【02?暑假預(yù)習(xí)】專題17圓的一般方程（3知識點(diǎn)+7大題型+

思維導(dǎo)圖+過關(guān)檢測）（教師版）-2025年新高二數(shù)學(xué)暑假銜接

講練（人教A版）專題17圓的一般方程

■內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

:k教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

析教材學(xué)知識

CT1_________

知識點(diǎn)01：圓的一般方程

1、圓的一般方程：當(dāng)。2+石2-4/>0時，方程x2+y2+Dx+Ey+R=0叫做圓的一般方程.

其中（-2,-為圓心，為半徑.

（22）2

2、一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)系：

對方程無2+>2+m+班+/=0的左邊配方，并將常數(shù)移項到右邊，得

++=斤+；-4尸,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：

DE（DE

（1）當(dāng)。2+石2-4尸=0時，方程只有實數(shù)解》=-y=一它表示一個點(diǎn)、.

22I22）

（2）當(dāng)￡>2+^2—477<。時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形.

（3）當(dāng)。2+62一4/>。時，可以看出方程表示以［2,-為圓心，!歷7r1為半徑的圓.

I22）2

注：圓的一般式方程特點(diǎn)：

①和丁前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；

②沒有孫項；③。2+七2_4/>0.

知識點(diǎn)02：在圓的一般方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

已知點(diǎn)”（玉）,%）和圓的一般式方程。C：x2+y2+Dx+Ey+F^O（D2+E,2-4F>0）.

則點(diǎn)”（Xo,%）與圓的位置關(guān)系：

①點(diǎn)”（%,%）在C外O尤。2+yi+DXo+Eyo+F>0

②點(diǎn)M（x0,%）在［C上XQ++Dxa+Ey0+F—0

③點(diǎn)M{x0,y0）在,:IC內(nèi)U>XQ+%?+Dx0+Ey0+F<0

知識點(diǎn)03：軌跡與軌跡方程

1、軌跡方程和軌跡的定義

已知平面上一動點(diǎn)M（x,y）,點(diǎn)M的軌跡方程是指點(diǎn)M的坐標(biāo)（x,y）滿足的關(guān)系式。軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動變

化過程中形成的圖形，在解析幾何中，我們常常把圖形看作點(diǎn)的軌跡（集合）.

2、“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別：

（1）“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大小（范圍）等特征；

（2）“軌跡方程”是方程，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍.

3、坐標(biāo)法求軌跡方程的步驟

（1）建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

（2）設(shè)點(diǎn)：用（x,y）表示軌跡（曲線）上任意一點(diǎn)的M的坐標(biāo)；

（3）列式：列出關(guān)于xy的方程；

（4）化簡：把方程化為最簡形式；

（5）證明：證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

練題型強(qiáng)知識

【題型01：對圓的一般方程的理解】

一、單選題

1.（24-25IWJ二上,浙江杭州,期末）已知:X2+,2+2%一=c），則該圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

A.（一；,豐），1B-（一1,去，1

C"f…字,f

【答案】B

【分析】配方得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑.

【詳解】C:x?+y?+2x-&y+g=0n（x+l）2+=1,

故圓心為（-I,#）,半徑為1.

故選：B

2.（23-24高二上.福建福州?期中）已知圓的方程/+/+2依+9=（）,半徑為4,則實數(shù)。為（）

A.-5B.-75C.一5或5D.一&■或百

【答案】c

【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

【詳解】圓的方程爐+y2+2〃+9=0,即（%+。）2+y2=一9+。2,

因為半徑為4,所以-9+1=42,解得。=±5.

故選：c.

3.（24-25高二上?四川眉山?期末）若方程V+y2一2x+2y-%=0表示圓，則機(jī)的取值范圍為（）

A.m>2B.m>—2

C.m<—2D.m<2

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的一般方程，由加+加一4尸>0求解.

【詳解】解：因為方程f+y2-2x+2y-〃2=0表示圓，

所以（一2）2+22-4（一加）>0,

解得m>-2,

故選：B

4.（24-25高二上?吉林通化?期中）若方程ad+勿2+bx-4y+a=0表示一個圓，則6的取值范圍為（）

【答案】D

【分析】將方程化為圓的一般方程，利用少2+嚴(yán)一4尸>0列式即可求.

【詳解】若方程加+4+6x-4y+a=0表示一個圓，貝!]°=。/0,

4

方程可化為尤2+V+x——y+l=0,

b

所以1+]—-4>0,解得—迪<b<拽，且b不等于0,

b）33

所以—拽<b<0或0<b<拽.

