專(zhuān)題14有理數(shù)的乘方與有理數(shù)的混合運(yùn)算

目錄導(dǎo)航

\）

預(yù)習(xí)目標(biāo).......................................................................................1

新課輕松學(xué).....................................................................................2

新知速通.......................................................................................2

題型探究.......................................................................................4

題型1、有理數(shù)乘方的概念.............................................................4

題型2、有理數(shù)乘方的運(yùn)算.............................................................6

題型3、乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律...........................................................8

題型4、有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算及簡(jiǎn)算.....................................................10

題型5、偶次塞的非負(fù)性...............................................................12

題型6、有理數(shù)乘方的實(shí)際應(yīng)用........................................................14

題型7、有理數(shù)乘方的新定義問(wèn)題.......................................................17

題型8、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算.......................................................20

題型9、有理數(shù)混合運(yùn)算一一程序框圖..................................................22

題型10、有理數(shù)混合運(yùn)算一一24點(diǎn)游戲................................................25

基礎(chǔ)通關(guān)......................................................................................26

拓展提優(yōu)......................................................................................32

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預(yù)習(xí)目標(biāo)

\________________________/

1.理解并掌握有理數(shù)的乘方，幕，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義；

2.會(huì)求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)幕；

3.熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算（含乘方）順序和法則；

4.感受發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)到從特殊到一般的思考方法，從而增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

新課輕松學(xué)

【思考1】手工拉面是我國(guó)的傳統(tǒng)面食，制作時(shí)，拉面師傅將一團(tuán)和好的面，揉搓成1根長(zhǎng)條后，手握兩端

用力拉長(zhǎng)，然后將長(zhǎng)條對(duì)折，再拉長(zhǎng)，再對(duì)折(每次對(duì)折稱(chēng)為一扣)，如此反復(fù)操作，連續(xù)拉扣若干次后，

便成了許多細(xì)細(xì)I的面條。你能算出拉扣7次后共有多少根面條嗎？

【思考2](1)邊長(zhǎng)為a的正方形的面積為；

(2)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積為；

(3)這兩個(gè)過(guò)程有什么簡(jiǎn)單的寫(xiě)法嗎？(類(lèi)比單位的寫(xiě)法)

(4)這種寫(xiě)法讀作什么呢？

【乘方的趣事】關(guān)于國(guó)際象棋的起源，有一個(gè)傳說(shuō)：在古時(shí)候，在某個(gè)王國(guó)里有一位聰明的大臣，他發(fā)明

了國(guó)際象棋，獻(xiàn)給了國(guó)王，國(guó)王從此迷上了下棋。為了對(duì)聰明的大臣表示感謝，國(guó)王答應(yīng)滿(mǎn)足這個(gè)大臣的

一個(gè)要求。大臣說(shuō)：“第1格放1粒小麥，第2格放2粒小麥，第3格放4粒小麥，然后是8粒、16粒、

32粒…，一直到第64格……即每一個(gè)次序在后的格子中放的小麥都必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)目的兩倍，直

到最后一個(gè)格子放滿(mǎn)為止”。國(guó)王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了大臣的要求。然而，國(guó)王最終發(fā)現(xiàn)，按照與大

臣的約定，全印度的麥子竟然連棋盤(pán)一小半格子數(shù)目都不夠。大臣索要的麥粒數(shù)目實(shí)際上是天文數(shù)字，總

數(shù)將是一個(gè)十九位數(shù)，折算重量約為2000多億噸，即使現(xiàn)代，全球小麥的年產(chǎn)量也不過(guò)是數(shù)億噸。

新知速通

V._______________________Z

1.有理數(shù)的乘方

乘方的概念：求相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫作乘方，相同因數(shù)叫作底數(shù)，相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫作指數(shù)，乘方運(yùn)算

的結(jié)果叫作事。

乘方運(yùn)算本質(zhì)上是乘法運(yùn)算，它是同一個(gè)因數(shù)連乘的簡(jiǎn)便形式。

一般地，“個(gè)相同的乘數(shù)。相乘，即?。入???仁,記作，，，讀作“。的〃次方"；其中“叫做底數(shù)，”叫

〃個(gè)

做指數(shù)，叫做幕。

2.整數(shù)指數(shù)塞的符號(hào)規(guī)律

1）正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；

2）負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次塞是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；

3）0的任何正整數(shù)次幕都是Oo

注意：

①除0以外的任何數(shù)的“0次幕”結(jié)果為1:

②乘方運(yùn)算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒(méi)有，一個(gè)數(shù)可以看作是這個(gè)數(shù)本身的1次方；

③指數(shù)是2時(shí)讀作平方（或二次方），指數(shù)是3時(shí)讀作立方（或三次方）.例如，/讀作"n的平方”（或“n

的二次方”）,/讀作“n的立方”（或“n的三次方”）.

④指數(shù)A是正整數(shù)，底數(shù)a可以是任意有理數(shù).

⑤書(shū)寫(xiě)幕時(shí)，當(dāng)負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)作為底數(shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)擴(kuò)上，再在其右上角寫(xiě)指數(shù)，指數(shù)要寫(xiě)得小一

些.如：（-3下,（|）3.

⑥在運(yùn)算時(shí)要看清楚底數(shù)和指數(shù)到底是誰(shuí)；

⑦帶分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算，一定要先化成假分?jǐn)?shù)后再運(yùn)算；

⑧乘方運(yùn)算，代表的是多個(gè)相同乘數(shù)相乘，要與乘法運(yùn)算區(qū)分開(kāi)來(lái)。

3.偶次塞具有非負(fù)性

任何一個(gè)數(shù)的偶數(shù)次塞都是非負(fù)數(shù).

