第3章時(shí)域分析法3.1典型輸入信號(hào)和時(shí)域性能指標(biāo)3.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.3控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析3.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析3.5MATLAB用于時(shí)域響應(yīng)分析

13.1

典型輸入信號(hào)和時(shí)域性能指標(biāo)3.1.1典型輸入信號(hào)１.階躍信號(hào)，拉氏變換式：2.斜坡信號(hào)，拉氏變換式：3.拋物線信號(hào)，拉氏變換式：2４.脈沖信號(hào)當(dāng)，A＝1時(shí)稱為單位脈沖信號(hào)，記作。5.正弦信號(hào)

，拉氏變換式：33.1.2時(shí)域性能指標(biāo)穩(wěn)定系統(tǒng)的階躍響應(yīng)具有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種類型。

1.暫態(tài)性能指標(biāo)：上升時(shí)間，峰值時(shí)間，調(diào)整時(shí)間，

（最大）超調(diào)量

。2.穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)：

穩(wěn)態(tài)誤差上升時(shí)間和峰值時(shí)間反映系統(tǒng)響應(yīng)初始階段的快慢；最大超調(diào)量反映了暫態(tài)過(guò)程的平穩(wěn)性；調(diào)節(jié)時(shí)間反映了系統(tǒng)的快速性。，反映了系統(tǒng)的控制精度。43.2

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.2.1穩(wěn)定性的概念及線性系統(tǒng)穩(wěn)定條件穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最基本的性質(zhì)，是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件。

穩(wěn)定性的概念：一個(gè)處于某平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，在擾動(dòng)信號(hào)的作用下，會(huì)偏離原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)作用消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸地恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，或者說(shuō)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有收斂性質(zhì)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，若系統(tǒng)不能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有發(fā)散性質(zhì)，或者進(jìn)入震蕩狀態(tài)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是系統(tǒng)去掉外作用后，自身的一種恢復(fù)能力，是系統(tǒng)的一種固有特性，只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)而與初始條件及外作用無(wú)關(guān)。5設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為:R（s）=1線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部；或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)都位于S平面的左半部。63.2.2勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為1.線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件

式中，特征方程的系數(shù)為實(shí)數(shù)。系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：特征方程的所有系數(shù)都大于零。勞斯穩(wěn)定判據(jù)是利用特征方程的系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算來(lái)確定特征方程在s右平面的根的數(shù)目，以判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也稱為代數(shù)穩(wěn)定判劇。72.勞斯穩(wěn)定判據(jù)（1）建立勞斯表

將特征方程的系數(shù)按以下方法構(gòu)成一個(gè)n+1行的勞斯表：8（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是——特征方程的全部系數(shù)都大于零，且勞斯表的第一列元素都大于零。勞斯穩(wěn)定判據(jù)指出：系統(tǒng)特征方程具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)等于勞斯表第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)。9

設(shè)某控制系統(tǒng)的特征方程為，

例3-2

判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解特征方程的系數(shù)都大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件。列勞斯表:由于勞斯表第一列數(shù)不全為正，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列數(shù)符號(hào)改變了兩次，故系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部根。10（3）兩種特殊情況的勞斯判據(jù)

1）在勞斯表的某一行中，第一列數(shù)為零，而其余數(shù)不全為零。按照勞斯判據(jù)，因第一列元素不全大于0，可以確定系統(tǒng)不穩(wěn)定。如需要了解根的分布情況，可用一個(gè)有限小的正數(shù)代替0，完成勞斯表。

2）勞斯表某行元素全為零，表示特征方程具有對(duì)稱于原點(diǎn)的根存在?？捎萌阈械那耙恍袛?shù)值組成輔助方程，并用這個(gè)方程的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)代替全零行的各項(xiàng)，完成勞斯表。利用輔助方程可解得那些對(duì)稱根。11試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

例3-4

設(shè)系統(tǒng)的特征式為列勞斯表:全零行第一列元素符號(hào)沒(méi)有改變，表明系統(tǒng)不存在s右平面的特征根，臨界穩(wěn)定。解輔助方程：得臨界根：123.勞斯判據(jù)的應(yīng)用（1）確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的參數(shù)條件（2）檢驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量例3-6

確定圖3-4所示系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。解系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表：系統(tǒng)穩(wěn)定條件：133.3

控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析3.3.1一階系統(tǒng)分析一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和典型結(jié)構(gòu)為系統(tǒng)階躍響應(yīng)的拉氏變換式為可得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是單調(diào)上升的指數(shù)曲線，暫態(tài)分量隨時(shí)間增加而逐漸衰減為零，暫態(tài)分量衰減的速度（快速性）與一階系統(tǒng)的特征參數(shù)T有關(guān)，。一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)特征根——143.3.1二階系統(tǒng)分析1.數(shù)學(xué)模型典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和閉環(huán)傳遞函數(shù)：其中，為系統(tǒng)的阻尼比；為無(wú)阻尼振蕩頻率（或自然振蕩頻率）。系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根，即閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為特征方程根的性質(zhì)由的值完全決定了。

