第04講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識點(diǎn)1：直線與平面垂直的定義..................................................4

知識點(diǎn)2：直線與平面垂直的判定定理..............................................5

知識點(diǎn)3:直線與平面垂直的性質(zhì)定理..............................................7

知識點(diǎn)4：平面與平面垂直的定義..................................................8

知識點(diǎn)5：平面與平面垂直的判定定理..............................................9

知識點(diǎn)6：平面與平面垂直的性質(zhì)定理..............................................9

解題方法總結(jié)..................................................................11

題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定....................................................12

題型二：證明線線垂直..........................................................16

題型三：證明線面垂直..........................................................19

題型四：證明面面垂直..........................................................23

題型五：面面垂直的性質(zhì)定理....................................................26

題型六：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用....................................................30

題型七：鱉月需幾何體中的垂直....................................................35

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................38

05課本典例?高考素材............................................................45

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................49

易錯(cuò)點(diǎn)：忽視用證明垂直的方法求夾角............................................49

答題模板：線線垂直'線面垂直的證明............................................50

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年II卷第17(1)題，7分

2023年II卷第20(1)題，6分選擇題、填空題中考查直線、平面位置

(1)直線與平面垂

2023年北京卷第16(1)題，5分關(guān)系判斷；解答題第一問中多考查平行、垂

直的判定與性質(zhì)

2022年乙卷(文)第9題，5分直的證明.證明一些空間位置關(guān)系，利用性

(2)平面與平面垂

2022年乙卷(文)第18題，12分質(zhì)定理'判定定理探究平行、垂直位置關(guān)系

直的判定與性質(zhì)

2021年浙江卷第6題，4分的存在性問題.

2021年II卷第10題，5分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.

(2)掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單的應(yīng)用.

老占突曲?題理探密

,知識苴》

知識點(diǎn)1:直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂直.

【診斷自測】（2024?高三?河北?期末）已知/、〃[是不重合的兩條直線，a、夕是不重合的兩個(gè)平面,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.若a0=1,mua,H/m,則初/￡

B.若/ua,mu0,al1/3,則〃/加

C.若打0=1,mua,m±l,則a_L￡

D.若mJla,則/_La

【答案】A

【解析】對于A,因?yàn)閍/3=1，mua,所以

又IHm,luB,所以"z///?,A正確；

對于B,在正方體A3CD-AB|GR中，

記平面ABCD為a,平面A[B[C]￡>]為夕，AB為1,42為加，

則/ua,mu#,a〃6，但/與根不平行，B錯(cuò)誤；

對于C,記平面ABG2為&,平面ABC0為￡,AB為I,AD、為m,

由正方體性質(zhì)可知，鈿，平面4。。14，A?u平面A30A，所以

則a0=1,inua,m_Ll,但a,尸不垂直，C錯(cuò)誤；

對于D,記A3為/,AB為m,平面A4GA為a,

則/_1_相，m//T，但/與a不垂直，D錯(cuò)誤.

故選：A

知識點(diǎn)2：直線與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一1

個(gè)平面內(nèi)的兩條相a,bua

aLI

判斷定理交直線都垂直，則>=>/_La

bU

該直線與此平面垂yacb=P

直

兩個(gè)平面垂

直，則在一個(gè)平面a-L/3

Lac(3=a

面_L面=線1面內(nèi)垂直于交線的直>=>Z?JLa

*bu0

線與另一個(gè)平面垂bLa

直

一條直線與兩

平行平面中的一個(gè)

平行與垂直的/a/1

平面垂直，則該直卜=〃_L尸

關(guān)系〃_LaJ

線與另一個(gè)平面也/

垂直

兩平行直線中ab

平行與垂直的有一條與平面垂a1lb、

>=>b-La

關(guān)系直，則另一條直線▼aLa]

與該平面也垂直

TT

【診斷自測】如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABC，平面BCD,ZBCD=ZBDC=~,尸為棱AC

6

的中點(diǎn)，點(diǎn)。在棱CO上，PQLBC,且DQ=20C.

