五年級奧數(shù)專題精講精練

第30講行程問題（三）

一、專題簡析：

很多稍復雜的應(yīng)用題，運用算術(shù)方法解答有一定困難，列方程解答就比較

容易。列方程解答行程問題的優(yōu)點是可以使未知道的數(shù)直接參加運算，列方程

時能充分利用我們熟悉的數(shù)量關(guān)系。因此，對于一些較復雜的行程問題，我們

可以用題中已知的條件和所設(shè)的未知數(shù)，根據(jù)自己最熟悉的等量關(guān)系列出方程,

方便解題。

二、精講精練：

例1A、B兩地相距259千米，甲車從A地開往B地，每小時行38千米；半小

時后，乙車從B地開往A地，每小時行42千米。乙車開出幾小時后和甲車相遇？

練習一

1、甲、乙兩地相距658千米，客車從甲地開出，每小時行58千米。1小時后,

貨車從乙地開出，每小時行62千米。貨車開出幾小時后與客車相遇？

2、小軍和小明分別從相距1860米的兩處相向出發(fā)，小軍出發(fā)5分鐘后小明才

出發(fā)。已知小軍每分鐘行120米，小明騎車每分鐘行300米。求小軍出發(fā)幾分

鐘后與小明相遇？

例2一輛汽車從甲地開往乙地，平均每小時行20千米。到乙地后又以每小時

30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小時。求甲、乙兩地間的路程。

練習二

1、汽車從甲地開往乙地送貨。去時每小時行30千米，返回時每小時行40千米,

往返一次共用8小時45分。求甲、乙兩地間的路程。

2、一架飛機所帶的燃料最多可用9小時，飛機去時順風，每小時可飛1500千

米；返回時逆風，每小時可飛1200千米。這架飛機最多飛多少千米就要往回飛？

例3東、西兩地相距5400米，甲、乙二人從東地、丙從西地同時出發(fā)，相向

而行。甲每分鐘行55米，乙每分鐘行60米，丙每分鐘行70米。多少分鐘后乙

正好走到甲、丙兩人之間的中點處？

練習三

1、A、B、C三地在一條直線上，如圖所示：

I??

ABC

A、B兩地相距2千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時向C地行走，甲每分鐘

走35米，乙每分鐘走45米。經(jīng)過幾分鐘B地在甲、乙兩人之間的中點處?

2、東、西兩鎮(zhèn)相距60千米。甲騎車行完全程要4小時，乙騎車行完全程要5

小時?，F(xiàn)在兩人同時從東鎮(zhèn)到西鎮(zhèn)去，經(jīng)過多少小時后，乙剩下的路程是甲剩

下路程的4倍？

例4快、慢兩車同時從A地到B地，快車每小時行54千米，慢車每小時行48

千米。途中快車因故停留3小時，結(jié)果兩車同時到達B地。求A、B兩地間的距

離。

練習四

1、甲每分鐘行120米，乙每分鐘行80米。二人同時從A地出發(fā)去B地，當乙

到達B地時，甲已在B地停留了2分鐘。A地到B地的路程是多少米？

2、甲、乙二人同時從學校騎車出發(fā)去江邊，甲每小時行15千米，乙每小時行

20千米。途中乙因修車停留了24分鐘，結(jié)果二人同時到達江邊。從學校到江邊

有多少千米？

例5一位同學在360米長的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5

米，后一半時間每秒跑4米。求他后一半路程用了多少時間？

練習五

1、小明在420米長的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑8米，后

一半時間每秒跑6米。求他后一半路程用了多少時間？

2、小華在240米長的跑道上跑了一個來回，已知他前一半時間每秒跑6米，后

一半時間每秒跑4米。求他返回時用了多少秒。

三、課后作業(yè)

1、甲、乙兩地相距446千米，快、慢兩車同時從甲、乙兩地相對開出，快車每

小時行68千米，慢車每小時行35千米。中途慢車因修車停留半小時，求共經(jīng)

過幾小時兩車在途中相遇。

2、師徒二人加工一批零件。師傅每小時加工35個，徒弟每小時加工28個。師

傅先加工了這批零件的一半后，剩下的由徒弟去加工。二人共用18小時完成了

加工任務(wù)。這批零件共有多少個？

3、老師今年32歲，學生今年8歲。再過幾年老師的年齡是學生的3倍?