33

故選:D

5.（24-25高二上?湖北?期末）已知圓Y+丁—2辦—4世+54—9=0上的所有點(diǎn)者B在第一象限，則實數(shù)。的

取值范圍是（）

A.（3,+co）B.—,3C.—,+°°^D.Q"

【答案】A

【分析】將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題意得到不等式組，解之即得.

【詳解】由％2+,2-20￥-4@+5。2一9=0,配方得（％-。）2+（丁-2。）2=9,

>3,

則該圓圓心為（。,2々），半徑為3,由題意可得。。解得，>3,

2〃>3,

故實數(shù)。的取值范圍是(3,+8).

故選：A.

6.(24-25高二下?上海嘉定?期中)已知2/%2+(°+1)9+2%+1=0表示圓，則實數(shù)。的值為()

A.—1B.1C.—D.—

22

【答案】D

【分析】將方程變形，利用方程表示的曲線為圓可得出關(guān)于。的等式，求出。的值，然后代值檢驗即可得解.

【詳解】由題意知。工0,由2〃x2+(a+l)y2+2x+l=0可得尤2+(“+)廠+2+工=o,

laa2a

所以券=1,即2/_。_1=0,解得。=1或。=-；,

當(dāng)a=l時，方程為Y+y2+x+g=0,可化為[尤+g[+y2=_:,不合題意；

當(dāng)〃=-;時，方程為寸+/+軌+2=0,可化為(尤+2)2+V=2,符合題意，

所以。=總

故選：D.

【題型02：求圓的一般方程】

一、單選題

1.(24-25高二上.河南洛陽?期中)已知0(0,0),A(4,3),B(l,-3),則△OA2的外接圓方程為()

A.x?+—4x—3V=0B.x?+—x+3y=0

C.尤？+;/-5x-5y=0D.x2+y2-7x+y=0

【答案】D

【分析】設(shè)△OAB的外接圓方程為f+yZ+nx+Ey+Fu。，代入三點(diǎn)坐標(biāo)求出系數(shù)即可.

22

【詳解】設(shè)LOAB的外接圓方程為x+y+Dx+Ey+F=0,

因為0(0,0),4(4,3),5(1,-3),

F=0

所以＜42+32+4。+3￡+歹=0,解得。=-7,E=l,尸=0,

l2+(-3)2+D-3E+F=0

所以△OAB的外接圓方程為V+y2_7x+y=0.

故選：D.

2.(23-24高二上.內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?期末)已知圓C經(jīng)過點(diǎn)(-M)和點(diǎn)5。,3),且圓心在y軸上，則圓C

的方程為（）

A.（彳+2『+/=2B.（x-2）2+y2=10

C.X2+（J-2）2=2D.爐+（＞+2）2=10

【答案】C

【分析】先利用待定系數(shù)法求得圓C的一般方程，進(jìn)而得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】設(shè)圓C的方程為尤2+/+m+硝+尸=0,則圓心

l+l-D+E+F=0「八八

則有-T=0，解之得E=-4,

-F-7

l+9+D+3￡+F=0

貝！I有圓C的方程為尤2+y2_4y+2=0,即小+（＞-2）2=2

故選：C

3.（23-24高二上.安徽合肥?期中）關(guān)于圓/+/+瓜+項+/=0有四個命題：①點(diǎn)A（l,-3）在圓內(nèi)；②點(diǎn)

3（2,3）在圓上；③圓心為（-1,0）；④圓的半徑為3.若只有一個假命題，則該命題是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的一般方程式及圓的幾何知識，對所給的條件分情況討論，從而判斷求解.

。=2,

【詳解】若②③正確，則得：E=0,,故尸=T7,

13+2D+3￡+F=0,

所以圓的方程為：（X+1）2+V=18,顯然點(diǎn)A（l,-3）在圓內(nèi)，

①正確，圓的半徑為3五，④錯誤，符合題意；

若③④正確，則可求得圓的方程為：（尤+1）2+/=9,

顯然點(diǎn)3（2,3）不在圓上，②錯誤，點(diǎn)A。,-3）在圓外，①錯誤，不合題意；

其他四種命題組合①②，①④，②④，①③無法確定圓的方程，無法對剩余命題判斷真?zhèn)?

綜上所述：故④為假命題，故D項錯誤.

故選：D.

二、填空題

4.（2024高二上.全國?專題練習(xí)）過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為.

【答案】7+9-=0

【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，將三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到方程組，求出圓的方程.

【詳解】設(shè)圓的方程為爐+/+m+4+F=O(Z)2+E2_4QO),

F=0f￡>=-2

圓過點(diǎn)(0,0),(2,0)和(0,3),所以，4+20+1=0,解得，E=-3,

9+3E+F=0[F=0

所以所求圓的方程為犬+產(chǎn)一2計3丫=0.