證明：A5_L平面BCD；

【解析】如圖，取棱CO靠近。的三等分點(diǎn)R,

連結(jié)則。是C&的中點(diǎn)，

因?yàn)槭瑸槔釧C的中點(diǎn)，所以PQ是△ACR的中位線,

所以尸。〃4?,因?yàn)镻QLBC,所以

設(shè)BC=?,因?yàn)閆BCr>=ZBOC=&,

6

所以BD=6a,作連接BR,

貝lJCD=2BCcos/BCD=3a,因?yàn)镺Q=2QC,所以CH=2a.

在ABCR中,由余弦定理得BR=,（。）2+（2a）2—2x（瘋?）x（2a）xcos/BCD=々,

BR?+BC2=CR2,BC±BR.

又?、A7?c3R=R,AR,8Ru面A5R,

.?.3C_L平面ABR,因?yàn)锳Bu面ABR，所以BCJ_AB.

又由平面ABC_L平面BCD,平面AB。）平面3CD=3C,

AB二平面BCD得證.

知識點(diǎn)3：直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

ab

垂直于同一平a±a

性質(zhì)定理>nq//0

面的兩條直線平行b.La

a

垂直與平行的垂直于同一直aLa

/>=>a//J3

〃_L尸

關(guān)系線的兩個(gè)平面平行/

如果一條直線

線垂直于面的垂直于一個(gè)平面，

性質(zhì)則該直線與平面內(nèi)

所有直線都垂直二

【診斷自測】(2024?高三?江蘇南通?期中)如圖，4￡>//8。且相>=23。，AD1.CD,EG/MZ)且

EG=AD,CDUFG且CD=2FG,OG_L平面ABC。，DA=DC=DG=2.

(1)設(shè)面與面EFG的交線為/,求證：BC//1-,

(2)證明:AGLEC

【解析】(1)因?yàn)锳D//3C,EGHAD,所以BC//EG,

又BC<Z平面￡FG,EGu平面￡FG,

所以8C//面EFG,又BCu平面BCF,平面3CFc平面EFG=L

所以BC//1.

(2)因?yàn)镋G/MD且EG=AD,所以四邊形AOGE為平行四邊形，

又AD=DG,所以四邊形A￡?GE為菱形，所以AG1OE

因?yàn)镈G_L平面ABCD,CDu平面ABC。，所以DG1,CD,

又ADJLCD,DG、ADu平面ADGE,所以CDL面45GE,

又AGu面ADGE,所以CD_LAG,又AG_LDE,

DE、CDu平面CDE,所以又CEu面CDE,

所以AGLEC.

知識點(diǎn)4：平面與平面垂直的定義

如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂

直.（如圖所示，若ac0=CD,CD1y,S.acy=AB,0cy=BE,ABLBE,則a_L尸）

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.

【診斷自測】（2024?福建泉州.模擬預(yù)測）己知見"是兩條不同的直線，。，尸,7是三個(gè)不同的平面，則

下列命題是真命題的是（）

A.若a1°,mua,nu0,則m_L"B.若a1/3,/31了,則a///

C.若根_La,〃6，則a_L￡D.若mlIn,mlla,則〃〃a

【答案】C

【解析】對于A,因?yàn)樵O(shè)a（3=1,

又mua,nu/3,則當(dāng)機(jī)〃/,〃〃/時(shí)，mlln,故A錯(cuò)誤；

對于B,若a7=/,且/，，，則有故B錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)橄郷LC,7"〃W,

故〃_LI,又〃//月，故存在直線"U尸，且a//",

此時(shí)。_La,由面面垂直的判定定理知,故C正確；

對于D,當(dāng)加〃”,加〃e,貝！或者〃ua,故D錯(cuò)誤，

故選：C.

知識點(diǎn)5：平面與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言

判定定理一個(gè)平面過bLa]

a-LB

另一個(gè)平面的垂bu隊(duì)"

線，則這兩個(gè)平/7

面垂直

【診斷自測】如圖，在三棱錐尸-ABC中，平面上4C，平面上4c和VABC均為等腰直角三角

形，且PA=PC=0,PB=46.

