試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題08無刻度直尺作圖（35題）1．（2025·江西·中考真題）如圖，在6×5的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，請僅用無刻度直尺按下列要求完成作圖．（保留作圖痕跡）(1)在圖1中作出BC的中點；(2)在圖2中作出△ABC的重心．2．（2024·江西·中考真題）如圖，AC為菱形ABCD的對角線，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）(1)如圖1，過點B作AC的垂線；(2)如圖2，點E為線段AB的中點，過點B作AC的平行線．3．（2023·江西·中考真題）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中作銳角△ABC，使點C在格點上；(2)在圖2中的線段AB上作點Q，使PQ最短．4．（2022·江西·中考真題）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作∠ABC的角平分線；(2)在圖2中過點C作一條直線l，使點A，B到直線l的距離相等．5．（2021·江西·中考真題）已知正方形ABCD的邊長為4個單位長度，點E是CD的中點，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中，將直線AC繞著正方形ABCD的中心順時針旋轉(zhuǎn)45°；（2）在圖2中，將直線AC向上平移1個單位長度．6．（2025·江西·模擬預(yù)測）如圖，在5×5的方格紙上有一線段AB，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)如圖1，在線段AB找一點C，使得AC=BC；(2)如圖2，在方格紙上有一點D，E，在線段AB上找一點F，使得DF+EF值最?。?．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的6×6網(wǎng)格，每個邊長為1的小正方形的頂點叫做格點，圖中A、B、C、D都是格點，E是AB上一點，僅用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖．(1)在圖1中，在線段AD上找點F，使得AF=AE；(2)在圖2中，在線段CD上找點H，使得四邊形BEHC為矩形．8．（2025·江西九江·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形AFDE是平行四邊形，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，點F與點O重合，請作出AD的中點G．(2)在圖2中，請作出AD的中點H．9．（2025·江西撫州·二模）如圖是6×6的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格邊長為1，△ABC的頂點均在格點上．已知△ABC的外接圓，請僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成作圖，保留作圖痕跡．(1)作△ABC的外接圓的直徑AD；(2)過點B作△ABC的外接圓的切線BE．10．（2025·江西撫州·二模）如圖，在邊長為1個單位長度的正六邊形ABCDEF中，連接AC，請僅用無刻度的直尺按下列要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，將線段AC沿CD方向平移2個單位長度；(2)在圖2中，P是AC上一點，連接AD，作點P關(guān)于AD的對稱點．11．（2025·江西九江·二模）在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的三個頂點的位置如圖所示．請僅用無刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作出BC邊上的高AH；(2)在圖2中作出線段BC的三等分點E，F(xiàn)．12．（2025·江西撫州·一模）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠B=∠ADE=90°，點D在AC上．請僅用無刻度的直尺，分別按照下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖（1）中，作出∠BAC的平分線；(2)在圖（2）中，作出∠CAE的平分線．13．（2025·江西九江·一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，請僅用無刻度的直尺，按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖1中過點A作△ABC的中線AD．(2)在圖2中作∠A的平分線AE．14．（2025·江西九江·一模）如圖是6×6的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點都在格點上，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，作線段DE∥BC，點D，E分別在AC，AB上且(2)如圖2，在△ABC的邊AC上找一點F，使∠ABF=45°．15．（2025·江西南昌·二模）如圖是由邊長為1的小正方形組成7×6網(wǎng)格，小正方形的頂點為格點，圖中的點A，B，C在格點上．請僅用無刻度直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)如圖1，作∠BAC的平分線AD；(2)如圖2，在AC上找一點E，使得∠BAC=2∠CBE．16．（2025·江西宜春·二模）如圖，已知△ABC和△DEF是兩個全等的等腰三角形，且底邊BC，(1)在圖（1）中，作出EC的中點G；(2)在圖（2）中，作出以AB，17．（2025·江西新余·三模）如圖，在正六邊形ABCDEF的右側(cè)作正方形BCGH，連接AC．請你僅用無刻度的直尺完成以下作圖．(1)在圖1中，在正方形BCGH的內(nèi)部取點M，使點M與點D關(guān)于直線AC對稱；(2)在圖2中，在正方形BCGH的內(nèi)部取點P，使AP=AC．18．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）如圖是8×8的正方形網(wǎng)格，已知格點△ABC(頂點在小正方形頂點處的三角形稱為格點三角形)，請僅用無刻度直尺完成下列作圖（要求保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

