反比例函數(shù)專題強化訓(xùn)練習(xí)題集核心知識點全覆蓋·解題技巧深度練一、前言反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，既是代數(shù)與幾何的橋梁，也是中考的重點考查對象（占比約8%~12%）。其知識點涵蓋定義、圖像、性質(zhì)、k的幾何意義、與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用等，題型靈活多變，既考查基礎(chǔ)概念，也注重邏輯推理與實際建模能力。本習(xí)題集以“夯實基礎(chǔ)—深化性質(zhì)—綜合應(yīng)用—拓展提升”為梯度，覆蓋反比例函數(shù)所有考點，旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)鞏固知識點、突破易錯點、提升解題能力。每道題均附詳細解析，強調(diào)方法指導(dǎo)與思維訓(xùn)練，適合初三學(xué)生一輪復(fù)習(xí)或?qū)ｎ}強化使用。二、知識梳理（核心考點清單）1.定義形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)，\(k\neq0\)）的函數(shù)，稱為反比例函數(shù)。自變量\(x\)的取值范圍：\(x\neq0\)；函數(shù)值\(y\)的取值范圍：\(y\neq0\)。2.圖像與性質(zhì)圖像：雙曲線（關(guān)于原點對稱，關(guān)于直線\(y=x\)、\(y=-x\)對稱）；性質(zhì)：當(dāng)\(k>0\)時，雙曲線位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)\(y\)隨\(x\)的增大而減??；當(dāng)\(k<0\)時，雙曲線位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)\(y\)隨\(x\)的增大而增大。3.\(k\)的幾何意義過反比例函數(shù)圖像上任意一點\(P(x,y)\)作\(x\)軸、\(y\)軸的垂線，垂足分別為\(A\)、\(B\)，則：矩形\(OAPB\)的面積\(=|xy|=|k|\)；三角形\(OAP\)（或\(OBP\)）的面積\(=\frac{1}{2}|k|\)。4.與一次函數(shù)的綜合聯(lián)立\(y=\frac{k}{x}\)與\(y=ax+b\)，消去\(y\)得：\(ax^2+bx-k=0\)，判別式\(\Delta=b^2+4ak\)：\(\Delta>0\)：兩函數(shù)圖像有兩個交點；\(\Delta=0\)：有一個交點（相切）；\(\Delta<0\)：無交點。5.實際應(yīng)用常見反比例關(guān)系：路程一定時，速度與時間成反比（\(v=\frac{s}{t}\)）；面積一定時，長與寬成反比（\(a=\frac{S}\)）；工作量一定時，工作效率與時間成反比（\(\eta=\frac{W}{t}\)）。三、基礎(chǔ)鞏固篇（易題·覆蓋核心概念）習(xí)題1.下列函數(shù)中，屬于反比例函數(shù)的是（）A.\(y=2x+1\)B.\(y=2x^2\)C.\(y=\frac{1}{x-1}\)D.\(y=\frac{3}{x}\)2.若函數(shù)\(y=(m-2)x^{m^2-5}\)是反比例函數(shù)，則\(m=\)（）A.2B.-2C.±2D.33.反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)經(jīng)過點\((3,-2)\)，則\(k=\)（）A.-6B.6C.\(-\frac{2}{3}\)D.\(\frac{2}{3}\)4.函數(shù)\(y=\frac{5}{2x+3}\)的自變量取值范圍是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq-\frac{3}{2}\)C.\(x>-\frac{3}{2}\)D.\(x<-\frac{3}{2}\)5.反比例函數(shù)\(y=\frac{4}{x}\)的圖像上有一點\(P(a,b)\)，則\(ab=\)（）A.4B.-4C.\(\frac{1}{4}\)D.\(-\frac{1}{4}\)解析1.答案：D反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)），A為一次函數(shù)，B為二次函數(shù)，C為分式函數(shù)（分母為\(x-1\)，非\(x\)），故D正確。2.答案：B反比例函數(shù)需滿足：\(m^2-5=-1\)（指數(shù)為-1）且\(m-2\neq0\)（\(k\neq0\)）。解得\(m^2=4\)，\(m=±2\)，排除\(m=2\)，故\(m=-2\)。3.答案：A代入點\((3,-2)\)得：\(-2=\frac{k}{3}\)，解得\(k=-6\)。4.答案：B分母不能為0，故\(2x+3\neq0\)，解得\(x\neq-\frac{3}{2}\)。5.答案：A點\(P(a,b)\)在\(y=\frac{4}{x}\)上，故\(b=\frac{4}{a}\)，得\(ab=4\)（\(k\)的幾何意義的基礎(chǔ)形式）。