2024-2025學(xué)年山東省聊城市陽谷縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題只有一個正確答案，每小題4分，共48分）

1.（4分）如圖，有甲，乙、丙三個矩形，其中相似的是（）

4口令

甲

A.甲與丙B.甲與乙

C.乙與丙D.三個矩形都不相似

2.（4分）如果兩個相似三角形的相似比是1：4,那么這兩個相似三角形對應(yīng)邊上的中線之比是（)

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

3.(4分)如圖，己知△ABC,ZB=60°，A8=6,8C=8.將△ABC沿圖中的。E剪開，剪下的陰影三

B.

4.（4分）如圖，周末陽光正好，小麗和爸爸外出游園.爸爸身高1.8m,此刻他在地面上的影長為1.5m,

經(jīng)測量小麗在地面上的影長是1.25小則小麗的身高為（)

C.1.6mD.1.7m

5.（4分）在中，NC=90°,現(xiàn)把這個三角形的三邊都擴大為原來的3倍，則NA的正弦值（）

A.擴大為原來的3倍B.縮小為原來的3倍

C.不變D.不能確定

6.（4分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,下列三角函數(shù)表示正確的是（）

443

B.tanA=一C.cosA=——D.tanB=—

354

7.（4分）春節(jié)期間，小澎陪媽媽去爬山，如圖，兩人從山腳下A處沿坡前行，到達C處時，發(fā)現(xiàn)C處標

語牌上寫著“恭喜你已上升50米”，若此山坡的坡度i=l：2.4,愛思考的小澎很快告訴媽媽：“我們

至少走坡路（）米了”.

A

A.50B.120C.130D.170

8.（4分）如圖，為測量建筑物的高，利用一架無人機A對建筑物BC的點8和點C進行觀測，則下列說

法錯誤的是（）

B.當無人機遠離水平飛行時，仰角增大

C.俯角為/C4D

D.當無人機遠離8C水平飛行時，俯角減小

9.（4分）下列說法:

①三點確定一個圓；

②相等的圓心角所對的弧相等；

③同圓或等圓中，等弦所對的弧相等；

④三角形的外心到三角形各頂點距離相等其中，正確的個數(shù)共有（）

A.1B.2C.3D.4

10.（4分）如圖，以。為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線交于點A,再以A為圓心，A。長為半徑

畫弧，兩弧交于點B,畫射線OB,則cos/AO2=（

與咨D.a

11.（4分）設(shè)RtZXABC的兩條直角邊長分別為6,8,則此直角三角形外接圓半徑為（

A.5B.10C.277D.5或W7

12.（4分）如圖，已知A8是。。的直徑，弦垂足為E,ZACD=22.5°,AB=4,則CO的長

C.2V2D.472

二.填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）

13.（4分）在銳角三角形ABC中，已知/A,滿足（sinA-冬2+函-tanB|=0,貝｝JNC=.

14.（4分）將一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊。上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為8N,點A對應(yīng)的

點記為點若點M恰好落在邊C。上，則圖中與一定相似的三角形是

15.（4分）小明不小心把一塊直角三角形玻璃打碎了，他取了一個碎片（如圖），若/A=90°,NB=

65°,AB=lQcm,則原直角三角形玻璃的面積為cm2.（參考數(shù)據(jù)：sin65°^0.91,cos65°

^0.42,tan65°-2.14）

16.（4分）在半徑為1的中，弦的長為1,則弦42所對弧的度數(shù).

17.（4分）如圖，A2是圓的直徑，ZKN2、N3、N4的頂點均在AB上方的圓弧上，/I、N4的一邊

分別經(jīng)過點A、B,則Nl+/2+N3+N4=°.

18.（4分）如圖所示，點A、8、C都在。。上，若NA8O=20°,ZACO=30°,貝！］N8OC=

三.解答題（8小題，滿分78分）

19.（6分）如圖，在平面直角坐標系中，ZVIBC的頂點坐標分別為A（-1,2）,B（-3,3）,C（-3,

1）.

（1）以點8為位似中心，在點8的下方畫出△48G，使△48。與AABC位似，且相似比為2：1,點

A,C的對應(yīng)點分別為Ai，Ci；

),Cl().

(1)tan30°,tan60o+sin2450+cos245°；

(2)2cos30°?sin600-tan45°?sin30°.

21.（8分）如圖，在△ABC中，。是BC邊上一點，且滿足ZADE=ZC.

^AADE2且AE=4,求AB的長.

(2)

SACDE3

22.（10分）定義：在△ABC中，我們把NA的對邊與NC的對邊的比叫做NA的鄰弦，記作比/，BPthiA

NA的對邊BC、主到比大而而

=Nc的對邊=初血答下列問感

已知：在△ABC中，NC=30°.