證明：平面ABC_L平面PAC；

【解析】由題意，得PC_LPA,所以AC=JPA2+PC2==2.

因?yàn)槠矫鍼AC_L平面P3C,且平面PAC〕平面PBC=PC,B4u平面PAC,

所以PA_L平面尸BC,

因?yàn)镻Bu平面尸BC,BCu平面PBC,所以B4_LPS,PA1BC.

所以AB?=PA2+PB2=8,即AB=2痣.

又因?yàn)閂ABC為等腰直角三角形，AC=2<AB,

所以AC=3C=2,ACLBC.

因?yàn)镻Au平面PAC,ACu平面PAC,PAAC=A,所以BC_L平面PAC,

又因?yàn)?Cu平面ABC,所以平面ABC，平面PAC.

知識點(diǎn)6：平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂a1[5

1acB=a

直，則一個(gè)平面內(nèi)>nZ?_La

bu廿

垂直于交線的直線

bLa

與另一個(gè)平面垂直7

TT

【診斷自測】如圖1,四邊形ABC。為菱形，ZABC=1,E,尸分別為AD,DC的中點(diǎn).如圖2,將

VA3C沿AC向上折疊，使得平面ABC,平面ACEE,將二。所沿歷向上折疊.使得平面DEFL平面

ACEE.求證：A,民四點(diǎn)共面.

【解析】取ACEF的中點(diǎn)分別為M,N,連接BM,DN,MN,

取AM,8"的中點(diǎn)分別為G,〃，連接BD,GH,HD,GE,

TT

由四邊形ABCD為菱形，ZABC=~,可知VA3C,_D即都是等邊三角形，

所以BM_LAC,DN1,EF,

因?yàn)槠矫鍭BC_L平面ACFE,BMu平面ABC,^[5ABC3ACFE=AC,

所以3Af，平面ACFE,

又由平面DEF，平面ACFE,同理可得DN工平面ACFE,

所以BM//DN,且.HM=DN,

所以四邊形網(wǎng)以是平行四邊形，

則DH//MN,且DH=MN,又MNIIGE,

所以DH〃GE,又因?yàn)镈H=MN=GE,

所以四邊形DHGE是平行四邊形，所以GH/DE,

因?yàn)锳M,8"的中點(diǎn)分別為G,H,所以GH//AB,

所以AB//DE,所以A,B,2E四點(diǎn)共面.

解題方法總結(jié)

判定定理)判定定理,

線，線,性質(zhì)定理線上面(性質(zhì)定理面,面

(1)證明線線垂直的方法

①等腰三角形底邊上的中線是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形對角線互相垂直；

④直徑所對的圓周角是直角；

⑤向量的數(shù)量積為零；

⑥線面垂直的性質(zhì)(a_La,6ua=>a_L6)；

⑦平行線垂直直線的傳遞性(a_LcM//6=>6J_c).

(2)證明線面垂直的方法

①線面垂直的定義；

②線面垂直的判定(aYb,aVc,c<^a,b<^a,b(~>c=P=>aVa)；

③面面垂直的性質(zhì)Qa\B，ac(3=b,a1b,aua=>a1[3)；

平行線垂直平面的傳遞性Qa，a,bllaqbla)；

⑤面面垂直的性質(zhì)(eac/?=/n/_L/).

(3)證明面面垂直的方法

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定理(o_L￡,aua=>&_!_￡).

空間中的線面平行、垂直的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關(guān)系中處于核心位

置.

題型洞察

題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定

【典例1-1】（2024.四川.模擬預(yù)測）設(shè)4,4為兩條不同的直線，％,%為兩個(gè)不同的平面，下列說法正

確的是（）

A.若“/a”l2llax,則4〃4

B.若/1,4與四所成的角相等，則/J//2

C.若。1~L,l2lla2,貝U4_L/2

D.若4-L%，'，貝!

【答案】D

【解析】對于A,平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；

對于B,4,4與%所成的角相等，則4,4可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤，

對于C,〃孱2,貝必，可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯(cuò)誤；

對于D,%，%，貝！D正確.

