第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言

2.2時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系2.5序列的Z變換2.6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻響特性習(xí)題與上機(jī)題2.1引言

我們知道，信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時(shí)域分析方法和頻域分析方法。在模擬領(lǐng)域中，信號(hào)一般用連續(xù)變量時(shí)間的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。在頻率域，則用信號(hào)的傅里葉變換(FourierTransform)或拉普拉斯變換表示。而在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中，信號(hào)用時(shí)域離散信號(hào)（序列）表示，系統(tǒng)則用差分方程描述。在頻率域，則用信號(hào)的傅里葉變換或Z變換表示。本章學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號(hào)頻域特性。該章內(nèi)容是本書(shū)也是數(shù)字信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)。2.2時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的定義及性質(zhì)

時(shí)域離散信號(hào)不同于模擬信號(hào)，因此它們的傅里葉變換不相同，但都是線性變換，一些性質(zhì)是相同的。2.2.1時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的定義序列x(n)的傅里葉變換定義為（2.2.1）

FT為FourierTransform的縮寫(xiě)。FT［x(n)］存在的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對(duì)可和的條件，即滿足下式：（2.2.2）X(ejω)的傅里葉反變換為（2.2.3）（2.2.1）和（2.2.3）式組成一對(duì)傅里葉變換公式。（2.2.2）式是傅里葉變換存在的充分必要條件，有些函數(shù)（例如周期序列）并不滿足（2.2.2）式，說(shuō)明它的傅里葉變換不存在，但如果引入沖激函數(shù)，其傅里葉變換也可以用沖激函數(shù)的形式表示出來(lái)，這部分內(nèi)容將在2.3節(jié)介紹。

【例2.2.1】設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。

解

（2.2.4）當(dāng)N=4時(shí)，其幅度與相位隨頻率ω的變化曲線如圖2.2.1所示。圖2.2.1

R4(n)的幅度與相位曲線2.2.2時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)

1．FT的周期性

在定義（2.2.1）式中，n取整數(shù)，因此下式成立：(2.2.5)觀察上式，得到傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。這一特點(diǎn)不同于模擬信號(hào)的傅里葉變換。Ｍ為整數(shù)由FT的周期性進(jìn)一步分析得到，在ω=0和ω=2πM附近的頻譜分布應(yīng)是相同的（M取整數(shù)），在ω=0，±2π,±4π,點(diǎn)上表示x(n)信號(hào)的直流分量；離開(kāi)這些點(diǎn)愈遠(yuǎn)，其頻率愈高，但又是以2π為周期，那么最高的頻率應(yīng)是ω=π。另外要說(shuō)明的是，所謂x(n)的直流分量，是指如圖2.2.2（a）所示的波形。例如，x(n)=cosωm，當(dāng)ω=2πM,M取整數(shù)時(shí)，x(n)的序列值如圖2.2.2（a）所示，它代表一個(gè)不隨n變化的信號(hào)（直流信號(hào)）；當(dāng)ω=(2M+1)π時(shí)，x(n)波形如圖2.2.2（b）所示，它代表最高頻率信號(hào)，是一種變化最快的正弦信號(hào)。由于FT的周期是2π，一般只分析－π~＋π之間或0~2π范圍的FT就夠了。圖2.2.2

cosωm

的波形

2．線性設(shè)X1(ejω)=FT［x1(n)］,X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么(2.2.6)式中,a，b是常數(shù)。

3．時(shí)移與頻移設(shè)X(ejω)=FT［x(n)］,那么(2.2.7)(2.2.8)

4．FT的對(duì)稱性在學(xué)習(xí)FT的對(duì)稱性以前，先介紹什么是共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱，以及它的性質(zhì)。設(shè)序列xe(n)滿足下式：（2.2.9）則稱xe(n)為共軛對(duì)稱序列。為研究共軛對(duì)稱序列具有什么性質(zhì)，將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示：將上式兩邊n用－n代替，并取共軛，得到：

對(duì)比上面兩公式，因左邊相等，因此得到：（2.2.10）（2.2.11）上面兩式表明共軛對(duì)稱序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。類似地，可定義滿足下式的共軛反對(duì)稱序列：（2.2.12）將xo(n)表示成實(shí)部與虛部，如下式：可以得到：（2.2.13）（2.2.14）即共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。

【例2.2.2】試分析x(n)=ejωm的對(duì)稱性。

解因?yàn)閤*(－n)=ejωm=x(n)滿足(2.2.9)式，所以x(n)是共軛對(duì)稱序列，如展成實(shí)部與虛部，則得到：x(n)=cosωn+jsinωn

上式表明，共軛對(duì)稱序列的實(shí)部確實(shí)是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。一般序列可用共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列之和表示，即（2.2.15）式中，xe(n)和xo(n)可以分別用原序列x(n)求出，將（2.2.15）式中的n用－n代替，再取共軛,得到：（2.2.16）利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17）（2.2.18）利用上面兩式，可以用x(n)分別求出xe(n)和xo(n)。對(duì)于頻域函數(shù)X(ejω)，也有和上面類似的概念和結(jié)論：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)（2.2.19）式中，Xe(ejω)與Xo(ejω)分別稱為共軛對(duì)稱部分和共軛反對(duì)稱部分，它們滿足：（2.2.20）（2.2.21）同樣有下面公式成立：

有了上面的概念和結(jié)論，下面研究FT的對(duì)稱性。（2.2.22）（2.2.23）

(1)將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進(jìn)行傅里葉變換，得到:式中上面兩式中，xr(n)和xi(n)都是實(shí)數(shù)序列。容易證明：Xe(ejω)滿足（2.2.20）式，具有共軛對(duì)稱性，它的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；Xo(ejω)滿足（2.2.21）式，具有共軛反對(duì)稱性質(zhì)，它的實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。最后得到結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠?，?shí)部對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性，虛部和j一起對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛反對(duì)稱性。

(2)將序列分成共軛對(duì)稱部分xe(n)和共軛反對(duì)稱部分xo(n)，即

x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.24)

將（2.2.17）和（2.2.18）式重寫(xiě)如下：將上面兩式分別進(jìn)行傅里葉變換，得到：

因此（2.2.24）式的FT為（2.2.25a）（2.2.25b）（2.2.25c）（2.2.25）式表示：序列x(n)的共軛對(duì)稱部分xe(n)對(duì)應(yīng)著X(ejω)的實(shí)部XR(ejω)，而序列x(n)的共軛反對(duì)稱部分xo(n)對(duì)應(yīng)著X(ejω)的虛部(包括j)。下面我們利用FT的對(duì)稱性，分析實(shí)因果序列h(n)的對(duì)稱性，并推導(dǎo)其偶函數(shù)he(n)和奇函數(shù)ho(n)與h(n)之間的關(guān)系。因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，其FT只有共軛對(duì)稱部分He(ejω)，共軛反對(duì)稱部分為零。

