橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)儲(chǔ)備】1．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(2a＞|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn).2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；2a＜|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大；焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大.3.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形題型一橢圓的1．設(shè)P(x,y)滿足：x2+(y+2)2+A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不存在【答案】B【分析】根據(jù)橢圓定義分析判斷.【詳解】∵x2+(y+2)2+x2∴P點(diǎn)的軌跡為橢圓.故選：B.2．已知點(diǎn)A?1,0，動(dòng)點(diǎn)Px,y滿足PA+PB=2，且動(dòng)點(diǎn)PA．0,0 B．1,0 C．0,1 D．1,1【答案】AC【分析】由橢圓定義可知AB<2，則點(diǎn)B在以A為圓心2【詳解】由已知可得PA+即點(diǎn)B在以A為圓心2為半徑的圓內(nèi)，且點(diǎn)A，B不重合，即點(diǎn)B在圓x+12由0,0，0,1在圓內(nèi)，1,0在圓上，1,1在圓外，可知AC選項(xiàng)正確；故選：AC.3．分別寫出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程：(1)點(diǎn)P到點(diǎn)F1?3,0、(2)點(diǎn)P到點(diǎn)F10,?2、(3)點(diǎn)P到點(diǎn)F1?4,0、【答案】(1)x(2)y(3)y=0(?4≤x≤4)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可求出結(jié)果；（2）根據(jù)橢圓的定義可求出結(jié)果；（2）|PF1|+|PF2【詳解】（1）因?yàn)閨PF所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，這里2a=10，2c=6，即a=5，c=3，所以b2所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2（2）因?yàn)閨PF所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，這里2a=12，2c=4，即a=6，c=2，所以b2所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2（3）因?yàn)閨PF所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F24．平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x，y滿足方程x+32+y2A．x224+y221=1 B．【答案】B【分析】根據(jù)題目所給條件的幾何意義，結(jié)合橢圓的定義直接得出點(diǎn)P的軌跡即可.【詳解】由兩點(diǎn)間距離公式，條件(x+3)2+y2+(x?3又|F1F2|=23<2可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2由a=6，c=3，根據(jù)b2得到軌跡方程為：x2故選：B5．以F1?1,0，F(xiàn)21,0為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A．x23+y22=1 B．【答案】B【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上，c=1，且過點(diǎn)1,32，用排除法可得.也可待定系數(shù)法求解，或根據(jù)橢圓定義求2【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以C不正確；又因?yàn)閏=1，故排除D；將1,32代入x2故選：B6．已知△ABC的周長為20，且頂點(diǎn)B(0,?4),C(0,4)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）A．x236+y220=1(x≠0) B．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件及橢圓定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】錯(cuò)解：∵△ABC的周長為20，頂點(diǎn)B(0,?4),C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是x故選：D.錯(cuò)因：忽略了A、B、C三點(diǎn)不共線這一隱含條件.正解：∵△ABC的周長為20，頂點(diǎn)B(0,?4),C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是x故選：B.7．已知圓C1:x+12+y2=25，圓C2:x?1A．x23+C．x29+【答案】D【分析】畫圖，分析出C1M+C2【詳解】如圖，由題意得：C1M=5?MQ，所以C1由橢圓定義可知：動(dòng)圓圓心M的軌跡為以C1,C則2a=6,c=1，解得：a=3,b故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為x2故選：D8．已知B(?3，0)是圓A：x?32+y2=16內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)C是圓A上任意一點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與AC【答案】x【分析】利用橢圓的定義可得軌跡方程.【詳解】連接BD，由題意，BD=CD，則由橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為±3故短半軸長為1，故軌跡方程為：x2故答案為：x29．已知△ABC的底邊長為12，其中點(diǎn)B(?6,0)，C(6,0)，其他兩邊AB，AC上的中線之和為30，則三角形重心G的軌跡方程為．【答案】x2100+【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)以及橢圓的定義可求得軌跡方程.【詳解】設(shè)邊AB，AC的中點(diǎn)分別為D，E，故|CD|+|BE|=30，所以|CG|+|BG|=20>12=|BC|，所以點(diǎn)G的軌跡為橢圓，且其兩個(gè)焦點(diǎn)分別為點(diǎn)B和C，所以軌跡方程為x2100+故答案為：x2100+10．已知曲線C:x2+y2=16，從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足（若P在x軸上，PA．x216+y24=1 B．【答案】A【分析】利用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.【詳解】由題意，設(shè)Px0,y0因M是線段PP′又因?yàn)辄c(diǎn)Px0,y0故x2+(2y)故選：A題型二：橢圓中的焦點(diǎn)三角形11．如果橢圓x2100+y236=1上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)FA．6 B．12 C．14 D．26【答案】C【分析】利用橢圓方程，求出長半軸的長，通過橢圓的定義求解點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2【詳解】∵x∴P故選：C.12．橢圓x23+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2的直線交橢圓于【答案】4【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義求解即可.【詳解】由x23+y2因?yàn)檫^F2的直線交橢圓于A，B所以△AF1==2a+2a=4a=43故答案為：413．該橢圓C:x236+y29=1的左右焦點(diǎn)為F1,F【答案】9【分析】解法一：由橢圓方程求出a,b,c，設(shè)PF1=m,PF【詳解】解法一：由C:x236+y設(shè)PFm+n=2a=12m由m+n=12，得m2所以108+2mn=144，得mn=18，所以△F1解法二：由C:x236因?yàn)椤纤杂山裹c(diǎn)三角形的面積公式得b2故答案為：914．已知F1，F(xiàn)2為橢圓x216+y212=1A．152 B．6 C．8 D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義可得PF1=3，P【詳解】由x216+y2即PF1+又3P則PF1=3所以△PF1F所以S△P故選：B.15．已知F1，F(xiàn)2是橢圓x225+y2A．254 B．9 C．16 【答案】D【分析】利用橢圓的定義及基本不等式可求答案.【詳解】解：由題意，PF1+∴10≥2PF1∴P故選：D．16．已知F是橢圓x29+y25=1的左焦點(diǎn)，P【答案】6+5/【分析】由方程得出橢圓的右焦點(diǎn)為F′(2,0)，根據(jù)橢圓的定義得出|PA|+|PF|=6+|PA|?|PF【詳解】橢圓x29+y25=1如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為F′則|PF|+|PF∴|PA|+|PF|=|PA|+6?|PF由圖結(jié)合三角形兩邊之差小于第三邊，則||PA|?|PF則當(dāng)點(diǎn)P在射線AF′