(1)在圖1中，作AB邊的垂直平分線；(2)在圖2中，在AB邊上找一點D，作線段CD，使得S19．（2025·江西南昌·三模）在正方形網(wǎng)格中，圓經(jīng)過格點A，B，請僅用無刻度的直尺作圖：(1)在圖1中，作圓的直徑AC；(2)在圖2中，在圓上找一點D，使AD=AB．20．（2025·江西新余·二模）如圖是6×6的正方形網(wǎng)格，點M，N，P均在格點上，請僅用無刻度直尺畫出符合要求的圖形，保留必要的畫圖痕跡．(1)請在圖1中畫出過點P且與MN垂直的線段PE；(2)請在圖2中畫出點P關(guān)于MN的對稱點Q．21．（2025·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O的割線BD垂直，垂足為C，請僅用無刻度的直尺，按下列要求畫圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）(1)在圖1中，過點A作直線l的平行線m；(2)在圖2中，過點A作直線l的垂線n．22．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，在△ABC中，∠A為銳角，其頂點A，B都在⊙O上，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，△ABC的頂點C在⊙O上，作頂點為B的∠A的余角．(2)在圖2中，△ABC的頂點C在⊙O內(nèi)，作頂點在直線AC上的∠A的余角．23．（2025·江西·模擬預(yù)測）如圖，△AB′C′是由△ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)135°得到的，若(1)在圖1中作△ABC的角平分線BD；(2)在圖2中畫以AB為邊的菱形．24．（2025·江西·一模）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AB的中點，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）．(1)在圖1中，畫出以AB為底邊的等腰△ABF，且S△ABF(2)在圖2中，已知F是BC的中點，請畫出以EF為邊的正方形EFGH，且S正方形25．（2025·江西上饒·一模）如圖，這是6×6的方格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點A，B，C均在格點上，并畫出了△ABC的外接圓，請僅用無刻度的直尺在給定的方格中按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中的BC上作點D，使得sin∠BAD=(2)在圖2中的AC上作點E，使得sin∠EAC=26．（2025·江西新余·一模）如圖，在矩形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AC=3AE．請僅用無刻度的直尺分別按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作AD的中點P．(2)在圖2中作點N，使得AC=3CN．27．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖，在矩形ABCD中，E為BC的中點，且AD=2CD=2，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)如圖1，作一面積為2的等腰直角三角形AFD．(2)如圖2，作一面積為2的正方形AEDG，且點G在BC的上方．28．（2025·江西贛州·二模）在7×7的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖．（保留畫圖痕跡，畫圖過程中輔助線用虛線，畫圖結(jié)果用實線、實心點表示）(1)如圖1，AB的長為______，畫出△ABC的高BD．(2)如圖2，在線段AB上求作點E，使AE=2．29．（2025·江西新余·二模）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．按要求完成下列畫圖．（要求：用無刻度直尺，保留必要的畫圖痕跡，不寫畫法）(1)在圖（1）中畫出一個△ABP，使S△ABP=S△ABC，P為格點（點(2)在圖（2）中的邊BC上找一點D，使點D到AB和AC所在直線距離相等．30．（2025·江西南昌·一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，D是AC的中點．請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作出邊BC上的中線AP．(2)在圖2中作出等腰三角形ABE，使得AE=AB．31．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）請僅用無刻度直尺按下列要求作圖，并保留作圖痕跡．(1)在圖①中，已知矩形ABCD的頂點A,B在圓上，請找出圓心O．(2)在圖②中，弦MN上兩點A,B滿足AM=BN，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，直角頂點C在圓上，請找出圓心P．32．（2025·江西·模擬預(yù)測）如圖，銳角△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，E為邊BC的中點，D在邊CA的延長線上．請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，作出一條與弦BC垂直的直徑；(2)在圖2中，作出∠BAD的平分線AG．33．（2025·江西宜春·模擬預(yù)測）如圖，已知點A，B在圓上，以AB為邊在圓內(nèi)作正方形，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖1中作出圓的一條直徑；(2)在圖2中作出圓內(nèi)接正方形．34．（2025·江西·模擬預(yù)測）如圖，已知△ABC≌△DEC，且點B，C，D在同一直線上．請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）(1)在圖1中，作出∠α，使∠α=(2)在圖2中，在直線BC的上方作出∠β，使∠β=∠ACB35．（2025·江西九江·模擬預(yù)測）已知平行四邊形ABCD，僅用無刻度的直尺分別在圖1和圖2中作出線段CF，使CF=AE．

