0.9，成活的概率估計值約是0.9．故選：C．【變式訓練1】綠豆在相同條件下的發(fā)芽試驗，結果如表：每批粒數n400600100020003000發(fā)芽的頻率0.9550.9500.9480.9560.950則綠豆發(fā)芽的概率（精確到0.01）約為（

）A．0.90 B．0.94 C．0.95 D．0.96【答案】C【分析】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．據此進行求解即可．【詳解】解：由表格可知：綠豆發(fā)芽的概率（精確到0.01）約為0.95；故選C．【變式訓練2】從電腦文檔存儲的一篇文章中隨機抽取若干頁，統(tǒng)計其中“的”字出現的頻率約為0.02，由此可以估計整篇文章中“的”字出現的概率約為（

）A．0.04 B．0.02 C．0.98 D．不能確定【答案】B【分析】本題考查頻率與概率的關系．在大量重復試驗中，頻率會穩(wěn)定于概率附近，因此可以通過隨機抽樣得到的頻率來估計概率．題目中“隨機抽取若干頁”且統(tǒng)計出的頻率為0.02，符合用頻率估計概率的條件．【詳解】解：隨著相同條件下試驗次數的增大，事件出現的頻率逐漸穩(wěn)定，可以用穩(wěn)定時的頻率來估計這一事件發(fā)生的概率，故可估計這本書中“人”字出現的概率是0.02．故選B．考點3：由頻率估計概率的綜合應用【典型例題】在一個不透明的口袋中裝有5張印有中藥艾片的卡片和若干張印有中藥白果的卡片，它們除卡片上的圖案不同其余均相同，通過多次摸卡片試驗后發(fā)現，摸到印有艾片的卡片的頻率穩(wěn)定在0.2附近，則口袋中印有白果的卡片數約是（

）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【分析】此題主要考查了利用頻率估計概率，由摸到印有艾片的卡片的頻率穩(wěn)定在0.2附近得到摸到印有艾片的卡片的概率為，求出口袋中裝有卡片約是25張，即可求出答案．【詳解】解：∵摸到印有艾片的卡片的頻率穩(wěn)定在0.2附近，口袋中裝有5張印有中藥艾片的卡片，即口袋中裝有卡片約是25張，故選：B．【變式訓練1】A．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【分析】本題主要考查了頻數、頻率及總數間的關系，熟練掌握三者間的關系是解題的關鍵．用球的總個數分別乘以摸到白球頻率求出其對應個數，繼而可得答案．即估計口袋中白球的個數是18個．故選：B【變式訓練2】某植物研究院培育的新品植株的成活率約為，若在相同條件下培育50棵同種植株，則成活的植株約為（

）A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵【答案】A【分析】本題主要考查百分率的知識．利用“總數×成活率=成活棵樹”計算求解．故選：A．一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．投一枚骰子，朝上一面的點數是，是隨機事件C．在大量重復試驗中，隨著試驗次數的增加，隨機事件發(fā)生的頻率一般會越來越接近概率【答案】C【詳解】本題考查了隨機事件、概率的意義及頻率與概率的關系，根據各選項的描述，結合相關概念逐一判斷即可，掌握相關概念是解題的關鍵．【分析】解：、骰子最大點數為，出現點是不可能事件，原選項說法錯誤；、根據大數定律，大量重復試驗中事件發(fā)生的頻率逐漸接近其概率，原選項說法正確；故選：．2．數學課上，張老師與同學們做“用頻率估計概率”的試驗．不透明袋子中有2個白球、4個紅球、5個黑球和9個黃球，這些球除顏色外完全相同，從袋子中有放回的隨機取出一個球，某種顏色的球出現的頻率如圖所示，則該球的顏色最有可能是（

）A．白色 B．紅色 C．黑色 D．黃色【答案】B【分析】本題考查了頻率估計概率，簡單地概率公式應用，熟練掌握公式，理解頻率估計概率意義是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意，得不透明袋子中有2個白球、4個紅球、5個黑球和9個黃球，這些球除顏色外無其他差別，即則該球的顏色最有可能是紅球故選：BA． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查用頻率估算概率，涉及幾何概率模型等知識，先由獲得優(yōu)勝獎頻率的折線統(tǒng)計圖，如圖所示，估算出獲得優(yōu)勝獎的概率是，再由幾何概率模型求概率的方法即可得到答案，熟記概率基礎知識是解決問題的關鍵．【詳解】解：由獲得優(yōu)勝獎頻率的折線統(tǒng)計圖，可得獲得優(yōu)勝獎的頻率穩(wěn)定在附近，即獲得優(yōu)勝獎的概率是，故選：C．4．下列說法正確的是（

