專題02中心對稱圖形-平行四邊形

內(nèi)容導(dǎo)航

沿考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+高考考點(diǎn)，有的放矢

U重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

難點(diǎn)強(qiáng)化：難點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

???考點(diǎn)聚焦

核心考點(diǎn)聚焦

1、旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)

2、中心對稱與中心對稱圖形

3、平行四邊形的性質(zhì)與判定

4、矩形的性質(zhì)與判定

5、菱形的性質(zhì)與判定

6、正方形的性質(zhì)

7、三角形的中位線定理及應(yīng)用

中考考點(diǎn)聚焦

?？伎键c(diǎn)真題舉例

根據(jù)正方形的性質(zhì)求解2024?江蘇徐州?中考真題

利用菱形的性質(zhì)求解2024-山東青島?中考真題

中心對稱圖形的識(shí)別2024?山東青島?中考真題

利用菱形的性質(zhì)求線段長2024?山東濟(jì)寧?中考真題

利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明2024?四川雅安?中考真題

與三角形中位線有關(guān)的求解問題2024?湖南長沙?中考真題

根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長2024?四川南充?中考真題

試卷第1頁，共23頁

[>>>重點(diǎn)速記<<<,

一.旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)

定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，這樣

的圖形運(yùn)動(dòng)叫旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的這個(gè)角叫做旋轉(zhuǎn)角.

三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.

性質(zhì)：

1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

2）每對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

作圖步驟：

1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；

2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；

3）連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；

4）按原圖形依次連接對應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形.

二.中心對稱與中心對稱圖形

中心對稱中心對稱圖形

圖

先y—V

BC

如果一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與另如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能與它自身

定

一個(gè)圖形重合，我們就把這兩個(gè)圖形重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這

3

叫做成中心對稱.個(gè)點(diǎn)叫做它的對稱中心.

E

中心對稱是指兩個(gè)圖形的關(guān)系中心對稱圖形是指具有某種特性的一個(gè)圖形

另

?兩者可以相互轉(zhuǎn)化，如果把中心對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體（一個(gè)圖形），那么這“一

個(gè)圖形”就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個(gè)中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成兩

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個(gè)圖形，那么這“兩個(gè)圖形”中心對稱.

三.平行四邊形的性質(zhì)與判定

1.平行四邊形的性質(zhì)可以從三個(gè)方面記，

①邊：對邊平行且相等；②角：對角相等，鄰角互補(bǔ)；③對角線：對角線互相平分；

2.平行四邊形的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為全等三角形的判定與性質(zhì)類問題來解決.

3、平行四邊形的判定也可以從三個(gè)方面記，

①邊：兩組對邊分別平行；兩組對邊分別相等；一組對邊平行且相等；②角：兩組對角分

別相等；

③對角線：對角線互相平分；

【高分技巧】平行四邊形的判定和性質(zhì)經(jīng)常綜合在一起考，即先考判定一個(gè)四邊形是平行

四邊，然后再利用平行四邊形的性質(zhì)去解剩余的問題.做題時(shí)，不要太輕率，要綜合考慮

用到的考點(diǎn).

四.矩形的性質(zhì)與判定

1.矩形的性質(zhì)可以從在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加性質(zhì)記憶，

①矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②增加性質(zhì)：四個(gè)角都是直角、對角線相等；

【高分技巧】矩形問題的轉(zhuǎn)化方向有直角三角形、等腰三角形.正因此，矩形常和勾股定

理結(jié)合來求長度.

2.矩形的判定：

①從平行四邊形入手判定，把矩形有平行四邊形沒有的性質(zhì)加上，就可以證一個(gè)平行四邊

是矩形；

②從普通四邊形入手判定則有：

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形、對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；

五.菱形的性質(zhì)與判定

1.菱形的性質(zhì)可以從在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加性質(zhì)記憶，

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②增加性質(zhì)：四條邊都相等、對角線互相垂直、每條

對角線平分一組對角；

【高分技巧】菱形問題的轉(zhuǎn)化方向有直角三角形、等腰三角形.也常和勾股定理結(jié)合來求

長度.

2.菱形面積的特殊計(jì)算方法：對角線相乘除以2

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3.菱形的判定也可以從兩個(gè)方向記憶：

①從平行四邊形入手判定，把菱形有平行四邊形沒有的性質(zhì)加上，就可以證一個(gè)平行四邊

是菱形；

②從普通四邊形入手判定則有：

有四條邊相等的四邊形是菱形、對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；

六.正方形的性質(zhì)

1、正方向具有矩形和菱形的一切性質(zhì)；

【高分技巧】正方形問題的轉(zhuǎn)化方向只有一個(gè)——等腰直角三角形；

七.三角形的中位線

三角形中位線：在AABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，連接DE.像DE這樣，

連接三角形一兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一.

