學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)了解典型輸入信號(hào)的形式。

(2)會(huì)利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(3)理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念,掌握穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法。

(4)能用MATLAB進(jìn)行控制系統(tǒng)時(shí)域分析。

3.1瞬態(tài)響應(yīng)

3.1.1典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào)是對(duì)復(fù)雜的實(shí)際信號(hào)的一種近似和抽象?？刂葡到y(tǒng)常用的典型輸入信號(hào)有單位階躍信號(hào)、單位斜坡信號(hào)、單位拋物線信號(hào)、正弦信號(hào)等。

1.單位階躍信號(hào)

圖3－1所示為單位階躍信號(hào),單位階躍信號(hào)的定義為

其拉式變換為

在時(shí)域分析中,階躍信號(hào)用的較為廣泛。如指令突然轉(zhuǎn)換、合閘、負(fù)荷突變都可近似看成是階躍信號(hào)。圖3－1單位階躍信號(hào)

2.單位斜坡信號(hào)

圖3－2所示為單位斜坡信號(hào),單位斜坡信號(hào)的定義為

其拉式變換為

在時(shí)域分析中,隨動(dòng)系統(tǒng)中恒速變化的位置指令信號(hào)、數(shù)控機(jī)床斜面的進(jìn)給指令和機(jī)械手的等速移動(dòng)指令等都可近似看成是斜坡信號(hào)。

3.單位拋物線信號(hào)

圖3－3所示為單位拋物線信號(hào),單位拋物線信號(hào)的定義為

其拉式變換為圖33單位拋物線信號(hào)

4.正弦信號(hào)

正弦信號(hào)的定義為

其拉式變換為

3.1.2瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)

為了便于分析和比較,在系統(tǒng)能穩(wěn)定工作的前提下,其瞬態(tài)性能通常以初始條件為零時(shí)系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的響應(yīng)特性來(lái)衡量,如圖3－4所示。

圖3－4單位階躍響應(yīng)

時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)一般有:

1.上升時(shí)間tr

上升時(shí)間tr是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線從0開(kāi)始到第一次到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。tr越小,表明系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)越快。

2.峰值時(shí)間tp

峰值時(shí)間tp是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線由0開(kāi)始越過(guò)穩(wěn)態(tài)值第一次到達(dá)峰值所需要的時(shí)間。

3.超調(diào)量σ%

超調(diào)量σ%是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比,即

4.調(diào)節(jié)時(shí)間ts

調(diào)節(jié)時(shí)間ts是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的±5%(或±2%)誤差范圍內(nèi),即輸出響應(yīng)進(jìn)入并保持在±5%(或±2%)誤差帶之內(nèi)所需要的時(shí)間。ts越小,表

示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程越短,系統(tǒng)快速性越好。

3.1.3一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng),它的典型形式是一階慣性環(huán)節(jié),即

1.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)r(t)=1(t)時(shí),有

對(duì)其進(jìn)行拉式變換,得到

一階慣性環(huán)節(jié)在單位階躍輸入下的響應(yīng)曲線如圖3－5所示。圖3－5一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線

2.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

當(dāng)r(t)=t時(shí),有

對(duì)其進(jìn)行拉式變換,得到

輸入與輸出間的誤差為

單位斜坡響應(yīng)曲線如圖3－6所示。圖3－6一階慣性環(huán)節(jié)的單位斜坡響應(yīng)曲線

3.1.4二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

可用二階微分方程描述其動(dòng)態(tài)過(guò)程的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。

1.二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)

式中,ζ為阻尼比;ωn為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。

若令

則兩個(gè)特征根為

二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)也可寫(xiě)成如下形式

其中

2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

1)欠阻尼

當(dāng)0<ζ<1時(shí),稱為欠阻尼。此時(shí),其傳遞函數(shù)可表示為

當(dāng)r(t)=1(t)時(shí),則

對(duì)其進(jìn)行拉式反變換,得

2)臨界阻尼

當(dāng)ζ=1時(shí),稱為臨界阻尼。此時(shí),其傳遞函數(shù)可表示為

當(dāng)r(t)=1(t)時(shí),則

對(duì)其進(jìn)行拉式反變換,得

3)過(guò)阻尼

當(dāng)ζ>1時(shí),稱為過(guò)阻尼。此時(shí),其傳遞函數(shù)可表示為

4)零阻尼

當(dāng)ζ=0時(shí),稱為零阻尼。此時(shí),其傳遞函數(shù)可表示為

當(dāng)r(t)=1(t)時(shí),則

對(duì)其進(jìn)行拉式反變換,得

3.二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)

下面對(duì)欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)進(jìn)行討論和計(jì)算。

1)上升時(shí)間tr

其中

2)峰值時(shí)間tp

3)超調(diào)量σ%

超調(diào)量σ%是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比,即

4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts

例3-1如圖3-7所示的某二階系統(tǒng),其中ζ=0.5,ωn=4rad/s。當(dāng)輸入信號(hào)為階躍函數(shù)時(shí),試求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。圖3-7某二階系統(tǒng)方框圖