因此實(shí)序列的FT是共軛對(duì)稱函數(shù),其實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為

顯然，其模的平方是偶函數(shù)，相位函數(shù)是奇函數(shù)，這和實(shí)模擬信號(hào)的FT有同樣的結(jié)論。按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：因?yàn)閔(n)是實(shí)因果序列，按照上面兩式，he(n)和ho(n)可用下式表示：（2.2.26）（2.2.27）按照上面兩式，實(shí)因果序列h(n)可以分別用he(n)和ho(n)表示為（2.2.28）（2.2.29）式中（2.2.30）因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，上面公式中he(n)是偶函數(shù)，ho(n)是奇函數(shù)。按照（2.2.28）式，實(shí)因果序列完全由其偶序列恢復(fù)，但按照（2.2.27）式，ho(n)中缺少n=0點(diǎn)h(n)的信息。因此由ho(n)恢復(fù)h(n)時(shí)，要補(bǔ)充一點(diǎn)h(h)δ(n)信息。

【例2.2.3】

x(n)=anu(n),0<a<1。求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。

解

x(n)=xe(n)+xo(n)按（2.2.26）式，得到：按（2.2.27）式，得到：x(n)、xe(n)和xo(n)波形如圖2.2.3所示。圖2.2.3例2.2.3圖

5．時(shí)域卷積定理設(shè) y(n)=x(n)*h(n)則

Y(ejω)=X(ejω)H（ejω）（2.2.31）

證明令k=n－m，則該定理說(shuō)明，兩序列卷積的FT服從相乘的關(guān)系。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸出的FT等于輸入信號(hào)的FT乘以單位脈沖響應(yīng)的FT。因此，在求系統(tǒng)的輸出信號(hào)時(shí)，可以在時(shí)域用卷積公式（1.3.7）計(jì)算，也可以在頻域按照（2.2.31）式，求出輸出的FT，再作逆FT，求出輸出信號(hào)y(n)。

6．頻域卷積定理

設(shè) y(n)=x(n)h(n)則(2.2.32)

證明

(2.2.33)交換積分與求和的次序，得到：(2.2.34)該定理表明，在時(shí)域兩序列相乘，轉(zhuǎn)移到頻域時(shí)服從卷積關(guān)系。7．帕斯維爾（Parseval）定理（2.2.35）證明

帕斯維爾定理表明了信號(hào)時(shí)域的能量與頻域的能量關(guān)系。表2.2.1綜合了FT的性質(zhì)，這些性質(zhì)在分析問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用中是很重要的。表2.2.1序列傅里葉變換的性質(zhì)定理2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式因?yàn)橹芷谛蛄胁粷M足（2.2.2）式絕對(duì)可和的條件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成離散傅里葉級(jí)數(shù)，引入奇異函數(shù)δ(·)，其FT可以用公式表示出來(lái)。2.3.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以N為周期的周期序列，可以展成離散傅里葉級(jí)數(shù)。如下:

(2.3.1)為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以，并對(duì)n在一個(gè)周期N中求和，即式中(2.3.2)(2.3.2)式的證明作為練習(xí)請(qǐng)讀者自己證明。因此

(2.3.3)式中，k和n均取整數(shù)。因?yàn)? ，l取整數(shù),即是周期為N的周期函數(shù)，所以，系數(shù)ak也是周期序列，滿足ak=ak+lN。令,并將(2.3.3)式代入，得到:

(2.3.4)式中，也是以N為周期的周期序列,稱為的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。用(2.3.5)將（2.3.4）式和（2.3.5）式重寫(xiě)如下：(2.3.6)(2.3.7)代替(2.3.1)式中的ak,得到（2.3.6）式和（2.3.7）式稱為一對(duì)DFS。（2.3.5）式表明將周期序列分解成N次諧波，第k個(gè)諧波頻率為ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1,幅度為?；ǚ至康念l率是2π/N，幅度是。一個(gè)周期序列可以用其DFS系數(shù)表示它的頻譜分布規(guī)律?！纠?.3.1】設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS［］。

解按照（2.3.6）式,有其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。圖2.3.1例2.3.1圖2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式

在模擬系統(tǒng)中，

，其傅里葉變換是在Ω=Ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度是2π，即（2.3.8）對(duì)于時(shí)域離散信號(hào)，

，2π/ω0為有理數(shù)，暫時(shí)假定其FT的形式與（2.3.8）式一樣，即是在ω＝ω0處的單位沖激函數(shù)，其強(qiáng)度為2π。但由于n取整數(shù)，下式成立：

r取整數(shù)因此的FT為

(2.3.9)(2.3.9)式表示復(fù)指數(shù)序列的FT是在ω0+2πr處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2π，如圖2.3.2所示。但這種假定如果成立，則要求按照（2.2.4）式的逆變換必須存在，且唯一等于，下面進(jìn)行驗(yàn)證。按照逆變換定義，（2.2.4）式右邊觀察圖2.3.2，在－π~＋π區(qū)間，只包括一個(gè)單位沖激函數(shù)δ(ω－ω0)，等式右邊為，因此得到下式：

證明了（2.3.9）式確實(shí)是的FT，前面的暫時(shí)假定是正確的。圖2.3.2的FT對(duì)于一般周期序列，按（2.3.6）式展成DFS，第k次諧波為，類似于復(fù)指數(shù)序列的FT，其FT為

因此的FT如下式：

式中，k=0,1,2,

,N－1。如果讓k在－∞~∞區(qū)間變化，上式可簡(jiǎn)化成

（2.3.10）

式中(2.3.10)式就是周期性序列的傅里葉變換表示式。需要說(shuō)明的是，上面公式中的δ(ω)表示單位沖激函數(shù)，而δ(n)表示單位脈沖序列，由于括弧中的自變量不同,因而不會(huì)引起混淆。表2.3.2中綜合了一些基本序列的FT。表2.3.2基本序列的傅里葉變換表中u(n)序列的傅里葉變換推導(dǎo)如下：令

(2.3.11)

(2.3.12)

對(duì)(2.3.12)式進(jìn)行FT，得到:

對(duì)(2.3.11)式進(jìn)行FT，得到：

【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。

解將例2.3.1中得到的代入（2.3.10）式中，得到：

其幅頻特性如圖2.3.3所示。圖2.3.3例2.3.2圖對(duì)比圖2.3.1，對(duì)于同一個(gè)周期信號(hào)，其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示（用帶箭頭的豎線表示）。因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以，但畫(huà)圖時(shí)應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫(huà)法。

【例2.3.3】令為有理數(shù)，求其FT。

解將用歐拉公式展開(kāi)：

按照（2.3.9）式，其FT推導(dǎo)如下：

（2.3.13）(2.3.13)式表明，cosω0n的FT是在ω=±ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為π，且以2π為周期進(jìn)行延拓，如圖2.3.4所示。

圖2.3.4

cosω0n的FT2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系

時(shí)域離散信號(hào)與模擬信號(hào)是兩種不同的信號(hào)，傅里葉變換也不同，如果時(shí)域離散信號(hào)是由某模擬信號(hào)采樣得來(lái)，那么時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換和該模擬信號(hào)的傅里葉變換之間有一定的關(guān)系。下面推導(dǎo)這一關(guān)系式。公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了由采樣得到的時(shí)域離散信號(hào)和模擬信號(hào)的關(guān)系，而理想采樣信號(hào)和模擬信號(hào)的關(guān)系用（1.5.2）式表示，重寫(xiě)如下:對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換,得到:令ω=ΩT，且x(n)=xa(nT)，得到：

（2.4.1）或者寫(xiě)成：

（2.4.2）

式中(2.4.2)式也可以表示成

（2.4.3）（2.4.1）、（2.4.2）和（2.4.3）式均表示時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換和模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系。由這些關(guān)系式可以得出兩點(diǎn)結(jié)論。一點(diǎn)結(jié)論是時(shí)域離散信號(hào)的頻譜也是模擬信號(hào)的頻譜周期性延拓，周期為，因此由模擬信號(hào)進(jìn)行采樣得到時(shí)域離散信號(hào)時(shí)，同樣要滿足前面推導(dǎo)出的采樣定理，采樣頻率必須大于等于模擬信號(hào)最高頻率的2倍以上，否則也會(huì)差生頻域混疊現(xiàn)象，頻率混疊在Ωs/2附近最嚴(yán)重，在數(shù)字域則是在π附近最嚴(yán)重。另一點(diǎn)結(jié)論是計(jì)算模擬信號(hào)的FT可以用計(jì)算相應(yīng)的時(shí)域離散信號(hào)的FT得到，方法是:首先按照采樣定理，以模擬信號(hào)最高頻率的兩倍以上頻率對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣得到時(shí)域離散信號(hào)，再通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)該時(shí)域離散信號(hào)進(jìn)行FT，得到它的頻譜函數(shù)，再乘以采樣間隔T便得到模擬信號(hào)的FT，注意關(guān)系式ω=ΩT。按照數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關(guān)系，在一些文獻(xiàn)中經(jīng)常使用歸一化頻率f′=f/Fs或Ω′=Ω/Ωs,ω′=ω/2π,因?yàn)閒′、Ω′和ω′都是無(wú)量綱量，刻度是一樣的，將f、Ω、ω、f′、Ω′、ω′的定標(biāo)值對(duì)應(yīng)關(guān)系用圖2.4.1表示。圖2.4.1表明，模擬折疊頻率Fs/2對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率π；如果采樣定理滿足，則要求模擬最高頻率fc不能超過(guò)Fs/2；如果不滿足采樣定理，則會(huì)在ω=π附近，或者f=Fs/2附近引起頻率混疊。以上幾個(gè)頻率之間的定標(biāo)關(guān)系很重要，尤其在模擬信號(hào)數(shù)字處理中，經(jīng)常需要了解它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系。圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系2.5序列的Z變換

在模擬信號(hào)系統(tǒng)中，用傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，拉普拉斯變換可作為傅里葉變換的推廣，對(duì)信號(hào)進(jìn)行復(fù)頻域分析。在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中，用序列的傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，Z變換則是其推廣，用以對(duì)序列進(jìn)行復(fù)頻域分析。因此Z變換在數(shù)字信號(hào)處理中同樣起著很重要的作用。2.5.1

Z變換的定義

序列x(n)的Z變換定義為

（2.5.1）

式中z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為z平面。注意在定義中，對(duì)n求和是在－∞、＋∞之間求和，可以稱為雙邊Z變換。還有一種稱為單邊Z變換的定義，如下式：

（2.5.2）defdef這種單邊Z變換的求和限是從零到無(wú)限大，因此對(duì)于因果序列，用兩種Z變換定義計(jì)算的結(jié)果是一樣的。本書(shū)中如不另外說(shuō)明，均用雙邊Z變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。（2.5.1）式Z變換存在的條件是等號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂，要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即

（2.5.3）

使（2.5.3）式成立，Z變量取值的域稱為收斂域。一般收斂域?yàn)榄h(huán)狀域，即令z=rejω，代入上式得到Rx－<r<Rx＋，收斂域是分別以Rx＋和Rx－為收斂半徑的兩個(gè)圓形成的環(huán)狀域(如圖2.5.1中所示的斜線部分)。當(dāng)然，Rx－可以小到零，Rx＋可以大到無(wú)窮大。收斂域的示意圖如圖2.5.1所示。圖2.5.1變換的收斂域常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示：

分子多項(xiàng)式P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。對(duì)比序列的傅里葉變換定義（2.2.1）式，很容易得到傅里葉變換和Z變換（ZT）之間的關(guān)系，用下式表示：（2.5.4）式中,z=ejω表示在z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。（2.5.4）式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換，就可用（2.5.4）式很方便地求出序列的傅里葉變換，條件是收斂域中包含單位圓。

【例2.5.1】

x(n)=u(n),求其Z變換。

解

X(z)存在的條件是|z－1|<1，因此收斂域?yàn)閨z|>1,因此

X(z)表達(dá)式表明，極點(diǎn)是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說(shuō)收斂域不包含單位圓，因此其傅里葉變換不存在，更不能用（2.5.4）式求傅里葉變換。該序列的傅里葉變換不存在，但如果引進(jìn)奇異函數(shù)δ(ω)，其傅里葉變換則可以表示出來(lái)（見(jiàn)表2.3.2）。該例同時(shí)說(shuō)明一個(gè)序列的傅里葉變換不存在，但在一定收斂域內(nèi)Z變換是可以存在的。2.5.2序列特性對(duì)收斂域的影響

