期末熱點.重難點事件的相互獨立性

選擇題（共5小題）

1.（2024秋?遼寧期末）太空站內(nèi)有甲，乙，丙三名航天員依次出艙進行同一實驗，每次只派一人，每人

最多出艙一次，若前一實驗不成功，則返艙后派下一人重復(fù)進行該實驗；若實驗成功，則終止實驗.已

732

知甲，乙，丙各自出艙實驗成功的概率分別為77、每人出艙實驗?zāi)芊癯晒ο嗷オ毩?，若按照甲?/p>

1043

乙、丙的順序依次出艙，則該項實驗最終成功的概率為（）

773739

A.—B.—C.—D.——

20104040

2.（2024秋?洛陽期末）甲、乙兩名同學(xué)參加了班級組織的數(shù)學(xué)知識有獎競答活動，二人從各自的10道題

中（這20道題均不相同）各自獨立地隨機抽取2道題現(xiàn)場回答，已知在每人的10道題中，均有5道是

代數(shù)題，5道是幾何題，則甲、乙兩名同學(xué)抽取的4道題目中有且僅有2道代數(shù)題的概率為（）

251113

A.—B.-C.——D.—

812274

3.（2025?武漢模擬）中國古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長.如圖（1）,某公園的六角亭是中國常見的一種供

休閑的古建筑，六角亭屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖（2）所示的六棱錐P-ABCDEF.該公園

管理處準(zhǔn)備用風(fēng)鈴裝飾六角亭屋頂尸-ABC。跖的六個頂點A,B,C,D,E,F,現(xiàn)有四種不同形狀的

風(fēng)鈴可供選用，則在相鄰的兩個頂點掛不同形狀的風(fēng)鈴的條件下，頂點A與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴

的概率為（）

912217

—B.—C.—D.—

61616112

4.（2024秋?自貢校級期末）某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競賽,比賽分為筆試和實驗操作測試，該同學(xué)參

3

加這兩項測試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率力，在實驗操作中結(jié)果為優(yōu)

秀的概率為泉則該同學(xué)在這次測試中僅有一項測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）

17——

5.（2024秋?日照期末）已知事件A,B相互獨立，且尸（A）=可P（B）=彳則PQ48）=（）

二.多選題(共4小題)

(多選)6.(2024秋?淄博期末)已知隨機事件A,B,C,則下列說法正確的是()

A.若事件A與事件8相互獨立，則P(AB)=尸(A)P(B)

B.P(A)+P(B)=1是事件A與事件8互為對立事件的充要條件

C.若事件A與事件8互斥，P⑷=P(B)=最貝網(wǎng)4+8)=(

D.若事件A與事件8相互獨立，P(A)=P(B)=I，貝UP(a+B)=S

(多選)7.(2024秋?順德區(qū)期末)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設(shè)事件A="第一次正面朝上”，事件

B="第二次反面朝上”，貝U()

A.A與B互斥B.A與8相互獨立

C.A與8相等D.P(A)=尸(B)

(多選)8.(2024秋?涪城區(qū)校級期末)下列說法正確的是()

A.從容量為N的總體中抽取一個容量為〃的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機數(shù)法和按比例分層隨機抽樣三

種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為pi，P2,P3則pi=p2=03

B.若PQ4B)=/,P(A)=(，P(B)=I，則事件A與事件2相互獨立

C.一個人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件

D.若尸(A)=0.3,P(B)=0.4,且事件A與事件B相互獨立，則尸(AUB)=0.58

(多選)9.(2024秋?昆明期末)昆明市盤龍區(qū)有眾多旅游資源，包括2個國家4A級旅游區(qū)(世博園、金

殿風(fēng)景名勝區(qū))，1個國家森林公園(金殿森林公園)，甲、乙兩人分別從世博園、金殿風(fēng)景名勝區(qū)、金

殿森林公園這3個景點中隨機選擇一個景點去旅游，已知甲、乙兩人選擇景點相互獨立，則下列說法正

確的是()

A.甲去世博園的概率為：

1

B.甲、乙兩人都去世博園的概率為§

4

C.甲、乙兩人中恰有一人去世博園的概率為二

9

4

D.甲、乙兩人中至少有一人去世博園的概率為一

9

三.填空題(共3小題)

11

10.(2024秋?威海期末)已知甲、乙兩人投籃命中率分別為力并且他們投籃互不影響.現(xiàn)每人投籃2

32

次，則甲比乙進球數(shù)多的概率為.