4.有理數(shù)的混合運(yùn)算

1）有理數(shù)混合運(yùn)算定義：含有有理數(shù)的加，減，乘，除，乘方五種基本運(yùn)算中的多種運(yùn)算叫做有理數(shù)的混

合運(yùn)算.

2）有理數(shù)混合運(yùn)算的順序

①先乘方，再乘除，最后加減；

②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。

題型探究

題型1、有理數(shù)乘方的概念

【解題技巧】〃個(gè)相同的乘數(shù)。相乘，記作屋，讀作“。的〃次方”；其中：。叫做底數(shù)，”叫做指數(shù)，an

叫做幕。

（2）在-5?中，底數(shù)是，指數(shù)是,意義是.

【答案】-53525的平方的相反數(shù)

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵.在屋中，a是底數(shù)，〃是指數(shù).利

用乘方的意義即可得到結(jié)果.

（2）在-5?中，底數(shù)是5,指數(shù)是2,意義是5的平方的相反數(shù)；

故答案為：-5,3；5,2,5的平方的相反數(shù).

A.底數(shù)相同，運(yùn)算結(jié)果相同B.底數(shù)相同，運(yùn)算結(jié)果不同

C.底數(shù)不同，運(yùn)算結(jié)果相同D.底數(shù)不同，運(yùn)算結(jié)果不同

【答案】C

【分析】本題主要考查了募的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)塞的性質(zhì)判斷即可.

故選：C.

例3.（2025?吉林長(zhǎng)春,模擬預(yù)測(cè)）25可表示（）

A,五個(gè)2相加B,兩個(gè)5相加C,五個(gè)2相乘D.兩個(gè)5相乘

【答案】C

【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，牢記有理數(shù)乘方的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)有理數(shù)乘方的定義（〃個(gè)

相同的因數(shù)。相乘，記作屋）,即可求得答案.

【詳解】解：2$表示5個(gè)2相乘.

故選：C.

【答案】A

【分析】本題考查了塞的定義，鼻的乘方的運(yùn)算，根據(jù)鼻的定義化簡(jiǎn)即可，熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

故選：A.

A.7個(gè)A相加B.12個(gè)4相加C.4個(gè)/相乘D.7個(gè)人3相乘

【答案】C

【分析】本題考查了騫的乘方，根據(jù)募的乘方的含義即可確定.熟練掌握毒的乘方的含義是解題的關(guān)鍵.

故選：C.

變式1.(2425七年級(jí)上?黑龍江?課后作業(yè))(1)4,的底數(shù)是，指數(shù)是；

(3)-6?的底數(shù)是,指數(shù)是.

【分析】此題主要考查騫的含義，解題的關(guān)鍵是熟知屋的含義：a為底數(shù)，〃為指數(shù)，讀作a的〃次方，含

義是〃個(gè)a相乘.

(1)根據(jù)器的形式特點(diǎn)得出44的指數(shù)和底數(shù)即可；

(3)根據(jù)鼻的形式特點(diǎn)得出-62的指數(shù)和底數(shù)即可.

【詳解】解：(1)4,的底數(shù)是4,指數(shù)是4；

故答案為：4；4；

3

故答案為：-二；3；

4

(3)-6°的底數(shù)是6,指數(shù)是2.

故答案為：6；2.

【答案】B

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解決本題的關(guān)鍵.求〃個(gè)相同因數(shù)的積的

運(yùn)算叫作乘方，根據(jù)乘方的定義可解決此題.

故選：B.

A.-5乘以6的積B.6個(gè)-5相乘的積

C.5個(gè)-6相乘的積D.6個(gè)-5相加的和

【答案】B

故選B.

A.3個(gè)/相乘B.2個(gè)相加C.3個(gè)/相力口D.5個(gè)。相乘

【答案】A

故選：A.

【答案】C

【分析】本題考查了乘法以及乘方的意義，理解乘方的意義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)。個(gè)5相乘可表示為5

〃個(gè)9相加可以表示為9〃，即可得解.

故選：C.

題型2、有理數(shù)乘方的運(yùn)算

【解題技巧】有理數(shù)乘方的運(yùn)算：（1）正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶

次哥是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次累都是0；（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首

先應(yīng)確定塞的符號(hào)，然后再計(jì)算幕的絕對(duì)值。

例1.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算

(1)72；

⑷-千；

【答案】（1）49

⑵一216

⑶/

(4)-9

(5)-|

(嗯

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則求解即可；

（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則求解即可；

（3）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則求解即可；

（4）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則求解即可；

（5）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則求解即可；

（6）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則求解即可.

例2.（2425六年級(jí)上.上海.期中）下列各數(shù)中，數(shù)值相等的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的乘方.根據(jù)有理數(shù)的乘方法則和有理數(shù)的乘法法則逐項(xiàng)

計(jì)算排查即可解答.

故選：D.

例3.（2324七年級(jí)上河北邢臺(tái)期中）若瞟是88的"倍，貝M的值是（）

A.2B.8C.16D.64

【答案】D

又；81。是8$的〃倍，

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了乘方的意義，掌握乘方的意義是解題的關(guān)鍵.

A.1B.3C.7D.9

【答案】A

【分析】本題考查了數(shù)字的變化類(lèi)，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

先找出7的鬲的個(gè)位數(shù)字的排列規(guī)律，再計(jì)算求解.

故選：A.

⑴請(qǐng)你仿照材料，分析求出799的個(gè)位數(shù)字及899的個(gè)位數(shù)字；

【答案】（1）3,2

（2）7

【分析】此題主要是考查乘方的尾數(shù)特征，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)個(gè)位數(shù)字的循環(huán)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計(jì)算.

