第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1微分方程2.2傳遞函數(shù)2.3結(jié)構(gòu)圖2.4信號(hào)流圖2.5MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

12.1.1系統(tǒng)微分方程的建立2.1微分方程列寫微分方程的一般步驟是：１）根據(jù)實(shí)際工作情況，確定系統(tǒng)或各元器件的輸入變量和輸出變量。

２）從輸入端開始，按照信號(hào)傳遞的順序和各變量所遵循的物理規(guī)律，列出微分方程組。

３）消去中間變量，得到描述系統(tǒng)輸出量與輸入量（包括擾動(dòng)量）關(guān)系的微分方程。

４）標(biāo)準(zhǔn)化。即將微分方程中與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程的左端，與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程的右端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。2例２-1求圖2-1所示RLC電路網(wǎng)絡(luò)的微分方程。為輸入量，為輸出量。

解:設(shè)回路電流為ｉ(ｔ)，根據(jù)基爾霍夫定律有消去中間變量ｉ（ｔ），可得

ＲＬＣ無源網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程。3

例２-２試求圖２-２所示彈簧-質(zhì)量-阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。設(shè)外作用力Ｆ為輸入量，位移x為輸出量。由牛頓第二定律有整理后得：也是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程。

解:

在外力的作用下，質(zhì)量為m的物體還受到兩個(gè)力：彈簧的恢復(fù)力阻尼器的阻尼力，與x方向相反，與x方向相反42.1.2非線性微分方程的線性化

將非線性函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）在工作點(diǎn)（ｘ０，ｙ０）處展開成泰勒級(jí)數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)只在ｘ０附近很小的鄰域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即（ｘ-ｘ０）很小，則可忽略二次及二次以上的高次項(xiàng)，得到一個(gè)線性方程式：線性化增量方程：非線性特性線性化的方法，也稱為小偏差法。5

若發(fā)電機(jī)工作在曲線上的Ａ點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的輸出電動(dòng)勢(shì)和勵(lì)磁電流分別為ｅ０和ｉ０。但當(dāng)勵(lì)磁電流只在工作點(diǎn)Ａ附近變化時(shí)，就可以近似地認(rèn)為ｅ是沿著Ａ點(diǎn)上的切線（直線）變化。線性化增量方程：直流發(fā)電機(jī)的發(fā)電特性曲線。62.1.3線性微分方程的求解（4）拉式反變換求出系統(tǒng)輸出的時(shí)間解。

線性微分方程的求解，拉氏變換法：拉氏變換法求解微分方程步驟：（1）方程兩邊求拉氏變換。

（2）給定的初始條件代入方程。

（3）求出系統(tǒng)輸出量的拉式變換式。72.1.1傳遞函數(shù)的基本概念2.1傳遞函數(shù)線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，通常用Ｇ（ｓ）或Φ（ｓ）表示。1.定義8設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述ｎ階線性常微分方程描述：由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式。92.性質(zhì)傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)：

１）傳遞函數(shù)是復(fù)變量ｓ的有理真分式，其分母多項(xiàng)式的階次ｎ一般大于等于分子多項(xiàng)式的階次ｍ，即ｎ≥ｍ。２）傳遞函數(shù)只反映系統(tǒng)在零初始條件下的運(yùn)動(dòng)特性。

３）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入量無關(guān)。

４）服從不同物理規(guī)律的系統(tǒng)可以有同樣的傳遞函數(shù)，故它不能反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。５）傳遞函數(shù)只描述系統(tǒng)的輸入輸出特性，而不能表征系統(tǒng)內(nèi)部所有狀態(tài)的特性。

６）傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。103.傳遞函數(shù)的其他形式

（1）零、極點(diǎn)表達(dá)式——為系統(tǒng)根軌跡放大系數(shù)；——為零值極點(diǎn)的個(gè)數(shù)；——為系統(tǒng)的零點(diǎn)；——為系統(tǒng)的非零極點(diǎn)。

式中：11其零、極點(diǎn)分布圖例12（2）時(shí)間常數(shù)表達(dá)式——為系統(tǒng)放大系數(shù)；——為分子、分母多項(xiàng)式因子的時(shí)間常數(shù)。式中：各參數(shù)與零、極點(diǎn)式的關(guān)系：

一次因子對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)，二次因子對(duì)應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)。

132.2.2典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)1.比例環(huán)節(jié)