H.(2024秋?遼寧期末)已知P(B|A)=0.8,P(B)=0.6,則A與B.(填“獨立”或“不

獨立”)

12.(2024秋?杭州校級期末)甲、乙兩名同學(xué)參加一項射擊比賽游戲，若甲、乙兩人射擊的命中率分別為

33

工和一，假設(shè)兩人射擊互不影響.則兩人各射擊一次，至少有一人命中目標(biāo)的概率

54

為.

四.解答題(共3小題)

11

13.(2024秋?漢中期末)甲乙兩人獨立地解決同一問題，甲解出此問題的概率是一，乙解出此問題的概率一，

34

記“甲能解出此問題”為事件4“乙能解出此問題”為事件2,“兩人都能解出此問題”為事件C,“兩

人都不能解出此問題”為事件D,“恰有一人能解出此問題”為事件E,“至多有一人能解出此問題”為

事件F,“至少有一人能解出此問題”為事件G.

(1)請用事件A,8表示事件C,D,E,F,G并填在下表中；

CDEFG

(2)分別求出事件E,F,G的概率；

(3)俗語“兄弟同心，其利斷金”出自《周易》，常用來比喻只要兄弟一條心，就能發(fā)揮很大的力量,

泛指團結(jié)合作.請你結(jié)合本題從概率的角度談?wù)剬@句話的認(rèn)識.

14.(2024秋?遼寧期末)《中華人民共和國未成年人保護法》是為保護未成年人身心健康，保障未成年人

合法權(quán)益.根據(jù)憲法制定的法律，某中學(xué)為宣傳未成年人保護法，特舉行了一次未成年人保護法知識競

賽.競規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別選答兩題，兩人答題互不影響.若答對題數(shù)

合計不小于3,則稱這個小組為“優(yōu)秀小組”.已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且甲、乙答對每道題的

概率均分別為Pi,P2.

(1)若BP2=1,求在第一輪競賽中，該組成為“優(yōu)秀小組”的概率；

(2)若B+P2求該組在每輪競賽中成為“優(yōu)秀小組”的概率的最值.

15.(2024秋?信宜市期末)在一次猜燈謎活動中，共有20道燈謎，兩名同學(xué)獨立競猜，甲同學(xué)猜對了12

個，乙同學(xué)猜對了8個，假設(shè)猜對每道燈謎都是等可能的，試求：

(1)任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率；

(2)任選一道燈謎，甲、乙至少有一人猜對的概率.

期末熱點.重難點事件的相互獨立性

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

1.（2024秋?遼寧期末）太空站內(nèi)有甲，乙，丙三名航天員依次出艙進行同一實驗，每次只派一人，每人

最多出艙一次，若前一實驗不成功，則返艙后派下一人重復(fù)進行該實驗；若實驗成功，則終止實驗.已

732

知甲，乙，丙各自出艙實驗成功的概率分別為一、-、一，每人出艙實驗?zāi)芊癯晒ο嗷オ毩ⅲ舭凑占住?/p>

1043

乙、丙的順序依次出艙，則該項實驗最終成功的概率為（）

773739

A.—B.—C.—D.—

20104040

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】D

【分析】利用獨立事件的概率乘法公式以及對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

732

【解答】解：根據(jù)題意，因為甲、乙、丙各自出艙實驗成功的概率分別為一、-、

1043

并且每人出艙實驗?zāi)芊癯晒ο嗷オ毩ⅲ?/p>

若按照甲、乙、丙的順序依次出艙，則該項實驗成功，即三人至少有一人出艙實驗成功，

其概率P=1-（1■（1-1）-（1-|）=

故選：D.