解根據(jù)方框圖可列寫(xiě)出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

3.2穩(wěn)定性

3.2.1系統(tǒng)穩(wěn)定性概念系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指自動(dòng)控制系統(tǒng)在受到擾動(dòng)作用使平衡狀態(tài)破壞后,經(jīng)過(guò)調(diào)節(jié),能重新達(dá)到平衡狀態(tài)的性能。如果系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài),而且這種偏離不斷擴(kuò)大,即使擾動(dòng)消失,系統(tǒng)也不能回到平衡狀態(tài),該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的,如圖3－8(a)所示;若通過(guò)系統(tǒng)自身的調(diào)節(jié)作用,使偏差最后逐漸減小,系統(tǒng)又恢復(fù)到平衡狀態(tài),該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的,如圖3－8(b)所示。圖3－8不穩(wěn)定系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng)

系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念可分為絕對(duì)穩(wěn)定性和相對(duì)穩(wěn)定性兩種。系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)穩(wěn)定(或不穩(wěn)定)的條件,即形成如圖3－8(b)所示狀況的充要條件。系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性是指

穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。圖3－9(a)所示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性就明顯好于如圖3－9(b)所示的系統(tǒng)。圖3－9自動(dòng)控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:如圖3－8所示,穩(wěn)定的系統(tǒng),其過(guò)渡過(guò)程是收斂的,即其輸出量的動(dòng)態(tài)分量必須趨近于零。用數(shù)學(xué)的方法來(lái)研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,可以得知

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是:其閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根必須具有負(fù)實(shí)部。也就是說(shuō),系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是閉環(huán)特征方程的所有根必須分布在s平面的左半平面上。s平面的虛軸是穩(wěn)

定的邊界。系統(tǒng)穩(wěn)定與否取決于特征方程的根,即取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù),而與輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān)。

3.2.2勞斯判據(jù)

設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

根據(jù)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)排列成勞斯表

其中,表中前面兩行由間隔取特征方程中系數(shù)形成;從第三行開(kāi)始,各元素的計(jì)算按下述規(guī)律推算:

以此類推,可求出n+1行的各系數(shù)。

1.勞斯判據(jù)的一般情況

若特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)都大于零(必要條件),且勞斯表中第一列元素均為正值,則所有的特征根位于s左半平面,相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則,系統(tǒng)不穩(wěn)定,且第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)等于該特征方程的正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。

例3－2已知系統(tǒng)特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解從系統(tǒng)特征方程看出,其所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫(xiě)勞斯判據(jù)列表如下:

第一列系數(shù)均為正數(shù),故系統(tǒng)穩(wěn)定

例3－3已知系統(tǒng)特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解從系統(tǒng)特征方程看出,其所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫(xiě)勞斯判據(jù)列表如下

例3－4某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K值的范圍。

解該單位負(fù)反饋系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為:

整理得

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件ai>0,則要求K>0。

列寫(xiě)勞斯判據(jù)列表如下

令

可得

2.勞斯判據(jù)的兩種特殊情況

(1)勞斯表中某行的第一列項(xiàng)為零,而其余各項(xiàng)不為零或不全為零。

例3－5設(shè)系統(tǒng)特征方程為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解從系統(tǒng)特征方程看出,其所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫(xiě)勞斯判據(jù)列表如下:

令ε→0,s1行第一列系數(shù)符號(hào)為負(fù),則第一列系數(shù)符號(hào)改變次數(shù)為2,因此特征方程有兩個(gè)具有正實(shí)部的根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(2)勞斯表中出現(xiàn)第k全零行。

在該種情況下可做如下處理:

①利用第k-1行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式,它的次數(shù)總是偶數(shù);

②求輔助多項(xiàng)式對(duì)s的導(dǎo)數(shù),將其系數(shù)構(gòu)成新行,以代替全部為零的一行;

③計(jì)算勞斯陣列表;

④對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的根可由輔助多項(xiàng)式等于零(即輔助方程式)求得。

用系數(shù)24取代全零行,并將勞斯表重新整理,可得

由此可知,該系統(tǒng)特征方程在s右半平面上沒(méi)有特征根,但s1行為全零行,表明特征方程中存在大小相等、符號(hào)相反的特征根。由輔助方程F(s)=0可得根為±j2,顯然系統(tǒng)

處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

3.3穩(wěn)態(tài)誤差分析

3.3.1穩(wěn)態(tài)誤差的概念一個(gè)好的控制系統(tǒng)要求穩(wěn)定、快速、準(zhǔn)確,而穩(wěn)態(tài)誤差就是控制系統(tǒng)精度的度量。設(shè)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖3－10所示。圖3－10控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)