故答案為：x2+y2-2x-3y=0.

5.(24-25高二上?天津濱海新?期中)已知點(diǎn)A(-4,-2),21,2),。(-2,2),,48。外接圓的方程是

【答案】x2+y2+6x+4=0

【分析】設(shè)圓的一般方程，將三個圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓方程得到方程組，求得方程組的解，即可得到圓

的一般方程.

【詳解】設(shè)所求圓的方程為爐+產(chǎn)+瓜+4+尸=0(。2+序一4/>0).

由已知，點(diǎn)4-4,-2),3(-4,2),C(-2,2)的坐標(biāo)滿足上述方程，分別代入方程，

-4D-2E+F+20=0

可得關(guān)于D,E,F的三元一次方程組-4。+2E+P+20=0,

-2D+2E+F+8=Q

￡)=6

解方程組得E=0,

F=4

于是得到所求圓的一般方程為Y+y2+6x+4=0.

故答案為：x2+y2+6x+4=0.

【題型03:一般方程下點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】

一、單選題

1.(24-25高二上?甘肅白銀?期中)點(diǎn)(2,2)在圓Y+y2一6x+8y=0的()

A.外部B.內(nèi)部C.圓周上D.無法確定

【答案】A

【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，即可判斷.

【詳解】因為22+22—6x2+8x2>0,所以點(diǎn)(2,2)在圓Y+/—6x+8y=0的外部.

故選:A.

2.(24-25高二上?浙江?期中)若點(diǎn)在圓C:f+y2一2x+2y+l=0內(nèi)，則機(jī)的取值范圍是()

A.—2)B.[—2,0]C.(0,2)D.(—2,0)

【答案】D

【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍即可.

【詳解】由題可知，1+療一2+2m+1<0,解得一2<機(jī)<0.

故選：D

3.（24-25高二上?福建泉州?期中）若點(diǎn)P（-L2）在圓/+/一x+2y+2Z=0的外部，則實數(shù)上的取值范圍

是（）

A.（-5,+co）B.（f-5）C.D.1-5,j

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及二元二次方程表示圓的條件可得不等式，解不等式即可.

【詳解】由已知圓Y+;/-x+2y+2%=0,貝！|1+4-8發(fā)>。，

又點(diǎn)P（T2）在圓Y+,2_苫+2丫+2左=0的外部，

貝！J1+4+1+4+2米>0,

[5-8上>0.,5

即，解得-5<%<二

[10+2上>08

故選：C.

4.（24-25高二上?北京昌平?期末）“。>1”是“坐標(biāo)原點(diǎn)在圓/+y-沖+4_1=。的外部，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先由“坐標(biāo)原點(diǎn)在圓/+了2-@+4-1=0的外部“得且。片2,進(jìn)而可得.

fa-1>0

【詳解】由坐標(biāo)原點(diǎn)在圓/+—ay+。一1=0的外部可得｛/\2/、,即a>1且/2,

'[（-a）-4（a-l）>0

故“a>1”是“a>1且aw2”的必要不充分條件，

故選：B

【題型04：圓過定點(diǎn)問題】

一、單選題

1.（23-24高二上?湖北荊州?期末）圓C?x?+y4ax有碘-=恒過的定點(diǎn)為（）

A.（-2,1）,（2,-1）B.（-1,-2）,（2,1）

C.（-1,-2）,（1,2）D.（-2,-1）,（2,1）

【答案】D

【分析】將方程進(jìn)行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.

【詳解】圓。：Y+丁+以-2毆-5=0的方程化為。（彳-2y）+卜2+/-5）=0,

不。得尤二2x=-2

由1或

y=ly=-i'

故圓C恒過定點(diǎn)（-2,-1）,（2」）.

故選：D.

2.（23-24高二上?河北滄州?期末）己知點(diǎn)A為直線2尤+y-10=0上任意一點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn).則以。4為

直徑的圓除過定點(diǎn)（0,0）外還過定點(diǎn)（）

A.（10,0）B.（0,10）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】D

【分析】設(shè)OB垂直于直線2元+y-10=0,可知圓恒過垂足8；兩條直線方程聯(lián)立可求得8點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】設(shè)OB垂直于直線2尤+〉-10=0,垂足為8,則直線08方程為：y=^x,

由圓的性質(zhì)可知：以。4為直徑的圓恒過點(diǎn)8,

3+y-10=0r=4

由y=\得:丫=2，以以為直徑的圓恒過定點(diǎn)區(qū)2）?

y-5彳8

故選：D.