故選：D.

【典例1-2】（2024?湖南?三模）已知孫〃是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，下列命題

正確的是（）

A.若mlla,nllp,allp,則m//n

B.若mua,nua,m"B，〃/IB,則a〃/?

C.若m>a,m//Yi,a10,則〃_L/?

D.若機(jī)機(jī)_L〃，則a_L分

【答案】D

【解析】對于A,若〃//，alip,則〃//a或〃ua,則相，〃相交、平行、異面都有可能，A錯(cuò)誤；

對于B,若相燙力,〃a,m///3,n/Ip,則a與夕相交或平行，B錯(cuò)誤；

對于C,若mLa,m//n,則〃_La,又a工B，則或〃u￡,C錯(cuò)誤；

對于D,由機(jī)_La,m_L〃，得〃//a或幾u(yù)〃，若〃〃a,則存在過〃的平面與。相交，

令交線為/,則"/〃，而〃，尸，于是/，力，若〃ua,而〃，尸，則。，尸，

因此。_L〃，D正確.

故選：D

【方法技巧】

此類問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)正方體的棱、面等，進(jìn)而進(jìn)行排除.

【變式1-1］在四邊形ABC。中，AD/IBC,AD=AB,ZBCD=45°,ZBAD=90°,將折起，使平

面平面28,構(gòu)成三棱錐A-BCD,如圖，則在三棱錐中，下列結(jié)論不正確的是()

A.CDLABB.CD±BD

C.平面ADC_L平面ABDD.平面ABC_L平面BDC

【答案】D

【解析】對于B,如圖①，因?yàn)锳D//BC,AD=AB,NBA。=90,

所以/A5r>=/AD3=45,

又因?yàn)?BCD=45,ADIIBC,

所以NA￡?C=135,

所以NBOCuZADC-ZADBulSS-45=90,

所以CD_LB￡>,故B正確；

對于A,由B選項(xiàng)知CD_L5r>,

又因?yàn)槠矫鍭BD，平面BCD,CDu平面3CD,平面A&Dc平面38=3。,

所以CD_L平面ABD,

因?yàn)锳Bu平面ASD,

所以CDJ_A3,故A正確；

對于C,由選項(xiàng)A知，CD1?平面ABD,

因?yàn)镃Du平面ADC,

所以平面ADC1平面A8￡),故C正確；

對于D,如圖②過點(diǎn)A作AELBD,垂足為E,

因?yàn)槠矫鍭BD_L平面38,AEu平面ABD,平面ABDc平面3cD=3D,

所以AEJ_平面BCD,

顯然A￡(Z平面ABC,所以平面ABC與平面BOC不垂直，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

A

【變式1-2］已知下面給出的四個(gè)圖都是正方體，A,8為頂點(diǎn)，E,

則滿足直線的圖形的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】對于①：如下圖所示，點(diǎn)C為所在棱的中點(diǎn)，由中位線定理及等腰三角形的性質(zhì),

易證由CEL平面ACT,得出EC_!AB,尸C,ECu平面ECb

FCEC=C,從而由線面垂直的判定得出AB_L平面ECb,則AB_LEF,故①正確;

對于②：如下圖所示，點(diǎn)。為所在棱的中點(diǎn)，由中位線定理及等腰三角形的性質(zhì),

易證由￡>尸1平面3DE,得出￡>F_LAB,DE,￡>Fu平面￡>￡尸,

DEcDF=D,從而由線面垂直的判定得出AB_L平面DEF,則AB_LEF,故②正確;

對于③：如下圖所示，由中位線定理及等腰三角形的性質(zhì)，

易證EF_LAG,由3G_L平面EfG,得出防J_3G,AG,8Gu平面A3G,

AGBG=G,從而由線面垂直的判定得出EF_L平面ABG,則AB_LEF,故③正確;