四、性質(zhì)深化篇（中等題·聚焦圖像與k的意義）習(xí)題1.若反比例函數(shù)\(y=\frac{k-3}{x}\)的圖像在第二、四象限，則\(k\)的取值范圍是（）A.\(k>3\)B.\(k<3\)C.\(k>0\)D.\(k<0\)2.已知點\(A(-1,y_1)\)、\(B(2,y_2)\)、\(C(3,y_3)\)在\(y=\frac{6}{x}\)的圖像上，則\(y_1,y_2,y_3\)的大小關(guān)系是（）A.\(y_1<y_2<y_3\)B.\(y_1<y_3<y_2\)C.\(y_2<y_3<y_1\)D.\(y_3<y_2<y_1\)3.過反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)圖像上一點\(P\)作\(x\)軸的垂線，垂足為\(Q\)，若\(\triangleOPQ\)的面積為4，則\(k=\)（）A.8B.-8C.±8D.±44.反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像關(guān)于原點對稱，若點\((2,-3)\)在其圖像上，則下列點也在圖像上的是（）A.\((2,3)\)B.\((-2,-3)\)C.\((-2,3)\)D.\((3,-2)\)解析1.答案：B圖像在第二、四象限，說明\(k-3<0\)（\(k<0\)時雙曲線在二、四象限），故\(k<3\)。2.答案：B代入得：\(y_1=\frac{6}{-1}=-6\)，\(y_2=\frac{6}{2}=3\)，\(y_3=\frac{6}{3}=2\)，故\(y_1=-6<y_3=2<y_2=3\)。3.答案：C\(\triangleOPQ\)的面積\(=\frac{1}{2}|k|=4\)，解得\(|k|=8\)，故\(k=±8\)（面積為絕對值，\(k\)可正可負）。4.答案：C關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)為\((-x,-y)\)，點\((2,-3)\)關(guān)于原點對稱的點為\((-2,3)\)，故C正確。五、綜合應(yīng)用篇（中難題·結(jié)合一次函數(shù)與幾何）習(xí)題1.已知一次函數(shù)\(y=ax+b\)與反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)交于點\(A(1,4)\)和\(B(-2,m)\)，求：（1）\(k\)、\(m\)的值；（2）一次函數(shù)的表達式；（3）\(\triangleAOB\)的面積。2.如圖，反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像經(jīng)過點\(A(2,3)\)，過點\(A\)作\(AB\perpx\)軸于\(B\)，作\(AC\perpy\)軸于\(C\)，求矩形\(ABOC\)的面積。3.已知反比例函數(shù)\(y=\frac{8}{x}\)與一次函數(shù)\(y=mx+2\)的圖像有兩個交點，求\(m\)的取值范圍。解析1.解答（1）點\(A(1,4)\)在\(y=\frac{k}{x}\)上，故\(k=1×4=4\)；點\(B(-2,m)\)在\(y=\frac{4}{x}\)上，故\(m=\frac{4}{-2}=-2\)。（2）一次函數(shù)過\(A(1,4)\)、\(B(-2,-2)\)，代入得方程組：\(\begin{cases}a+b=4\\-2a+b=-2\end{cases}\)，解得\(a=2\)，\(b=2\)，故一次函數(shù)表達式為\(y=2x+2\)。（3）方法一（坐標(biāo)公式法）：\(\triangleAOB\)的面積\(=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|=\frac{1}{2}|1×(-2)-(-2)×4|=\frac{1}{2}|-2+8|=3\)。方法二（分割法）：一次函數(shù)\(y=2x+2\)與\(y\)軸交于點\(C(0,2)\)，則\(S_{\triangleAOB}=S_{\triangleAOC}+S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×2=1+2=3\)。2.解答矩形\(ABOC\)的面積\(=|k|\)（\(k=2×3=6\)），故面積為6。注：直接計算邊長也可：\(AB=3\)（\(y\)坐標(biāo)），\(AC=2\)（\(x\)坐標(biāo)），面積\(=3×2=6\)。3.解答聯(lián)立\(y=\frac{8}{x}\)與\(y=mx+2\)，得\(mx+2=\frac{8}{x}\)，整理得\(mx^2+2x-8=0\)。有兩個交點需滿足：\(m≠0\)（反比例函數(shù)\(k≠0\)）且\(\Delta>0\)（判別式大于0）。\(\Delta=2^2-4×m×(-8)=4+32m>0\)，解得\(m>-\frac{1}{8}\)。故\(m\)的取值范圍是\(m>-\frac{1}{8}\)且\(m≠0\)。六、拓展提升篇（難題·考查綜合思維）習(xí)題1.