【點評】本題考查相互獨立事件的概率，涉及對立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2024秋?洛陽期末）甲、乙兩名同學(xué)參加了班級組織的數(shù)學(xué)知識有獎競答活動，二人從各自的10道題

中（這20道題均不相同）各自獨立地隨機抽取2道題現(xiàn)場回答，已知在每人的10道題中，均有5道是

代數(shù)題，5道是幾何題，則甲、乙兩名同學(xué)抽取的4道題目中有且僅有2道代數(shù)題的概率為（）

251113

A.—B.-C.—D.一

812274

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】分類討論；綜合法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維.

【答案】c

【分析】本題結(jié)合古典概型的概率計算以及相互獨立事件概率乘法公式可求解.

【解答】解：甲乙兩人各從10道題中獨立隨機抽取2道題，不同抽法有端%=45X45種，

有且僅有2道代數(shù)題的抽法有廢嗎?廢己+2CICI=25X33種，

所以甲、乙兩名同學(xué)抽取的4道題目中有且僅有2道代數(shù)題的概率為小=-.

故選：C.

【點評】本題主要考查古典概型的概率計算以及相互獨立事件概率乘法公式.

3.(2025?武漢模擬)中國古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長.如圖(1),某公園的六角亭是中國常見的一種供

休閑的古建筑，六角亭屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖(2)所示的六棱錐P-ABCDEF.該公園

管理處準(zhǔn)備用風(fēng)鈴裝飾六角亭屋頂P-ABCDEP的六個頂點A,B,C,D,E,F,現(xiàn)有四種不同形狀的

風(fēng)鈴可供選用，則在相鄰的兩個頂點掛不同形狀的風(fēng)鈴的條件下，頂點A與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴

的概率為()

912217

—B.—C.—D.

61616112

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】分類討論；分析法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運算求解.

【答案】C

【分析】記事件相鄰的兩個頂點掛不同形狀的風(fēng)鈴，事件N：A與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴.分三

類討論求出事件M的掛法總數(shù)，分兩類討論求出對于事件N的掛法總數(shù)，結(jié)合條件概率的計算公式計

算即可求解.

【解答】解：記事件相鄰的兩個頂點掛不同形狀的風(fēng)鈴，事件MA與C處掛同一種形狀的風(fēng)鈴.

當(dāng)頂點A與C掛同一種形狀的風(fēng)鈴，且相鄰兩頂點掛不同形狀的風(fēng)鈴時，分以下兩類：

(1)A,C,E掛同一種形狀的風(fēng)鈴，由前面解析可知，此時不同的掛法有108種；

(2)當(dāng)A,C掛同一種形狀的風(fēng)鈴，E掛其他形狀的風(fēng)鈴時，有題種掛法，

此時8,D,P有3X2X2種掛法，故不同的掛法共有掰X3x2x2=144種.

綜上，總計有108+144=252種掛法，即〃QMN)=252,

對于事件包含的情況可分以下三類：

(1)當(dāng)A,C,E掛同一種形狀的風(fēng)鈴時，有4種掛法，

此時8,D,尸各有3種掛法，故不同的掛法共有4X3X3X3=108種；

(2)當(dāng)A,C,E掛兩種不同形狀的風(fēng)鈴時，有戲掰種掛法，

此時8,D,尸有3X2X2種掛法，故不同的掛法共有用幽x3x2x2=432種;

（3）當(dāng)A,C,E掛三種不同形狀的風(fēng)鈴時，有題種掛法，

此時8,D,尸各有2種掛法，故不同的掛法共有用x2x2x2=192種.

綜上，總計有108+432+192=732種掛法，即"（M）=732.

故P（W“）一五百一建—布?

故選：C.

【點評】本題主要考查古典概型以及分類討論思想的運用，屬于中檔題.

4.（2024秋?自貢校級期末）某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競賽，比賽分為筆試和實驗操作測試，該同學(xué)參

3

加這兩項測試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為一，在實驗操作中結(jié)果為優(yōu)

4

秀的概率為|，則該同學(xué)在這次測試中僅有一項測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）

7151

A.—B.-C.——D.一

122123

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】c

【分析】根據(jù)獨立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式可求概率.

12315

【解答】解：根據(jù)題意可得該同學(xué)在這次測試中僅有一項測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為：-x-+-x-=—.

434312

故選：C.

【點評】本題主要考查獨立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式，是基礎(chǔ)題.