對于④：如下圖所示，點(diǎn)a為所在棱的中點(diǎn)，由③可知，ABYHE,

由中位線定理及等腰三角形的性質(zhì)，

易證BM_LFH,由AM_L平面ZTNVf,得出A〃_LFH,48,40<=平面至對，

ABAM=A,從而由線面垂直的判定得出平面ABM,則

HE,FHu平面EFH,HEcFH=H,由線面垂直的判定可得相，平面￡777，

則故④正確；

【變式1-3］已知正四面體ABCD中，E是的中點(diǎn)，連接。瓦G是￡）后的中點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足

AF=3FC，貝！1（）

A.AD1EF

B.EF//平面BCD

C.尸G//平面BCD

D.平面EFG_L平面AB￡>

【答案】C

【解析】如圖，

C

連接。/，平面EFG即平面DEF,由E是AB的中點(diǎn)和AP=3FC，知所與BC相交.

對于A，因?yàn)樗拿骟wABCD為正四面體，所以AO,8C,/ZMB=60.

若AD_LEF,又BC,E尸u平面ABC,且相交，所以A￡)_L平面ABC.

又ABu平面ABC,所以AD7,AB,與2048=60矛盾，所以A錯(cuò)誤；

對于B,若砂//平面3C。，由EFu平面A3C,平面ABC】平面BCD=BC,

得BC//EF,與BCE尸相交矛盾，所以B錯(cuò)誤；

對于C,由4尸=3尸C，知ARC三點(diǎn)共線，且AF=3bC.

取BE的中點(diǎn)M,連接產(chǎn)M,GM,所以所以MR//BC.

又W平面3C￡),8CU平面BCD,所以〃尸//平面BCD.

又G是DE的中點(diǎn)，所以MG//3D

又MGU平面BC￡),8OU平面28,所以MG//平面BCD

因?yàn)镸G,MFu平面M/G,且MGcMF=Af,所以平面MEG//平面BCD

因?yàn)镕Gu平面M/G,所以尸G//平面BCD,所以C正確；

對于D,連接CE,因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以

若平面EFG_L平面又平面￡FGc平面=所以AB_L平面EFG.

又EFu平面EFG,所以AB，￡F,與CE1AB矛盾，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

題型二：證明線線垂直

【典例2-1](2024.陜西榆林.模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PAL平面ABC。，底面ABCZ)

為正方形，E為線段A8的中點(diǎn)，PA=AB=2.

B

求證：BDYPC-,

【解析】證明：?；PA_L平面ABC。，3￡><=平面ABC。，.?.■R41BD

又底面ABC。為正方形，.?.3。_LAC.

又PAAC=A,且B4,ACu平面B4C,.?.BD工平面E4C,

?.尸。(=平面以。，；.比)_1尸。.

【典例2-2】（2024?四川.模擬預(yù)測）如圖，多面體ABCD跖中，己知面ABC。是邊長為4的正方形,

EBC是等邊三角形，EF//AB,EF^-AB,平面FBC_L平面A3CO.

2

求證：EF1BF；

【解析】由ABC。是正方形，得而平面FBC，平面平面FBC1平面ABCD=3C,

ABu平面ABC。，則AF_L平面所C,又bBu平面fBC,于是又EF11AB,

所以EFLBF.

【方法技巧】

三線合一（有等腰三角形就必用）

共面n勾股定理（題目中線段數(shù)據(jù)多）

證明41/先看兩直線位置關(guān)系

2其他（初中平面幾何學(xué)習(xí)的其他垂直證明方法）

.異面=>考慮用線面垂直推導(dǎo)異面垂直n找重垂線n

【變式2-1］（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）如圖，已知多面體48。-A瓦￡2的底面ABC。是菱形，側(cè)

棱BBt1底面ABCD,且C0=2AA,=4郎=4DR.

B

證明：\CVBD.

【解析】因?yàn)?M=4陰，所以84〃例，

又因?yàn)锽q_L平面ABCD,所以四，平面A5CZ）,

又因?yàn)?Du平面ABC。，所以MLB。，

因?yàn)樗倪呅蜛2CD是菱形，所以BD_LAC,

又因?yàn)锳CAAAnA,AC,A^u平面AAjC,

所以平面AA|C,

又因?yàn)锳Cu平面44。,

所以2OJ_4C；

【變式2-2］（2024.陜西榆林.模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面ABC。，底面

ABC。為正方形，E為線段AB的中點(diǎn)，PA^AB=2.