/\

???難點(diǎn)強(qiáng)化<<<

【題型1特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合】

（23-24八年級(jí)下?甘肅蘭州?期末）

1.綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“正方形與旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動(dòng).

【探索發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖①，在正方形中，點(diǎn)￡是邊CD上一點(diǎn)，AFLBE于點(diǎn)、F,將線段/尸繞點(diǎn)

A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段NG,連接DG,可證得4/3尸絲△ADG.請寫出證明過程.

【深入思考】

（2）在（1）的條件下，如圖②，延長BE,GD交于點(diǎn)H,試猜想線段8尸，F(xiàn)H,DH之

間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【拓展延伸】

（3）在（2）的條件下，如圖③，連接C3,將線段。，繞點(diǎn)“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段

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HP,點(diǎn)、P在BHk,試猜想8P與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

圖1

（24-25九年級(jí)上?四川成都?期末）

2.如圖，菱形/BCD的對角線NC與8。相交丁點(diǎn)O,C。的中點(diǎn)為￡,連接并延長至

DF.

（1）求證：四邊形OC/加是矩形;

⑵若EF=5,BD=16,求菱形48a）的面積.

（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期末）

3.四邊形48。?為正方形，點(diǎn)E為線段/C上一點(diǎn)，連接?！?過點(diǎn)E作斯_LZ）E,交射

線5c于點(diǎn)尸，以。￡,跖為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

備用圖

⑴如圖1,求證：矩形。EFG是正方形；

⑵若/8=3,CE=26，求CG的長度;

（3）當(dāng)線段。E與正方形42CD的某條邊的夾角是30。時(shí)，求/E尸。的度數(shù).

（24-25九年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期末）

4.【問題背景】

（教材原題）如圖1,四邊形48C。是正方形，點(diǎn)￡是8c邊的中點(diǎn)，ZAEF=90°,且所

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交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)E求證：AE=EF（無需證明）.

（圖1）（圖2）（圖3）

【問題探究】

⑴如圖2,四邊形是正方形，點(diǎn)E在8。上，ZAEF=90°,AE=EF,連接CF,則

NDCF的度數(shù)為二

⑵如圖3,四邊形/BCD是菱形，點(diǎn)E在8c上，/AEF=/ABC=a（?>90°）,

AE=EF,連接CF.探究』DC尸與N4BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（24-25八年級(jí)上?山東青島?期末）

5.如圖，已知長方形O48C的頂點(diǎn)/在x軸上，頂點(diǎn)C在了軸上，OA=16,0C=8,D、

E分別為048c上的兩點(diǎn)，將長方形。/8C沿直線OE折疊后，點(diǎn)/剛好與點(diǎn)C重合，點(diǎn)

2落在點(diǎn)尸處，再將其打開、展平.

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)是；

（2）求直線。E的函數(shù)表達(dá)式；

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，以1個(gè)單位長度/秒的速度沿折線。-8fC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，當(dāng)S/DE=2S.0S時(shí)，求，的值.

（2024?貴州?模擬預(yù)測）

6.綜合與實(shí)踐：在菱形/BCD中，ZB=60°,作NMAN=NB,AM,NN分別交5C,CD

于點(diǎn)M,N.

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圖①圖②圖③

(1)【動(dòng)手操作】如圖①，若M是邊8c的中點(diǎn)，根據(jù)題意在圖①中畫出/MZN,則

NBAM=度；

(2)【問題探究】如圖②，當(dāng)M為邊8c上任意一點(diǎn)時(shí)，求證：AM=AN；

(3)【拓展延伸】如圖③，在菱形ABCD中，/8=4,點(diǎn)尸，N分別在邊8C,CD上，在菱

形內(nèi)部作=連接4尸，若NP=A，求線段ZW的長.

(24-25九年級(jí)上?廣東韶關(guān)?期中)

7.【閱讀理解】

半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等.通過旋

轉(zhuǎn)或截長補(bǔ)短，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)成全等三角形，用以解決

線段關(guān)系、角度、面積等問題，

【初步探究】

如圖1,在正方形48。中，點(diǎn)瓦廠分別在邊上，連接AE,AF,EF.若NE/尸=45。,

將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，得到A/BG.易證：△AEFQdAEG.

(1)根據(jù)以上信息，填空：

①NEAG=°；

②線段BE、EF、之間滿足的數(shù)量關(guān)系為；

【遷移探究】

(2)如圖2,在正方形45。中，若點(diǎn)E在射線C8上，點(diǎn)尸在射線DC上，NEAF=45°,

猜想線段3爪EF、。尸之間的數(shù)量關(guān)系，請證明你的結(jié)論；

【拓展探索】

(3)如圖3,已知正方形4BCD的邊長為3行,/E4F=45。，連接8。分別交/￡、/斤于點(diǎn)

M、N,若點(diǎn)M恰好為線段8。的三等分點(diǎn)，且求線段的長.