二、填空題

3.（23-24高二下?上海徐匯?期中）對任意實數(shù)機(jī)，圓/+y?-3?u-6Mly+9〃z-2=0恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)

為

【答案】。,1）或23

+2_2=0

【分析】由已知得爐+y2一2-（3%+6,-9）機(jī)=0,從而3-3由此能求出定點(diǎn)的坐標(biāo)

【詳解】解：x2+y2-3mx-6my+9m-2=0,BPx24-y2-2-(3x+6y-9)m=0,

：：一［解得X=Ly=l>或尤y=l

令

3x+6^-9=055

所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,1）或

故答案為：（1,1）或13

4.（24-25高二下?河北張家口?月考）點(diǎn)M是直線2尤-y+5=0上的動點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑

的圓經(jīng)過定點(diǎn)

【答案】（0,0）和（-2,1）

【分析】過點(diǎn)。作OP垂直于直線2尤-y+5=0,垂足為P,則以為直徑的圓過定點(diǎn)。和尸，求出直線0尸

的方程，聯(lián)立兩直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)。作0P垂直于直線2尤-y+5=0,垂足為尸，

則以O(shè)M為直徑的圓過定點(diǎn)。和P,

因為直線2尤-y+5=0的斜率為2,所以直線0P的方程為〉=-3/

2x-y+5=0r=_2

聯(lián)立1，解得,，即P（-2,l）.

y=-2xU=i

所以以0M為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（0,0）和（-2,1）.

故答案為：（0,0）和（-2,1）

【題型05:與圓有關(guān)的軌跡問題】

一、單選題

1.（24-25高二下?湖南?月考）已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（L1）,動點(diǎn)尸滿足|PC|=2收，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則?|的

最大值為（）

A.4點(diǎn)B.3A/2C.2A/2D.近

【答案】B

【分析】求出尸點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)C為圓心，r=2加為半徑的圓，從而|OP|的最大值為|。。|+乙得到答案.

【詳解】點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,1）,動點(diǎn)P滿足「。=2及，

故P點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)C為圓心，廠=2應(yīng)為半徑的圓，

圓的方程為（x-lp+G-1）"=8,

圓心C。,1）與原點(diǎn)。的距離為|CO|=#7?=五,

則\OP\的最大值為|CO|+r=0+20=30.

故選：B

2.（24-25高二上?廣東深圳?期末）已知等腰三角形ABC的一個頂點(diǎn)為4（2,2）,底邊的一個端點(diǎn)為3（0,0）,

則底邊的另一個端點(diǎn)C的軌跡方程為（）

A.(x-l)2+(y-l)2=l"0且)B.(X-2)2+(J-2)2=8(X^0_1X^4)

C.(X-1)2+(3；-1)2=1(?0且XW4)D.(x-2)2+(y-2)2=8(xwO且xw2)

【答案】B

【分析】設(shè)C（x,y）,利用兩點(diǎn)間的距離公式整理化簡得C的軌跡方程，再去掉三點(diǎn)共線時的點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】設(shè)C（x,y）,根據(jù)題意可知|AC|=|AB|且A,民C三點(diǎn)不共線，

可得J（x_2y+（y―2）2=^/（0-2）2+（0-2）2=2忘,

因此（x—2）+（y—2）=8,

若ARC三點(diǎn)共線，易知A3斜率存在，所以KB=⑥C；

2-0x-0一

即,行，可得『

x=y

聯(lián)立](x-2)2+(y-2)2=8解得x=0或x=4；

又因為A,3,C三點(diǎn)不共線，所以xwO且XH4,

因此端點(diǎn)C的軌跡方程為（x-2y+（y-2）2=8（尤中0且xw4）.

故選：B

二、填空題

3.（24-25高二上?廣東佛山?期中）已知動點(diǎn)M到點(diǎn)片（-1,0）和點(diǎn)心（1,0）的距離的平方和為定值6,那么點(diǎn)

M的軌跡方程為.

【答案】/+y=2

【分析】運(yùn)用直接法，設(shè)點(diǎn)〃（x，y）,依題意列出方程，化簡即得.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M（x，y）,依題意，I肛『+|叫2=6,

代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可得：（^+l）2+/+（x-l）2+y2=6,

化簡得：X2+/=2.

即點(diǎn)M的軌跡方程為爐+y=2.

故答案為：f+y2=2.

4.（23-24高二上?甘肅蘭州?期末）已知線段M的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4,3）,端點(diǎn)A在圓（x+仔+丁=4上運(yùn)

動，則線段AB的端點(diǎn)B的軌跡方程是.