P

（2）求點(diǎn)E到平面PBD的距離.

【解析】（1）證明：平面ABC。，加匚平面筋^^二出,即，

又底面4BCZ）為正方形，；.3D_LAC,

又PAAC=A,且PA,ACu平面PAC,

平面PAC,

PCu平面鞏C,:.BD1PC.

（2）.E為線段AB的中點(diǎn)，

若點(diǎn)A到平面PBD的距離為d,則點(diǎn)E到平面PBD的距離為-.

2

由題易知尸8==^22+22=2A/2，

S^PBD=gx20x2應(yīng)X#=2G

VP-ABD^VA-PBD1.,.1x（^-x2x2）x2=1x2^xt/,解得"=.

3233

???點(diǎn)E到平面PBD的距離為4=—.

23

【變式2-3］（2024?河南?模擬預(yù)測）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，平面平面A3C,

PAYAB,/PAC為銳角.

證明：ABJ.AC-,

【解析】在平面PAC中，過點(diǎn)尸作AC的垂線，垂足為。.

平面PAC_L平面ABC,且平面PAC7平面AfiC=AC,PDu平面APC,

故PD,平面ABC.又ABu平面PAC,所以尸D,AB

又F4_LAB,PAPD=P,尸。u平面PAC,PAu平面尸AC,

所以AB,平面PAC,又ACu平面PAC,故AS1AC.

題型三：證明線面垂直

【典例3-1］如圖，AB是圓的直徑，平面B4cl面AC8,5.AP1AC.

求證：3C_L平面PAC；

【解析】因?yàn)槠矫鍮4cl面ACB,且AP1AC,平面出Cc面ACB=AC,APu平面B4C,

所以R11面ACB,又因?yàn)?Cu平面P2C,

所以B4L8C,又因?yàn)锳B是圓的直徑，所以ACLBC,

因?yàn)锳CPA=A,AC,PAu平面PAC,

所以3C_L平面PAC；

【典例3-2】在VABC中，ZABC=90°,AB=3C=6,。為邊48上一點(diǎn)，AD=2,E為AC上一點(diǎn),

DEIIBC,將VADE沿DE翻折，使A到A處，/ZM'3=90°.

證明：A3_L平面屋DE;

【解析】證明：由題意知DE_LA。，DELBD,

又A'。BD=D,所以DE_L平面ABD,

又A3u平面ABO,所以。EJ_4B，

又ADLAB,DE、A!D=D,所以A5_L平面A力E

【方法技巧】

方法一：線面垂直的判定.

線線垂直n線面垂直，符號表示為：aVb,aLc,b<^a,c<^a,br\c=P,那么aJ_e.

方法二：面面垂直的性質(zhì).

面面垂直二>線面垂直，符號表示為：a.\-/3,a\。=b,aua,a工b,那么〃_L，.

【變式3?1】（2024.河南駐馬店.二模）在如圖①所示的平面圖形中，四邊形ACDE為菱形，現(xiàn)沿AC

進(jìn)行翻折，使得平面ACDE,過點(diǎn)E作所〃AB,且連接FD,FB,BD,所得圖形如圖②

所示，其中G為線段8。的中點(diǎn)，連接FG.

求證：FG_L平面ABD；

【解析】證明：.

在菱形ACDE中，CE1AD,

因?yàn)锳B_L平面ACDE,CEu平面ACDE,所以CE1AS,

又ABcAD=A,AB,A￡>u平面ABD,所以CE_L平面ABD

因?yàn)镚,。分別為3。AD的中點(diǎn)，所以GO=；AB,GO//AB,

又EF=^AB,EF//AB,

2

所以GO=￡F,GO//EF,所以四邊形GOEF為平行四邊形，

所以FG//EO,所以尸G_L平面

【變式3-2］（2024.四川樂山.三模）如圖，平行六面體中，底面A5C。是邊長為2的

菱形，且/朋。=60。，的=m,24加=/414￡）,伍與平面鉆8所成的角為45。,"'與應(yīng)）交于。.