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【題型2特殊平行四邊形中求最值問題】

（24-25九年級(jí)上?山東青島?期末）

8.如圖，P是矩形/BCD的對角線AD上一點(diǎn)，48=3,BC=5,PELBC于點(diǎn)、E,PFA.CD

于點(diǎn)尸，連接4P,EF,則4P+M的最小值為（）

（24-25九年級(jí)上?四川成都?期末）

9.如圖，在矩形/BCD中，AB=3,3=4,點(diǎn)尸是對角線8。上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作BC,CD

的垂線，垂足分別為點(diǎn)￡,尸，連接斯，則E尸的最小值為.

（23-24八年級(jí)下?貴州黔東南?期末）

10.在矩形/BCD中，點(diǎn)￡,廠分別是48,4D上的動(dòng)點(diǎn)，連接斯，將△/斯沿斯折疊,

使點(diǎn)/落在點(diǎn)尸處，連接AP,若4B=2,BC=3,則AP的小值為.

（23-24八年級(jí)下?廣東汕頭?期末）

11.如圖，在菱形4BCL?中，AB=6,乙4=120。，點(diǎn)尸，Q,K分別為線段2C,CD,BD

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上的任意一點(diǎn)，則尸K+QK的最小值為.

（24-25九年級(jí)上?四川成都?期末）

12.如圖，邊長為3的正方形中，￡為CA邊上一點(diǎn)，且。E=l,〃■是對角線NC上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DM+EM的最小值為.

J翻

（24-25九年級(jí)上?全國?期末）

13.如圖，在正方形/BCD中，AB=BC=CD=AD.AB=U,￡為48邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸在

邊上，且8尸=3,將點(diǎn)￡繞著點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)G,連接DG,則。G的長的最小

值為-.

【題型3中點(diǎn)四邊形問題】

（24-25八年級(jí)下?江蘇南京?階段練習(xí)）

14.閱讀理解：我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫中點(diǎn)四邊形，如圖

1,在四邊形4BCD中，E,F,G,〃分別是邊48,BC,CD,。/的中點(diǎn)，依次連接各邊中

點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFG”.

試卷第9頁，共23頁

（1）菱形的中點(diǎn)四邊形的形狀是;

（2）如圖2,在四邊形4BCL?中，點(diǎn)加■在上且ANMD和△河（%為等邊三角形，

E,F,G,H分別為AB、BC、CZX的中點(diǎn)，試判斷四邊形EFG”的形狀并證明.

⑶若四邊形ABCZ?的中點(diǎn)四邊形為正方形，AB+CD的最小值為4,貝ljAD=.

（23-24八年級(jí)下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）

15.綜合與探究：如圖1,四邊形48co中，E、F、G、〃分別是“C、AB、BD、CD的中

點(diǎn)，順次連接E、F、G、H.

AFBAFB

圖1備用圖

（圖1）（備用圖）

（1）如圖1,尸在四邊形內(nèi)一點(diǎn)，使PC=PA,PD=PB/APC=NBPD,其他條件不變,

試探究四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

⑵在（1）的條件下，若NDPB=90。,EF=5,求四邊形跖G”的面積.

【題型4三角形中位線的綜合應(yīng)用】

（24-25九年級(jí)上?吉林長春?期中）

16.【三角形中位線定理】己知：在△ABC中，點(diǎn)D,E分別是邊48,/C的中點(diǎn).直接寫

出DE和8c的關(guān)系為「

【應(yīng)用】如圖，在四邊形4BCD中，點(diǎn)￡,尸分別是邊AS,的中點(diǎn)，若8c=5,

CD=4,跖=1.5,NAFE=45°,則//DC的度數(shù)為—度；

【拓展】如圖，在四邊形48co中，/C與8。相交于點(diǎn)E,點(diǎn)"，N分別為N。，BC的

中點(diǎn)，分別交NC,2D于點(diǎn)尸，G,EF=EG.求證：BD=AC.

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（24-25九年級(jí)上?吉林長春?期中）

17.【定理】三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

圖①圖②

【應(yīng)用】

如圖①，在中，點(diǎn)P、0分別是邊/C、3c的中點(diǎn)，連結(jié)尸。，若尸。=3,則線段

的長為.

【探究】

如圖②，在應(yīng)用的條件下，點(diǎn)。為平面上的一點(diǎn)（CD與不平行），點(diǎn)M為線段的

中點(diǎn)，連結(jié)MP、MQ,當(dāng)/尸°河=/尸河。時(shí)，求CD的長.

【拓展】

如圖②，在探究的條件下，若N/3C=62。，當(dāng)APQW的面積最大時(shí)，直接寫出的度

數(shù).