17—

5.（2024秋?日照期末）已知事件A,3相互獨立，且尸（A）=可P（B）=可則PQ48）=（）

1212

A.—B.-C.一D.

3399

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】c

【分析】根據(jù)已知事件A,8相互獨立，可得事件A,耳也相互獨立，再利用相互獨立事件的概率乘法

公式可解.

【解答】解：已知事件A,8相互獨立，則事件A,否也相互獨立，

17-7

又尸(A)=2，P(B)=2，則P(B)=1—9=

__111

則P(AB)=P(A)P(B)=[XH=和

故選：C.

【點評】本題考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

二.多選題(共4小題)

(多選)6.(2024秋?淄博期末)已知隨機事件A,B,C,則下列說法正確的是()

A.若事件A與事件8相互獨立，則P(AB)=尸(A)P(B)

B.P(A)+P(B)=1是事件A與事件2互為對立事件的充要條件

C.若事件A與事件8互斥，P(4)=P(B)J貝網(wǎng)4+瓦)烏

1C

D.若事件A與事件8相互獨立，PQ4)=P(B)=泰貝網(wǎng)4+8)=冒

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；對立事件的概率關(guān)系及計算.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)相互獨立事件的定義判斷A,舉反例判斷8,根據(jù)互斥事件的定義可得41瓦再由對立

事件的概率公式判斷C,根據(jù)和事件的概率公式判斷D

【解答】解：對于A：若事件A與事件8相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B),故A正確；

對于8：由尸(A)+P(B)=1推不出事件A與事件B互為對立事件，則充分性不成立；

如拋擲一枚骰子，記4={1,2,3},3={3,4,5},則。(4)=P(B)=主

所以P(A)+P(8)=1,顯然事件A與事件8不對立，

而事件A與事件8互為對立事件，則P(A)+P(8)=1,則必要性成立，故B錯誤；

對于C：若事件A與事件8互斥，P⑷=P(B)=4，

—17—

則P(B)=1—P(8)=1—耳=可AQB,

所以PQ4+B)=P(8)=全故C正確；

對于￡＞：若事件A與事件B相互獨立，PQ4)=P(B)=/

則p(a+B)=p(a)+p⑻-P(AB)="尹方x9=云故。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查對立事件，互斥事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)7.(2024秋?順德區(qū)期末)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，設(shè)事件A=”第一次正面朝上”，事件

B="第二次反面朝上”，則()

A.A與B互斥B.A與B相互獨立

C.A與8相等D.P(A)=P(B)

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式；事件的互斥(互不相容)及互斥事件.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式求出P(A)、P(B)和尸(A8),分析可得A與8相互獨立，分析

選項可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，則。=｛正正，正反，反正，反反｝,

A=｛正正，正反｝,2=｛正反，反反｝,A8=｛正反｝,

貝UP(A)=P(B)=1,P(AB)=1,

則有P(A)P(B)=P(AB),A與B相互獨立，

分析選項：2。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查相互獨立事件的判斷，涉及互斥事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)8.(2024秋?涪城區(qū)校級期末)下列說法正確的是()

A.從容量為N的總體中抽取一個容量為”的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機數(shù)法和按比例分層隨機抽樣三

種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為“，P2,P3則pi=p2=03

B.若PQ4B)=/,PQ4)=(,P⑻=弓,則事件A與事件8相互獨立

C.一個人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件

D.若尸(A)=0.3,P(.B)=0.4,且事件A與事件B相互獨立，則尸(AUB)=0.58

【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；互斥事件與對立事件.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】ABD

【分析】根據(jù)抽樣方法的相關(guān)概念、獨立事件的概率公式、事件之間的關(guān)系以及概率的乘法運算，逐一

檢驗，可得答案.

【解答】解：對于選項A,由簡單隨機抽樣的性質(zhì)，可知pi=p2=°3,故選項A正確；

對于選項B,P(A)P(B)=(1-P(4))P(B)=(l-j)x|=1=P(AB),

故選項B正確;

對于選項C,設(shè)事件A=｛兩次均為中｝=｛中槍次數(shù)為。｝、事件8=｛至多中一次｝=｛中槍的次數(shù)為0,

1｝，

由An8=A,則事件8包含事件A,故選項C錯誤；

對于選項。，由2UB=4B+4亙+ZB,貝I」P(4UB)=P(4B)+PG4豆)+P(ZB),

因為事件A與事件B相互獨立，

所以P(2U8)=P(2)P(B)+P(4)P(萬)+P(1)P(B)=0.3X0.4+0.3X(I-0.4)+(1-0.3)X0.4=0.58,

故選項。正確.