專題08無刻度直尺作圖（35題）1．（2025·江西·中考真題）如圖，在6×5的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，請僅用無刻度直尺按下列要求完成作圖．（保留作圖痕跡）(1)在圖1中作出BC的中點；(2)在圖2中作出△ABC的重心．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計，矩形的性質(zhì)，以及三角形重心的定義．（1）利用矩形的性質(zhì)即可作出BC的中點；（2）根據(jù)△ABC的重心就是三邊中線的交點，即可作出圖形．【詳解】（1）解：如圖，點D即為所作；；（2）解：如圖，點F即為所作；．2．（2024·江西·中考真題）如圖，AC為菱形ABCD的對角線，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）(1)如圖1，過點B作AC的垂線；(2)如圖2，點E為線段AB的中點，過點B作AC的平行線．【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析．【分析】（1）作直線BD，由菱形的性質(zhì)可得BD⊥AC，即BD為AC的垂線；（2）連接CE并延長，與DA的延長線相交于點M，作直線BM，因為點E為線段AB的中點，所以AE=BE，因為AM∥BC，所以∠EAM=∠EBC，∠EMA=∠ECB，故可得△AEM≌△BEC，得到ME=CE，所以四邊形ACBM為平行四邊形，即本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，掌握菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，BD即為AC所求；（2）解：如圖，BM即為所求．3．（2023·江西·中考真題）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中作銳角△ABC，使點C在格點上；(2)在圖2中的線段AB上作點Q，使PQ最短．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）如圖，取格點K，使∠AKB=90°，在K的左上方的格點C滿足條件，再畫三角形即可；（2）利用小正方形的性質(zhì)取格點M，連接PM交AB于Q，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，△ABC即為所求作的三角形；

（2）如圖，Q即為所求作的點；

【點睛】本題考查的是復(fù)雜作圖，同時考查了三角形的外角的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，垂線段最短，熟記基本幾何圖形的性質(zhì)再靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．4．（2022·江西·中考真題）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作∠ABC的角平分線；(2)在圖2中過點C作一條直線l，使點A，B到直線l的距離相等．【答案】(1)作圖見解析部分(2)作圖見解析部分【分析】（1）連接AC，HG，AC與HG交于點P，作射線BP即可；（2）取格點D，過點C和點D作直線l即可．【詳解】（1）解：如圖1，連接AC、HG，AC與HG交于點P，設(shè)小正方形的邊長為1個單位，∵線段AC和HG是矩形的兩條對角線且交于點P，∴AP=CP，又∵AB=22+∴AB=BC，∴BP平分∠ABC，∴射線BP即為所作；（2）如圖2，連接AD、AB、BC、CD，直線l經(jīng)過點C和點D，設(shè)小正方形的邊長為1個單位，∴AB=22+BC=22+∴AB=AD=CD=BC，∴四邊形ABCD是菱形，又∵AE=DF=1，BE=AF=2，∠AEB=∠DFA=90°，在△AEB和△DFA中，AE=DF∴△AEB≌△DFASAS∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠DAF+∠BAE=90°，∴∠BAD=90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥l，BC⊥l，且AD=BC，∴直線l即為所作．【點睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．5．（2021·江西·中考真題）已知正方形ABCD的邊長為4個單位長度，點E是CD的中點，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中，將直線AC繞著正方形ABCD的中心順時針旋轉(zhuǎn)45°；（2）在圖2中，將直線AC向上平移1個單位長度．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接BD與AC相交于O，連接AE與BD相交于P，連接CP并延長交AD于F，直線OF即為所求；（2）設(shè)AE與OF交于G，連接OE交CF于H，則直線GH即為所求．【詳解】（1）如圖，直線OF即為所求；∵AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，∴△ADP?△CDP，∴∠DAE=∠DCF，∵AD=CD，∠ADE=∠CDF=90°，∴△ADE?△CDF，∴DE=DF，∵點E是CD的中點，∴點F是AD的中點，∵∠AOD=90°，且AO=OD，∴∠AOF=45°；（1）如圖，直線GH即為所求；由三角形中位線定理知OG=12CF=1，OH=12AF=1，且∠∴OG=OH，∴△GOH是等腰直角三角形，∴∠HOC=∠OHG=45°，∴GH∥AC，且OG=1．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．6．（2025·江西·模擬預(yù)測）如圖，在5×5的方格紙上有一線段AB，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)如圖1，在線段AB找一點C，使得AC=BC；(2)如圖2，在方格紙上有一點D，E，在線段AB上找一點F，使得DF+EF值最小．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）取如圖所示的點，結(jié)合矩形的性質(zhì)即可求點C的位置如圖；（2）取格點H1和D1，根據(jù)格點可證明△BAD1≌△H1ED，則AB⊥EH1，取格點N和點M，根據(jù)勾股定理和網(wǎng)格的性質(zhì)可得BE=BN，且NM∥AB，延長EH1交MN于點E′，在△EE′【詳解】（1）解：如圖，（2）解：如圖，【點睛】本題主要考查網(wǎng)格作圖，涉及矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉網(wǎng)格的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)．7．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的6×6網(wǎng)格，每個邊長為1的小正方形的頂點叫做格點，圖中A、B、C、D都是格點，E是AB上一點，僅用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖．(1)在圖1中，在線段AD上找點F，使得AF=AE；(2)在圖2中，在線段CD上找點H，使得四邊形BEHC為矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接ED,AC交于點K，連接BK交AD于點F，點F即為所求；（2）連接ED，根據(jù)網(wǎng)格的特點找到AD,BC的中點，S,Q，連接SQ交ED于點T，連接AT并延長，交CD于點H，連接EH，則矩形BEHC即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，連接ED,AC交于點K，連接BK交AD于點F，點F即為所求；∵AB=BC=CD=DA=1∴四邊形ABCD是菱形，又AC=∴A∴∠ABC=90°∴四邊形ABCD是正方形；根據(jù)對稱性可得AF=AE；（2）解：如圖所示，連接ED，根據(jù)網(wǎng)格的特點找到AD,BC的中點S,Q，連接SQ交ED于點T，連接AT并延長，交CD于點H，連接EH，則矩形BEHC即為所求；根據(jù)作圖可得SQ垂直平分AD，則TA=TD，∴∠HAD=∠EDA，又AD=DA，∠EAD=∠HDA∴△AED≌△DHA∴AE=DH，∴AB?AE=CD?DH，即BE=CH，∵BE∥∴四邊形BEHC是平行四邊形，由∠EBC=90°∴四邊形BEHC是矩形．【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理與網(wǎng)格問題，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2025·江西九江·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形AFDE是平行四邊形，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，點F與點O重合，請作出AD的中點G．(2)在圖2中，請作出AD的中點H．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了復(fù)雜作圖，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理，熟練掌握相關(guān)知識的性質(zhì)是作圖的關(guān)鍵．（1）連接OE并延長交⊙O于G，連接AD交OE于M，則根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得到AM=MD，根據(jù)平分弦（不是直徑）的直徑且垂直于弦,平分弦所對的兩條弧可得OG平分AD；（2）由（1）可作AD的中點H，由中位線定理的圓周角定理定理得到ON⊥AD，同（1）理．【詳解】（1）解：如圖1，點G即為AD的中點；（2）解：如圖2，點H即AD的中點．9．（2025·江西撫州·二模）如圖是6×6的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格邊長為1，△ABC的頂點均在格點上．已知△ABC的外接圓，請僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成作圖，保留作圖痕跡．(1)作△ABC的外接圓的直徑AD；(2)過點B作△ABC的外接圓的切線BE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了無刻度直尺作圖，三角形的外接圓，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．（1）根據(jù)直徑所對圓周角為90°，結(jié)合網(wǎng)格的特征，取格點P,Q，則∠APQ=90°，即PQ交圓于點D，連接AD即可；（2）由（1）知AD為△ABC的外接圓的直徑，利用網(wǎng)格的特征，取AD中點O，即為△ABC的外接圓的圓心，連接OB，再利用網(wǎng)格的特征，取格點E，作直線BE，可得∠OBE=90°，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，直徑AD即為所求．（2）解：如圖，切線BE即為所求．AI10．（2025·江西撫州·二模）如圖，在邊長為1個單位長度的正六邊形ABCDEF中，連接AC，請僅用無刻度的直尺按下列要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，將線段AC沿CD方向平移2個單位長度；(2)在圖2中，P是AC上一點，連接AD，作點P關(guān)于AD的對稱點．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)，平移和軸對稱，正確掌握正六邊形的性質(zhì)是解答關(guān)鍵．（1）分別延長DE、FE，分別交AF和CD的延長線于點G，H，連接GH，則線段GH是線段AC沿CD方向平移2個單位長度得的；（2）分別連接PE,AE,AD，設(shè)PE與AD交于點L，連接CL，并延長，交AE于點Q，則點Q為點P關(guān)于AD的對稱點．【詳解】（1）解：如圖，GH即為所作；（2）解：如圖，點Q為點P關(guān)于AD的對稱點．11．（2025·江西九江·二模）在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的三個頂點的位置如圖所示．請僅用無刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作出BC邊上的高AH；(2)在圖2中作出線段BC的三等分點E，F(xiàn)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了格點作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）取格點M、N，連接BM、CN相交于O，連接AO并延長交BC于H即可；（2）取格點M、N、P、Q，連接MN、PQ交BC于E、F即可．【詳解】（1）解：如圖，BH即為所求，理由：如圖，，由網(wǎng)格可知：BP=QN=1，AP=CQ=3，∠APB=∠CQN=90°，∴△APB∽△CQN，∴∠ABP=∠CNQ，又∠ABP+∠BAP=90°，∠ANG=∠CNQ∴∠ANG+∠BAP=90°，∴∠AGN=90°，∴CN⊥AB，同理BM⊥AC，∴AH⊥BC；（2）解：如圖，點E、F即為所求，理由：由網(wǎng)格知GM=MP=CP，BN=NQ=DQ，BG∥∴BFEF=GM∴BF=EF，EF=CE，∴BF=EF=CE，∴E、F為BC的三等分點．12．（2025·江西撫州·一模）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠B=∠ADE=90°，點D在AC上．請僅用無刻度的直尺，分別按照下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖（1）中，作出∠BAC的平分線；(2)在圖（2）中，作出∠CAE的平分線．