【題型5幾何與動(dòng)點(diǎn)綜合】

（24-25九年級(jí)上?廣東梅州?期中）

18.如圖，在四邊形/2C。中，AB//CD,AADC=9Q°,AD=12cm,/B=18cm,

CD=23cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)，以Icm/s的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，

以2cm/s的速度沿折線3-C-D向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨

之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

備用圖

試卷第11頁，共23頁

⑴用含t的式子表示尸B=_.

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，直線尸。把四邊形488分成兩個(gè)部分，且其中的一部分是平行四邊形？

(3)只改變點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度，使運(yùn)動(dòng)過程中某一時(shí)刻四邊形尸8C。為菱形，則點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)速

度應(yīng)為多少？

(23-24八年級(jí)下?江蘇無錫?階段練習(xí))

19.已知，如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形O/8C為矩形，”(10,0),點(diǎn)。是。4的

中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在線段8c上以每秒2個(gè)單位長的速度由點(diǎn)C向8運(yùn)動(dòng).設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為t秒

P八

C--------------------

-Q]DAX

⑴當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形尸OA5是平行四邊形？

(2)在直線C8上是否存在一點(diǎn)。，使得。、D、。、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在,

求t的值，并求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)在線段上有一點(diǎn)且尸加'=5,當(dāng)P運(yùn)動(dòng)秒點(diǎn)，四邊形。/河尸的周長最小.

(24-25八年級(jí)上?貴州遵義?期中)

20.如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,zB=90°,且/。=12cm,AB=8cm,

DC=10cm,若動(dòng)點(diǎn)P從/點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿線段向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)。從C

點(diǎn)出發(fā)以每秒2cm的速度沿C8向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)8點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸、0同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),

設(shè)點(diǎn)P、。同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了/秒，回答下列問題：

(1)5C=_cm；

⑵當(dāng)/=_秒時(shí)，四邊形PQ切成為矩形.

(3)當(dāng),為多少時(shí)，PQ//CD2

(4)是否存在3使得△OQC是等腰三角形？若存在，請求出f的值；若不存在，說明理由.

(23-24八年級(jí)下?河北承德?期末)

21.如圖，在四邊形/BCr?中，AD//BC,AB=90°,AD=12cm,3C=15cm.點(diǎn)尸從A

試卷第12頁，共23頁

點(diǎn)出發(fā)，以lcm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng).規(guī)

定運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

cm(分別用含有/的式子表示);

(2)四邊形/尸。?？赡苁瞧叫兴倪呅螁幔空f明理由.

⑶當(dāng)四邊形尸0。的面積是四邊形ABQP面積的2倍時(shí)，求出/的值.

(4)當(dāng)點(diǎn)P、。與四邊形的任意兩個(gè)頂點(diǎn)所形成的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出/

的值.

.復(fù)習(xí)提升＜＜＜：

真題感知

(2024?四川內(nèi)江?中考真題)

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，垂足為點(diǎn)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到

的位置，使點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)月落在直線y=-=x上，再將繞點(diǎn)及逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到

4

3

的位置，使點(diǎn)q的對應(yīng)點(diǎn)Q也落在直線v=上，如此下去，……，若點(diǎn)B的坐

標(biāo)為(0,3),則點(diǎn)為7的坐標(biāo)為().

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

(2024?西藏?中考真題)

23.如圖，在RtZX/BC中，ZC=90°,AC=12,8C=5,點(diǎn)尸是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸

作POL/C,PEVBC,垂足分別為點(diǎn)。，E,連接DE,則DE的最小值是()

試卷第13頁，共23頁

A

1230

C.D.

13

（2024,四川瀘州,中考真題）

24.如圖，在邊長為6的正方形/BCD中，點(diǎn)E,尸分別是邊48,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

AE=BF,”與。E交于點(diǎn)O,點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn)，G是邊上的點(diǎn)，AG=2GB,則

。川+3尸6的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

（2024?廣東?中考真題）

25.如圖，菱形/BCD的面積為24,點(diǎn)￡是的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是8c上的動(dòng)點(diǎn).若ABE尸的

面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

（2024?河南?中考真題）

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形48c。的邊48在x軸上，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-2,0）,

試卷第14頁，共23頁

點(diǎn)E在邊CD上.將ABCE沿BE折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處.若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（。，6）,則點(diǎn)E的

（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）

27.數(shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問題，讓同學(xué)們探究.在中,

N4CB=90°,ABAC=30。，點(diǎn)。在直線8C上,將線段AD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,

過點(diǎn)E悍EF〃BC,交直線AB于點(diǎn)F.