）A．某彩票的中獎概率是，那么買100張彩票一定有6張中獎B．當試驗次數很大時，概率穩(wěn)定在頻率附近D．試驗得到的頻率與概率不可能相等【答案】C【分析】本題主要考查了概率與頻率的定義及關系．根據概率與頻率的定義及關系，逐一分析選項．概率是理論值，頻率是試驗結果，當試驗次數足夠多時，頻率會接近概率，即可解答．【詳解】解：A選項：中獎概率并不意味著買100張必中6張，概率僅表示可能性，實際結果可能波動，故本選項錯誤，不符合題意；B選項：當試驗次數大時，頻率會穩(wěn)定在概率附近，而非概率穩(wěn)定在頻率附近，故本選項錯誤，不符合題意；D選項：試驗頻率與概率可能相等，例如多次試驗后頻率可能恰好等于理論概率，故本選項錯誤，不符合題意；故選C．5．袋中有100個除顏色外完全相同的小球，攪勻后隨機從中摸出一個球，記下顏色后放回袋中，記為一次試驗，通過多次摸球試驗后發(fā)現從中摸出一個紅球的頻率穩(wěn)定在，則估計袋中紅球的個數為（

）A．30 B．25 C．20 D．15【答案】A【分析】本題考查利用頻率估計概率，解題的關鍵是理解：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用摸到紅球的頻率乘以100即可得出紅球的個數．【詳解】解：∵通過多次摸球試驗后發(fā)現從中摸出一個紅球的頻率穩(wěn)定在，口袋中有個除顏色外完全相同的小球，故選：A．6．一個不透明袋中裝有6個白球，若干個紅球，這些球除顏色外完全相同．通過多次摸球試驗后發(fā)現，摸到白球的頻率穩(wěn)定在附近，則袋中紅球的個數是（

）A．4 B．5 C．6 D．10【答案】A因此紅球有4個．故選：A．7．在一個不透明的箱子里裝有白球和紅球共20個，這些球除顏色外完全相同．每次從箱子中摸出一個球，記錄下顏色后再放回，經過多次重復試驗，發(fā)現摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.7左右，則箱子中紅球的個數約是（

）A．6 B．9 C．12 D．14【答案】D【分析】本題考查利用頻率估計概率，掌握用頻率的集中趨勢來估計概率是解題的關鍵．根據利用頻率估計概率可知摸到紅球的概率為0.7，從而可以計算出紅球的個數．【詳解】解：利用頻率估計概率可知摸到紅球的概率為0.7，故選：D．8．某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結果出現的頻率，繪制了如下的表格，符合這一結果的實驗最有可能的是（