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）如圖，延長ED交BC于M，作射線AM，則AM即為∠BAC的平分線；（2）如圖，連接CE，連接BD并延長與CE交于點N，作射線AN，則AN即為∠CAE的平分線；【詳解】（1）解：如圖，延長ED交BC于M，作射線AM，則AM即為∠BAC的平分線；理由：∵∠B=∠ADE=90°，∴∠B=∠ADM=90°，∵AB=AD，AM=AM，∴Rt△ABM≌∴∠BAM=∠DAM，∴AM為∠BAC的平分線；（2）解：如圖，連接CE，連接BD并延長與CE交于點N，作射線AN，則AN即為∠CAE的平分線；理由：∵AB=AD，AC=AE，∠B=∠ADE=90°，∴Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABD=∠ADB∴∠BAC=∠DAE，∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=∠CDN，∴DN=CN，∵∠CDE=∠ADE=90°，∴∠EDN+∠NDC=90°=∠DEC+∠DCE，∴∠EDN=∠NED，∴DN=EN，∴CN=EN，∵AC=AE，∴AN為∠CAE的平分線；【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練的畫圖是解本題的關(guān)鍵．13．（2025·江西九江·一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，請僅用無刻度的直尺，按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖1中過點A作△ABC的中線AD．(2)在圖2中作∠A的平分線AE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形中線、角平分線、勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中線、角平分線、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．（1）根據(jù)題意，結(jié)合矩形的性質(zhì)，首先找到BC的中點D，連接AD即可完成作圖；（2）在AB上，從A點起往下數(shù)5格得點D，使AD=AC，結(jié)合網(wǎng)格的特點找到CD的中點F，連接AF交BC于點E，AE即為∠BAC的角平分線．【詳解】（1）解：如圖1，AD即為所求．（2）如圖2，AE即為所求．14．（2025·江西九江·一模）如圖是6×6的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點都在格點上，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，作線段DE∥BC，點D，E分別在AC，AB上且(2)如圖2，在△ABC的邊AC上找一點F，使∠ABF=45°．【答案】(1)見解析(2)見解析．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)“對角線相互平分”，結(jié)合三角形中位線定理，分別取AB，AC的中點E，D，連接（2）取AB的中點D，連接CD，取CD的中點E，連接BE并延長，交AC于點F，則點F即為所求．本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖、三角形中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【詳解】（1）解：如圖所示，根據(jù)矩形的性質(zhì)，分別取到AB，AC的中點E，D，連接ED，則線段（2）解：如圖2，取AB的中點D，連接CD，取CD的中點E，連接BE并延長，交AC于點F，此時BC=12+∴∠CBD=90°，∴∠DBE=45°，即∠ABF=45°，則點F即為所求．15．（2025·江西南昌·二模）如圖是由邊長為1的小正方形組成7×6網(wǎng)格，小正方形的頂點為格點，圖中的點A，B，C在格點上．請僅用無刻度直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)如圖1，作∠BAC的平分線AD；(2)如圖2，在AC上找一點E，使得∠BAC=2∠CBE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖，取格點Q,F，連接QF交CB于D即可；（2）如圖，在（1）的作圖情況下，記AD，CF的交點為T，連接BT并延長交AC于E，則點E即為所求；【詳解】（1）解：如圖，取格點Q,F，連接QF交CB于D，則AD即為所求；；理由：∵AC=3而由網(wǎng)格矩形的性質(zhì)可得：CD=BD，∴AD平分∠BAC．（2）解：如圖，在（1）的作圖情況下，記AD，CF的交點為T，連接BT并延長交AC于E，則點E即為所求；理由：由（1）得：AB=AC，CD=BD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∵CF⊥AB，∴BE⊥AC，∴∠ADB=∠AET=90°，∵∠ATE=∠BTD，∴∠CBE=∠CAD，∴∠BAC=2∠CBE．【點睛】本題考查的是復(fù)雜作圖，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的高的含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練的作圖是解本題的關(guān)鍵．16．（2025·江西宜春·二模）如圖，已知△ABC和△DEF是兩個全等的等腰三角形，且底邊BC，(1)在圖（1）中，作出EC的中點G；(2)在圖（2）中，作出以AB，【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵；（1）延長BA,FD，設(shè)交點為M，設(shè)AC,DE的交點為N，作直線MN，交BF于點G，則點G即為EC的中點，如圖（1）；（2）連接AF,CD，設(shè)交點為O，連接EO并延長，交射線AD于點H，連接CH，則四邊形ABCH即為所求作的平行四邊形，如圖（2）．【詳解】（1）解：延長BA,FD，設(shè)交點為M，設(shè)AC,DE的交點為N，作直線MN，交BF于點G，則點G即為EC的中點，如圖（1），理由如下：∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰三角形，∴AB=AC=DE=DF，BC=EF∴∠B=∠F=∠DEC=∠ACE，BE=CF，∴MB=MF,NE=NC，∴點M在BF的中垂線上，點N在EC的中垂線上，又∵BE=CF，∴點N在BF的中垂線上，∴MN是BF的中垂線，∴BG=FG，∵BE=CF，∴EG=CG，即點G為EC的中點；（2）解：連接AF,CD，設(shè)交點為O，連接EO并延長，交射線AD于點H，連接CH，則四邊形ABCH即為所求作的平行四邊形，如圖（2）；理由如下：∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰三角形，且底邊BC，∴△DEF可以看作是由△ABC沿著射線BC方向平移得到的，∴AD=BE=CF，AD∥CF，∴四邊形ACFD是平行四邊形，∴AO=FO，∠DAF=∠CFA,∠AHO=∠FEO，∴△AOH≌△FOE，∴AH=EF，∵EF=BC,∴AH=BC，∵AH∥BC，∴四邊形ABCH是平行四邊形．