證明：A。，平面A5CD；

【解析】

連結(jié)8G，DG，

底面ABC。是邊長為2的菱形，AAB=AD.

=AAi=AAi,

B\=D\.

點(diǎn)。為線段8。中點(diǎn)，：.\OVBD.

"CD為菱形，?^?AC，JB￡>,ACcA。=O,AC，AOu平面A41C,二BD，平面A4iC

又BDu平面ABCD,，平面AAC_L平面ABC。，

44t在平面ABC。上的射影為AC,

NAAO為直線AA,與平面至。￡>所成的角，即乙41Ao=45°.

在,.A|A。中，A4,=n,AO=：AC=6,N4AO=45。,

cos/qAO=—^~AA2+OA2-A.O2

AiO=y/3.

2x4AxOA

又。43。=0,。4<=平面488,8。<=平面4?。。,

AQ_L平面A3CZ）.

【變式3-3］（2024?高三.湖北武漢.開學(xué)考試）如圖，在三棱錐P-ABC中,

PA=BC=2EPC=AB=6,PB=A,/ABC=9Q，。為AC上的動(dòng)點(diǎn).

若AZ)=退，求證：PZ)J_平面ABC；

在Rt/XABC中，AB=6,BC=2瓜貝l]AC=4百，

又PA=2瓜PC=6,所以AC?=尸。2+叢2

由勾股定理可得△APC為直角三角形，ZAPC=90,

PCr-

所以tanNPAC—...=#>,所以Z.PAC=60

PA

在△B4D中，因?yàn)锳D=6，由余弦定理可得：

PD2=AP2+AD2-2Ap?ADcosZPAD=（26產(chǎn)+（近彳-2x26x代xcos60=9

貝Ijp/y+A￡>2=92,所以PDJ_AD,

又CD=36,/ACB=60,在△DCS中由余弦定理可得：

B￡>2=BC2+CD2-2BC-CDcosZACB=（2>/3J"+（3^）2-2x2A/3x3A/3xcos60=21,

貝1Pzy+%>2=依2,所以PD_LBD,

又ADcBD=D,ADu平面ASC,BDu平面ABC,

所以PD,平面ABC

【變式3-4]（2024?四川雅安?三模）四棱錐尸-ABCZ）中，AP=AC,底面ABCD為等腰梯形，CD//

AB,AB=2CD=2BC=2,E為線段PC的中點(diǎn)，PCLCB.

【解析】因?yàn)?P=AGE為線段PC的中點(diǎn)，所以尸C,

在等腰梯形ABCD中，作C「_LAB于尸，則由AB=2CD=23C=2得尸B=LBC,

2

BF1

所以cos/CBA=—=—,所以/C84=60,NTC8=30,

BC2

因?yàn)锳B=2BC,所以==—,所以：BCF~BAC,

ABBC2

所以—3c尸=28AC=30，所以NAC3=90，所以AC_L3C,

因?yàn)镻C，Cfi,PCcAC=C,尸C,ACu平面尸8,所以3C，平面PC4,

因?yàn)锳E在平面PCA內(nèi)，所以3CLAE,

因?yàn)槭珻cBC=C，尸C,BC在平面PCB內(nèi)，所以A￡J_平面尸CB.

題型四：證明面面垂直

【典例4-1]（2024.湖南?三模）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面ABCD是梯形,

BC//AD,PA=AB=BC=1,AD=2,PC=瓜PA1平面ABCD.

【解析】因?yàn)镻AL平面ABC。，BC,AC,ABu平面ABC。，所以上4,AC,R4LAB,

22

因?yàn)镻A=AB=BC=1,PC=7?,所以AC?=pC2_p^=3-i=2=AB+BC，

所以ABJ_3C,

又因?yàn)槭珹_L8C,PAcAB=A,JR4,ABu平面JR4B,所以3C_L平面E4B,

因?yàn)锽Cu平面PBC,所以平面PBC,平面R4B；

【典例4-2】在三棱臺ABC-4BC中，底面VABC是等邊三角形，側(cè)面A&CG是等腰梯形，。是

AC的中點(diǎn)，BQ是兩異面直線和AC的公垂線，且45=944=26，網(wǎng)=20.