152.單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換式為（1）無(wú)阻尼情況響應(yīng)為等幅振蕩曲線，其振蕩的角頻率為，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。（2）欠阻尼情況——為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根——一對(duì)純虛根16單位階躍響應(yīng)為欠阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)的暫態(tài)分量，是幅值隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦振蕩項(xiàng)。其振蕩的角頻率為阻尼振蕩頻率，即特征方程根的虛部；其衰減的速度由，即特征方程根的實(shí)部的絕對(duì)值決定。17（3）臨界阻尼情況——一對(duì)相等的負(fù)實(shí)數(shù)根響應(yīng)為無(wú)振蕩及超調(diào)的單調(diào)上升曲線

（4）過(guò)阻尼情況——2個(gè)不相等負(fù)實(shí)根，且響應(yīng)的暫態(tài)分量是兩個(gè)單調(diào)衰減的指數(shù)項(xiàng)，響應(yīng)曲線與臨界阻尼時(shí)一樣——無(wú)振蕩單調(diào)上升曲線

18不同阻尼比時(shí)系統(tǒng)特征方程的根在s平面的位置及其單位階躍響應(yīng)曲線

192.欠阻尼典型二階系統(tǒng)暫態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算

欠阻尼單位階躍響應(yīng)式：（１）上升時(shí)間（２）峰值時(shí)間按定義，峰值時(shí)間應(yīng)出現(xiàn)在第一個(gè)峰值處，則：，

20（３）最大超調(diào)量0.40.50.60.680.7070.8

2516.3954.31.5可見(jiàn)，最大超調(diào)量?jī)H由阻尼比決定。阻尼比越大，超調(diào)量越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好。將代入輸出響應(yīng)式有：21（4）調(diào)整時(shí)間

當(dāng)阻尼比很小時(shí)，經(jīng)過(guò)二次近似后，常用下列兩式計(jì)算調(diào)整時(shí)間而實(shí)際的調(diào)整時(shí)間，當(dāng)＞0.7之后，增大，會(huì)變大，快速性變差。從以上分析計(jì)算可知，為使系統(tǒng)具有較好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比一般應(yīng)取0.4～0.8之間，這時(shí)超調(diào)量約在25％～1.5％之間，而調(diào)節(jié)時(shí)間比較短。工程上常取作為設(shè)計(jì)依據(jù)，稱之為“二階最佳系統(tǒng)”。此時(shí)，超調(diào)量為4.3％，而調(diào)整時(shí)間最小。22（1）討論系統(tǒng)參數(shù)K、T對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響。（2）計(jì)算系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)。（3）若要求將系統(tǒng)設(shè)計(jì)成二階最佳

，在不改變T的情況下應(yīng)如何改變Ｋ值?解

(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

討論：由參數(shù)K、T與和的關(guān)系可知：開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K和時(shí)間常數(shù)T增大，都會(huì)使減小，超調(diào)量增大，系統(tǒng)振蕩加劇；而，=6T，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間由時(shí)間常數(shù)唯一確定，增大T，增大，快速性下降。例3-8

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中。23（2）當(dāng)K=4,T=0.25時(shí)系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)為：（3）

（3）若設(shè)計(jì)，有24

例3-9

某單位負(fù)反饋二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。解由圖可知，該系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng)。且有由解得：所以，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：25

4.二階系統(tǒng)性能改善（1）誤差的比例-微分控制系統(tǒng)引人比例－微分控制后閉環(huán)傳遞函數(shù)為

可見(jiàn)阻尼比增大了，使減小超調(diào)量，系統(tǒng)平穩(wěn)性提高。其中：26（2）速度負(fù)反饋控制系統(tǒng)引人速度負(fù)反饋控制后閉環(huán)傳遞函數(shù)為：其中：可見(jiàn)阻尼比增大，減小了超調(diào)量，系統(tǒng)的平穩(wěn)性得到提高。但開(kāi)環(huán)增益下降了：對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能將產(chǎn)生不利的影響

。由原來(lái)：改變?yōu)椋?73.3.3高階系統(tǒng)分析

三階及以上系統(tǒng)。將式（3-46）傳遞函數(shù)表示成零、極點(diǎn)形式：設(shè)系統(tǒng)沒(méi)有重極點(diǎn)。系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為1.高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析式中：28如果所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，即所有極點(diǎn)都位于s平面的左半部，隨著時(shí)間的增大，響應(yīng)中的暫態(tài)分量指數(shù)函數(shù)項(xiàng)和二階正弦函數(shù)項(xiàng)都將衰減趨于零，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。各暫態(tài)分量衰減的快慢，取決于對(duì)應(yīng)極點(diǎn)離虛軸的距離。極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，該極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量衰減越快。反之，離虛軸很近的極點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量項(xiàng)衰減慢，它在整個(gè)暫態(tài)分量中起主導(dǎo)作用。由求得的高階系統(tǒng)階躍響應(yīng)可知，高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量為常數(shù)A0。暫態(tài)分量則由一些實(shí)數(shù)極點(diǎn)構(gòu)成的指數(shù)函數(shù)項(xiàng)和共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)構(gòu)成的二階正弦函數(shù)項(xiàng)線性組合而成。292.閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