.?.7的正整數(shù)鬲的個(gè)位數(shù)字以7,9,3,1為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，

799的個(gè)位數(shù)字與73的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為3；

8"的個(gè)位數(shù)字與83的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為2；

.?.2的正整數(shù)靠的個(gè)位數(shù)字以2,4,8,6為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，

變式1.（2324六年級(jí)下?上海靜安?期中）下列各式中，正確的是）

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可得.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

變式2.（2324七年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）下列各組的兩個(gè)數(shù)中，運(yùn)算后結(jié)果相等的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.

【答案】1

【詳解】解：?.,以3為底的事的末位數(shù)字是以3,9,7,1依次循環(huán)的，

...3姐5的個(gè)位數(shù)字是3,

故答案為：1.

【答案】8

【詳解】的尾數(shù)恒為6.

則最后的結(jié)果的末尾數(shù)為2023個(gè)6相加的尾數(shù)，

故答案為：8.

變式5.(2425七年級(jí)上河南開(kāi)封期中)閱讀材料，解決問(wèn)題：

我們學(xué)習(xí)了乘方的定義和意義，根據(jù)乘方和乘法兩種運(yùn)算之間的轉(zhuǎn)化了解到：

23=2X2X2;24=2X2X2X2;觀察上述算式：

類(lèi)比上述式子，你能夠得到：

【答案】(DET,/

(4)18

【分析】本題主要考查了乘方的定義和意義，得到同底數(shù)累的運(yùn)算法則：同底數(shù)鬲相乘，底數(shù)不變，指數(shù)

相加，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題目中給出的信息進(jìn)行運(yùn)算即可；

(2)總結(jié)題目信息得出同底數(shù)募的運(yùn)算法則；

(3)根據(jù)同底數(shù)鬲的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可；

(4)逆用同底數(shù)的乘法公式進(jìn)行運(yùn)算即可.

故答案為IO,，/；

故答案為屋+"；

題型3、乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律

【解題技巧】1)負(fù)數(shù)的奇次嘉是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；2)正數(shù)的任何次幕都是

正數(shù)；3)0的任何正整數(shù)次累都是0。

例1.(2024七年級(jí)上?江蘇?專(zhuān)題練習(xí))如果一個(gè)有理數(shù)的奇次募是正數(shù)，那么這個(gè)有理數(shù)()

A.一定是正數(shù)B.是正數(shù)或負(fù)數(shù)

C.一定是負(fù)數(shù)D.可以是任意有理數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則進(jìn)行判斷即可.此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方運(yùn)算法則是解本

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?正數(shù)的任何次募是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次鬲數(shù)負(fù)數(shù)，0正整數(shù)次募是0

，一個(gè)有理數(shù)的奇次鬲是正數(shù)，這個(gè)數(shù)一定是正數(shù).

故選：A.

Z缶②B.（3^）c.①03）D.（2W

【答案】A

【分析】本題考查乘方的運(yùn)算，掌握乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)乘方的意義進(jìn)行判斷即可.

故選：A.

A.①B.②C.①、②都正確D.①、②都不正確

【答案】B

【分析】根據(jù)三組數(shù)的運(yùn)算的規(guī)律逐個(gè)判斷即可得.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，正確歸納類(lèi)推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

例4.（2425六年級(jí)上,上海?階段練習(xí)）若。涉互為相反數(shù)，”為正整數(shù)，則（）

A.與戶(hù)互為相反數(shù)B.°向與產(chǎn)互為相反數(shù)

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，以及相反數(shù)概念，掌握有理數(shù)的乘方法則是解題關(guān)鍵；有理數(shù)的乘方

法則：正數(shù)的任何次騫都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次騫是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次騫是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次備都是0；

然后根據(jù)相反數(shù)的定義結(jié)合有理數(shù)的乘方法則分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出正確答案.

和不是相反數(shù)，選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；

Bs-：a,b互為相反數(shù)，

，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，“向和6向不是相反數(shù)，選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；

C、〈a,匕互為相反數(shù)，

，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，屋和〃不是相反數(shù)，選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：D.

變式1.（2024六年級(jí)下?上海?專(zhuān)題練習(xí)）任何一個(gè)有理數(shù)的偶次界必是（）

A.負(fù)數(shù)B.正數(shù)C.非正數(shù)D,非負(fù)數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)乘方的性質(zhì)：正數(shù)的任何次事都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次累是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次募是正數(shù)，0的任

何次塞都是0,從而可判斷.

【詳解】解：正數(shù)的任何次募都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次塞是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次鼻是正數(shù)；0的任何次鬲都是0,

故任何一個(gè)有理數(shù)的偶數(shù)次募必是非負(fù)數(shù).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方，正數(shù)與負(fù)數(shù)，有理數(shù)，解答的關(guān)鍵是對(duì)有理數(shù)的乘方的性質(zhì)的掌握.

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義，化簡(jiǎn)絕對(duì)值以及乘方的運(yùn)算化簡(jiǎn)各數(shù)即可求解.

①③⑥為正數(shù).故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的意義，化簡(jiǎn)絕對(duì)值以及乘方的運(yùn)算，正確的化簡(jiǎn)各數(shù)是解題的關(guān)鍵.

A.①②③B.(2XW@C.①(2X3)D.(TXW)

【答案】A

【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次鬲是負(fù)數(shù)，偶次備是正數(shù)即可解答.

°2。23是負(fù)數(shù)，故①正確；

綜上所述，①②③正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律，掌握有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律：一個(gè)負(fù)數(shù)的奇次鬲是負(fù)數(shù)，

一個(gè)負(fù)數(shù)的偶次孱是正數(shù).

A.1B.1C.0D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則以及乘方的符號(hào)規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

題型4、有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算及簡(jiǎn)算

【答案】±14

故答案為:±14.

【答案】3或3/3或3

【分析】根據(jù)絕對(duì)值與平方的性質(zhì)求出a、6,故可求解.