（1）若NA=45°,求加A的值;

(2)若thiA=M，則NA=

（3）若NA是銳角，探究曲A與sinA的數(shù)量關(guān)系.

23.（10分）學(xué)科綜合

我們在物理學(xué)科中學(xué)過：光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1）,我們把〃=里咚稱為折射

sinp

率(其中a代表入射角，0代表折射角).

觀察實驗

為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了圖2所示的實驗，即通過細管可以看見水底的物塊C,但不在細

管MN所在直線上，圖3是實驗的示意圖，四邊形為矩形，點A,C,8在同一直線上，測得

=12cm,DF=16cm.

(1)求入射角a的度數(shù).

(2)若BC=7cm,求光線從空氣射入水中的折射率加（參考數(shù)據(jù)：sin53°?cos530

55

4

tan53°?幸

o

24.(12分)已知，△A8C中，ZA=68°,以AB為直徑的。。與AC,8c的交點分別為。，E

(I)如圖①，求/CE。的大小；

(II)如圖②，當時，求/C的大小.

設(shè)計貨船通過圓形拱橋的方案

素材1圖1中有一座圓拱石橋，圖2

是其圓形橋拱的示意圖，測

得水面寬AB=16m,拱頂離

水面的距離CD=4m.

素材2如圖3,一艘貨船露出水面部

分的橫截面為矩形EFGH,

測得即=12根,￡尸=2.1巾.因

水深足夠，貨船可以根據(jù)需

要運載貨物.據(jù)調(diào)查，貨船

的載重量每增加1噸，則船

身下降0.01根..

問題解決

任務(wù)1確定橋拱半徑(1)求圓形橋拱的半徑；

任務(wù)2擬定設(shè)計方案(2)根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能

否通過圓形拱橋？若能，最

多還能卸載多少噸貨物？若

不能，至少要增加多少噸貨

物才能通過？

網(wǎng)J

ADB

圖l圖2

26.(12分)AABC表示一塊直角三角形空地，已知NACB=90°,邊AC=4米，8C=3米.現(xiàn)在根據(jù)需

要在空地內(nèi)畫出一個正方形區(qū)域建造水池，現(xiàn)有方案一、方案二分別如圖1、圖2所示，請你分別計算

兩種方案中水池的邊長，并比較哪種方案的正方形水池面積更大.

2024-2025學(xué)年山東省聊城市陽谷縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題只有一個正確答案，每小題4分，共48分）

1.解：三個矩形的角都是直角，甲、乙、丙相鄰兩邊的比分別為2：3,1.5：2=3：4,2：3,

，甲和丙相似，

故選：A.

2.解：如果兩個相似三角形的相似比為1：4,那么這兩個三角形的對應(yīng)中線的比為1：4,

故選：B.

3.解：A、VZC=ZC,ZDEC=ZB=60°,

:.△DECs^ABC,

故A不符合題意；

B、VZC=ZC,/CDE=/B,

：.ACDE^ACBA,

故3不符合題意；

C、由圖形可知，

BD=BC-CD=8-5=3,

..BE地工」

.BEBD

??—，

BCBA

又,：NB=NB,

.,.△BDESABAC,

故C不符合題意；

D、由已知條件無法證明△AOE與△ABC相似，

故。符合題意，

故選：D.

4.解:設(shè)小芳的身高為//米，

\?同一時刻物高與影長成正比，

.1.8_h

"T~5=l.25'

解得/?=1.5,

故選：B.

5.解：：RtZ\ABC中，ZC=90°,將各邊長度都擴大為原來的3倍，其比值不變,

???ZA的正弦值不變.

故選：C.

6.解：VZACB=90°,A8=5,AC=4,

"BC=7AB2-AC2=V52-42=3,

/.sinA=-i,故選項A錯誤；

5

tanA=—,故選項3錯誤；

4

cosA=—,故選項C正確；

5

tanB=-1-,故選項D錯誤.

故選：C.

7.解：：山坡的坡度，=1：2.4,

：.BC：AB=1：2.4,

?.?BC=50米，

42=120米，

由勾股定理得：AC=yj+BC=V120^+50=（米），

所以我們至少走坡路130米了，

故選：C.

8.解:A、仰角為NBA。，說法正確，不符合題意；

2、當無人機遠離8C水平飛行時，仰角減小，故本選項說法錯誤，符合題意；

C、俯角為/CAD,說法正確，不符合題意；

。、當無人機遠離8C水平飛行時，俯角減小，說法正確，不符合題意；

故選：B.

9.解：不共線的三點確定一個圓，所以①錯誤；

在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所以②錯誤；

同圓或等圓中，等弦所對的優(yōu)弧或劣弧對應(yīng)相等，所以③錯誤；

三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，所以④正確；

故選：A.

10.解：根據(jù)題意得：OA—OB—AB,

：.AOAB是等邊三角形，

/.ZAOB=60°,

cosZA(?B=cos60°=—.

