專題15特殊平行四邊形中的最值問題（解析版）

類型一特殊四邊形中求一條線段的最小值

1.（2021春?葉集區(qū)期末）如圖，在矩形A8CD中，AB=2,AD=3,E是BC邊上一點,將AABE沿AE折疊，使

點B落在點夕處，連接CB,則C8'的最小值是（）

A.V13-2B.V13+2C.V13-3D.1

思路引領(lǐng)：由矩形的性質(zhì)得出NB=90。，BC^AD=3,由折疊的性質(zhì)得：Ab=AB=2,當A、B\C三點共線時，

C8的值最小，由勾股定理得出AC=7AB2+BC?=V13,得出CB,=AC-AB'=V13-2.

解：：四邊形ABC。是矩形，

.,.ZB=90o,BC=AD=3,

由折疊的性質(zhì)得：AB'^AB=2,

當A、B\C三點共線時，C8的值最小，

此時AC=yjAB2+BC2=V22+32=V13,

CB'^AC-AB'=V13-2；

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股定理是

解題的關(guān)鍵.

類型二特殊四邊形中求一條線段的最大值

2.（2020?洪山區(qū)校級自主招生）如圖，在菱形A3CD中，42=4,NBAD=120。，點、E,尸分別是邊AB,BC邊上

的動點，沿EF折疊使點2的對應點9始終落在邊上，則A、E兩點之間的最大距離為.

思路引領(lǐng)：作AHL于孫由8,2,關(guān)于EP對稱，推出當BE最小時，AE最大，根據(jù)垂線段最短

即可解決問題.

解：作A”_LC。于H,

:四邊形ABC。是菱形，ZBAD=120°,

：.AB//CD,ZD=180°-ZBAD=60°,

：AO=A2=4,

AH=AD*sin60°=2A/3,

'：B,8關(guān)于斯對稱，

：.BE=B'E,

...當BE最小時，AE最大，

根據(jù)垂線段最短可知，當EB'=A7f=2遍時，BE的值最小，

的最大值為4-28，

故答案為：4-25/3.

總結(jié)提升：本題主要考查圖形的翻折，熟練掌握菱形的性質(zhì)，垂線段最短等知識是解題的關(guān)鍵.

類型三特殊四邊形中求線段和的最小值

3.（2019?紅橋區(qū)二模）如圖，在矩形A2CZ）中，E為2C的中點，尸為對角線AC上的一個動點，若AB=2,BC=

A.V3B.3C.2V3D.6

思路引領(lǐng)：作E關(guān)于AC的對稱點E,連接8E,則PE+PB的最小值即為BE的長；由已知可求EC=B,ZECE

=60。；過點E作EG_LBC,在RtAECG中，EG=|,CG=*在RtABEG中，BG=竽，BE=3；

解：作E關(guān)于AC的對稱點E,連接8E,

則PE+PB的最小值即為BE的長；

；AB=2,BC=2W,E為BC的中點，

ZACB=30°,

：.ZECE=60°,

；EC=CE,

：.EC=V3,

過點￡作EGLBC,

在RtAECG中，EG=I，CG=空,

在RtABEG中，BG=^~,

，BE=3；

：.PE+PB的最小值為3；

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查矩形的性質(zhì)，軸對稱求最短距離；通過軸對稱將PE+P8轉(zhuǎn)化為線段BE的長是解題的關(guān)鍵.

4.（2018春?銅山區(qū)期中）如圖，在菱形A8CD中，AD=2,ZABC=120°,E是的中點，P為對角線AC上的

一個動點，則PE+PB的最小值為（)

D

C.1D.5

思路引領(lǐng)：連接BD,DE,則DE的長即為PE+PB的最小值，再根據(jù)菱形ABC。中，NA2C=120。得出4BCD

的度數(shù)，進而判斷出是等邊三角形，故△或）￡是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出。E的長.

:四邊形ABC。是菱形,

:.B、。關(guān)于直線AC對稱，

：.DE的長即為PE+PB的最小值,

,/ZABC=120°,

：.ZBCD=60°,

...△BCD是等邊三角形，

是8c的中點，

11

：.DE±BC,CE=aBC=^X2=1,

：.DE=yJCD2-CE2=V22-I2=V3.

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?龍華區(qū)期中）如圖，四邊形A8CO是菱形，對角線AC,8。相交于點O,AC=2^3,BD=2,點、P是

AC上一動點，點E是AB的中點，則尸。+PE的最小值為.