（1）當(dāng)點(diǎn)。在線段上時(shí)，如圖①，求證：BD+EF=AB；

分析問題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用40=/￡構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在43上截

^AM=EF,連接。通過證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段5c的延長線上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)。在線段C3的延長線上時(shí)，如圖

③，請判斷并直接寫出線段8。，EF,N3之間的數(shù)量關(guān)系；

拓展思考：

（3）在（1）（2）的條件下，若/C=6百，CD=2BD,貝1］所=

（2024?甘肅?中考真題）

28.【模型建立】

試卷第15頁，共23頁

(1)如圖1,已知AABE和△8C。，ABLBC,AB=BC,CDLBD,AEYBD.用等式

寫出線段DE,CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,在正方形/8CD中，點(diǎn)E,尸分別在對角線3。和邊CD上，AELEF,

AE=EF.用等式寫出線段BE,AD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】

(3)如圖3,在正方形/BCD中，點(diǎn)E在對角線AD上，點(diǎn)尸在邊CD的延長線上，

AELEF,AE=EF.用等式寫出線段BE,AD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2023?山東東營?中考真題)

29.(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察.

如圖，在四邊形/8C。中，AD=BC,尸是對角線AD的中點(diǎn)，〃■是AB的中點(diǎn)，N是DC

的中點(diǎn)，求證：NPMN=NPNM.

(2)用數(shù)學(xué)的思維思考.

如圖，延長圖中的線段/。交的延長線于點(diǎn)E,延長線段BC交的延長線于點(diǎn)廠,

(3)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá).

試卷第16頁，共23頁

如圖，在△ABC中，AC<AB,點(diǎn)。在/C上，AD=BC,〃是的中點(diǎn)，N是DC的

中點(diǎn)，連接并延長，與BC的延長線交于點(diǎn)G,連接GD,若ZANM=60°,試判斷△CG。

的形狀，并進(jìn)行證明.

（2023?山東煙臺(tái)?中考真題）

30.【問題背景】

如圖1,數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對矩形/BCD進(jìn)行如下操作：

①分別以點(diǎn)及C為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E,尸，作直線跖

交5c于點(diǎn)。，連接/。；②將沿/。翻折，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)尸處，作射線N尸交

CD于點(diǎn)。.

【問題提出】

在矩形N8CZ）中，4D=5,AB=3,求線段C。的長.

【問題解決】

經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：

方案一：連接如圖2.經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段C。的長；

方案二：將繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。至△RCO處，如圖3.經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段C。的

長.

請你任選其中一種方案求線段C。的長.

提升專練

（24-25九年級(jí)上?廣東江門?期末）

試卷第17頁，共23頁

31.【知識(shí)技能】

(1)如圖1,在等邊三角形N8C內(nèi)有一點(diǎn)若點(diǎn)M到頂點(diǎn)C,42的距離分別為6,10,

8,求48MC的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將A/MC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到ABM'C處，此時(shí)

LBMgdAMC,這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段CM轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形

中，從而求得Z8MC=°.

【構(gòu)建聯(lián)系】

利用(1)的解答思想方法，解答下面的問題.

(2)如圖2,在ZUBC中，44。2=90。,，。=3020為/2上的點(diǎn)，且NPCQ=45°,求證:

PQ2=BQ2+AP2.

【深入探究】

(3)如圖3,在等邊三角形N8C中，NC=2,0為△NBC內(nèi)一點(diǎn)，連接/O,BO,C。，且

ZAOC=NCOB=NBOA=120°,^OA+OB+OC的值.

(24-25八年級(jí)上?山東煙臺(tái)?期末)

32.【問題解決】

如圖1,在矩形48cZ)中，點(diǎn)E,尸分別在48,BC邊上，DE=AF,。￡_1/斤于點(diǎn)6.

圖1

(1)求證：四邊形ABC。是正方形；

(2)延長8C到點(diǎn)打，使得CH=D尸,連接判斷的形狀，并說明理由.

【類比探究】

(3)如圖2,在菱形/BCD中，點(diǎn)E,尸分別在BC,CD邊上，DE與4尸相交于點(diǎn)G,

試卷第18頁，共23頁

DE=AF,ZAFD=60°,DF=5,CE=\,求CD/D的值.

圖2

(23-24九年級(jí)上?河南鄭州?階段練習(xí))

33.小明在學(xué)習(xí)了平行四邊形這一章后，對特殊平行四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一

類特殊四邊形，如圖1,我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

圖2

(1)【概念理解】在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是

(2)【性質(zhì)探究】通過探究，小明發(fā)現(xiàn)了垂美四邊形的一些性質(zhì)：垂美四邊形的面積S

與對角線/CAD的數(shù)量關(guān)系為：.

(3)【問題解決】如圖2,分別以的直角邊/C和斜邊48為邊向外作正方形NCPG

和45DE.連接CG,5E,GE,已知/C=4,AB=5.求證：四邊形BCGE為垂美四邊形，并

求出它的面積.

(4)【學(xué)以致用】(3)中GE的長為.