2

故選：B.

11.解：:n△ABC的兩條直角邊長分別為6,8,

斜邊長={62+82=io，

.?.2△ABC斜邊上的中線長為5,

即此直角三角形外接圓半徑為5,

故選：A.

TAB是。。的直徑，弦AB=4,

：.OD=2,CE=DE=^CD,

2

VZACD=22.5°,

：.ZAOD=2ZACD=45°,

/.ADOE為等腰直角三角形，

：.DE=^-OD=42,

:.CD=2DE=2版,

故選：C.

二.填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）

13.解：由題意得，sinA=1,tanB=J§,

2

則/A=45°,ZB=60°,

NC=18O°-45°-60°=75°.

故答案為：75。.

14.解：：四邊形ABC。是矩形，

AZA=ZD=ZC=9Q°,

ZDNM+ZDMN=9Qa,

由折疊的性質(zhì)可得：/BMN=/A=90°,

?：ZNMD+ZBMN+ZBMC^180°,

ZNMD+ZBMC=90°,

ZDNM=/BMC,

：./\NDM^/\MCB.

故答案為：△MC8.

15.解：在RtZ\ABC中，NB=65°,AB10cm,

：.AC=AB-tm65°^10X2.14=21.4(cm),

...原直角三角形玻璃的面積=工434。=工/10義21.4=107(cm2),

22

故答案為：107.

16.解:如圖：

"：OA=OB=AB=l,

...△AOB是等邊三角形，

AZAOB=60°,

...弦AB所對弧的度數(shù)為60?；?00°.

故答案為：60°或300。.

17.是圓的直徑，

...48所對的弧是半圓，所對圓心角的度數(shù)為180°,

VZKN2、N3、/4所對的弧的和為半圓，

?'?Zl+Z2+Z3+Z4=1x180°=90°，

故答案為：90.

18.解：連接。4,

A

'：OA=OB,

：.ZABO=ZBAO=20°,

?：OA=OC,

：.ZACO=ZOAC=30°,

：.ZBAC=ZBAO+ZCAO=50°,

AZBOC=2ZBAC=100°,

故答案為：100°.

三.解答題(8小題，滿分78分)

19.解：(1)如圖，△43。即為所求.

故答案為：1;1;-3；-1.

20.解：⑴原式二率乂代+慮)］零)2=I._*=2；

⑵原式=:

21.(1)證明：VZADE=ZC,NA=NA,

AADE^AACD；

(2)解：?.?/咀三，

SACDE3

.SAADE_2

^AACD-^AADE3

.SAADE=2

SAACD5

由(1)知△AD￡s/vicr),

.AEVTO

AD5

VA￡=4,

.4-

AD5

?,-AD=2V10>

'：AD=AB,

?,-AB=2V10-

22.解：如圖，作8”，AC,垂足為H.

(1)在RtZ^BHC中，sinC=—=—,BPBC=2BH.

BC2

在中，sinA=—即42=后即/.

AB2

/.thiA==yfo；

AB'乙

(2)thiA—yf2,

,,AB73'

VZC=30°,

.".tan30°=V3_=AB

TBC

/.ZABC=90°,

/.ZA=60°,

如圖，根據(jù)對稱性，匕N2C是鈍角三角形時，ZBZAC=120。

故答案為：60或120；

(3)在△ABC中，thiA=—.

AB

在RtZXBHA中，sinA=—.

AB

在RtZ\BHC中，sinC=—=—,BPBC=2BH.

BC2

thiA=2sinA.

23.解：(1)如圖：過點。作OGLAB,垂足為G,

由題意得：四邊形OG8F是矩形,

：.DG=BF=ncm,BG=DF=16cm,

在RtADGB中，1211/8。3=弛=西=9,

DG123

:./BDG=53°,

：.NPDH=/BDG=53°,

；?入射角a的度數(shù)為53°；

(2),.*BG=16cm,BC=7cmf

：.CG=BG-BC=9(cm),

在RtZXCQG中，DG=12cm,

DC=22=22=15

?*-VCG+DG7O+12(cm),

sinR=sinZG￡)C=-^-=-^-=—,

CD155

由(1)得：ZPDH=53°,

4

???sinNPDH=sina^M,

5

.毋科如

?.折射率片三sin行a=莖5=了4

5

，光線從空氣射入水中的折射率〃約為仔.

24.解:(I),?四邊形ABED圓內(nèi)接四邊形,

AZA+ZDEB=180°,

?；NCED+/DEB=T8U°,

：.ZCED=ZA,

VZA=68°,

???NC瓦)=68°.

(II)連接

?；DE=BE,

DE=BET

AZDAE=ZEAB=—ZCAB=M°,

2

VAB是直徑，

AZAEB=