【答案】（尤-9）2+（y—6）2=4

【分析】設(shè)3（x,y）,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)得到A（8-x,6-y）,代入圓中，求出軌跡方程.

【詳解】設(shè)3（x,y）,因為線段A3的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4,3）,

所以A（8—x,6-y）,

將A（8-x,6-y）代入（x+以+V=4中得（8-x+l『+（6-y）?=4,

化簡得（尤-9），（i）2=4.

故答案為：（x-9）2+（y-6）2=4

三、解答題

5.(24-25高二下?四川眉山?開學(xué)考試)已知圓C的圓心為C(3,0),且過點(diǎn)A(l,石).

(1)求圓C的半徑及標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸(x,y)滿足|PO|=2|PC|,求點(diǎn)尸的軌跡方程.

【答案】(1)廠=3,(x-3)2+/=9

(2)x2+y2-8x+12=0

【分析】(1)求出圓的半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)尸(x,y),則由題意可得后17=2”三齊7,化簡可得結(jié)論.

【詳解】(1)由題意，圓心為C(3,0),過點(diǎn)A(l,右)，

則半徑/="3_仔+(占—0J=3,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為a-3)2+/=9；

(2)設(shè)尸(x,y),則由題意可得J—+y2=2j(尤-3)2+1,

化簡可得尤2+丁-8天+12=0.

6.(24-25高二上?廣東深圳?期中)己知圓C的圓心為直線x+y-2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)，且圓C過

點(diǎn)A(3⑵.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若尸為圓C上任意一點(diǎn)，"(8,0),點(diǎn)。滿足PM=2QW,求點(diǎn)。的軌跡方程.

【答案】⑴(x-2>+y2=5.

(2)(x-5)2+y2

【分析】(1)先求得兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，也即求得圓心，進(jìn)而求得圓的半徑，可求圓的方程；

(2)設(shè)尸(5,%),Q(x,y),根據(jù)向量共線列方程，然后利用代入法求得點(diǎn)。的軌跡方程.

(x+y—2=0(x=2/、

【詳解】⑴由。<八，解得C，則圓心為2,0,

[3x-y-6=0[y=0

r=\CA\=J(3-2)2+(2-0/=下,

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2>+丁=5.

（2）設(shè)尸小羽y）.由PM=2QW,可得（8-%,-％）=2（8-尤,-y）,

x=2x-8

則0

.%=2y

又點(diǎn)P在圓C上，所以（尤0-2）2+需=5,即（2龍-10）2+4/=5,

化簡得2+1，

.??點(diǎn)。的軌跡方程為

7.（23-24高二上?云南昆明?期中）已知點(diǎn)A（6,0）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若動點(diǎn)P（x,y）滿足=|冏.

（1）試求動點(diǎn)尸的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為。，試求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.

【答案】（D（x+2）2+y=i6；

⑵3+J1.

416

【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出方程化簡即得動點(diǎn)P的軌跡方程.

（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入點(diǎn)P的軌跡方程得解.

【詳解】（1）由動點(diǎn)P（x,y）滿足2|。尸|=|必，得2商+.2=近一6）2+丁,化簡得/+3?+4..12=0,

所以動點(diǎn)尸的軌跡方程是（尤+獷+/=16.

x=2%o

（2）設(shè)點(diǎn)由軸于點(diǎn)Q,且M是P。中點(diǎn)，得P（2x。,%）,即

由（1）知，（x+2y+y2=16,

因此外+2）?；=16,整理得『+

所以點(diǎn)時的軌跡方程是空+得兒

【題型06：圓的一般方程中對稱條件的突破】

一、單選題

1.（23-24高二上?安徽淮北?月考）如果圓/+y2+m+或+尸=0（獷+"2-4尸＞0）關(guān)于直線y=2x對稱,

那么（）

A.D=2EB.E=2D

C.E+2D=0D.D=E

【答案】B

【分析】圓心在直線y=2無上，代入計算即可得解.

【詳解】因為圓d+y2+m+今，+尸=0（1）2+石2-4尸＞0）的圓心為［一T，一gj，

由圓的對稱性知，圓心在直線＞=2x上，故有-1=即E=2D.

故選：B.

2.（24-25高二上?重慶長壽?期末）圓尤2+丁+2mx+4my+6=0關(guān)于直線-y+8=0對稱，則實數(shù)抗=（）

A.-2B.4C.—2或4D.2或T

【答案】C

【分析】先得出圓的圓心，再根據(jù)圓關(guān)于直線對稱得出圓心在直線上計算求參.