(23-24九年級(jí)上?遼寧錦州?階段練習(xí))

34.【課本再現(xiàn)】

(1)如圖1,正方形/8CD的對角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)。又是正方形44C0的一個(gè)頂點(diǎn)，而

且這兩個(gè)正方形的邊長都為1,四邊形OE8尸為兩個(gè)正方形重疊部分，正方形44G。可繞

點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng).則下列結(jié)論正確的是(填序號(hào)即可)：

試卷第19頁，共23頁

①△4EO四八8尸。；

@OE=OF；

③四邊形o即尸的面積總等于;；

④連接EF,總有AE2+CF2=EF2.

【類比遷移】

（2）如圖2,矩形/BCD的中心。是矩形44G。的一個(gè)頂點(diǎn)，4。與邊相交于點(diǎn)E,G。

與邊C8相交于點(diǎn)尸，連接環(huán)，矩形440?？衫@著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，猜想NE,C￡EF之間的數(shù)

量關(guān)系，并進(jìn)行證明;

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在中，NC=90o,/C=6cin,8C=8cm,直角/ED尸的頂點(diǎn)。在邊48

的中點(diǎn)處，它的兩條邊DE和DF分別與直線AC,BC相交于點(diǎn)E,F,ZEDF可繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),

當(dāng)4E=4cm時(shí),請直接寫出EF的長度.

4------------>/）

圖1圖2圖3（符用圖

（23-24八年級(jí)下?甘肅武威?期末）

35.某班級(jí)開展數(shù)學(xué)討論課，老師給出兩個(gè)大小不同的正方形，要求同學(xué)們利用這兩個(gè)圖形

提出不同的數(shù)學(xué)問題，并解決問題.

【問題提出】（1）小明思考后提出問題：如圖1,大正方形/BCD和小正方形8EFG,頂點(diǎn)8

重合，點(diǎn)G,E分別在邊5C上.那么線段NG,CE滿足什么數(shù)量關(guān)系？

【聯(lián)系遷移】（2）小穎受此問題啟發(fā)，思考并提出新的問題：如圖2,將圖1中的小正方形

BEPG繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，（旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。┦裹c(diǎn)G在邊3c上，E在AB

的延長線上，連接/G,CE.那么線段NG,CE滿足什么數(shù)量關(guān)系?說明理由；

【開放探索】（3）小新深入研究前面提出的問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的問題：如圖3,將圖1中

的小正方形3EFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，連接NG,CE.那么線段NG,CE仍然具有

（1）（2）中的數(shù)量關(guān)系嗎?說明理由.

試卷第20頁，共23頁

（23-24八年級(jí)下?廣東肇慶?期末）

36.如圖，矩形048C的頂點(diǎn)A、C分別在x、了軸的正半軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,8）,一次

2

函數(shù)了=］無+6的圖像與邊。C、分別交于點(diǎn)。、E,并且滿足。。=2E,點(diǎn)M是線段

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求得6=；

（2）連接。暇，若△ODM的面積與四邊形。1EM的面積之比為1:5,求點(diǎn)朋■的坐標(biāo)；

⑶設(shè)點(diǎn)N是x軸上方平面內(nèi)的一點(diǎn)，以A、M,E.N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，請求出

點(diǎn)N的坐標(biāo).

（23-24八年級(jí)下?遼寧大連?期末）

37.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，有一位同學(xué)操作

過程如下：對折矩形紙片N8O,使/。與8C重合，得到折痕斯，把紙片展平；在4D上

選一點(diǎn)尸，沿3尸折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM、BM.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)〃■在E尸上時(shí)，ZEMB=度;

試卷第21頁，共23頁

⑵如圖2,當(dāng)M落在8C邊上時(shí)，并且折痕交8c邊于點(diǎn)T,交4D邊于點(diǎn)S,把紙片展開,

連接交ST于點(diǎn)。，連接4T.求證：四邊形/力0s是菱形；

（3）如圖3,矩形紙片/BCD中，4B=10,AD=26,折疊紙片，使點(diǎn)M落在8C邊上，并

且折痕交邊于點(diǎn)T,交直線于點(diǎn)S,把紙片展平，請求出線段/T的取值范圍.

（24-25八年級(jí)下?河南潦河?期中）

38.已知正方形/2CD,點(diǎn)E,尸分別為邊上兩點(diǎn).

【建立模型】

（1）如圖1,連接如果/，求證：AE=BF；

【模型應(yīng)用】

（2）如圖2,點(diǎn)E為3c邊上一點(diǎn)，連接/E,作/￡的垂直平分線交48于點(diǎn)G,交CD于

點(diǎn)F,若DF=2,BG=4,求BE的長度；

【模型遷移】

（3）如圖3,將“BE沿AE折疊,使點(diǎn)3落在B尸上的點(diǎn)G處，/￡與交于點(diǎn)跖若48=12,

CF=5,請直接寫出G尸的長度.