17．（2025·江西新余·三模）如圖，在正六邊形ABCDEF的右側(cè)作正方形BCGH，連接AC．請你僅用無刻度的直尺完成以下作圖．(1)在圖1中，在正方形BCGH的內(nèi)部取點M，使點M與點D關(guān)于直線AC對稱；(2)在圖2中，在正方形BCGH的內(nèi)部取點P，使AP=AC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查基本作圖，涉及正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、軸對稱的性質(zhì)等知識，正確作出圖形是解答的關(guān)鍵．（1）延長CD交AB延長線于M，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得∠CBM=∠BCM=60°，∠BAC=∠BCA=30°，AB=BC=CD，進(jìn)而可得∠ACM=90°，△CBM是等邊三角形，則CM=BC=CD，即點M與點D關(guān)于直線AC對稱；（2）連接CH交AB延長線于P，由正方形的性質(zhì)得∠BCH=45°，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理推導(dǎo)出∠ACP=∠APC=75°，根據(jù)等角對等邊可得AP=AC．【詳解】（1）解：如圖1，點M即為所求；（2）解：如圖2，點P即為所求．18．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）如圖是8×8的正方形網(wǎng)格，已知格點△ABC(頂點在小正方形頂點處的三角形稱為格點三角形)，請僅用無刻度直尺完成下列作圖（要求保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

(1)在圖1中，作AB邊的垂直平分線；(2)在圖2中，在AB邊上找一點D，作線段CD，使得S【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查網(wǎng)格作圖、三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點找到2×4的各點H,G，連接HG，即可求解；（2）找到格點D，使得AD:DB=3:2，連接CD，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，HG即為所求，

（2）解：如圖，線段CD，即為所求

19．（2025·江西南昌·三模）在正方形網(wǎng)格中，圓經(jīng)過格點A，B，請僅用無刻度的直尺作圖：(1)在圖1中，作圓的直徑AC；(2)在圖2中，在圓上找一點D，使AD=AB．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查網(wǎng)格中作圖，涉及圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定，利用轉(zhuǎn)化的思想得到作圖依據(jù)是解答的關(guān)鍵．（1）利用90度的圓周角（即∠ABC=90°）所對的弦是直徑可畫出直徑AC；（2）取格點C、T，連接BT延長交圓于點D，連接AD，證明△ABC∽△ATB，得到∠ABT=∠ACB=∠ADB，根據(jù)等腰三角形的判定可得AD=AB．【詳解】（1）解：如圖1中，直徑AC即為所求；（2）解：如圖2中，點D即為所求．20．（2025·江西新余·二模）如圖是6×6的正方形網(wǎng)格，點M，N，P均在格點上，請僅用無刻度直尺畫出符合要求的圖形，保留必要的畫圖痕跡．(1)請在圖1中畫出過點P且與MN垂直的線段PE；(2)請在圖2中畫出點P關(guān)于MN的對稱點Q．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，平移的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．（1）取格點E，連接PE即可，由SAS可證明△MEN≌△EAP，推出∠EMN=∠AEP，再利用等角的余角相等即可得到MN⊥PE；（2）將線段MN向下平移2個單位，再向右平移1個單位，得到EF，則點N是線段PE的中點，結(jié)合（1）的作圖，則MN⊥PQ，利用平行線分線段成比例即可求解．【詳解】（1）解：如圖，線段PE即為所求；；（2）解：如圖，點Q即為所求；．21．（2025·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O的割線BD垂直，垂足為C，請僅用無刻度的直尺，按下列要求畫圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）(1)在圖1中，過點A作直線l的平行線m；(2)在圖2中，過點A作直線l的垂線n．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了圓周角定理，以及平行線的判定，垂直的定義，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．（1）連接AD，則直線AD即為直線m，由圓周角定理可得∠ADB=90°，即AD⊥BD，而l⊥BD，則m∥l；（2）連接DO，并延長交⊙O于點E，過點A,E的直線即為直線n，由圓周角定理可得∠EAD=90°，那么∠EAD+∠ADB=180°，則n∥BD，而BD⊥l，則n⊥l．【詳解】（1）解：如圖，直線m即為所求：（2）解：如圖，直線n即為所求：22．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，在△ABC中，∠A為銳角，其頂點A，B都在⊙O上，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，△ABC的頂點C在⊙O上，作頂點為B的∠A的余角．(2)在圖2中，△ABC的頂點C在⊙O內(nèi)，作頂點在直線AC上的∠A的余角．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查了無刻度直尺畫圖，圓周角定理，互余定義，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓周角定理畫圖即可；（2）根據(jù)圓周角定理畫圖即可．