思路引領(lǐng)：由兩點之間線段最短，可得當點尸在。E上時，PD+PE的值最小，最小值為。E的長，由菱形的性

質(zhì)可得AO=CO=8，BO=DO=1,ACLBD,AB=AD,由銳角三角函數(shù)可求/A8O=60。，可證△45。是等邊

三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得。ELA3,即可求解.

解：如圖，連接。E,交AC于點尸，此時尸O+PE的最小值為。E的長，

A

?.?四邊形A2C。是菱形，

：.AO=CO=V3,80=00=1,ACLBD,AB=AD,

40

：.—=V3r,

BO

：.ZABO=60°,

...△ABD是等邊三角形，

:點E是48的中點，

J.DELAB,

.DEV3

??—,

22

：.DE=V3,

故答案為：V3.

總結(jié)提升：本題考查了軸對稱-最短路線問題，菱形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳

角三角函數(shù)等知識，利用銳角三角函數(shù)求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?桐柏縣期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，將△A3。沿射線BD平移，連接EC、GC.求EC+GC

思路引領(lǐng)：如圖，連接AC與2。交于點。，過點C作/〃2。，點E關(guān)于/對稱的對稱點為M,連接CM,GM,

EM,與/的交點為N,與BD交，點、為P,貝l|EM±BD,CE=CM,EN=MN,求出AC,NP,GP,

PE,MN,PM的值，當G、C、M三點不共線時，有GC+CM>GM；當G、C、M三點共線時，有GC+CM=

GM；<EC+GC^GC+CM>GM,可知G、C、M三點共線時，EC+GC值最小，在RtAPGM中，由勾股定理得

GM=y/GD2+PM2,根據(jù)EC+GC=GM可得EC+GC的最小值.

解：如圖，連接AC與8。交于點O,過點C作/〃3。，點E關(guān)于/對稱的對稱點為連接CM,GM,EM,

EM與/的交點為N,與BD交煎為P

,：AC=-4^=4V2,

sm45°

...兩平行線的距離NP=14C=2V2,

；EM_LBD,

；.NGEP=45°,

：.GP=PE=EGXs譏45°=2&,

:.EN=EP+NP=4近,

：.MN=EN=4V2,

：.PM=PN+MN=6V2,

當G、C、M三點不共線時，有GC+CM>GM,

當G、C、M三點共線時，有GC+CM=GM,

EC+GC=GC+CM>GM,

；.G、C、/三點共線時，EC+GC值最小，

在RtAPGM中，由勾股定理得GM=VG￡>2+PM2=475,

J.EC+GC的最小值為4西，

故答案為：4V5.

總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，正弦值等知識，對知

識的靈活運用是解題的關(guān)鍵.

7.(2022嘲陽區(qū)二模)如圖，在矩形ABC。中，AD=2AB,E是邊的中點，尸是邊A2上的一個動點，連接ER

過點E作EGLEF交BC于點G.

(1)求證：EF=GE；

(2)若AB=1,則AF+EF+CG的最小值為.

思路引領(lǐng)：(1)過點E作E8_L8C于點以，可證AAEP烏△EG8,結(jié)論可得.

(2)根據(jù)0/XEGH可得AP=HG,EF=EG,貝!ICG+AF=C7/=1,所以當EG值最小時，AF+EF+CG<

最小.即EG_LBC時，AF+EF+CG值最小，即可求其值.

解：(1)如圖，過點E作即，8C于點H.

圖1

???四邊形ABCO是矩形，

J.AB//BC,乙4=90。.

：.AB=EHfZA=ZEHG=ZAEH=90°.

：.NFEH+NAEF=90。.

VEG±EF,

NFEH+NHEG=9U。.

：.NAEF=ZHEG.

???AO=2A8,AD=2AE,

：.AE=AB.

，AE=HE且NAEF=NHEG,ZA=ZEHG

：.△AEFQAHEG.

：.EF=GE.

（2）,??在矩形A3CZ）中，AD=2AB,AB=1

：.AD=2,

：.AE=DE=1

VZD=ZC=90°,EHLBC

???DCHE是矩形

：.DE=CH=1

'：AAEF^AEHG

：.AF=HG,EF=EG,EH=AE=1

；.AF+EF+CG=HG+CG+EG=CH+EG=1+EG

由兩平行線之間垂線段最短，當EG_L5C時，AF+石尸+CG的值最小

即EG=1時，AF+EF+CG的最小值為2

總結(jié)提升：本題考查的是最短距離問題，全等三角形，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運用各個性質(zhì)解決問題.