4、兄弟二人同時從家往學校走，哥哥每分鐘走90米，弟弟每分鐘走70米。出

發(fā)1分鐘后，哥哥發(fā)現(xiàn)少帶鉛筆盒，就原路返回，取后立即出發(fā)，結(jié)果與弟弟

同時到達學校。他們家離學校有多遠？

5、甲、乙兩地相距205千米，小王開汽車從甲地出發(fā)，計劃5小時到達乙地。

他前一半時間每小時行36千米，為了按時到達乙地，后一半時間必須每小時行

多少千米？

第30講行程問題(三)

專題簡析：

很多稍復雜的應(yīng)用題，運用算術(shù)方法解答有一定困難，列方程解答就比較容易。

列方程解答行程問題的優(yōu)點是可以使未知道的數(shù)直接參加運算，列方程時能充分利用我們熟悉的數(shù)量關(guān)

系。因此，對于一些較復雜的行程問題，我們可以用題中已知的條件和所設(shè)的未知數(shù)，根據(jù)自己最熟悉的

等量關(guān)系列出方程，方便解題。

例1A、B兩地相距259千米，甲車從A地開往B地，每小時行38千米；半小時后，乙車從B地開往A

地，每小時行42千米。乙車開出幾小時后和甲車相遇？

分析我們可以設(shè)乙車開出后X小時和甲車相遇。相遇時，甲車共行了38X(X+0.5)千米，乙車共行了

42X千米，用兩車行的路程和是259千米來列出方程，最后求出解。

解：設(shè)乙車開出X小時和甲車相遇。

38X(X+0.5)+42X=259

解得X=3即：乙車開出3小時后和甲車相遇。

練習一

1,甲、乙兩地相距658千米，客車從甲地開出，每小時行58千米。1小時后，貨車從乙地

開出，每小時行62千米。貨車開出幾小時后與客車相遇？

解：設(shè)貨車開出x小時后與客車相遇.

58x(x+l)+62xx=658

120x=600

x=5

答：貨車開出5小時后與客車相遇.

2,小軍和小明分別從相距1860米的兩處相向出發(fā)，小軍出發(fā)5分鐘后小明才出發(fā)。已知小軍每分鐘行120

米，小明騎車每分鐘行300米。求小軍出發(fā)幾分鐘后與小明相遇？

解：相遇時間=總路程+速度和

(I860-120x5)+(120+300)

=1260+420

=3分鐘［相遇需要的時間］

3+5=8分鐘

答：小軍出發(fā)8分鐘后與小明相遇.

3,甲、乙兩地相距446千米，快、慢兩車同時從甲、乙兩地相對開出，快車每小時行68千米，慢車每小

時行35千米。中途慢車因修車停留半小時，求共經(jīng)過幾小時兩車在途中相遇。

解：設(shè)共經(jīng)過X小時后兩車再途中相遇，由題意可列方程：

68x+35x(x-0.5)=446

68x+35x-17.5=446

103x=463.5

x=4.5

答：共經(jīng)過4.5小時兩車再途中相遇。

例2一輛汽車從甲地開往乙地，平均每小時行20千米。到乙地后又以每小時30千米的速度返回甲地，

往返一次共用7.5小時。求甲、乙兩地間的路程。

分析如果設(shè)汽車從甲地開往乙地時用了X小時，則返回時用了(7.5—X)小時，由于往、返的路程是一

樣的，我們可以通過這個等量關(guān)系列出方程，求出X值，就可以計算出甲、乙兩地間的路程。

解：設(shè)去時用X小時，則返回時用(7.5-X)小時。

20X=30(7.5-X)

解得X=4.5

20X4.5=90(千米)

即：甲、乙兩地間的路程是90千米。

練習二

1,汽車從甲地開往乙地送貨。去時每小時行30千米，返回時每小時行40千米，往返一次共用8小時45

分。求甲、乙兩地間的路程。解：

設(shè)甲乙兩地相距X千米

x/30+x/40=8.75

7x/120=8-75

7x=120x8.75

x=150

此題屬于追及問題，做此題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)關(guān)于全程X的方程，找出等量關(guān)系即可列出方程.