）實驗次數10020050080010002000頻率0.1650.1660.1660.1670.1660.167A．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃B．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”C．拋一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是5D．拋一枚硬幣，出現反面的概率【答案】C【分析】此題考查了用頻率估計概率，根據表格數據，隨著實驗次數的增加，頻率穩(wěn)定在0.167左右，對應的概率約為．需逐一驗證各選項的理論概率，選擇最接近的選項．∴選項C的理論概率與實驗頻率最接近．故選：C．二、填空題9．一個不透明的袋子里裝有白球、黃球共35個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發(fā)現，摸出黃球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中白球的個數最有可能是個．【答案】14【分析】本題考查利用頻率估計概率，明確題意，利用概率公式計算出白球的個數是解答本題的關鍵．根據白球出現的頻率和球的總數，可以計算出白球的個數．故答案為：14．【答案】【分析】本題考查了根據頻率求數量．用100乘以黃色球的頻率即可．故答案為：．11．不透明的袋中裝有若干個質地均勻的紅球和4個白球，搖勻后每次隨機從袋中摸出一個球，記下顏色后放回袋中，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋中紅球的個數為．【答案】6【分析】本題考查利用頻率估算概率，利用概率求數量，先根據摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，得到摸到紅球的概率為，設紅球的個數為個，根據概率公式，列出方程進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：摸到紅球的概率為，設紅球的個數為個，故答案為：6．12．在一個不透明的箱子中裝有10個紅球和若干個綠球，這些球除顏色外全一樣，攪勻后從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回，不斷重復這一過程，共摸了400次，發(fā)現有80次摸到紅球，由此可估計箱子中有個綠球．【答案】【分析】本題考查利用頻率估計概率，概率公式求概率，解題的關鍵是要計算出紅球所占的比例．大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率．先根據頻率求出摸到紅球的概率，再設綠球個數為個，根據紅球的概率,即可求解．【詳解】解：摸了次，發(fā)現有次摸到紅球，設綠球個數為個，估計箱子中有個綠球．故答案為：．13．在一個不透明的袋子里裝有白球和黃球共20個，這些球除顏色外完全相同．小黃通過多次試驗發(fā)現，摸出黃球的頻率穩(wěn)定在左右，估計袋子中白球的個數可能是．【答案】【分析】本題考查利用頻率估計概率，明確題意，利用概率公式計算出黃球的個數是解答本題的關鍵．根據黃球出現的頻率和球的總數，求出黃球的個數，再計算出白球的個數即可．【詳解】解：∵摸出黃球的頻率穩(wěn)定在左右，∴摸出黃球的概率為，故答案是：．14．一水塘里有鯉魚、鰱魚共1000尾，一漁民通過多次捕撈試驗后發(fā)現，鯉魚出現的頻率為0.36，則水塘有鯉魚尾．【答案】360【分析】此題主要考查了利用頻率估計概率，首先通過實驗得到事件的頻率，然后即可估計事件的概率．由于水塘里有鯉魚、鰱魚共1000尾，而鯉魚出現的頻率為0.36，然后乘以總數即可得到水塘有鯉魚有多少尾．【詳解】解：∵水塘約有鯉魚、鰱魚共1000尾，多次捕撈試驗后發(fā)現，鯉魚出現的頻率為0.36，∴鯉魚出現的概率為0.36，故答案為：360．15．為評估某外賣平臺“準時送達”的服務質量，平臺統(tǒng)計了不同訂單量下“準時送達”的頻率，并繪制了折線統(tǒng)計圖．隨著訂單數量持續(xù)增加，“準時送達”的頻率逐漸趨于穩(wěn)定．據此估計，該平臺外賣“準時送達”的概率約為（結果精確到0.01）．【答案】【分析】本題主要考查了利用頻率估計概率，解題的關鍵是結合圖形讀出概率．本題考查用概率估計頻率，根據大量重復實驗頻率逐漸穩(wěn)定的數值即事件發(fā)生的概率解題即可．【詳解】解：由題圖可看出，該平臺外賣“準時送達”的概率在附近擺動，并逐漸穩(wěn)定于，∴概率的估計值是.故答案為：．16．為了估計拋擲同一枚瓶蓋落地后凸面向上的概率，小明做了大量重復試驗．經過統(tǒng)計得到凸面向上的頻率穩(wěn)定在，由此可估計拋擲瓶蓋落地后凸面向上的概率為．【答案】【分析】本題考查了利用頻率估計概率，理解在大量重復試驗的情況下，事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定，此時該頻率可近似看作事件發(fā)生的概率是解題的關鍵．根據在大量重復試驗中，某一事件發(fā)生的頻率近似等于這一事件發(fā)生的概率，即可解答．【詳解】解：∵小明做了大量重復試驗．經過統(tǒng)計得到凸面向上的頻率穩(wěn)定在，∴可估計拋擲瓶蓋落地后凸面向上的概率為．故答案為：三、解答題17．在一個不透明的口袋中裝有個2紅球，1個白球，這3個球除顏色外其他完全相同．(1)若從口袋中隨機摸出1個球，試求摸到紅球的概率；(2)若再往不透明的口袋中裝入若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，從中摸出1個球．通過多次摸球試驗發(fā)現，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，求口袋中黑球大約有多少個．【答案】(1)(2)5個【分析】本題考查概率的計算及利用頻率估計概率，解題關鍵是運用概率公式通過已知條件列方程求解．（1）先確定口袋中球的總數，再明確紅球的個數，最后根據古典概型概率公式計算出摸到紅球的概率．（2）解：設口袋中黑球約有x個，故口袋中黑球大約有5個．18．某校學生會組織學生到社區(qū)服務，因名額有限，小明和小亮只能去一人，小紅提出一個方法：在一個不透明的袋子里，裝有紅、黃、綠三種顏色的球共60個，它們除顏色外都相同，充分搖勻后，任意摸一球，摸到紅球則小明去，摸到綠球則小亮去．已知其中黃球個數是綠球個數的4倍，從袋中摸出一個球是紅球的概率為．(1)從袋中隨機摸出一個球，記下顏色后放回搖勻，不斷重復這個過程，共摸球30次，其中摸到綠球10次，則這30次摸球中，摸到綠球的頻率為___________；(2)袋子中紅、綠球各有多少個？(3)你認為這個規(guī)則公平嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)紅球有20個，綠球有8個．(3)不公平，小明去可能性大．（1）根據頻率是指每個對象出現的次數與總次數的比值求解即可；（2）先根據概率公式求出紅球個數，再設綠球有個，則黃球有個，建立方程求解即可；（3）直接根據概率公式求出摸到綠球的概率，比較摸到紅球和摸到綠球概率大小即可得出結論．故答案為.設綠球有個，則黃球有個，紅球有20個，綠球有8個．（3）解：從袋中隨機摸出一球，共有60種等可能的結果，其中摸出綠球的結果有8種，∴這個規(guī)則不公平，小明去可能性大．19．在一個不透明的袋子中裝有20個球，這些球除顏色外都相同，其中紅球8個，白球12個．(1)將20個球充分混勻，從袋子中任意摸出一個球，則摸到紅球的可能性是________；(2)先從袋子中取出m個紅球，