圖1圖2圖3

（24-25八年級(jí)下?廣東東莞?階段練習(xí)）

39.綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“折紙作60。,30。,15。的角”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

【操作判斷】

（1）①如圖①，對折矩形紙片使/。與2C重合，得到折痕斯，把紙片展平在

上選一點(diǎn)P,沿8尸折疊，使點(diǎn)N落在收上的點(diǎn)M處，把紙片展平，連接HZ,BM.則

NABP=.

②如圖②，在前面操作的基礎(chǔ)上，延長尸初與8C交于點(diǎn)N,則△瓦VP的形狀是.

【遷移探究】

（2）小明將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長尸河與CD交于點(diǎn)。，連接8。.

試卷第22頁，共23頁

如圖③，若改變點(diǎn)尸在上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)，，。重合），判斷NM5。與NC80的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由;

【拓展應(yīng)用】

（3）在（2）的探究中,已知正方形N8CD的邊長為9cm,當(dāng)P是邊的三等分點(diǎn)時(shí)，求

出C。的長.

試卷第23頁，共23頁

1.（1）證明見解析；（2）BF+DH=FH,證明見解析（3）BP=41CH,證明見解析

【分析】（1）可推出NG4尸=4048=90。，仄而NGAD=NB4F,根據(jù)SAS即可得證；

（2）根據(jù)△48尸之△/DG,ZAFB=ZAGD=90°,8尸=DG進(jìn)而可推出矩形4FHG是正

方形，從而FH=GH,進(jìn)一步得出結(jié)果；

（3）在8〃上截取=證明△。8牙當(dāng)。?！ㄓ扇?）得5=8,ABCX=ZDCH,

進(jìn)而得出/〃CX=N8CD=90。，從而HX=gCH,進(jìn)一步得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???四邊形48。是正方形，

ZBAD=90°,AB=AD,

???線段AF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段/G,

：.AG=AF,NGAF=90°=ZBAD,

ZBAD-ZFAD=ZGAF-ZFAD,即NBAF=ZDAG,

在A4時(shí)和△4DG中，

AB=AD

<NBAF=ND4G,

AF=AG

.?.A/8尸取A/OG（SAS）；

（2）解：BF+DH=FH,

證明：???AFLBE,

ZAFB=ZAFH=90°,

由（1）知：AABF義AADG,

ZAFB=ZAGD=90°,BF=DG,

ZGAF=90°,

.??四邊形4W/G是矩形，

■：AG=AF,

矩形/Ef/G是正方形，

：.FH=GH^DG+DH=BF+DH,

^BF+DH=FH；

（3）解：BP=y/2CH.

證明：如圖，在上截取3X=￡>〃，

答案第1頁，共72頁

?.?四邊形ABCD和AFHG都是正方形，

ZBCD=90°=ZGHF,NDEH=NBEC,BC=DC,

：.ZCBX=90°-NBEC=90°-ZDEH=ZCDH,

在△C3X和△CD”中，

BC=DC

<ZCBX=ZCDH,

BX=DH

.-.ACBX^CDH(SAS),

:.CX=CH,NBCX=NDCH,

ZBCX+ZDCX=ZDCH+ZDCX,

；.NHCX=ABCD=90°,

?1?HX=siCX2+CH2=>JCX2+CH2=也CH，

???將線段?！ɡ@點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段,

:.PH=DH,

；.BP=BH-PH=BH-DH=BH-BX=HX=辰口，

即BP=41CH.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(1)見解析

⑵96

【分析】(1)由。E=CE,EF=OE,證明四邊形OCFD是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)

證明/。。。=90。，則四邊形OCED是矩形；

(2)由菱形的性質(zhì)得OD=O2=g8D=8,由矩形的性質(zhì)得CO="=10,則O/=OC

答案第2頁，共72頁

=yjcD2-OD2=V102-82=6,,所以4C=12，則S菱物比。=?BO=12*16=96?

【詳解】(1)證明：的中點(diǎn)為￡,

：.DE=CE,

■：EF=OE,

???四邊形OCFD是平行四邊形，

???四邊形是菱形，對角線NC與2。相交于點(diǎn)O,

：.AC1BD,

ACOD=90°,

.?.四邊形。CFD是矩形.

(2)解：■.-EF=OE=5,BD=16,

OF=2EF=10,OD=OB=-BD=?,,

2

CD=OF=10,

04=0C=yJcD2-OD2=7102-82=6,

.?./C=2CM=12,

???S菱形皿=口。如JX12X16=96,

二菱形/BCD的面積為96.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，求得CD=OF=10

及OA=OC=6是解題的關(guān)鍵.