【詳解】（1）解：如圖，連接BO延長BO交⊙O上于點D，連接CD，所以∠DBC即為所求；理由：∵BD為⊙O直徑，∴∠BCD=90°，∴∠DBC+∠D=90°，∵∠A=∠D，∴∠DBC+∠A=90°，故∠DBC即為所求；（2）解：如圖，連接BO，延長BO交⊙O上于點E，連接AE，所以∠EAC即為所求；理由：∵BD為⊙O直徑，∴∠BAE=90°，∴∠BAC+∠EAC=90°，故∠EAC即為所求．23．（2025·江西·模擬預(yù)測）如圖，△AB′C′是由△ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)135°得到的，若(1)在圖1中作△ABC的角平分線BD；(2)在圖2中畫以AB為邊的菱形．【答案】(1)線段BD即為所求(2)菱形ABDB【分析】本題主要考查作圖，角平分線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識；（1）連接BB′，交于AC點D，（2）連接BB'，CC'交于點O，連接AO并延長，交BC的延長線于D，連接【詳解】（1）解：連接BB′，交于AC點D，∵BC=AC，∠C=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°，由旋轉(zhuǎn)可得：∠BAB′=135°∴∠ABB∴∠CBD=∠ABC?∠ABB∴∠CBD=∠ABD=22.5°，BD即平分∠ABC；（2）解：連接BB'，CC'交于點O，連接AO并延長，交BC的延長線于∵AB=AB'，AC=A∴∠ABB∵∠AMB=∠CMO，∴△AMB∽△OMC，∴CMBM又∵∠BMC=∠AMO，∴△BMC∽△AMO，∴∠AOM=∠BCM=90°，即AD⊥B∵∠DBO=∠ABO，OB=OB，∠AOB=∠DOB=90°∴△AOB≌△DOB∴AB=BD=AB∵A∴ABDB又∵AB=DB∴ABDB′為菱形，且以24．（2025·江西·一模）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AB的中點，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）．(1)在圖1中，畫出以AB為底邊的等腰△ABF，且S△ABF(2)在圖2中，已知F是BC的中點，請畫出以EF為邊的正方形EFGH，且S正方形【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，無刻度直尺畫圖，掌握正方形的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）如圖（1）連接AC、BD相交于O，連接EO并延長交CD與F，連接AF、FB即可完成作圖；（2）如圖（2）連接AC、BD相交于O，連接FO并延長交AD與H，連接EO并延長交CD與G，連接EH、HG、GF即可完成作圖；【詳解】（1）解：如圖（1）：等腰△ABF即為所求．∵EF是正方形ABCD的對稱軸，∴AF=FB，∵S正方形ABCD=AB?AD∴S△ABF∴等腰△ABF即為所求．（2）解：如圖（2）：正方形EFGH即為所求．∵S正方形ABCD=4OE?BE∴S正方形EFGH=25．（2025·江西上饒·一模）如圖，這是6×6的方格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點A，B，C均在格點上，并畫出了△ABC的外接圓，請僅用無刻度的直尺在給定的方格中按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中的BC上作點D，使得sin∠BAD=(2)在圖2中的AC上作點E，使得sin∠EAC=【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是∶（1）取格點D，連接AD即可；（2）取格點M，連接AM交AC于點E即可．【詳解】（1）解∶如圖，點D即為所求，根據(jù)勾股定理得，AB2=12∴AD2=AB2∴△ABD是等腰直角三角形，∴sin∠BAD=（2）解∶如圖，點E即為所求，根據(jù)勾股定理得，AC2=32∴AM2=AC2+C∴△ACM是直角三角形，∴sin∠EAC=26．（2025·江西新余·一模）如圖，在矩形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AC=3AE．請僅用無刻度的直尺分別按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作AD的中點P．(2)在圖2中作點N，使得AC=3CN．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)AC=3AE得到EC=2AE，作直線BE，交AD于點P，則點P即為所求．（2）連接BD交AC于點O，作直線PO，交BC于點G，作直線DG，交AC于點N，則點N即為所求．本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形相似的應(yīng)用，尺規(guī)作圖，熟練掌握性質(zhì)和尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵AC=3AE，∴EC=2AE，故作直線BE，交AD于點P，∵矩形ABCD，∴AP∥BC，AD=BC，∴△APE∽△CBE，∴BCAP∴BC=2AP，∴AD=2AP，即P為AD的中點，則點P即為所求．（2）解：連接BD交AC于點O，作直線PO，交BC于點G，作直線DG，交AC于點N，則點N即為所求．27．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖，在矩形ABCD中，E為BC的中點，且AD=2CD=2，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)如圖1，作一面積為2的等腰直角三角形AFD．(2)如圖2，作一面積為2的正方形AEDG，且點G在BC的上方．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作射線AE，DC，二線交于點F，根據(jù)矩形的性質(zhì)證明△AEB≌△FECASA，得到DF=CF+CD=2，則S△AFD=（2）連接AE,ED，連接AC,BD二線交于點O，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到EO=12AB,EO∥AB，作直線EO，交AD于點M，同理可證，MO=12CD,MO∥CD，得到ME=CD=AB=BE=EC=1，于是AE=AB2+BE2=2=ED，∠AED=90°，作射線BA，CM，二線交于點N，作射線CD，BM，二線交于點P，連接PN，交EO于點G，連接GA,GD【詳解】（1）解：作射線AE，DC，二線交于點F，如圖所示：根據(jù)矩形ABCD中，E為BC的中點，且AD=2CD=2，得BE=CE，∠ABE=∠FCE=∠D=90°∵∠ABE=∠FCEBE=CE∴△AEB≌△FECASA∴AB=CF=CD=1，∴DF=CF+CD=2，∴S△AFD則面積為2的等腰直角三角形AFD即為所求；（2）解：連接AE,ED，連接AC,BD二線交于點O，作直線EO，交AD于點M，作射線BA，CM，二線交于點N，作射線CD，BM，二線交于點P，連接PN，交EO于點G，連接GA,GD，則面積為2的正方形AEDG即為所求．