序列的特性決定其Z變換收斂域，了解序列特性與收斂域的一般關(guān)系，對(duì)使用Z變換是很有幫助的。

1．有限長(zhǎng)序列如序列x(n)滿足下式：

即序列x(n)從n1到n2的序列值不全為零，此范圍之外序列值為零，這樣的序列稱為有限長(zhǎng)序列。其Z變換為其它

設(shè)x(n)為有界序列，由于是有限項(xiàng)求和，除0與∞兩點(diǎn)是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)外，整個(gè)z平面均收斂。如果n1<0，則收斂域不包括∞點(diǎn)；如果n2>0，則收斂域不包括z=0點(diǎn)；如果是因果序列，收斂域包括z=∞點(diǎn)。具體有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下：

n1<0,n2≤0時(shí)，0≤|z|<∞

n1<0,n2>0時(shí)，0<|z|<∞

n1≥0,n2>0時(shí)，0<|z|≤∞

【例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。

解

這是一個(gè)因果的有限長(zhǎng)序列，因此收斂域?yàn)?<z≤∞。但由結(jié)果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的極點(diǎn)，但同時(shí)分子多項(xiàng)式在z=1時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)，極、零點(diǎn)對(duì)消，X(z)在單位圓上仍存在，求RN(n)的傅里葉變換，可將z=ejω代入X(z)得到，其結(jié)果和例題2.2.1中的結(jié)果（2.2.5）式是相同的。

2．右序列右序列是指在n≥n1時(shí)，序列值不全為零，而在n<n1時(shí)，序列值全為零的序列。右序列的Z變換表示為

第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，設(shè)n1≤－1，其收斂域?yàn)?≤|z|<∞。第二項(xiàng)為因果序列，其收斂域?yàn)镽x－<|z|≤∞，Rx－是第二項(xiàng)最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域?yàn)镽x－

<|z|<∞。如果是因果序列，收斂域?yàn)镽x－<|z|≤∞。

【例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域。解

在收斂域中必須滿足|az－1|<1，因此收斂域?yàn)閨z|>|a|。

3．左序列左序列是指在n≤n2時(shí)，序列值不全為零，而在n>n2時(shí)，序列值全為零的序列。左序列的Z變換表示為

如果n2<0,z=0點(diǎn)收斂，z=∞點(diǎn)不收斂，其收斂域是在某一圓（半徑為Rx+）的圓內(nèi)，收斂域?yàn)?≤|z|<Rx+。如果n2≥0，則收斂域?yàn)?<|z|<Rx+。

【例2.5.4】求x(n)=－anu(－n－1)的Z變換及其收斂域。

解這里x(n)是一個(gè)左序列，當(dāng)n≥0時(shí)，x(n)=0，

X(z)存在要求|a－1|＜1，即收斂域?yàn)閨z|＜|a|,因此

4．雙邊序列一個(gè)雙邊序列可以看做是一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和，其Z變換表示為

X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的交集。如果Rx+>Rx－，則其收斂域?yàn)镽x－<|z|<Rx+，是一個(gè)環(huán)狀域；如果Rx+<Rx－，兩個(gè)收斂域沒(méi)有交集，X(z)則沒(méi)有收斂域，因此X(z)不存在。

【例2.5.5】

x(n)=a|n|,a為實(shí)數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。

解

第一部分收斂域?yàn)閨az|<1，得|z|<|a|－1;第二部分收斂域?yàn)閨az－1|<1,得到|z|>|a|。如果|a|<1,兩部分的公共收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a|－1,其Z變換如下式:

如果|a|≥1，則無(wú)公共收斂域，因此X(z)不存在。當(dāng)0<a<1時(shí)，x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。圖2.5.2例2.5.5圖我們注意到，例2.5.3和例2.5.4的序列是不同的，即一個(gè)是左序列，一個(gè)是右序列，但其Z變換X(z)的函數(shù)表示式相同，僅收斂域不同。換句話說(shuō)，同一個(gè)Z變換函數(shù)表達(dá)式，收斂域不同，對(duì)應(yīng)的序列是不相同的。所以，X(z)的函數(shù)表達(dá)式及其收斂域是一個(gè)不可分離的整體，求Z變換就包括求其收斂域。此外，收斂域中無(wú)極點(diǎn)，收斂域總是以極點(diǎn)為界的。如果求出序列的Z變換，找出其極點(diǎn)，則可以根據(jù)序列的特性，較簡(jiǎn)單地確定其收斂域。例如在例2.5.3中，其極點(diǎn)為z=a，根據(jù)x(n)是一個(gè)因果性序列，其收斂域必為：|z|>a；又例如在例2.5.4中，其極點(diǎn)為z=a，但x(n)是一個(gè)左序列，收斂域一定在某個(gè)圓內(nèi)，即|z|<|a|。2.5.3逆Z變換已知序列的Z變換X(z)及其收斂域，求原序列x(n)的過(guò)程稱為求逆Z變換。計(jì)算逆Z變換的方法有留數(shù)法、部分分式展開(kāi)法和冪級(jí)數(shù)法（長(zhǎng)除法）。下面僅介紹留數(shù)法和部分分式展開(kāi)法，重點(diǎn)放在留數(shù)法。式中,c是X(z)收斂域中一條包圍原點(diǎn)的逆時(shí)針的閉合曲線，如圖2.5.3所示。求逆Z變換時(shí)，直接計(jì)算圍線積分是比較麻煩的，用留數(shù)定理求則很容易。為了表示簡(jiǎn)單，用F(z)表示被積函數(shù)：F(z)=X(z)zn－1。

1．用留數(shù)定理求逆Z變換

序列的Z變換及其逆Z變換表示如下：（2.5.5）圖2.5.3圍線積分路徑如果F(z)在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，則根據(jù)留數(shù)定理有

（2.5.6）

式中,Res［F(z),zk］表示被積函數(shù)F(z)在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)，逆Z變換是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。如果zk是單階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有