3.(1)見解析

⑵血

(3)30°或120°

【分析】(1)作于尸，E0_L5C于。，證明RtzXE。尸絲得到

EF=ED,根據(jù)正方形的判定定理證明即可；

(2)由正方形的性質(zhì)可得4D=CD=3,AC=3也,AD=3,DE=DG,

ZEDG=90°=ZADC,由“SAS"可證"DE知CDG,可得CG=/￡=&;

(3)分兩種情況：當(dāng)DE與4D的夾角為30。時(shí)，當(dāng)?！昱cDC的夾角為30。時(shí)，分別畫出

圖形求出結(jié)果即可；

【詳解】(1)證明：如圖1,作EP-LC〃于P,EQL8C于。，

答案第3頁，共72頁

AD

圖1

VNDCA=NBCA=45°,

：.EQ=EP,

ZQEF+ZPEF=90°,APED+2PEF=90°,

,-.AQEF=APED,

在RUEQF和RtAEPD中，

ZQEF=APED

<EQ=EP,

ZEQF=ZEPD

.?.RtAEQP^RtAEPO(ASA),

???EF=ED,

矩形。跖G是正方形；

(2)解：?.?四邊形4BCD是正方形，4B=3,

AD=CD=3,ZADC=90°,AC=^2AD=3^2>

,：CE=2C，

■■AE=y[2,

?.?四邊形DEFG是正方形，

DE=DG,NEDG=90°=NADC,

ZADE=ZCDG,

.?.A4DE0ACZ>G(SAS),

CG=AE=41-,

(3)解：①當(dāng)DE與/。的夾角為30。時(shí)，如圖2,

答案第4頁，共72頁

AD

圖2

ZADE=30°,ZADC=90°,

??.ZEZ>C=60°,

vZEDC+/DEF+/EFC+ZFCD=360°,

???/EFC=360°-90°-90°-60°=120°,

②當(dāng)。￡與。。的夾角為30。時(shí)，如圖3,

過E作于M點(diǎn)，過后作￡N_LC￡)于N點(diǎn),

AD

NFHC,

圖3

???四邊形45CQ是正方形，

ABCD=90°,ZECN=45°,

???/EMC=ZENC=/BCD=90°,

??.NE=NC,

???四邊形￡MCN為正方形，

???四邊形。EbG是矩形，

:,EM=EN,ADEN+ZNEF=ZMEF+ZNEF=90°,

:"DEN=ZMEF,

在△￡>￡?/和4FEM中，

ZDNE=ZFME

<EN=EM,

/DEN=/FEM

ADENAFEM(ASA),

??.ZEFC=ZEDC=30°,

答案第5頁，共72頁

綜上所述：NEFC=30°或120。.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，熟練掌握

知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

4.（1）45°

3

⑵乙DCF=-ABC-90。,證明見解析

【分析】（1）連接NC,過點(diǎn)E作EHJ.BC,交AC于點(diǎn)H,由SAS可證△/￡〃也△尸EC,

可得44HE=NFCE=135。，即可求出/DC尸；

（2）由AAS可得AEPG之A/即，可得尸G=8E,EG=AB,由角的數(shù)量關(guān)系可求解.

【詳解】（1）解：如圖2,連接/C,過點(diǎn)E作EH上BC,交AC于點(diǎn)、H,

(圖2)

???四邊形Z5CD是正方形，

;.AB=BC=CD=AD,ZABC=ZBCD=ZADC=90°,ZACB=45°f

-EHIBC,

??./HEC=NAEF=90°,

ZEHC=ZECH=45°,ZAEH=ZCEF=900-ZFEH,

EH=EC,/AHE=135。,

在△ZE"和AFEC中,

AE=FE

</AEH=ZCEF,

EH=EC

AAEH咨AFEC(SAS),

ZAHE=ZFCE=135°,

:"DCF=ZFCE-/BCE=135。一90。=45。，

故答案為：45°；

3

(2)解：ZDCF=-ZABC-900.證明如下:

答案第6頁，共72頁

證明：如圖3,在BC的延長線上取點(diǎn)G,使得N尸GE=N4BC=a,

（圖3）

ZAEF=ZABC=a,

ZFEG=NAEC-ZAEF=ZABC+NBAE-ZAEF=NBAE,

又?；EF=AE,

.?.△EFG^A/E8(AAS),

:.FG=BE,EG=AB,

?.?四邊形ABCD是菱形，

.-.EG=AB=BC,

BE=CG,

:,FG=CG,

ZFCG=/CFG=180°-^,

2

120°_fy3a

ZDCF=ZDCG-ZFCG=a-------------=-a-90°=-ZABC-90°.

222

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合應(yīng)用，主要考查正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形

的性質(zhì)與判定，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

5.(1)(16,8)

(2)y=2x-12

(3)不存在，見解析

【分析】(1)根據(jù)04=16,0C=8,知8(16,8).

(2)設(shè)則40=16-〃？，可得82+〃/=(16-W解得加=6,故。(6,0),

CD=A