常有的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)等。

傳遞函數(shù)為：2.積分環(huán)節(jié)——T為積分時(shí)間常數(shù)。傳遞函數(shù)為：當(dāng)輸入信號(hào)突然變?yōu)榱銜r(shí)，輸出量維持原值不變，積分環(huán)節(jié)具有記憶功能。143.慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律上升的曲線：——T為慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)，負(fù)實(shí)極點(diǎn)

155.振蕩環(huán)節(jié)式中，ξ—阻尼比—自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）

振蕩環(huán)節(jié)包含兩個(gè)儲(chǔ)能元件，在動(dòng)態(tài)過程中，兩個(gè)儲(chǔ)能元件的能量互相交換。傳遞函數(shù)為：

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)點(diǎn)，無零點(diǎn)，階躍響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律衰減振蕩。164.微分環(huán)節(jié)理想微分二階微分一階微分微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號(hào)的微分，即變化率有關(guān)?？刂葡到y(tǒng)中有三種常用的微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)只有零點(diǎn)，沒有極點(diǎn)。由于微分環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量的變化率有關(guān)，它能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)，故有預(yù)報(bào)功能。實(shí)用微分環(huán)節(jié)電路和傳遞函數(shù)：176.延遲（時(shí)滯）環(huán)節(jié)式中—延遲時(shí)間常數(shù)延遲環(huán)節(jié)的輸出是在經(jīng)一個(gè)延遲時(shí)間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。傳遞函數(shù)為：延遲環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)曲線182.2.3

傳遞函數(shù)的求取對(duì)于已經(jīng)求得輸入、輸出微分方程式的系統(tǒng)，可直接對(duì)該方程進(jìn)行拉式變換求得傳遞函數(shù)，如ＲＬＣ電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)：對(duì)于電路網(wǎng)絡(luò)，可利用復(fù)阻抗的概念，直接寫出拉氏變換關(guān)系的代數(shù)方程求解傳遞函數(shù)。電路網(wǎng)絡(luò)中的復(fù)阻抗：電阻——電感——電容——19例2-5

試求圖2-11所示有源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

解運(yùn)算放大器輸入和輸出電路的復(fù)阻抗為由運(yùn)算放大器電路“虛地”的概念，有則所以傳遞函數(shù)為：式中：202.3結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖是控制系統(tǒng)原理圖與數(shù)學(xué)方程的結(jié)合。結(jié)構(gòu)圖既補(bǔ)充了控制系統(tǒng)原理圖所缺乏的定量描述，又避免了純數(shù)學(xué)的抽象運(yùn)算。2.3.1結(jié)構(gòu)圖的基本概念結(jié)構(gòu)圖包含四種基本單元：（１）信號(hào)線（２）引出點(diǎn)（3）比較點(diǎn)（４）方框21１）列出描述系統(tǒng)各環(huán)節(jié)或元件的運(yùn)動(dòng)方程式，確定其傳遞函數(shù)。

２）繪出各環(huán)節(jié)或元件的方框，方框中示明其傳遞函數(shù)，并以箭頭和字母符號(hào)表明其輸入量和輸出量。３）根據(jù)信號(hào)的流向關(guān)系，依次將各方框連接起來，構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。繪制系統(tǒng)框圖的一般步驟為：22例2-6

繪制圖2-13所示兩級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。解用復(fù)阻抗法直接列寫出復(fù)域方程為：根據(jù)方程可分別建立每個(gè)方程各變量間的傳遞方框，如教材圖2-15a)-d)。連接各方框便得到兩級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖：23例2-7

試?yán)L制如圖2-15所示轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。系統(tǒng)的輸入量為給定電壓，輸出量為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速。例2-7結(jié)構(gòu)圖例2-7原理圖242.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換及化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)圖等效變換的兩條基本原則是：