（2.5.7）如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有

（2.5.8）

（2.5.8）式表明，對(duì)于N階極點(diǎn)，需要求N－1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒(méi)有多階極點(diǎn)，則可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。如果F(z)在z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上的極點(diǎn)分成兩部分：一部分c是內(nèi)極點(diǎn)，設(shè)有N1個(gè)極點(diǎn)，用z1k表示；另一部分是c外極點(diǎn)，有N2個(gè)，用z2k表示。N=N1+N2。根據(jù)留數(shù)輔助定理，下式成立：（2.5.9）注意：（2.5.9）式成立的條件是F(z)的分母階次應(yīng)比分子階次高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z),P(z)和Q(z)分別是M與N階多項(xiàng)式。（2.5.9）式成立的條件是N－M－n+1≥2因此要求

n<N－M

（2.5.10）如果（2.5.10）式滿足，c圓內(nèi)極點(diǎn)中有多階極點(diǎn)，而c圓外沒(méi)有多階極點(diǎn)，則逆Z變換的計(jì)算可以按照（2.5.9）式，改求c圓外極點(diǎn)留數(shù)之和，最后加一個(gè)負(fù)號(hào)。

【例2.5.6】已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a,求其逆Z變換x(n)。

解

為了用留數(shù)定理求解，先找出F(z)的極點(diǎn)。顯然，F(xiàn)(z)的極點(diǎn)與n的取值有關(guān)。極點(diǎn)有兩個(gè)：z=a；當(dāng)n<0時(shí)，其中z=0的極點(diǎn)和n的取值有關(guān)。n≥0時(shí)，z=0不是極點(diǎn)；n<0時(shí)，z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)。因此，分成n≥0和n<0兩種情況求x(n)。

n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z1=a；

n<0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有2個(gè)極點(diǎn)：z1=a,a2=0（n階）；所以，應(yīng)當(dāng)分段計(jì)算x(n)。

n≥0時(shí)，n<0時(shí)，z=0是n階極點(diǎn)，不易求留數(shù)。采用留數(shù)輔助定理求解，先檢查（2.5.10）式是否滿足。該例題中N=M=1，N－M=0,所以n<0時(shí)，滿足（2.5.10）式，可以采用留數(shù)輔助定理求解，改求圓外極點(diǎn)留數(shù)，但對(duì)于F(z)，該例題中圓外沒(méi)有極點(diǎn)（見(jiàn)圖2.5.4），故n<0,x(n)=0。最后得到該例題的原序列為x(n)=anu(n)事實(shí)上，該例題由于收斂域是|z|>a，根據(jù)前面分析的序列特性對(duì)收斂域的影響知道，x(n)一定是因果序列，這樣n<0部分一定為零，無(wú)需再求。本例如此求解是為了證明留數(shù)輔助定理法的正確性。圖2.5.4例2.5.6中n<0時(shí)F(z)的極點(diǎn)分布

【例2.5.7】已知,求其逆變換x(n)。

解該例題沒(méi)有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。分析X(z)，得到其極點(diǎn)分布如圖2.5.5所示。圖中有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1，這樣收斂域有三種選法，它們是（1）|z|>|a－1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是因果序列；（2）|z|<|a|，對(duì)應(yīng)的x(n)是左序列；（3）|a|<|z|<|a－1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。圖2.5.5例2.5.7中X(z)的極點(diǎn)下面分別按照不同的收斂域求其x(n)。（1）收斂域?yàn)閨z|>|a－1|:

這種情況的原序列是因果的右序列，無(wú)須求n<0時(shí)的x(n)。當(dāng)n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1，因此最后表示成：x(n)=(an－a－n)u(n)。（2）收斂域?yàn)閨z|<|a|:這種情況原序列是左序列，無(wú)須計(jì)算n≥0情況。實(shí)際上，當(dāng)n≥0時(shí)，圍線積分c內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n<0時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和。

n<0時(shí),最后將x(n)表示成封閉式：

x(n)=(a－n－an)u(－n－1)

（3）收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a－1|:這種情況對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n≥0和n<0兩種情況分別求x(n)。

n≥0時(shí)，c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z=a, x(n)=Res［F(z),a］=an

n<0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有2個(gè)，其中z=0是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n

最后將x(n)表示為

即x(n)=a|n|

2．部分分式展開(kāi)法

對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列，常常也用部分分式展開(kāi)法求逆Z變換。設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項(xiàng)式是N階，分子多項(xiàng)式是M階，將X(z)展成一些簡(jiǎn)單的常用的部分分式之和，通過(guò)查表（參考表2.5.1）求得各部分的逆變換，再相加便得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展成下式:（2.5.11）

（2.5.12）觀察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)A0，在極點(diǎn)z=zm的留數(shù)就是系數(shù)Am。（2.5.13）

（2.5.14）

求出Am系數(shù)(m=0,1,2,

,N)后，查表2.5.1可求得x(n)序列。

【例2.5.8】已知

,2<|z|<3，求逆Z變換。

解

因?yàn)槭諗坑驗(yàn)?<|z|<3，第一部分極點(diǎn)是z=2，因此收斂域?yàn)閨z|>2。第二部分極點(diǎn)是z=-3，收斂域應(yīng)取|z|<3。查表2.5.1，得到：x(n)=2nu(n)+(－3)nu(－n－1)注意:在進(jìn)行部分分式展開(kāi)時(shí)，也用到求留數(shù)問(wèn)題；求各部分分式對(duì)應(yīng)的原序列時(shí)，還要確定它的收斂域在哪里，因此一般情況下不如直接用留數(shù)法求方便。一些常見(jiàn)的序列的Z變換可參考表2.5.1。表2.5.1常見(jiàn)序列的Z變換2.5.4

Z變換的性質(zhì)和定理下面介紹Z變換重要的性質(zhì)和定理。

1．線性性質(zhì)設(shè)m(n)=ax(n)+by(n)

a,b為常數(shù)

X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］Ry－<|z|<Ry+

則

M(z)=ZT［m(n)］=aX(z)+bY(z) Rm－<|z|<Rm+

（2.5.15）Rm+=min［Rx+,Ry+］Rm－=max［Rx－,Ry－］這里,M(z)的收斂域(Rm－,Rm+)是X(z)和Y(z)的公共收斂域，如果沒(méi)有公共收斂域，例如當(dāng)Rx+>Rx－>Ry+>Ry－時(shí)，則M(z)不存在。

2．序列的移位性質(zhì)

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

則（2.5.16）

3．序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì)

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

y(n)=anx(n)

a為常數(shù)則Y(z)=ZT［anx(n)］=X(a－1z)

|a|Rx－<|z|<|a|Rx+

因?yàn)镽x－<|a－1z|<Rx+，得到|a|Rx－<|z|<|a|Rx+。證明（2.5.17）

4．序列乘以n的ZT

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

則（2.5.18）證明

因此

5．復(fù)共軛序列的ZT性質(zhì)