2,一架飛機所帶的燃料最多可用9小時，飛機去時順風，每小時可飛1500千米；返回時逆

風，每小時可飛1200千米。這架飛機最多飛多少千米就要往回飛？

解：設(shè)飛出時間為X,則飛回時間是9-X,

1500X=1200x(9-X)

X=4

所以飛出是4x1500=6000千米就要往回飛

答：飛出6000千米就要往回飛

解析

解答此題時要利用飛出去的距離小于等于飛回來的距離時，飛機才能成功飛回原地，

利用此關(guān)系列出相應(yīng)的等式即可正確解答問題.

本題考查的是稍復雜的應(yīng)用題的解答能力，解答此題時要注意飛出去的距離小于等于

飛回來的距離時，飛機才能成功飛回原地，利用此關(guān)系列出相應(yīng)的等式即可正確解答

問題.

1,師徒二人加工一批零件。師傅每小時加工35個，徒弟每小時加工28個。師傅先加工了

這批零件的一半后，剩下的由徒弟去加工。二人共用18小時完成了加工任務(wù)。這批零件

共有多少個？

解：設(shè)師傅做了x小時；徒弟做了18—x小時.

35x=28(18-x)

35x=28xl8-28x

35x+28x=504—28x+28x

63x=504

x=8

35x8+28x(18-8)

=280+280

=560(個)

答：一共有560個.

解析

可以利用方程來解決這個問題，先設(shè)師傅做了X小時，徒弟做了18—X小時；然后再

找數(shù)量關(guān)系；發(fā)現(xiàn)兩人所做的個數(shù)相等，所以可以利用這個來建立等式.

本題需要理解題目的意思，能夠根據(jù)題目的含義找出數(shù)量關(guān)系；記住方程的結(jié)果不能

夠帶單位，但是脫式需要帶單位；同時要利用等式的性質(zhì)進行解答.

例3東、西兩地相距5400米，甲、乙二人從東地、丙從西地同時出發(fā)，相向而行。甲每分鐘行55米，

乙每分鐘行60米，丙每分鐘行70米。多少分鐘后乙正好走到甲、丙兩人之間的中點處？

分析設(shè)行了X分鐘，這時甲行50X米，乙行60X米，丙行70X米。甲和乙之間的距離可用60X—50X表

示，乙和丙之間的距離可用5400—70X—50X表示。由于這兩個距離相等，所以有60X—50X=5400—70X—

50X,求出此方程的解就得到所求問題。

解：設(shè)X分鐘后乙正好走到甲、丙兩人之間的中點。

60X-50X=5400-70X-50X

解得X=40

即：40分鐘后乙正好走到甲、丙兩人之間的中點。

練習三

1,A、B、C三地在一條直線上，如圖所示：

ABC

A、B兩地相距2千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時向C地行走，甲每分鐘走35米，乙每分鐘走

45米。經(jīng)過幾分鐘B地在甲、乙兩人之間的中點處？

解：設(shè)經(jīng)過X分鐘B地在甲乙兩人之間，根據(jù)題意，列方程得45X=2000—35X,解

得X=25

答：經(jīng)過25分鐘B地在甲乙兩人之間.

解析

設(shè)經(jīng)過X分鐘B地在甲，乙兩人之間，甲到B的距離=乙離B的距離，然后解題.

2,東、西兩鎮(zhèn)相距60千米。甲騎車行完全程要4小時，乙騎車行完全程要5小時?，F(xiàn)在兩人同時從東鎮(zhèn)

到西鎮(zhèn)去，經(jīng)過多少小時后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？

解：甲的速度是15,乙的速度是12.

設(shè)經(jīng)過x小時后，乙剩下的路程是甲剩下的路程的4倍.

4=(60-12x)X60-15x)

240-60x=60-12x

240-60=60x-12x

180=48x

x=3.75

3,老師今年32歲，學生今年8歲。再過幾年老師的年齡是學生的3倍？

解：設(shè)再過x年老師的年齡是學生的3倍.

32+x=(8+x)x3

32+x=24+3x

2x=8

x=4

答：再過4年老師的年齡是學生的3倍.