系統(tǒng)誤差的一般定義為期望值與實(shí)際值的差值。一般情況下,系統(tǒng)的給定值即輸入量與輸出量為不同的物理量,因此系統(tǒng)的誤差不直接用它們的差值來(lái)表示,而是用給定值與反饋量的差值來(lái)定義,即

給定值代表了期望值,反饋量表示實(shí)際值。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)來(lái)說(shuō),反饋量b(t)就等于輸出量c(t)。穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差值,即

3.3.2穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算

1.給定信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

當(dāng)僅僅考慮給定信號(hào)作用下引起的系統(tǒng)誤差時(shí),可暫時(shí)不考慮擾動(dòng)量N(s),設(shè)定N(s)=0。根據(jù)圖3－10,可得到誤差函數(shù)為

根據(jù)終值定理可得

令控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

(2)斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及速度誤差系數(shù)的計(jì)算。

定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)為

則

(3)拋物線輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及加速度誤差系數(shù)的計(jì)算。

綜上所述,將不同系統(tǒng)在各種不同控制輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差總結(jié)如表3－1所示。圖3－11例3－7圖

2.擾動(dòng)信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

當(dāng)僅僅考慮擾動(dòng)信號(hào)作用下引起的系統(tǒng)誤差時(shí),設(shè)定R(

s)=0,根據(jù)圖3－10,可得到誤差函數(shù)為圖3－12例3－8圖

解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

可見(jiàn)為Ⅰ型系統(tǒng)。

3.4應(yīng)用MATLAB進(jìn)行控制系統(tǒng)時(shí)域分析

計(jì)算機(jī)仿真是進(jìn)行系統(tǒng)分析常用的方法,特別當(dāng)分析高階系統(tǒng)及繪制時(shí)域響應(yīng)曲線時(shí)會(huì)更加有效。MATLAB中的控制系統(tǒng)工具箱提供了脈沖、階躍、任意函數(shù)等多時(shí)域響應(yīng)求解函數(shù)。

如線性定常系統(tǒng)G(s)的傳遞函數(shù)為多項(xiàng)式之比形式,num、den為降冪排列的分子、分母系數(shù)向量,t為仿真時(shí)間,

y為在時(shí)間t內(nèi)的輸出響應(yīng),x是時(shí)間t內(nèi)的狀態(tài)響應(yīng),sys是由函數(shù)tf得到的代表G(s)的傳遞函數(shù)變量,則時(shí)域響應(yīng)函數(shù)的調(diào)用格式為:

任意函數(shù)由u定義,它是與t相對(duì)應(yīng)的輸入向量。調(diào)用時(shí)如果沒(méi)有設(shè)定返回變量,則MATLAB會(huì)直接繪出輸出的響應(yīng)曲線。如果調(diào)用step和impulse默認(rèn)輸入?yún)?shù)t,則MATLAB會(huì)自動(dòng)確定仿真時(shí)間和采樣周期。

階躍響應(yīng)的穩(wěn)定值為

或

例3－9已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

用MATLAB求其單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng),繪制出響應(yīng)曲線,并求單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)。

曲線繪制結(jié)果如圖3－13所示,其中(a)為單位脈沖響應(yīng)曲線,(b)為單位階躍響應(yīng)曲線。圖3－13例3－9的輸出響應(yīng)曲線

單元小結(jié)

(1)時(shí)域分析法中的典型輸入信號(hào)有單位階躍信號(hào)、單位斜坡信號(hào)、單位拋物線信號(hào)和正弦信號(hào)等。(2)動(dòng)態(tài)過(guò)程又可稱為過(guò)渡過(guò)程或瞬態(tài)過(guò)程,是指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。穩(wěn)態(tài)過(guò)程是指時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)過(guò)程又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng),表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度,提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信號(hào)。穩(wěn)態(tài)過(guò)程用穩(wěn)態(tài)性能描述。

(3)時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)一般有:

①上升時(shí)間是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線從0開(kāi)始到第一次到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間,tr越小,表明系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)越快。

②峰值時(shí)間是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線由0開(kāi)始越過(guò)穩(wěn)態(tài)值第一次到達(dá)峰值所需要的時(shí)間。

③超調(diào)量是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比,即

若c(tp)<c(￥),則響應(yīng)無(wú)超調(diào)。σ%反映的是系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)程中平穩(wěn)性的狀況。

④調(diào)節(jié)時(shí)間是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的±5%(或±2%)誤差范圍內(nèi),即輸出響應(yīng)進(jìn)入并保持在±5%(或±2%)誤差帶之內(nèi)所需要的時(shí)間。ts越小,

表示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程越短,系統(tǒng)快速性越好。

(4)系統(tǒng)能正常工作的首要條件是系統(tǒng)穩(wěn)定?？刹捎脛谒古袚?jù)來(lái)判斷