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

則ZT［x*(n)］=X*(z*)

Rx－<|z|<Rx+

（2.5.19）證明

6．初值定理

設(shè)x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，則（2.5.20）

證明

因此

7．終值定理

若x(n)是因果序列，其Z變換的極點(diǎn)，除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在z=1上，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則

（2.5.21）

證明

因?yàn)閤(n)是因果序列，x(n)=0,n<0,所以因?yàn)?z－1)X(z)在單位圓上無(wú)極點(diǎn)，上式兩端對(duì)z=1取極限：終值定理也可用X(z)在z=1點(diǎn)的留數(shù)表示，因?yàn)?/p>

因此

x(∞)=Res［X(z),1］（2.5.22）如果在單位圓上X(z)無(wú)極點(diǎn)，則x(∞)=0。

8．時(shí)域卷積定理

設(shè)w(n)=x(n)*y(n)

X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］Rx－<|z|<Ry+1

則

W(z)=ZT［w(n)］=X(z)Y(z)

Rw－<|z|<Rw+

（2.5.23）Rw+=min［Rx+,Ry+］

Rw－=max［Rx－,Ry－］

證明

W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。

【例2.5.9】已知網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，|a|<1,網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。

解

y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用兩種方法，一種直接求解線性卷積，另一種是Z變換法。（1）（2）由收斂域判定

y(n)=0

n<0

n≥0時(shí)，

將y(n)表示為

9．復(fù)卷積定理

如果 ZT［x(n)］=X(z)

Rx－<|z|<Rx+

ZT［y(n)］=Y(z)

Ry－<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)則（2.5.24）

W(z)的收斂域?yàn)?/p>

Rx－Ry－<|z|<Rx+Ry+

(2.5.25)（2.5.24）式中υ平面上，被積函數(shù)的收斂域?yàn)椋?.5.26）

證明

由X(z)的收斂域和Y(z)的收斂域得到：

因此

【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|,0<|a|<1若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］。

解

W(z)的收斂域?yàn)閨a|<|z|≤∞；被積函數(shù)υ平面上的收斂域?yàn)閙ax(|a|,0)<|υ|<min(|a－1|,|z|)，υ平面上極點(diǎn)：a、a－1和z，c內(nèi)極點(diǎn)：z=a。令

10．帕斯維爾（Parseval）定理

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Rx－Ry－<1,Rx+Ry+>1那么（2.5.27）υ平面上，c所在的收斂域?yàn)?/p>

利用復(fù)卷積定理可以證明上面的重要的帕斯維爾定理。證明令w(n)=x(n)y*(n)按照（2.5.24）式得到：

按照（2.5.25）式，Rx－Ry－<|z|<Rx+Ry+;按照假設(shè)，z=1在收斂域中，將z=1代入W(z)中，則有

因此

如果x(n)和y(n)都滿足絕對(duì)可和，即單位圓上收斂，在上式中令υ=ejω，得到:

令x(n)=y(n)，得到：（2.5.28）上面得到的公式和在傅里葉變換中所講的帕斯維爾定理（2.2.34）式是相同的。（2.5.28）式還可以表示成下式：（2.5.29）注意：上式中X(z)收斂域包含單位圓，當(dāng)x(n)為實(shí)序列時(shí)，X(e－jω)=X*(ejω)。2.5.5利用Z變換解差分方程在第1章中介紹了差分方程的遞推解法，下面介紹Z變換解法。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過(guò)程簡(jiǎn)單。設(shè)N階線性常數(shù)差分方程為（2.5.30）

1．求穩(wěn)態(tài)解

如果輸入序列x(n)是在n=0以前∞時(shí)加上的，n時(shí)刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解，對(duì)（2.5.30）式求Z變換，得到：（2.5.31）式中

（2.5.32）

2．求暫態(tài)解對(duì)于N階差分方程，求暫態(tài)解必須已知N個(gè)初始條件。設(shè)x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始條件y(－1),y(－2),

,y(－N)。對(duì)（2.5.30）式進(jìn)行Z變換時(shí)，注意這里要用單邊Z變換。該方程式的右邊由于x(n)是因果序列，單邊Z變換與雙邊Z變換是相同的。下面先求移位序列的單邊Z變換。設(shè)（2.5.33）按照（2.5.33）式對(duì)（2.5.30）式進(jìn)行單邊Z變換，有（2.5.34）上式右邊第一部分與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，稱為零狀態(tài)解；而第二部分與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，稱為零輸入解。求零狀態(tài)解時(shí)，可用雙邊Z變換求解也可用單邊Z變換求解，求零輸入解卻必須考慮初始條件，用單邊Z變換求解。

【例2.5.11】已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(－1)=2,求y(n)。

解將已知差分方程進(jìn)行Z變換：

式中

于是

收斂域?yàn)閨z|>max(|a|,|b|),因此

式中第一項(xiàng)為零輸入解，第二項(xiàng)為零狀態(tài)解。2.6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻響特性2.6.1頻率響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)對(duì)輸入為單位脈沖序列δ(n)的響應(yīng)輸出稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。對(duì)h(n)進(jìn)行傅里葉變換,得到：

一般稱H(ejω)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，或稱系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。|H(ejω)|稱為幅頻特性函數(shù)，φ(ω)稱為相頻特性函數(shù)。（2.6.1）將h(n)進(jìn)行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對(duì)N階差分方程（1.4.2）式，進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式

（2.6.2）

如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，則H(ejω)與H(z)之間的關(guān)系如下：(2.6.3)H(ejω)表示系統(tǒng)對(duì)特征序列ejωn的響應(yīng)特性,這也是H(ejω)的物理意義所在，下面具體闡述。若系統(tǒng)輸入信號(hào)X(n)=ejωn,則系統(tǒng)輸出信號(hào)為