已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像上有兩點\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，若\(x_1<0<x_2\)且\(y_1>y_2\)，求\(k\)的取值范圍。2.如圖，反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)與直線\(y=-x+4\)交于\(A\)、\(B\)兩點，若\(\triangleAOB\)的面積為6，求\(k\)的值。3.某印刷廠印刷一批書籍，若每天印刷\(x\)冊，需\(y\)天完成。已知當(dāng)\(x=500\)時，\(y=30\)。若每天多印刷100冊，求提前多少天完成。解析1.解答\(x_1<0\)，點\(A\)在第二或第三象限；\(x_2>0\)，點\(B\)在第一或第四象限。若\(k>0\)：點\(A\)在第三象限（\(y_1<0\)），點\(B\)在第一象限（\(y_2>0\)），此時\(y_1<y_2\)，不符合條件；若\(k<0\)：點\(A\)在第二象限（\(y_1>0\)），點\(B\)在第四象限（\(y_2<0\)），此時\(y_1>y_2\)，符合條件。故\(k<0\)。2.解答聯(lián)立\(y=\frac{k}{x}\)與\(y=-x+4\)，得\(\frac{k}{x}=-x+4\)，整理得\(x^2-4x+k=0\)。設(shè)\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=4\)（韋達定理），\(x_1x_2=k\)。直線\(y=-x+4\)與\(y\)軸交于點\(C(0,4)\)，故\(\triangleAOB\)的面積\(=S_{\triangleAOC}+S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}×OC×|x_1|+\frac{1}{2}×OC×|x_2|=\frac{1}{2}×4×(|x_1|+|x_2|)=2(|x_1|+|x_2|)\)。若\(k<0\)，則\(x_1x_2<0\)（\(x_1\)、\(x_2\)一正一負），故\(|x_1|+|x_2|=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16-4k}\)。由面積為6得：\(2\sqrt{16-4k}=6\)，解得\(\sqrt{16-4k}=3\)，平方得\(16-4k=9\)，故\(k=\frac{7}{4}\)？修正：若\(k<0\)，\(x_1x_2=k<0\)，則\(|x_1|+|x_2|=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16-4k}\)，面積\(=2×\sqrt{16-4k}=6\)，解得\(\sqrt{16-4k}=3\)，\(16-4k=9\)，\(k=\frac{7}{4}\)？不對，因為\(k<0\)，所以這里可能出錯了。正確方法：用坐標(biāo)公式\(S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|\)，代入\(y_1=-x_1+4\)、\(y_2=-x_2+4\)，得：\(S=\frac{1}{2}|x_1(-x_2+4)-x_2(-x_1+4)|=\frac{1}{2}|-x_1x_2+4x_1+x_1x_2-4x_2|=\frac{1}{2}|4x_1-4x_2|=2|x_1-x_2|\)。由\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16-4k}\)，故\(S=2\sqrt{16-4k}=6\)，解得\(\sqrt{16-4k}=3\)，\(16-4k=9\)，\(k=\frac{7}{4}\)。但此時\(k=\frac{7}{4}>0\)，雙曲線在第一、三象限，直線\(y=-x+4\)與雙曲線交于第一象限的兩點，\(x_1\)、\(x_2\)都為正，故\(|x_1|+|x_2|=x_1+x_2=4\)，面積\(=2×4=8\)，不符合條件。哦，這里矛盾了，說明之前的分割法有誤。正確分割：當(dāng)\(k>0\)時，雙曲線在第一、三象限，直線\(y=-x+4\)與雙曲線交于第一象限的兩點，此時\(x_1>0\)、\(x_2>0\)，故\(\triangleAOB\)的面積\(=S_{\triangleAOC}-S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}×OC×x_1-\frac{1}{2}×OC×x_2=\frac{1}{2}×4×(x_1-x_2)=2(x_1-x_2)\)（假設(shè)\(x_1>x_2\)），而\(x_1+x_2=4\)，\(x_1x_2=k\)，故\(x_1-x_2=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{16-4k}\)，面積\(=2\sqrt{16-4k}=6\)，解得\(k=\frac{7}{4}\)，此時\(k>0\)，符合條件。當(dāng)\(k<0\)時，雙曲線在第二、四象限，直線與雙曲線交于第二、四象限的兩點，此時\(x_1<0\)、\(x_2>0\)，\(\triangleAOB\)的面積