故答案為：3或3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查乘方與絕對(duì)值的求解及有理數(shù)乘法，解題的關(guān)鍵是熟知乘方與絕對(duì)值的性質(zhì).

例3.（2425七年級(jí)上,內(nèi)蒙古包頭?期中）觀察下列兩組算式：

⑴每組兩個(gè)算式的結(jié)果是否相等？

⑵根據(jù)（1）的結(jié)果猜想優(yōu)夕等于什么？

【答案】⑴相等；

（3）1

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算：

（1）根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算后，判斷即可；

（2）利用（1）中規(guī)律即可得出結(jié)論；

【詳解】（1）解：相等：

【答案】A

故選：A.

解答下列問(wèn)題：

⑵工

32

【分析】本題考查的是新定義運(yùn)算的含義，乘方的運(yùn)算，理解題意，總結(jié)規(guī)律再運(yùn)用規(guī)律解題是關(guān)鍵

（1）由題干閱讀部分信息，再總結(jié)可得答案；

1

"32'

變式1.（2425七年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）立方等于64的數(shù)是.

【答案】4

立方等于64的數(shù)是4,

故答案為：4.

人.8或一6B.-L2或2C.-6或一12D.2或8

【答案】D

【分析】根據(jù)絕對(duì)值和乘方的性質(zhì)，求得孫兒即可求解.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值，乘方的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確求得x,y.

A.-4B.-1C.0D.2

【答案】B

故選B.

A.-1B.1C.0D.2023

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算法則計(jì)算即可得.

=1?

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

A.6B.8C.：D.十分麻煩

o

【答案】B

=1x8

=8

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘方的意義是解題的關(guān)鍵.

題型5、偶次幕的非負(fù)性

【解題技巧】1）常見(jiàn)非負(fù)數(shù)：|a|20；小20；2）根據(jù)非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每一個(gè)非負(fù)數(shù)

必為0”。

A.-6B.6C.-9D.9

【答案】D

【分析】本題主要考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，先依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、匕的值，然后再代入求解即可.

故選：D.

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.不等邊三角形

【答案】A

,此三角形是等腰三角形.

故選：A.

例3.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，以及正負(fù)數(shù)的概念，對(duì)于①，根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)進(jìn)行判斷；對(duì)

于②、③，根據(jù)零的平方是零，零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，據(jù)此分析；對(duì)于④，根據(jù)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，

負(fù)數(shù)小于正數(shù)，即可舉例作出判斷.

【詳解】解：沒(méi)有平方得-9的數(shù)，①正確；

綜上所述，正確的有1個(gè)，

故選：A.

【分析】本題考查乘方的非負(fù)性.熟練乘方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)乘方的非負(fù)性，確定最大值即可.

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】C

【分析】本題主要考查絕對(duì)值和平方式的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對(duì)值和平方式的非負(fù)性得出。和ab的

值，然后計(jì)算即可.

故選：C.

A.8B.—8C.—6D.6

【答案】B

故選：B.

【答案】1

【分析】本題考查了絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性，根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性求得x、y的值，再代入計(jì)算

即可.

故答案為：1.

變式3.（2425七年級(jí)上?全國(guó)?假期作業(yè)）若6為有理數(shù)，下列判斷正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】此題考查絕對(duì)值的性質(zhì)，偶次方的性質(zhì)，最大值及最小值的確定.根據(jù)絕對(duì)值，偶次方的非負(fù)性

進(jìn)行判斷即可.

故選：B.

【答案】-1

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)全為零；根據(jù)此性質(zhì)求得a的

值與S的值，最后可求得結(jié)果.

故答案為：-1.

【答案】2

【分析】本題考查的是有理數(shù)的乘方及絕對(duì)值的性質(zhì)，能根據(jù)有理數(shù)的乘方及絕對(duì)值的性質(zhì)得出。、b.c

之間的關(guān)系式解答此題的關(guān)鍵.

故答案為:2.

題型6、有理數(shù)乘方的實(shí)際應(yīng)用

【解題技巧】此類(lèi)題型的難點(diǎn)在于分析問(wèn)題，建立乘方的數(shù)學(xué)模型?；静襟E為：首先從特殊情形入手，

逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出乘方數(shù)學(xué)模型；最后根據(jù)題干要求計(jì)算結(jié)果。

例1.（2324七年級(jí)上?甘肅蘭州期中）《莊子?天下篇》講到：“一尺之梅，日取其半，萬(wàn)世不竭”意思是

說(shuō)一尺長(zhǎng)的木棍，每天截取它的一半，千秋萬(wàn)代也截不完.一天之后“一尺之梅”剩白尺，兩天之后剩;尺，

那么五天之后，這個(gè)“一尺之梅”還剩（）

A.:尺B.g尺C.7尺D.右尺

481632

【答案】D

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，弄懂題意并掌握乘方的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，第一天后剩3尺，

故選：D.

例2.（2425七年級(jí)上?云南臨滄?期末）《孫子算經(jīng)》中記載：“今有出門(mén)望見(jiàn)九堤，堤有九木，木有九枝，

枝有九巢，……"其大意是：出門(mén)看見(jiàn)有9座堤壩，每座堤壩上有9棵樹(shù)，每棵樹(shù)有9根樹(shù)枝，每根樹(shù)枝上

有9個(gè)鳥(niǎo)巢，……,文中的鳥(niǎo)巢共有（）

A.36個(gè)B.27個(gè)C.94個(gè)D.T個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方.根據(jù)乘方的意義得出算式，求解即可.

答：文中的鳥(niǎo)巢共有94個(gè).

故選：C.

【答案】800

故答案為：800.