1）變換前后前向通道中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變；

2）變換前后各回路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變。1.基本連接的等效變換結(jié)構(gòu)圖的基本連接方式有三種：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋。（1）串聯(lián)（2）并聯(lián)25（3）反饋反饋結(jié)構(gòu)及其等效變換如圖：其中，稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，稱為開環(huán)傳遞函數(shù)，它可定義為反饋信號(hào)與偏差信號(hào)之比。若為正反饋，式中分母對(duì)應(yīng)的符號(hào)為“-”。所以負(fù)反饋連接的等效傳遞函數(shù)為若反饋通路的傳遞函數(shù)，稱為單位反饋系統(tǒng)。單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)即為其前向通道的傳遞函數(shù)。26２.引出點(diǎn)和比較點(diǎn)的移動(dòng)引出點(diǎn)后移：引出點(diǎn)前移：27２.引出點(diǎn)和比較點(diǎn)的移動(dòng)比較點(diǎn)交換：比較點(diǎn)后移：比較點(diǎn)前移：注意：引出點(diǎn)和比較點(diǎn)之間不能簡(jiǎn)單地直接移動(dòng)28例2-8化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)圖，求兩級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解：得傳遞函數(shù)：29例2-9簡(jiǎn)化如圖所示系統(tǒng)的框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。得傳遞函數(shù)：302.3.3閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)１.作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)2.作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)3.作用下的誤差傳遞函數(shù)4.作用下的誤差傳遞函數(shù)31給定輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用下閉環(huán)控制系統(tǒng)的總輸出給定輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用下閉環(huán)控制系統(tǒng)的總誤差322.4信號(hào)流圖信號(hào)流圖和結(jié)構(gòu)圖一樣，也是一種圖模型。其對(duì)應(yīng)信號(hào)流圖：一組代數(shù)方程式：33

節(jié)點(diǎn)：表示系統(tǒng)中的一個(gè)變量（信號(hào)），用小圓圈“?！北硎?。

支路：連接兩節(jié)點(diǎn)的線段為支路，用“→”表示，箭頭方向表示信號(hào)的傳遞方向

增益：標(biāo)注在支路旁的兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，稱為支路的增益，也稱為傳輸。節(jié)點(diǎn)支路增益2.4.1信號(hào)流圖的符號(hào)及術(shù)語１.信號(hào)流圖的符號(hào)信號(hào)流圖的基本圖形符號(hào)有三種：34２.信號(hào)流圖的術(shù)語

輸入節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)叫做輸入節(jié)點(diǎn)。它對(duì)應(yīng)于輸入信號(hào)。

輸出節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)叫做輸出節(jié)點(diǎn)。它對(duì)應(yīng)于輸出信號(hào)。

混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)叫做混合節(jié)點(diǎn)。

通道：凡從某一節(jié)點(diǎn)開始，沿支路的箭頭方向穿過相連支路而終止在另一節(jié)點(diǎn)（或同一節(jié)點(diǎn)）的路徑，稱為通道。

前向通道：如從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通道上，通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，則該通道稱為前向通道。

回路：如通道的終點(diǎn)就是通道的起點(diǎn)，并且與任何其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，則該通道稱為回路。

不接觸回路：如一些回路之間沒有任何公共的節(jié)點(diǎn)和支路，則稱它們?yōu)椴唤佑|回路。

回路增益：回路中各支路的增益乘積稱為回路增益。

前向通道增益：前向通道中，各支路的增益乘積稱為前向通道增益。352.4.2

信號(hào)流圖與結(jié)構(gòu)圖的關(guān)系

信號(hào)流圖中的增益相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的方框，而其節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的組合。36其對(duì)應(yīng)信號(hào)流圖：例2-11結(jié)構(gòu)圖：372.4.4梅遜公式及其應(yīng)用

兩節(jié)點(diǎn)之間傳遞函數(shù)（增益）的梅遜公式為：式中：為從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道總數(shù)；為第條前向通道總增益；為第條前向通道的特征余子式；為特征式，由系統(tǒng)信號(hào)流圖中各回路增益確定：為所有兩個(gè)互不接觸回路增益的乘積之和；為所有獨(dú)立回路增益之和；為所有三個(gè)互不接觸回路增益的乘積之和。其中：38例2-11

用梅遜公式求圖2-35所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解由結(jié)構(gòu)圖畫出該系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖所示。系統(tǒng)有3個(gè)獨(dú)立回路其中，L2和L3兩個(gè)回路互不接觸，故特征式為39例2-12用梅遜公式求圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解系統(tǒng)有4個(gè)獨(dú)立回路與互不接觸。2條前向通道：

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：40

例2-13用梅遜公式求圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、。

解系統(tǒng)有3個(gè)獨(dú)立回路41輸入到輸出的前向通道有2條

擾動(dòng)輸入到輸出的前向通道有2條

422.5MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

2.5.1傳遞函數(shù)模型的MATLAB表示1.傳遞函數(shù)模型(tf)g=tf(num,den)2.零極點(diǎn)模型(zp)g=zpk(z,p,k)3.模型的轉(zhuǎn)換[num,den]=zp2tf(z,p,k)[z,p,k]=tf2zp(num,den)432.5.2結(jié)構(gòu)圖