證明：側(cè)面ABB^±平面B]AC■

【解析】由耳。是兩異面直線與B與AC的公垂線可得，B.B1Bp,Bp1AC

又VABC是等邊三角形，。是AC的中點(diǎn)，所以

因30cBQ=O,BO,BQu平面BBQ,故得AC，平面BtBO,

又與8u平面耳BO,則AC，耳8,

因與8耳。，ACcBp=O,AC,BQu平面與AC,故BtB±平面百AC,

又B]Bu平面ABB^,所以側(cè)面ABB^±平面BtAC.

【方法技巧】

主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直一面面垂直）.證明時(shí)，先從現(xiàn)有的直線中尋找

平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決.

【變式4-1]（2024?四川德陽?三模）如圖，在三棱柱ABC-A用G中，底面A3C是等邊三角形，

ZA.AB=AA.AC,。為BC的中點(diǎn)，過的平面交棱A8于E,交AC于E

求證：平面平面EBCZ；

【解析】證明：連接AB，AC.

因?yàn)镹AA8=/4AC,AB=AC,44]=44]

所以△4AB也△4AC,所以A2=AC.

因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，所以

因?yàn)锳8=AC,D為2C的中點(diǎn)，所以3CJ_A。.

因?yàn)锳QAD=D,A。，ADu平面

所以BC,平面A,。.

又B￡〃BC,所以用G_L平面AAD.

又用Gu平面￡2。下

所以平面A平面防iG尸.

【變式4-2]如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面平面ABC。，底面ABC。為菱形,

ZABC=60°,AB=y/2PA=41PB=2，E是CD的中點(diǎn).

p

(1)證明：平面PBC_L平面

(2)求點(diǎn)A到平面PBE的距離.

【解析】連接AC.因?yàn)榈酌鍭BC。為菱形，ZABC=60°,所以，ACD是正三角形.

又E為C。的中點(diǎn)，所以AE1.CD,則AELAB.

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,平面BIBc平面ABCD=AB,AEu平面ABC。.

所以AEL平面R4B.

因?yàn)镻Bu平面上4B,所以

因?yàn)锳B=0PA=0尸2=2，所以R^+尸臺？="2,則R4J_PB.

因?yàn)镻AAE=A,/^，^^七平面以小所以照上平面以乩

又PBu平面P3C,所以平面P3C_L平面B4E.

【變式4-3](2024?陜西寶雞?三模)如圖，在三棱柱ABC-A4C中，4A與8月的距離為

AB=AC=AlB=2,%C=BC=2五.

證明：平面4AB瓦，平面ABC；

因?yàn)?8=48,所以

因?yàn)槿庵鵄BC-4與G，所以例〃^^

所以8。_1_8耳，所以2D

因?yàn)锳B=2,所以AD=1,=2；

因?yàn)锳C=2,AC=2也,

所以ACAAA'AC）

所以4。1可，

同理4C_LAB,

因?yàn)?4（AB=A,且AA，/16匚平面442瓦，所以AC_L平面448瓦，

因?yàn)锳Cu平面A8C,所以平面AABB1，平面ABC；

【變式4-4]（2024.新疆烏魯木齊.三模）由平行六面體ABC。-ABC?截去三棱錐耳-4BG后得到

如圖所示的幾何體，其體積為5,底面A8CD為菱形，AC與8。交于點(diǎn)。，\B=BCX.

⑴證明〃平面A^G；

（2）證明平面D.DO1平面A.BQ；

【解析】（1）如圖補(bǔ)全平行六面體，連接，片交4G于點(diǎn)。一連接。出，

在平行六面體ABCD-A瓦C2,BBJIDD”BB,=DD,,

所以四邊形8BQD為平行四邊形，所以3。=BQ,2。/,

又。為8。的中點(diǎn)，。1為耳2的中點(diǎn)，所以DQI〃OB,