例4.（2324七年級(jí)上廣東廣州期中）今年“十一”期間，廣州部分公園舉行游園活動(dòng)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，天河公

園早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)入公園，接下來(lái)的第一個(gè)30分鐘內(nèi)有4人進(jìn)去1人出來(lái)，第二個(gè)30分鐘內(nèi)有8人進(jìn)

去2人出來(lái)，第三個(gè)30分鐘內(nèi)有16人進(jìn)去3人出來(lái)，第四個(gè)30分鐘內(nèi)有32人進(jìn)去4人出來(lái).按照這種規(guī)律

進(jìn)行下去，到上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)是（）

【答案】B

【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，掌握題目中人數(shù)的進(jìn)出規(guī)律，列出算式是正確解答的關(guān)鍵.

【詳解】解：從早晨6時(shí)30分，到上午11時(shí)30分共經(jīng)歷了5個(gè)小時(shí)，即10個(gè)“半小時(shí)”，因此進(jìn)行10次人

員的進(jìn)出，由進(jìn)出人數(shù)的規(guī)律可得，

故選：B.

例5.（2025?廣西柳州?三模）“結(jié)繩計(jì)數(shù)”是遠(yuǎn)古時(shí)代人類(lèi)智慧的結(jié)晶，即人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄

數(shù)量，類(lèi)似我們現(xiàn)在熟悉的“進(jìn)位制”，如圖所示是一位古人記錄的當(dāng)天采摘果實(shí)的個(gè)數(shù)，在從右向左依

次排列的不同繩子上打結(jié)，滿(mǎn)四進(jìn)一，根據(jù)圖示可知，這位古人當(dāng)天采摘果實(shí)的個(gè)數(shù)是（）

A.186B.185C.184D.183

【答案】D

【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，讀懂題意，理解古代記數(shù)規(guī)則，再轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代的十進(jìn)制數(shù)是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.

故選：D.

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解二進(jìn)制和十進(jìn)制的互換規(guī)則是解題關(guān)鍵.根據(jù)二進(jìn)制和十進(jìn)

制的互換規(guī)則即可解答.

變式1.（2024七年級(jí)上?云南?專(zhuān)題練習(xí)）某種細(xì)胞每分鐘分裂成3個(gè)，一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過(guò)3分鐘分裂成27個(gè)，

再繼續(xù)分裂t分鐘后共分裂成（）

A.加個(gè)B.3加個(gè)C.3用個(gè)D.9,個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查了乘方的意義.熟練掌握乘方的意義是解決本題的關(guān)鍵.

二?再過(guò)f分鐘后共分裂成了33口.故選C.

【答案】C

故答案為：C

【答案】B

【分析】本題考查了數(shù)字的變化知識(shí)，乘方運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵；

故選：B

A.32B.1044C.253D.16192

【答案】B

【分析】本題考查有理數(shù)的乘方的運(yùn)算，理解八進(jìn)制數(shù)換算為十進(jìn)制數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題目中

八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)的方法計(jì)算即可.

【詳解】解：八進(jìn)制數(shù)2024換算成十進(jìn)制數(shù)：

故選：B

變式5.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）趣味題阿凡提給地主打工，地主開(kāi)價(jià)每月200元工錢(qián)，阿凡提

卻說(shuō)：“不要，不要，你只要第一天付給我1角，第二天付給我2角，第三天付給我4角，第四天付給我8

角，以此類(lèi)推到月底即可”.地主聽(tīng)了暗暗高興，趕快簽下協(xié)議，其實(shí)阿凡提掙到200元工錢(qián)不必做到一個(gè)

月.設(shè)最多只要〃天，估算〃的值是（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方在實(shí)際生活中的應(yīng)用，理解題意找到工錢(qián)增長(zhǎng)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

通過(guò)分析每天工錢(qián)的增長(zhǎng)規(guī)律，利用乘方計(jì)算總工錢(qián)，再估算找到滿(mǎn)足條件的天數(shù).

【詳解】解：?第一天1角，即2°角；

第二天2角，即，角；

第三天4角，即2?角；

以此類(lèi)推，第〃天就是2力角,

故選：B.

【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，讀懂題意，分別找出每行的代表二進(jìn)制的數(shù)字，逐個(gè)轉(zhuǎn)

化成10進(jìn)制，即可作答.

則第二行代表二進(jìn)制的數(shù)字1010,轉(zhuǎn)化成10進(jìn)制為：

則第三行代表二進(jìn)制的數(shù)字11011,轉(zhuǎn)化成10進(jìn)制為：

則第四行代表二進(jìn)制的數(shù)字1010L轉(zhuǎn)化成10進(jìn)制為：

則第五行代表二進(jìn)制的數(shù)字1000,轉(zhuǎn)化成10進(jìn)制為：

題型7、有理數(shù)乘方的新定義問(wèn)題

【解題技巧】“新定義”型問(wèn)題是指在問(wèn)題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒(méi)有學(xué)過(guò)的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求

學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三

種類(lèi)型：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識(shí)銜接“新知識(shí)”；（3）定義新概念.這類(lèi)試題考查考生對(duì)“新

定義”的理解和認(rèn)識(shí)，以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，解題時(shí)需要將“新定義”的知識(shí)與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，利用

已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題.

⑵定義一種運(yùn)算，就要研究它的運(yùn)算律：

②這個(gè)計(jì)算結(jié)果說(shuō)明了這個(gè)運(yùn)算滿(mǎn)足一律.

【答案】（1）24

【分析】本題考查新定義運(yùn)算，讀懂題意，理解新定義運(yùn)算法則，代值求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

這個(gè)計(jì)算結(jié)果說(shuō)明了這個(gè)運(yùn)算滿(mǎn)足乘法交換律，

故答案為：②乘法交換.

【答案】23

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟記有理數(shù)乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

（1）結(jié)合有理數(shù)的乘方，根據(jù)新定義運(yùn)算即可；

（2）結(jié)合有理數(shù)的乘方，根據(jù)新定義運(yùn)算先求出。，b的值然后解題即可.