【點睛】本題考查了線段的中點，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2025·江西贛州·二模）在7×7的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖．（保留畫圖痕跡，畫圖過程中輔助線用虛線，畫圖結(jié)果用實線、實心點表示）(1)如圖1，AB的長為______，畫出△ABC的高BD．(2)如圖2，在線段AB上求作點E，使AE=2．【答案】(1)5，畫圖見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）利用勾股定理可求出AB的長，取格點M、N，連接MN交AC于點D，由矩形的性質(zhì)可得AD=CD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD⊥AC，即BD為△ABC的高；（2）取格點G、H，連接GH交AB于E，可得GH∥AC，再根據(jù)平行線等分線段定理可得AE=2，即點本題考查了勾股定理，矩形和等腰三角形的性質(zhì)，平行線等分線段定理，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵【詳解】（1）解：由圖可得，AB=3如圖所示，線段BD即為所求，故答案為：5；（2）解：如圖所示，點E即為所求．29．（2025·江西新余·二模）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．按要求完成下列畫圖．（要求：用無刻度直尺，保留必要的畫圖痕跡，不寫畫法）(1)在圖（1）中畫出一個△ABP，使S△ABP=S△ABC，P為格點（點(2)在圖（2）中的邊BC上找一點D，使點D到AB和AC所在直線距離相等．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了三角形高的定義及其作法、平行線線間距離處處相等、等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識．作圖時找準(zhǔn)相應(yīng)的知識點是解決本題的關(guān)鍵．（1）利用平行線間距離處處相等，作出同底等高的三角形即可；（2）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)作圖即可．【詳解】（1）解：如圖：（2）解：如圖：30．（2025·江西南昌·一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，D是AC的中點．請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作出邊BC上的中線AP．(2)在圖2中作出等腰三角形ABE，使得AE=AB．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查作圖?復(fù)雜作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理及其推論、三角形的中線、等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．（1）連接CO，BD，相交于點G，連接AG并延長，交BC于點P，利用重心可知AP即為所求．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接OP并延長，交⊙O于點F，連接BF并延長，交AC的延長線于點E，結(jié)合圓周角定理及其推論、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定可知，△ABE即為所求．【詳解】（1）解：如圖，連接CO，BD，相交于點G，連接AG并延長，交BC于點P，∵D是AC的中點，O是AB的中點，∴點G是△ABC的重心，∴AP為△ABC的邊BC上的中線，AP即為所求作；（2）解：如圖，在（1）的基礎(chǔ)上，連接OP并延長，交⊙O于點F，連接BF并延長，交AC的延長線于點E，連接AF，可知AP為△ABC的邊BC上的中線，∴CP=BP，∵CO=BO，OP=OP，∴△COP≌△BOPSSS∴∠COP=∠BOP，∴∠EAF=∠BAF．∵AB為⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∴∠E=∠ABF，∴AE=AB，∴△ABE為等腰三角形．即等腰三角形ABE為所求．31．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）請僅用無刻度直尺按下列要求作圖，并保留作圖痕跡．(1)在圖①中，已知矩形ABCD的頂點A,B在圓上，請找出圓心O．(2)在圖②中，弦MN上兩點A,B滿足AM=BN，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，直角頂點C在圓上，請找出圓心P．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）延長AD,BC交圓于M,N兩點，BM,AN交于點O，根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合直徑所對圓周角為90°，即可得到點O為所求；（2）延長CA,CB交圓于K,L兩點，連接AL,BK交于點G，連接KL，作射線CG交KL于點P，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合直徑所對圓周角為90°，即可得到點P為所求；【詳解】（1）解：如圖所示，圓心O為所求：（2）解：如圖所示，點P為所求：理由：連接CM,MK,CN,NL，∵△ACB是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴AC=BC,∠CAB=∠CBA=45°，∴∠CAM=∠CBN=135°，∵AM=BN，∴△CAM≌∴CM=CN,∠MCA=∠NCB∴CM∴∠MKC=∠NLB∴△MKC≌∴KC=LC，∵∠KCL=90°，∴△KCL是等腰直角三角形，KL為圓的直徑，∴∠CKL=∠CLK=45°，∵∠KCL=∠LCK=90°,AC=BC,CK=CL，∴△KCB≌∴∠CKB=∠CLA，∴∠CKL?∠CKB=∠CLK?∠CLA，即∠BKL=∠ALK∴GK=GL，∵∠AGP=∠BGP,∠AGK=∠B