【詳解】圓/+,2+2mx+4my+6=0的圓心為（T%—2機(jī)）,

,6

且4/w2+16/W2-24＞0,即,

因為圓關(guān)于直線，依+8=0對稱，所以圓心在直線上，則-布+2m+8=0,

化簡得（m-4）（m+2）=0,

所以〃?=4或機(jī)=-2,滿足加2＞g.

故選：C.

3.（24-25高二上?陜西安康?期中）若存在點(diǎn)尸，使得圓G：Y+y=4與圓C2：/+y2-4x+2y+a=0關(guān)于

點(diǎn)尸對稱，貝!|。=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】由兩圓關(guān)于點(diǎn)對稱可得圓的半徑相等即可得解.

【詳解】由題意，兩圓半徑相等，

所以MHfZl三=2,解得4=1，

2

故選:A

4.（23-24高二上?福建廈門?期中）若圓/+y—奴+2y+i=o與圓/+,2=1關(guān)于直線＞對稱，過點(diǎn)

的圓。與y軸相切，則圓心尸的軌跡方程為（）

A.x2+4x-4y+8=0B.j2—2x-2j+2=0

C.y2-2x-y-1=0D.y2+4x-Ay+S=0

【答案】D

【分析】由圓與圓的對稱性可得，，再利用幾何關(guān)系，求點(diǎn)尸的軌跡方程.

【詳解】圓/+/一方+2y+l=0,即［x__|j+（y+i）2=［,圓心為半徑釬號，

圓/+丁=1的圓心為(0,0),半徑4=1,

由圓尤2+，2-依+2、+1=0與圓/+尸=1關(guān)于直線〉=1對稱，

可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點(diǎn)在直線y=x-i上，所以-1,解得。=2,

經(jīng)檢驗，。=2滿足題意，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,2),

設(shè)圓心尸為坐標(biāo)為(x,y),貝!!)(尤+2)2+0_2)2=國,整理得y+4了-分+8=0,

即圓心P的軌跡方程為y2+4x-4y+8=0.

故選：D.

二、解答題

5.(24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知A(2,2),B(5,3),圓C過兩點(diǎn)且圓關(guān)于直線V=r對稱，求。C的

的方程.

【答案】%2+y2-13x+13y-8=0

【分析】根據(jù)對稱性可得圓心在直線丫=一尤上，再由一般方程代入點(diǎn)4(2,2),3(5,3),解方程組可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓的方程為尤2+產(chǎn)+次+4+下4，則圓心是］

因為圓關(guān)于直線丁=-%對稱，則直線y=f經(jīng)過圓心，即圓心在直線y=f上，

可得-y，即。=一反

又圓過點(diǎn)g2)心3),由此可得［:工］;

解得O=-13,E=13,F=-8,

故C的一般方程是一+；/_13尤+13丫-8=0.

6.(23-24高二上.北京房山.期中)已知圓M：/+/一4.》一2,=0和直線/：y=kx-l.

(1)寫出圓M的圓心和半徑；

(2)若在圓M上存在兩點(diǎn)A,B關(guān)于直線/對稱，且以線段A8為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線A3的方程.

【答案】⑴圓心為(2,1),半徑為百

(2)%+丁一3=0或%+丁=0

【分析】(D將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑；

(2)推出直線/即為A3的垂直平分線，過圓心以(2,1),從而得到人=1,直線A3的斜率為T,再結(jié)合圖

形，得到當(dāng)A3過點(diǎn)M和過原點(diǎn)時，滿足要求，得到答案.

【詳解】(1)—+'2-4苫-2>=0變形為(x-2)，(y-iy=5,

故圓M的圓心為(2,1),半徑為石；

(2)由垂徑定理可知，線段A3的垂直平分線一定過圓心〃(2,1),

又A,5關(guān)于直線/對稱，故直線/即為A3的垂直平分線，

所以直線/過點(diǎn)M(2,l),將其代入，=區(qū)-1中得，=

解得k=l,

故直線A3的斜率為-1,

又以線段A3為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，圓M也經(jīng)過原點(diǎn)，

故當(dāng)AB過點(diǎn)M時滿足要求，此時直線AB的方程為y-1=-(x-2),

即x+y—3=0,

當(dāng)當(dāng)A3過原點(diǎn)時，也滿足要求，此時直線的方程為＞-0=-"-0),

綜上,直線的方程為尤+＞一3=0或尤+y=0.

【題型07:圓的方程在實際問題中的應(yīng)用】

一、單選題

1.(23-24高二上.河南洛陽?期中)如圖，一座圓拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時，水面寬12米，則當(dāng)水面下

9米C.2M米D.2庖米

【分析】根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系,設(shè)圓的半徑為，，求得圓的方程為1+(丫+10)2=100,結(jié)合圓的方

程，即可求解.