高價(jià)系統(tǒng)中，滿足下列2個(gè)條件的極點(diǎn)稱為主導(dǎo)極點(diǎn)：例如，某四階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似為：工程上常采用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析，或采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析。

（1）距虛軸最近且周圍沒(méi)有零點(diǎn)；（2）其他極點(diǎn)與虛軸的距離比該極點(diǎn)與虛軸的距離大5倍以上。利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可以將高階系統(tǒng)近似用一、二階系統(tǒng)表達(dá)，以便估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。303.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析3.4.1誤差及穩(wěn)態(tài)誤差（1)從輸入端定義：以系統(tǒng)的輸入信號(hào)與反饋信號(hào)比較后的偏差信號(hào)定義為誤差：

(2)從輸出端定義：以系統(tǒng)的期望輸出與實(shí)際輸出信號(hào)之差定義為誤差：

從輸入端定義的誤差可以測(cè)量，便于用結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行分析計(jì)算，故在工程上應(yīng)用較多。在本教材，未加特殊說(shuō)明時(shí)，均采用從系統(tǒng)輸入端定義的誤差。1.誤差的定義對(duì)于單位反饋系統(tǒng)對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)31系統(tǒng)誤差的穩(wěn)態(tài)分量在時(shí)的值被稱為穩(wěn)態(tài)誤差，用表示。由反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)，得誤差信號(hào)式中，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差2.穩(wěn)態(tài)誤差323.4.2給定輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

控制系統(tǒng)分類：

——以開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中含零值極點(diǎn)數(shù)（積分環(huán)節(jié)的數(shù)目）分類，分別稱系統(tǒng)為0型、1型、2型系統(tǒng)。

給定輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差——由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目和輸入信號(hào)的形式確定。331.階躍信號(hào)輸入，稱為系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)，1型及以上系統(tǒng)，階躍信號(hào)輸入時(shí)，根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的不同情況——分為有差、無(wú)差、不能跟隨輸入三類系統(tǒng)342.斜坡信號(hào)輸入，稱為系統(tǒng)的速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。

對(duì)于0型系統(tǒng)1型系統(tǒng)2型及以上系統(tǒng)斜坡信號(hào)輸入時(shí)，35

3.拋物線信號(hào)輸入，稱為系統(tǒng)的加速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。對(duì)于1型以下系統(tǒng)2型系統(tǒng)拋物線信號(hào)輸入時(shí)，小于1型的系統(tǒng)都不能跟蹤輸入信號(hào)36輸入信號(hào)作用下穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法有兩種：例3-10

已知控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為求（1）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)；（2）輸入信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解由勞斯判據(jù)可判斷本系統(tǒng)穩(wěn)定（1）誤差系數(shù)根據(jù)疊加原理有

1）終值定理法——直接用終值定理求極限求得穩(wěn)態(tài)誤差；

2）誤差系數(shù)法——根據(jù)輸入信號(hào)的形式求出相應(yīng)的誤差系數(shù)后求穩(wěn)態(tài)誤差。（2）穩(wěn)態(tài)誤差373.4.3擾動(dòng)信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差說(shuō)明，擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差，除了與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的類型以及擾動(dòng)信號(hào)的形式有關(guān)外，還取決于擾動(dòng)作用點(diǎn)的位置。當(dāng)式中，是擾動(dòng)作用點(diǎn)與誤差信號(hào)之間的傳遞函數(shù)?？梢?jiàn)，擾動(dòng)作用下穩(wěn)態(tài)誤差的大小，除了與擾動(dòng)信號(hào)有關(guān)外，還主要取決于擾動(dòng)作用點(diǎn)到誤差信號(hào)之間的傳遞函數(shù)。383.5MATLAB用于時(shí)域響應(yīng)分析3.5.1用MATLAB分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.多項(xiàng)式求根命令roots2．求系統(tǒng)極點(diǎn)命令pole可用roots命令求出已知控制系統(tǒng)特征方程的根。例3-12

已知反饋系統(tǒng)特征方程為，判定穩(wěn)定性。解在命令窗口執(zhí)行命令d=[13424];p=roots(d)可用pole命令求出已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。調(diào)用格式：p=pole(sys)顯示結(jié)果為p=-3.68320.341