故選：ABD.

【點評】本題主要考查了簡單隨機抽樣的定義，考查了獨立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

(多選)9.(2024秋?昆明期末)昆明市盤龍區(qū)有眾多旅游資源，包括2個國家4A級旅游區(qū)(世博園、金

殿風(fēng)景名勝區(qū))，1個國家森林公園(金殿森林公園)，甲、乙兩人分別從世博園、金殿風(fēng)景名勝區(qū)、金

殿森林公園這3個景點中隨機選擇一個景點去旅游，已知甲、乙兩人選擇景點相互獨立，則下列說法正

確的是()

A.甲去世博園的概率為：

1

B.甲、乙兩人都去世博園的概率為］

4

C.甲、乙兩人中恰有一人去世博園的概率為二

9

4

D.甲、乙兩人中至少有一人去世博園的概率為一

9

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】AC

【分析】利用相互獨立事件概率乘法公式求解.

【解答】解：對于A,甲去世博園的概率為尸=全故A正確；

對于2,甲、乙兩人都去世博園的概率為2=梟?義，故B錯誤；

對于C,甲、乙兩人中恰有一人去世博園的概率為尸巖x|+|x?*故C正確；

對于。，甲、乙兩人中至少有一人去世博園的概率為尸=l-|x|=5,故。錯誤.

J3V

故選：AC.

【點評】本題考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

三.填空題(共3小題)

11

10.(2024秋?威海期末)已知甲、乙兩人投籃命中率分別為-，并且他們投籃互不影響.現(xiàn)每人投籃2

32

7

次，則甲比乙進球數(shù)多的概率為—.

—36―

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

7

【答案】—?

36

【分析】甲比乙進球數(shù)多包含以下三種情況：①甲進1球，乙進。球，②甲進2球，乙進1球，③甲進

2球，乙進0球，由此能求出甲比乙進球數(shù)多的概率.

11

【解答】解：已知甲、乙兩人投籃命中率分別為；，一，并且他們投籃互不影響，

32

甲比乙進球數(shù)多包含以下三種情況：

①甲進1球，乙進0球,概率為：pi=?x號xgx3=義，

②甲進2球，乙進1球，概率為：.4々X?蕓，

11111

③甲進2球，乙進0球，概率為：p3=1X|X|X1=jg,

1117

則甲比乙進球數(shù)多的概率為-+—+—=一.

9183636

7

故答案為：—.

36

【點評】本題考查相互獨立事件的概率相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2024秋?遼寧期末)已知P(B|A)=0.8,P(B)=0.6,則A與8不獨立.(填“獨立”或“不

獨立”)

【考點】由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨立性.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】不獨立.

【分析】根據(jù)題意，用反證法分析，假設(shè)A與3獨立，分析可得尸(B|A)=P(B),結(jié)合題干數(shù)據(jù)可

得結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)題意，假設(shè)A與2獨立，則有尸(AB)=尸(A)P(B),

則有P(BM)=2螺=萼愣=P⑻，

而尸(B|A)=0.8,P(B)=0.6,兩者不等,

故假設(shè)不成立，即事件A與8不獨立.

故答案為：不獨立.

【點評】本題考查相互獨立事件的判斷，涉及條件概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2024秋?杭州校級期末)甲、乙兩名同學(xué)參加一項射擊比賽游戲，若甲、乙兩人射擊的命中率分別為

9

凱,假設(shè)兩人射擊互不影響.則兩人各射擊一次，至少有一人命中目標(biāo)的概率為

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

9

【答案】存.

10

【分析】先分別求出兩人射擊一次不能命中目標(biāo)的概率，可得各射擊一次兩人都沒有命中目標(biāo)的概率,

再根據(jù)對立事件的概率公式求解即可.