【詳解】以圓拱橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以過拱頂頂點(diǎn)的豎直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系,

設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點(diǎn)為A3,則由已知可得46,-2),

再設(shè)圓的半徑為r,則圓心C(0,-r),即圓的方程為尤2+(y+r)2=,2,

將點(diǎn)A代入圓的方程，可得r=10,即圓的方程為V+(y+IO)?=100,

當(dāng)水面下降1米后，可得4(%,-3)(%>0),

代入圓的方程，可得々=相，所以當(dāng)水面下降1米后，水面寬度為2拘米.

2.(23-24高二下?吉林白城?期末)某圓拱橋的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,

在建造時，每隔3m需用一個支柱支撐，則支柱劣鳥的長為()

AOAtAiAiAMiB

A.(1276-24)mB.(12V6+24)m

C.(24-1276)mD.不確定

【答案】A

【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出圓的一般方程，求解圓的方程，代入鳥點(diǎn)，得解

【詳解】如圖，以線段A3所在的直線為x軸，線段A3的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn)

A,B,尸的坐標(biāo)分別為(一18,0),(18,0),(0,6).

設(shè)圓拱所在的圓的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=Q.

因為A,B,尸在此圓上，故有

182-18D+F=0,。=0,

<182+18￡>+F=0,解得,E=48,

62+6E+F=0,F=-324

故圓拱所在圓的方程是/+/+48y-324=0.

將點(diǎn)鳥的橫坐標(biāo)x=6代入上式，

結(jié)合圖形解得y=-24+12指.

故支柱"的長為(12A/6-24)m.

3.(23-24高二上?四川樂山?月考)某圓拱橋的水面跨度16米，拱高4米，現(xiàn)有一船寬10米，則這條船能

從橋下通過的水面以上最大高度約為()

A.2.40米B.2.66米C.2.80米D.3.00米

【答案】B

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出圓拱橋所在圓的方程，令尤=5,求出相應(yīng)的y值，即可求得答案.

【詳解】如圖，以圓拱橋橫跨水面上的正投影為x軸，過橋的最高點(diǎn)垂直于無軸的直線為y軸，建立平面

直角坐標(biāo)系，

斗

4

BEOFCx

設(shè)圖中矩形EFGH為船剛好能通過橋下時的位置，

則B(-8,0),F(8,0),E(-5,0),F(5,0),A(0,4),

設(shè)圓拱橋所在圓的方程為-+(y一切2=戶，

將坐標(biāo)代入，得64+4=戶,(4一6)2=/,解得6=一6,戶=100,

即圓的方程為x2+(y+6)2=100,

令尤=5,貝!|25+(y+6)2=100,.1>=±57^-6,

結(jié)合題意可得這條船能從橋下通過的水面以上最大高度為5&-6。2.66(米)，

故選：B

二、解答題

4.(23-24高二上?北京豐臺?期中)趙州橋，又名安濟(jì)橋，位于河北省石家莊市趙縣的汶河上，距今已有1400

多年的歷史，是保存最完整的古代單孔敞肩石拱橋，其高超的技術(shù)水平和不朽的藝術(shù)價值，彰顯了中國勞

動人民的智慧和力量.2024年以來，中國文旅市場迎來強(qiáng)勁復(fù)蘇，某地一旅游景點(diǎn)為吸引游客，參照趙州

橋的樣式在景區(qū)興建圓拱橋，該圓拱橋的圓拱跨度為16m,拱高為4m,在該圓拱橋的示意圖中建立如圖所

示的平面直角坐標(biāo)系.

4-8.0)O]留8.0)x

(1)求這座圓拱橋的拱圓的方程；

(2)若該景區(qū)游船寬10m,水面以上高3m,試判斷該景區(qū)游船能否從橋下通過，并說明理由.(也。1.732)

【答案】(1)x2+(>+6)2=10。

(2)可以從不橋下通過，理由見解析

【分析】(1)設(shè)這座圓拱橋的拱圓的一般方程為/+/+m+或+尸=0,將4-8,0),8(8,0),C(0,4),

代入化簡即可得出答案；

(2)將當(dāng)x=5代入圓的方程求出九與3m相比即可得出答案.

【詳解】(D設(shè)這座圓拱橋的拱圓的一般方程為/+/+m+或+尸=0,

因為該拱圓過4-&0),8(8,0),C(0,4),

64—8D+F=00=0

所以64+8。+/=0,解得=12.