類型四特殊四邊形中求周長面積的最小值

8.（2022?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABC。中，AB=5,BC=4,E、/分別是A。、BC的中點，點尸、。在

EF上.且滿足尸0=2,則四邊形APQB周長的最小值為.

思路引領(lǐng)：由于四邊形AP。。的周長可表示為AP+BQ+7,則要使其最小，只要AP+8Q最小即可.在邊上截

取因為點尸是BC的中點，所以點B關(guān)于EE的對稱點為點C,連接CM,交E尸于點。，則CM即

為AP+8。的最小值.在RtABCM中，利用勾股定理可求出的值，進而可得出答案.

解："：AB=5,PQ=2,

：.四邊形APQB的周長為AP+PQ+BQ+AB=AP+BQ+7,

則要使四邊形APQB的周長最小，只要AP+B。最小即可.

在AB邊上截取AM^PQ,

:點尸是BC的中點,

.?.點B關(guān)于EF的對稱點為點C,

連接CM，交EF于點Q,

則CM即為AP+2。的最小值.

在RSBCM中，MB=AB-AM=5-2=3,BC=4,

.?.CM=U32+42=5,

，四邊形APQB的周長最小值為5+7=12.

故答案為：12.

總結(jié)提升：本題考查軸對稱-最短路線問題、矩形的性質(zhì)，能夠?qū)⑺笏倪呅蔚闹荛L轉(zhuǎn)化為求AP+8。的最小值

是解題的關(guān)鍵.

9.（2022春?姑蘇區(qū)校級月考）如圖，矩形ABC。中，AB=3,BC=6,點、E、F、G、”分別在矩形的各邊上，且

AE=CG,BF=DH,則四邊形EEG”周長的最小值為（）

A.3V3B.6V3C.6A/5D.9V3

思路引領(lǐng)：作點E關(guān)于8C的對稱點E',連接EG交BC于點R此時四邊形EPG8周長取最小值，過點G作

GGL48于點G，，由對稱結(jié)合矩形的性質(zhì)可知：E'G'=AB,GG'=AD,利用勾股定理即可求出￡G的長度，進

而可得出四邊形EFGH周長的最小值.

解：作點E關(guān)于BC的對稱點￡,連接EG交于點R此時四邊形EEGH周長取最小值，EF=EF,

過點G作GG'±AB于點G',如圖所示.

9：AE=CG,BE=BE,

???EG=A5=3,

,.?GG=AO=6,

:?EG='EC2+G(2=V32+62=3V5,

?e*C四邊形EFGH=2(GF+EF)=2E'G=6V5.

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查了軸對稱中的最短路線問題以及矩形的性質(zhì)，找出四邊形E/GH周長取最小值時點區(qū)F、

G之間的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.(2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末)如圖，在平面直角坐標系中，點A(-2,2),8(-5,5)是第二象限角平分線

上的兩點，點C的縱坐標為2,且CA=CB,在y軸上取一點，連接AC,BC,AD,BD,使得四邊形

的周長最小，則周長的最小值為.

思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NBAC=45。，得到/C=90。，求得AC=BC=3,作點A關(guān)于y軸的對稱點4,

連接48交y軸于。，則此時，四邊形AC8。的周長最小，這個最小周長的值=AC+8C+48,然后根據(jù)勾股定

理即可得到結(jié)論.

解：：點4(-2,2),點C的縱坐標為2,

；.AC〃x軸，

：.ZBAC=45°,

'：CA=CB,

：.ZABC=ZBAC=45°,

：.ZC=90°,

,：B(-5,5),

：.C(-5,2),

：.AC=BC=3,

如圖，作點A關(guān)于y軸的對稱點4,

y

連接48交y軸于O,

此時，四邊形ACS。的周長最小，這個最小周長的值=AC+BC+4B,

'：AC=BC=3,AA'=4,

：.A'C=3+4=1,

：.A'B=>JBC2+A'C2=V32+72=V58,

/.最小周長的值=AC+8C+4B=6+聞，

故答案為：6+V58.

總結(jié)提升：本題考查了軸對稱-最短路線問題，坐標與圖形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.（2019春?仙游縣期中）菱形中，NB=60。，點E,尸分別是8C,C。上的兩個動點，且始終保持/AEF