故答案為：2

故答案為：3.

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的減法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的減法運(yùn)算是解

題的關(guān)鍵.

故選：D.

A.任意非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù).

B.圈〃次方等于它本身的數(shù)是1或-1（〃為任意正整數(shù)）.

C.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的圈〃次方不一定互為相反數(shù).

D.互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的圈〃次方互為倒數(shù).

【答案】B

【分析】本題是新定義運(yùn)算，出現(xiàn)在乘方一節(jié)，能夠類(lèi)比乘方的運(yùn)算，理解并運(yùn)用除方的運(yùn)算規(guī)則，準(zhǔn)確

的計(jì)算和推理是本題的關(guān)鍵.

根據(jù)新運(yùn)算‘除方’的定義，a領(lǐng)即為〃個(gè)。相除，進(jìn)行計(jì)算.運(yùn)算時(shí)注意指數(shù)運(yùn)算、相反數(shù)的性質(zhì)、倒數(shù)

的概念的應(yīng)用即可.

故選項(xiàng)符合題意.

C.設(shè)這兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)為。與一。.

D.設(shè)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)為。與工.

a

故選：B.

【答案】(1)8

⑵-77

【分析】本題主要考查新定義運(yùn)算，含乘方有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意列出新定義運(yùn)算的式子，再根據(jù)含乘方有理數(shù)的混合運(yùn)算，計(jì)算即可.

(2)根據(jù)題意列出新定義運(yùn)算的式子，再根據(jù)含乘方有理數(shù)的混合運(yùn)算，計(jì)算即可.

=8.

A.?2)B.(TOc.①④D.(2X3)

【答案】C

【分析】把2,24,27,〃分解為兩個(gè)正整數(shù)的積的形式，找到相差最少的兩個(gè)數(shù)，讓較小的數(shù)除以較大的

數(shù)，看結(jié)果是否與所給結(jié)果相同即可.

：.F⑵；

故①是正確的；

故②是錯(cuò)誤的；

故③是錯(cuò)誤的；

④Qw是一個(gè)整數(shù)的平方，

二設(shè)〃=3(a為整數(shù))，

a和a的差為絕對(duì)值最小的數(shù)0,

故④是正確的.

二正確的有①④.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義“最佳分解”，讀懂題目信息，理解“最佳分解”的定義是解題的關(guān)鍵.

變式4.(2324七年級(jí)上?四川巴中期中)一般地,〃個(gè)相同的因數(shù)相乘axaxa……axa記作a",如2*2乂2=2三8,

此時(shí)，3叫做以2為底的8的“勞格數(shù)”記為48),則圖8)=3,一般地,若睚貼>0且#1),貝”叫做

以a為底的b的“勞格數(shù)”，記為L(zhǎng)H如3181,貝1J4叫做以3為底的81的“勞格數(shù)”，記為原81)=4.

(1)下列各“勞格數(shù)”的值：%(4)=ZX16)=M64)=.

(2)觀察(1)中的數(shù)據(jù)易4x16=64此時(shí)心(4),ZX16),*64)滿(mǎn)足關(guān)系式.

(3)由(2)的結(jié)果，你能歸納出一般性的結(jié)果嗎？La(M+L(M=.(a>0且步1,M>0,A/>0).

(4)據(jù)上述結(jié)論解決下列問(wèn)：已知，La(3)=0.5,求L⑼的值和L(81)的值.(>0且步1)

【分析】(1)根據(jù)定義寫(xiě)出各“勞格數(shù)”的值；

(2)由(1)的結(jié)論直接得出結(jié)果；

(3)根據(jù)定義歸納出一般性的結(jié)果；

(4)根據(jù)(3)的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可.

6(4)=2,ZX16)=4,L(64)=6

L(4)+/?6)=以64)

故答案為：L2(4)+/蕓6)=/乂64)

即例+/a(M=La{MN)

(4)vLa(3)=0.5

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的概念，新定義概念，理解題意是解題的關(guān)鍵.

⑵關(guān)于“有理數(shù)的除方”下列說(shuō)法正確的是一.(填序號(hào))

②f(2,a)=l(aCO)；

【答案】⑴g

⑵②

【分析】本題考查了新定義，有理數(shù)的乘除運(yùn)算及乘方運(yùn)算，理解新定義并掌握相關(guān)運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“除方”的定義，直接計(jì)算即可；

(3)根據(jù)“除方”的定義，把除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，即可得到乘方的運(yùn)算結(jié)果；

故答案為：:；

故①錯(cuò)誤；

故②正確；

故③錯(cuò)誤；

故④錯(cuò)誤；

故答案為：②

題型8、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算

【解題技巧】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)

行；(3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。

例1.(2425七年級(jí)上?湖南永州?期中)計(jì)算.

【答案】⑴

(3)2

(4)15

【分析】本題考查了有理數(shù)的四則混合運(yùn)算和含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和順序是解

題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算絕對(duì)值和有理數(shù)的乘除，再計(jì)算有理數(shù)的加減，即得答案；

(2)先計(jì)算有理數(shù)的乘方，然后計(jì)算兩個(gè)括號(hào)中的加減，再計(jì)算有理數(shù)的乘法，最后計(jì)算有理數(shù)的加減，

即得答案.

(3)先算括號(hào)，再算除法即可；

(4)先算乘方，再算乘除，最后算加減即可.

￡,

~61

=2；

=15.

例2.(2425七年級(jí)上?四川綿陽(yáng)?期中)計(jì)算:

【答案】⑴/

⑵3

2

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先乘方、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、括號(hào)內(nèi)計(jì)算，再計(jì)算乘法，再計(jì)算減法即可；

(2)先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)計(jì)算，再計(jì)算乘除即可.