16+4石+/=0[F=-64

所以拱圓的一般方程為%2+/+12.y-64=0,

即f+(y+6)2=100.

(2)當(dāng)x=5時，52+(>+6)2=100,

得y=5g-6a2.66m<3m

所以該景區(qū)游船不可以從橋下通過.

22

一、圓的一般方程+Dx+Ey+F-0(Z),E,F為常數(shù))，D+E-4F>0

①點(diǎn)M(%.%)在0c外=x；+yj+%+磔。+F>0

二、圓的一般方程下

圓的一般方程上二魯士?②點(diǎn)M(“b)在。。上=九?觀”=0

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

22

③點(diǎn)在。C內(nèi)Oxo+jo+2h;o+^o+F<0

軌跡方程的定義

三、軌跡與軌跡方程

求軌跡方程的一般步驟

過關(guān)測穩(wěn)提升

一、單選題

1.(24-25高二上?重慶?期中)圓心為且過原點(diǎn)的圓的一般方程是(

A.+y?+2x—2y=0B.+y?—2%+2y=0

C.x~+y~—2x—2y=0D.x?+y?+2x-2y+1=0

【答案】B

【分析】先求半徑，再得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后轉(zhuǎn)化為圓的一般方程.

【詳解】由題意知，(0,。)在圓上，圓心為(1,-1),

所以圓的半徑r=J(1-0『+=V2,

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l『+(y+l)2=2,

則一般方程為：X2+y2-2x+2y=0,

故選：B.

2.(23-24高二上.陜西?期中)若圓/+必-4苫+2丫+機(jī)=0的半徑為2,則實數(shù)機(jī)的值為()

A.1B.-1C.3D.5

【答案】A

【分析】將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得半徑，即可得解.

【詳解】由圓的方程為Y+_/-4x+2y+〃2=0,

即(x-2)2+(y+l)2=5—%,

又圓的半徑為2,

[5-m>0

所以病碗=2,解得m=1，

故選：A.

3.(24-25高二下?四川南充?月考)已知圓(7:/+/+2苫-4、+1=0關(guān)于直線的+2)；—1=0對稱，則實數(shù)機(jī)=

()

A.6B.4C.3D.7

【答案】C

【分析】根據(jù)圓心在直線上即可求解.

【詳解】C:Y+V+2x-4y+1=0的圓心為(-1,2),

故(-1,2)在直線〃吠+2>-1=0上，故-加+4-1=0,解得加=3,

故選：C

4.(24-25高二上?江蘇泰州?月考)若方程/+尸+4〃吠-2y+4/-”7=0表示圓，則實數(shù)，”的取值范圍是

()

A.m<0B.m<—

2

C.m>—lD.mN2

【答案】c

【分析】根據(jù)圓的一般方程滿足。2+爐一4p＞0,列式運(yùn)算得解.

【詳解】因為方程Y+y2+4mx-2y+4--”7=0表示圓，

所以（4mf+4-4（47〃2-〃?）＞0,解得機(jī)＞-1.

所以實數(shù)〃?的取值范圍為機(jī)＞-L

故選：C.

22

5.（24-25高二上?遼寧?期中）已知橢圓c：L+匕=1,從C上任意一點(diǎn)P向，軸作垂線段尸P,P'為垂足,

164

則線段PP的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

2222

A.土+匕=心。0）B./+2=4（"0）C.土+匕=1（XW0）

644328

D.x2+y2=8（xw0）

【答案】B

【分析】設(shè)M（x,y）,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式并由代入法即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M（x,y）,根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得P（2x,y）,

代入橢圓方程斗+片=1得1+/=4,其中xwO.

164

故選：B

6.（24-25高二上?安徽六安?期末）已知定點(diǎn)8（2,0）,點(diǎn)A在圓（x+lp+V=4上運(yùn)動，則線段A3的中點(diǎn)M

的軌跡方程是（）

A.x2+y2=1B.（x-l）2+y2=1

C.（x+l）2+y2=lD.+y2=l

【答案】D

【分析】根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系，即可將42x-2,2y）代入圓的方程求解.

【詳解】設(shè)M（無,y）,貝1]A（2尤-2,2y）,由于A（2x-2,2y）在（x+爐+'=4上運(yùn)動，

故（2x-2+1）?+（2?=4,化簡得卜一+V=1,

故選：D.

7.（23-24高二上.江蘇南通?期中）圓C：V+/+2x-4y+4=0關(guān)于直線y=x-l對稱圓C'的方程為（）

A.（無一1）2+（＞+1）2=9B.（無一4）2+（,+3）2=9

C.（無一2y+（y+3）2=1D.（X-3）2+（J+2）2=1

【