33

【解答】解：因為甲、乙兩人射擊的命中率分別為二和二，

所以兩人各射擊一次，都沒有命中目標(biāo)的概率(1-|)X(l—3=白，

所以兩人各射擊一次，至少有一人命中目標(biāo)的概率為1-點=白.

,9

故答案為：—.

10

【點評】本題主要考查了獨立事件和對立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題(共3小題)

11

13.(2024秋?漢中期末)甲乙兩人獨立地解決同一問題，甲解出此問題的概率是一，乙解出此問題的概率一，

34

記“甲能解出此問題”為事件4“乙能解出此問題”為事件2,“兩人都能解出此問題”為事件C,“兩

人都不能解出此問題”為事件。，“恰有一人能解出此問題”為事件E,“至多有一人能解出此問題”為

事件F,“至少有一人能解出此問題”為事件G.

(1)請用事件A,8表示事件C,D,E,F,G并填在下表中；

CDEFG

(2)分別求出事件E,F,G的概率；

(3)俗語“兄弟同心，其利斷金”出自《周易》，常用來比喻只要兄弟一條心，就能發(fā)揮很大的力量,

泛指團結(jié)合作.請你結(jié)合本題從概率的角度談?wù)剬@句話的認(rèn)識.

【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】集合思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】(1)C=AC2,D=Ary~B,E=AB\JAB,F=ABL)AB{JAB,G=AB\JABvAB；

(2)P(E)=多S，P(F)=若11，P(G)=今1

(3)至少有一人能解出此問題的概率P(G)=1,大于甲解出此問題的概率點也大于乙解出此問題

的概率士所以“兄弟同心，其利斷金”.

4

【分析】根據(jù)和事件、積事件的定義進行求解.

【解答】解：(1)C=AQBfD=AH~B,E=AB^AB,F=ABkJAB\JAB,G=AB\JABkJAB；

S111

(2)P(E)二迨，尸(F)=誦，尸(G)=2；

i1

(3)至少有一人能解出此問題的概率P(G)=4,大于甲解出此問題的概率是「也大于乙解出此問

23

1

題的概率:，所以“兄弟同心，其利斷金”.

【點評】本題主要考查和事件、積事件的定義以及概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2024秋?遼寧期末)《中華人民共和國未成年人保護法》是為保護未成年人身心健康，保障未成年人

合法權(quán)益.根據(jù)憲法制定的法律，某中學(xué)為宣傳未成年人保護法，特舉行了一次未成年人保護法知識競

賽.競規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別選答兩題，兩人答題互不影響.若答對題數(shù)

合計不小于3,則稱這個小組為“優(yōu)秀小組”.已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且甲、乙答對每道題的

概率均分別為Pi,P2.

⑴若BP2=l，求在第一輪競賽中，該組成為“優(yōu)秀小組”的概率；

(2)若B+P2=[求該組在每輪競賽中成為“優(yōu)秀小組”的概率的最值.

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

33

【答案】(1)—;

64

3189

(2)最大值為二，最小值為

4256

【分析】(1)根據(jù)題意，將獲“優(yōu)秀小組”的事件分拆成三個互斥事件的和，分別求出各個事件的概率

即可計算作答；

(2)將獲得“優(yōu)秀小組”的概率P表示為P1P2的函數(shù)，令土=Pl￡€[p9利用二次函數(shù)的基

本性質(zhì)可求出函數(shù)最大值、最小值.

【解答】解：(1)記事件4"在第一輪競賽中，該組成為“優(yōu)秀小組””，

事件8：“甲答對兩題，乙答對一題”，事件C“甲答對一題，乙答對兩題”，

事件。：“甲、乙都答對兩題”，

因為事件2、C、D彼此互斥，

所以P(B)=62X2x品(1一》=備,P(C)=2x*x(1-3x(32=參P(D)=(1)2X(1)2=.

又因為事件2、C、D彼此互斥，

所以PQ4)=P(8UCUD)=P(B)+P(C)+P(D)=6Q+備2+高Q喑OQ

(2)由題知甲、乙小組在每輪競賽中成為“優(yōu)秀小組”的概率為尸，

P=P/x2P2(1—P2