例4快、慢兩車同時從A地到B地，快車每小時行54千米，慢車每小時行48千米。途中快車因故停留

3小時，結(jié)果兩車同時到達B地。求A、B兩地間的距離。

分析我們可以設(shè)快車行駛了X小時，那么，慢車就行駛了(X+3)小時，利用快、慢兩車所行的路程相

等這一關(guān)系，可以列出方程，通過解方程求出快車所行駛的時間，最后用“速度X時間=路程”這一關(guān)系

求出A、B兩地間的距離。

解：設(shè)快車行駛了X小時。

54X=48X(X+3)

解得X=24

54X24=1296(千米)

即：A、B兩地相距1296千米。

練習四

1,甲每分鐘行120米，乙每分鐘行80米。二人同時從A地出發(fā)去B地，當乙到達B地時，甲已在B地停

留了2分鐘。A地到B地的路程是多少米？

乙到B店時，甲已經(jīng)在B店停留了2分鐘，則可得：80*2=160米，甲至UB店時，乙離B

店160米，甲每分鐘比乙多走：120-80=40米,160/40=4分鐘也就是說，甲從A到B

店走了4分鐘，A、B兩店距離為：4*120=480米

2,甲、乙二人同時從學校騎車出發(fā)去江邊，甲每小時行15千米，乙每小時行20千米。途中乙因修車停

留了24分鐘，結(jié)果二人同時到達江邊。從學校到江邊有多少千米？

_2

一氣

解:24分鐘“小時，

15x—=6

這段時間內(nèi)甲行了：0（千米）,

乙每小時可以追甲：/uU（千米）,

二

6千米的距離乙追上甲需:口6*5=1■?9乙（小時）,

從學校到江邊的路程是：2°xl.2=24（千米）.

答:從學校到江邊要行24千米.

解析

2r2c

=-15x三=6

24分鐘J小時，這段時間內(nèi)甲行了0（千米），乙每小時可以追

二勺=

甲20—15=5（千米）,6千米的距離6“~19乙（小時），實際上乙行

1.2+|

了1.2小時,甲行了0小時，根據(jù)速度時間=路程,用兩人任意一個的速

度乘所用時間即可得出距離，由此列式解答.

2,兄弟二人同時從家往學校走，哥哥每分鐘走90米，弟弟每分鐘走70米。出發(fā)1分鐘后，哥哥發(fā)現(xiàn)少

帶鉛筆盒，就原路返回，取后立即出發(fā)，結(jié)果與弟弟同時到達學校。他們家離學校有多遠？

解：哥哥追上弟弟需要的時間：

70x2^(90-70)

=140-20

=7(分鐘)

90x7=630(米)

或70x(7+2)

=70x9

=630(米)

答：他們家離學校630米.

故答案為：

630米

根據(jù)兄弟二人同時從家往學校走，出發(fā)1分鐘后，哥哥發(fā)現(xiàn)少帶了鉛筆盒，則原路返

回取后立即出發(fā)結(jié)果與弟弟同時到達學校，可知此時弟弟已經(jīng)走了2分鐘，乘弟弟每

分鐘走的70米就是哥哥要追趕弟弟的路程，再除以哥哥每分鐘追上弟弟的路程即

(90—70)米，就是哥哥第二次出發(fā)到達學校所需的時間，最后用哥哥的速度乘時間，

或弟弟的速度乘弟弟共用的時間就是他們家離學校的距離.

解析

要求他們家離學校多遠，需要知道在哥哥第二次從家出發(fā)時，弟弟在哥哥前面多少米,

即哥哥總共要追趕弟弟的路程，然后除以哥哥每分鐘追上弟弟的路程就是哥哥追上弟

弟需要的時間，最后用速度乘時間即可.

例5一位同學在360米長的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4

米。求他后一半路程用了多少時間？

分析因為這位同學在前一半時間跑步的速度大于后一半時間跑步的速度，所以前一半時間所跑的路程一

定大于半圈180米，即在跑前半圈時的速度都是每秒5米，跑前半圈要用180+5=36秒。如果再求出跑一

圈的時間，就能求出跑后半圈的時間了。為了方便計算，我們假設(shè)他按題中跑法跑了2圈。

設(shè)跑一圈用X秒，則跑二圈共跑720米。

5X+4X=720

解得X=80

80-36=44（秒）

即：他后一半路程用了44秒。

練習五

1,小明在420米長的環(huán)形跑道上跑了