即上式說(shuō)明，單頻復(fù)指數(shù)信號(hào)ejωn通過(guò)頻率響應(yīng)函數(shù)為H(ejω)的系統(tǒng)后，輸出仍為單頻復(fù)指數(shù)序列，其幅度放大|H(ejω)|倍，相移為φ(ω)。為了加深讀者對(duì)H(ejω)物理意義的理解，下面以大家熟悉的正弦信號(hào)為例進(jìn)行討論。當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)x(n)=cos(ωn)時(shí)，求系統(tǒng)的輸出信號(hào)y(n):因?yàn)樗?，利用上面的結(jié)論可得到:設(shè)h(n)為實(shí)序列，則H*(ejω)=H(e－jω),|H(ejω)|=|H(e－jω)|,φ(ω)=－φ(－ω),故由此可見(jiàn)，線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)單頻正弦信號(hào)cos(ωn)的響應(yīng)為同頻正弦信號(hào)，其幅度放大|H(ejω）|倍，相移增加φ(ω)，這就是其名稱“頻率響應(yīng)函數(shù)”、“幅頻響應(yīng)”和“相頻響應(yīng)”的物理含義。如果系統(tǒng)輸入為一般的序列x(n)，則H(ejω)對(duì)x(n)的不同的頻率成分進(jìn)行加權(quán)處理。對(duì)感興趣的頻段，取|H（ejω)|=1，其他頻段|H(ejω)|=0,則Y(ejω)=X(ejω)·H（ejω),就實(shí)現(xiàn)了對(duì)輸入信號(hào)的濾波處理。因果（可實(shí)現(xiàn)）系統(tǒng)其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定是因果序列，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含∞點(diǎn)，即∞點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個(gè)圓內(nèi)，收斂域在某個(gè)圓外。系統(tǒng)穩(wěn)定要求,這里是存在的條件,對(duì)照Z(yǔ)變換與傅里葉變換的關(guān)系可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是H(z)的收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含∞點(diǎn)和單位圓，那么收斂域可表示為

r<|z|≤∞

0<r<12.6.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性這樣H(z)的極點(diǎn)集中在單位圓的內(nèi)部。具體系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性可由系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)分布和收斂域確定。下面通過(guò)例題說(shuō)明。 如果系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式階數(shù)較高（如3階以上），用手工計(jì)算極點(diǎn)分布并判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不是一件簡(jiǎn)單的事情。用MATLAB函數(shù)判定則很簡(jiǎn)單，判定函數(shù)程序如下:functionstab(A)%stab:系統(tǒng)穩(wěn)定性判定函數(shù)，A是H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù)向量disp(′系統(tǒng)極點(diǎn)為：′)P=roots(A) %求H(z)的極點(diǎn)，并顯示disp(′系統(tǒng)極點(diǎn)模的最大值為：′)M=max(abs(P))

%求所有極點(diǎn)模的最大值，并顯示ifM<1disp(′系統(tǒng)穩(wěn)定′),else,disp(′系統(tǒng)不穩(wěn)定′),end請(qǐng)注意，這里要求H(z)是正冪有理分式。給H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù)向量A賦值，調(diào)用該函數(shù)，求出并顯示系統(tǒng)極點(diǎn)，極點(diǎn)模的最大值M，判斷M值，如果M<1,則顯示“系統(tǒng)穩(wěn)定”，否則顯示“系統(tǒng)不穩(wěn)定”。如果H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù)A=［2－2.98

0.17

2.3418－1.5147］，則調(diào)用該函數(shù)輸出如下:

P=－0.9000

0.7000+0.6000i

0.7000－0.6000i

0.9900系統(tǒng)極點(diǎn)模的最大值為：M=0.9900系統(tǒng)穩(wěn)定。

【例2.6.1】已知，分析其因果性和穩(wěn)定性。

解

H(z)的極點(diǎn)為z=a,z=a－1，如圖2.5.5所示。（1）收斂域?yàn)閍－1<|z|≤∞:對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an－a－n)u(n)（參考例2.5.7），這是一個(gè)因果序列，但不收斂。（2）收斂域?yàn)?≤|z|<a:對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a－n－an)u(－n－1)（參考例2.5.7），這是一個(gè)非因果且不收斂的序列。圖2.6.1例2.6.1圖示（3）收斂域?yàn)閍<|z|<a－1:對(duì)應(yīng)一個(gè)非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個(gè)收斂的雙邊序列，如圖2.6.1(a)所示。下面分析如同例2.6.1這樣的系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。

H(z)的三種收斂域中，前兩種系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能選用；最后一種收斂域，系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果，還是不能具體實(shí)現(xiàn)。因此嚴(yán)格地講，這樣的系統(tǒng)是無(wú)法具體實(shí)現(xiàn)的。但是我們利用數(shù)字系統(tǒng)或者說(shuō)計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)性質(zhì)，可以近似實(shí)現(xiàn)第三種情況。方法是將圖2.6.1(a)從－N到N截取一段，再向右移，形成如圖2.6.1(b)所示的h′(n)序列，將h′(n)作為具體實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。N愈大，h′(n)表示的系統(tǒng)愈接近h(n)系統(tǒng)。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，預(yù)先將h′(n)存儲(chǔ)起來(lái)，備運(yùn)算時(shí)應(yīng)用。這種非因果但穩(wěn)定的系統(tǒng)的近似實(shí)現(xiàn)性，是數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)比模擬信息處理技術(shù)優(yōu)越的地方。說(shuō)明：對(duì)一個(gè)實(shí)際的物理實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其H(z)的收斂域是唯一的。2.6.3利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

將(2.6.2)式因式分解，得到：

式中，A=b0/a0,cr是H(z)的零點(diǎn)，dr是其極點(diǎn)。A參數(shù)影響頻率響應(yīng)函數(shù)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點(diǎn)cr和極點(diǎn)dr的分布。下面我們采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響。（2.6.4）將(2.6.4)式分子、分母同乘以zN+M

，得到：（2.6.5）設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=ejω代入上式，得到頻率響應(yīng)函數(shù)（2.6.6）在z平面上，ejω－cr用一根由零點(diǎn)cr指向單位圓上ejω點(diǎn)B的向量表示，同樣，ejω－dr用由極點(diǎn)指向ejω點(diǎn)B的向量表示，如圖2.6.2所示，即和分別稱為零點(diǎn)向量和極點(diǎn)向量，將它們用極坐標(biāo)表示：