_3

"2,

例3.(2324七年級(jí)上?天津和平?期中)計(jì)算：

【答案】(1)-6

【分析】(1)先算同分母分?jǐn)?shù)，再計(jì)算加減法；

(2)先算乘法，再去括號(hào)，再算同分母分?jǐn)?shù)，再計(jì)算加減法；

(3)先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算；

(4)根據(jù)乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算.

=-6

2

一15

13

-36

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)

運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注

意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

變式1.(2425七年級(jí)上?內(nèi)蒙古包頭期中)計(jì)算：

【答案】(1)5

(2)1

(3)-13

(4)5

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握各種運(yùn)算的法則及運(yùn)算順序是關(guān)鍵，注意符號(hào)不要出錯(cuò).

(1)先計(jì)算乘方，然后根據(jù)有理數(shù)的加減進(jìn)行計(jì)算即可求解；

(2)將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解；

(3)先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減，即可求解；

(4)根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解.

=5；

=1；

=5

變式2.(2425七年級(jí)上?遼寧盤(pán)錦?階段練習(xí))計(jì)算：

⑵1

(3)1

(4)4

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)利用有理數(shù)的加減法則計(jì)算即可；

(2)利用有理數(shù)的乘除法則計(jì)算即可；

(3)利用有理數(shù)的運(yùn)算順序，先算乘方，再算括號(hào)里面的，然后算乘除，最后算加減即可；

(4)利用有理數(shù)的運(yùn)算順序，先算乘方和絕對(duì)值，再算括號(hào)里面的，然后算乘除，最后算加減即可.

=1.

=1.

=4.

9

【答案】7

4

【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算，按照先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除法，最后計(jì)算加減法，

有括號(hào)先計(jì)算括號(hào)的運(yùn)算順序求解即可.

9

~4'

【分析】利用拆項(xiàng)法將分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和分?jǐn)?shù)的和差形式，把整數(shù)與整數(shù)部分、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)部分分別加在一

起，然后把每個(gè)分?jǐn)?shù)分別拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式，通過(guò)分?jǐn)?shù)的加減，相互抵消，求出結(jié)果.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵.

題型9、有理數(shù)混合運(yùn)算一一程序框圖

【解題技巧】程序框圖解題通用步驟：

(1)明確運(yùn)算結(jié)構(gòu)：①識(shí)別流程圖中運(yùn)算模塊的先后順序(如加減、乘除、乘方的位置)；②特別注意條

件判斷模塊的閾值。

(2)分步代入計(jì)算

(3)循環(huán)終止判斷：①每次計(jì)算結(jié)果作為新輸入值；②結(jié)果滿(mǎn)足閾值條件時(shí)終止循環(huán)。

注意：建議優(yōu)先掌握運(yùn)算順序可視化方法與循環(huán)終止條件的快速判定技巧，配合至少3種不同類(lèi)型的流程

圖案例進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練。

例1.(2425七年級(jí)上?遼寧盤(pán)錦期中)如圖，是一個(gè)有理數(shù)運(yùn)算程序的流程圖，請(qǐng)根據(jù)這個(gè)程序回答問(wèn)題：

當(dāng)輸入的x為2時(shí)，求最后輸出的結(jié)果"是()

D.1

【答案】A

=1,

輸出的結(jié)果為一7,

4

故選；A.

A.3次B.4次C.5次D.6次

【答案】B

故選：B.

A.1B.3C.4D.5

【答案】A

第1次結(jié)果為：3,

第2次結(jié)果是：10,

第3次結(jié)果為：5,

第4次結(jié)果為：16,

第5次結(jié)果為：1,

第6次結(jié)果為：4,

第7次結(jié)果為：1,

第8次結(jié)果為：4,

可以看出，從第5次開(kāi)始，結(jié)果就只是L4兩個(gè)數(shù)輪流出現(xiàn)，

且當(dāng)次數(shù)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果是1；次數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是4,

而2025次是奇數(shù)，因此最后結(jié)果是1.

故選：A.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查了有理數(shù)與程序圖的運(yùn)算，根據(jù)程序圖的運(yùn)算順序，分別算出第一個(gè)數(shù)、第二個(gè)數(shù)、第

三個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)，再結(jié)合輸入x的值是正整數(shù)，進(jìn)行作答即可.

故滿(mǎn)足條件所有*的值是104、35或12.

故選：C.

A.123B.321C.231D.無(wú)法輸出結(jié)果

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算程序是解答本題的關(guān)鍵.

故選：C.

【答案】8

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，有理數(shù)的混合運(yùn)算，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，從第二次開(kāi)始，運(yùn)算結(jié)果8,7,10

循環(huán)出現(xiàn)，由此可得出答案，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

由此可知，從第二次輸入，輸入三次一個(gè)循環(huán)，

故答案為：8.

【答案】2或7或37

【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意列式

計(jì)算求出符合題意的答案即可.

【詳解】解：如果輸入的原始數(shù)據(jù)x是正整數(shù)，加密后的數(shù)據(jù)是217,

故答案為：2或7或37.

變式4.（2425七年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，是一個(gè)“有理數(shù)轉(zhuǎn)換器”（箭頭是指數(shù)進(jìn)入轉(zhuǎn)換器的

路徑，方框是對(duì)進(jìn)入的數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換器）

⑵你認(rèn)為當(dāng)輸入什么數(shù)時(shí)，其輸出結(jié)果是0?

⑶你認(rèn)為這個(gè)“有理數(shù)轉(zhuǎn)換器”不可能輸出什么數(shù)？

⑵5"（〃為自然數(shù)）；

⑶不可能輸出負(fù)數(shù).

（2）由此程序可知，當(dāng)輸出。時(shí)，因?yàn)椤５南喾磾?shù)及絕對(duì)值均為0,所以應(yīng)輸入。或5的倍數(shù)，據(jù)此即可

求解；

（3）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和倒數(shù)的定義即可求解；

本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是審清題意，理解運(yùn)算程序.

???當(dāng)輸入3時(shí)，輸出;；

QQ

???當(dāng)輸入;時(shí)，輸出.;

（2）解：???輸出數(shù)為0,。的相反數(shù)及絕對(duì)值均為0,當(dāng)輸入5的倍數(shù)時(shí)也輸出0,

???5〃（〃為自然數(shù)）；

（3）解：由圖表知，不管輸入正數(shù)、0或者負(fù)數(shù)，輸出的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)，

二不可能輸出負(fù)數(shù)

題型10、有理數(shù)混合運(yùn)算一一24點(diǎn)游戲

【解題技巧】24點(diǎn)游戲易錯(cuò)點(diǎn)：

1）忽略分?jǐn)?shù)可能性：認(rèn)為必須全部整數(shù)運(yùn)算，實(shí)際可用分?jǐn)?shù)；

2）運(yùn)算順序錯(cuò)誤：漏加括號(hào)導(dǎo)致優(yōu)先級(jí)錯(cuò)誤；

3）固定思維局限：過(guò)度追求乘法對(duì)，忽略加減法組合。

例1.（2425七年級(jí)上,浙江溫州,期中）有一種算“24點(diǎn)”的游戲，其游戲規(guī)則如下：取四個(gè)數(shù)，將這四個(gè)

數(shù)（每個(gè)數(shù)只能用一次）進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，使其結(jié)果等于24.現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)：3,4,-6,10,運(yùn)用上

述規(guī)則，下列算式中于正旗的是（）

【答案】A

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算可得答案.

故選A.

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算以及正數(shù)和負(fù)數(shù)，根據(jù)題意列出算式即可，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解

答本題的關(guān)鍵.

例3.（2425七年級(jí)上.山東威海期末）有5張寫(xiě)著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求選擇卡片，完成下列各題：

⑴從中選擇兩張卡片

①使這兩張卡片上數(shù)字之和最大，請(qǐng)列出算式并計(jì)算結(jié)果一；

②使這兩張卡片上數(shù)字之差最小，請(qǐng)列出算式并計(jì)算結(jié)果一；

③使這兩張卡片上數(shù)字之積最大，請(qǐng)列出算式并計(jì)算結(jié)果.；

④使這兩張卡片上數(shù)字之商最小，請(qǐng)列出算式并計(jì)算結(jié)果.；

⑵從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當(dāng)運(yùn)算（可加括號(hào)），

使其運(yùn)算結(jié)果為24,寫(xiě)出算式及運(yùn)算過(guò)程.（寫(xiě)出兩種即可）

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)詳解

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

（1）①根據(jù)兩個(gè)最大的數(shù)相加，得出9；②運(yùn)用最小的數(shù)減去最大數(shù)，所得的差最??；③根據(jù)同號(hào)得正，

且結(jié)合正數(shù)最大，進(jìn)行作答；④根據(jù)異號(hào)得負(fù)，且結(jié)合負(fù)數(shù)最小，進(jìn)行作答；

（2）結(jié)合從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當(dāng)運(yùn)算（可加括

號(hào)），使其運(yùn)算結(jié)果為24,進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答.

故答案為：9；

故答案為：-11；

故答案為：18；

故答案為：-3；

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確運(yùn)用運(yùn)算律及適當(dāng)添加括號(hào)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意列式求解

即可.

變式3.（2425六年級(jí)上.山東青島.期中）從一副撲克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4張，根據(jù)牌面上

的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌必須用一次且只能用一次，可以加括號(hào)），使得運(yùn)算結(jié)果為24.其中紅色撲

克牌代表負(fù)數(shù)，黑色撲克牌代表正數(shù)，4/Q《分別代表1,1L12,13.小飛抽到的4張撲克牌是：

紅色0、黑色。、紅色力和黑色3,將這組撲克牌面上的數(shù)字樓成24或-24的算式是（寫(xiě)出

一個(gè)即可）.

【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清“24點(diǎn)”游戲規(guī)則是解本題的關(guān)鍵.利用“24點(diǎn)”游戲規(guī)則

列出等式即可.

基礎(chǔ)通關(guān)

\___________________________

【答案】3

故答案為：-§,3.

2.（2425七年級(jí)上?云南玉溪?期末）式子一2,表示的含義是（）

A.6個(gè)2相乘的積的相反數(shù)B.-2與6相乘的積

C.6與-2相乘的積的相反數(shù)D.6個(gè)-2相乘的積

【答案】A

【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的意義，根據(jù)乘方的定義即可求出答案.

【詳解】解：式子-26表示的含義是6個(gè)2相乘的積的相反數(shù)，

故選：A.

【答案】D

故選D.

A.3個(gè)A相乘B.5個(gè)獷相加

C.3個(gè)A相加D.8個(gè)兀,相乘

【答案】A

【分析】本題考查器的定義.根據(jù)毒的定義：〃個(gè)a相乘寫(xiě)作屋，讀作a的〃次方或a的〃次騫，直接判

斷即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，

故選：A.

【分析】根據(jù)乘方的意義計(jì)算即可.

【點(diǎn)睛】本題考查乘方運(yùn)算，理解乘方的意義進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，乘方的逆運(yùn)算，等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則即

可得解，熟練掌握有理數(shù)的乘方的意義是解題關(guān)鍵.

故選：D.

A.3B.5C.7D.9

【答案】D

故選：D.

A.?(2XWB.?(2X4)C.(2X3X4)D.?(2X3X4)

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，以及相反數(shù)的求法，逐項(xiàng)判定即可.

二?其中結(jié)果等于-1的是：(1X2X3?.

故選