將和表示式代入(2.6.7)式，得到：（2.6.7）（2.6.8）(2.6.9)系統(tǒng)的頻響特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式確定。當(dāng)頻率ω從0變化到2π時(shí)，這些向量的終點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，按照(2.6.8)式和(2.6.9)式，分別估算出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。例如圖2.6.2表示了具有一個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極點(diǎn)的頻率特性。圖2.6.2頻響的幾何表示法按照(2.6.8)式，知道零極點(diǎn)的分布后，可以很容易地確定零極點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)特性的影響。當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到極點(diǎn)附近時(shí)，極點(diǎn)相量長(zhǎng)度最短，因而幅度特性可能出現(xiàn)峰值，且極點(diǎn)愈靠近單位圓，極點(diǎn)相量長(zhǎng)度愈短，峰值愈高愈尖銳。如果極點(diǎn)在單位圓上，則幅度特性為∞，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)于零點(diǎn)，情況相反，當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到零點(diǎn)附近時(shí)，零點(diǎn)相量長(zhǎng)度變短，幅度特性將出現(xiàn)谷值，零點(diǎn)愈靠近單位圓，谷值愈接近零。當(dāng)零點(diǎn)處在單位圓上時(shí)，谷值為零?？偨Y(jié)以上結(jié)論：極點(diǎn)位置主要影響頻響的峰值位置及尖銳程度，零點(diǎn)位置主要影響頻響的谷點(diǎn)位置及形狀。這種通過(guò)零極點(diǎn)位置分布分析系統(tǒng)頻響的幾何方法為我們提供了一個(gè)直觀的概念，對(duì)于分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)是十分有用的。基于這種概念，可以用零極點(diǎn)累試法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單濾波器。下面介紹用MATLAB計(jì)算零、極點(diǎn)及頻率響應(yīng)曲線。首先介紹MATLAB工具箱中兩個(gè)函數(shù)zplane和freqz的功能和調(diào)用格式。

zplane繪制H(z)的零、極點(diǎn)圖。

zplane(z,p)繪制出列向量z中的零點(diǎn)（以符號(hào)“○”表示）和列向量p中的極點(diǎn)（以符號(hào)“×”表示），同時(shí)畫(huà)出參考單位圓，并在多階零點(diǎn)和極點(diǎn)的右上角標(biāo)出其階數(shù)。如果z和p為矩陣，則zplane以不同的顏色分別繪出z和p各列中的零點(diǎn)和極點(diǎn)。

zplane(B,A)繪制出系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點(diǎn)圖。其中B和A為系統(tǒng)函數(shù)H(z)=B(z)/A(z)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)用下式表示:則B=B(1)

B(2)

B(3)

B(M+1)］，A=［A(1)

A(2)

A(3)

A(N+1)］

freqz計(jì)算數(shù)字濾波器H(z)的頻率響應(yīng)。

H=freqz(B,A,w)計(jì)算由向量w指定的數(shù)字頻率點(diǎn)上數(shù)字濾波器H(z)的頻率響應(yīng)H(ejw)，結(jié)果存于H向量中。B和A仍為H(z)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量（同上）。［H,w］=freqz(B,A,M)計(jì)算出M個(gè)頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)，存放在H向量中，M個(gè)頻率存放在向量w中。freqz函數(shù)自動(dòng)將這M個(gè)頻率點(diǎn)均勻設(shè)置在頻率范圍［0,π］上。［H,w］=freqz(B,A,M,′whole′)自動(dòng)將M個(gè)頻率點(diǎn)均勻設(shè)置在頻率范圍［0,2π］上。當(dāng)然，還可以由頻率響應(yīng)向量H得到各采樣頻點(diǎn)上的幅頻響應(yīng)函數(shù)和相頻響應(yīng)函數(shù)；再調(diào)用plot繪制其曲線圖。|H(ejω)|=abs(H)φ(ω)=angle(H)式中，abs函數(shù)的功能是對(duì)復(fù)數(shù)求模，對(duì)實(shí)數(shù)求絕對(duì)值；angle函數(shù)的功能是求復(fù)數(shù)的相角。

freqz(B,A)自動(dòng)選取512個(gè)頻率點(diǎn)計(jì)算。不帶輸出向量的freqz函數(shù)將自動(dòng)繪出固定格式的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線。所謂固定格式,是指頻率范圍為［0,π］，頻率和相位是線性坐標(biāo)，幅頻響應(yīng)為對(duì)數(shù)坐標(biāo)。其他幾種調(diào)用格式可用命令help查閱。

【例2.6.2】已知H(z)=z－1，分析其頻率特性。

解由H(z)=z－1，可知極點(diǎn)為z=0，幅頻特性|H(ejω)|=1,相頻特性φ(ω)=－ω，頻響特性如圖2.6.3所示。用幾何方法也容易確定，當(dāng)ω=0轉(zhuǎn)到ω=2π時(shí)，極點(diǎn)向量的長(zhǎng)度始終為1。由該例可以得到結(jié)論：處于原點(diǎn)處的零點(diǎn)或極點(diǎn)，由于零點(diǎn)向量長(zhǎng)度或者極點(diǎn)向量長(zhǎng)度始終為1，因此原點(diǎn)處的零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性,但對(duì)相頻特性有貢獻(xiàn)。圖2.6.3

H(z)=z－1的頻響特性

【例2.6.3】設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為y(n)=by(n－1)+x(n)

用幾何法分析其幅度特性。

解由系統(tǒng)差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為

式中，0<b<1。系統(tǒng)極點(diǎn)z=b，零點(diǎn)z=0，當(dāng)B點(diǎn)從ω=0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，在ω=0點(diǎn)，由于極點(diǎn)向量長(zhǎng)度最短，形成波峰；在ω=π點(diǎn)形成波谷；z=0處零點(diǎn)不影響幅頻響應(yīng)。極零點(diǎn)分布及幅度特性如圖2.6.4所示。圖2.6.4例2.6.3插圖

【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，試定性畫(huà)出系統(tǒng)的幅頻特性。

解

H(z)的極點(diǎn)為z=0，這是一個(gè)N階極點(diǎn)，它不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。零點(diǎn)有N個(gè)，由分子多項(xiàng)式的根決定

即N個(gè)零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點(diǎn)分布如圖2.6.5所示。當(dāng)ω從0變化到2π時(shí)，每遇到一個(gè)零點(diǎn)，幅度為零，在兩個(gè)零點(diǎn)的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點(diǎn)頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。一般將具有如圖2.6.5所示的幅調(diào)用zplane和freqz求解本例的程序ep264.m如下:

％ep264.m:例2.6.4求解程序

B=［10000000–1］;A=1; ％設(shè)置系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和Asubplot(2,2,1);zplane(B,A); ％繪制零極點(diǎn)圖［H,w］=freqz(B,A); ％計(jì)算頻率響應(yīng)

subplot(2,2,2);plot(w/pi,abs(H)): ％繪制幅頻響應(yīng)曲線

xlabel(′＼omega^pi′);ylabel(′|H(e^j^＼omega)|′);axis(［0,1,0,2.5］)subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(H)); ％繪制相頻響應(yīng)曲線

xlabel(′＼omega^pi′);ylabel('phi