期末復(fù)習5八年級下冊期末復(fù)習之新定義型問題

1.(堇B州區(qū)期末)定義：有一組對邊平行，有一個內(nèi)角是它對角的一半的凸四邊形叫做半對

角四邊形，如圖1,直線點A,。在直線/1上，點8,C在直線/2上，若NBAD

=2ZBCD,則四邊形ABC。是半對角四邊形.

(1)如圖1,已知人。〃8(7,ZBAD=60°,ZBC￡>=30°,若直線AD,8C之間的距

離為F，則的長是,CD的長是；

(2)如圖2,點E是矩形42C。的邊A。上一點，AB=1,AE=2.若四邊形ABCE為半

對角四邊形，求的長；

(3)如圖3,以口A3C。的頂點C為坐標原點，邊C。所在直線為x軸，對角線AC所在

直線為y軸，建立平面直角坐標系.點E是邊上一點，滿足BC=AE+CE.

①求證：四邊形A8CE是半對角四邊形；

②當A8=AE=2,ZB=60°時，將四邊形ABCE向右平移a(。>0)個單位后，恰有兩

個頂點落在反比例函數(shù)y=K的圖象上，求上的值.

X

（圖1）（圖2）（圖3）

【分析】(1)過點A作于點過點。作。NLBC于點N,通過解含30度角

的直角三角形可求出48,CZ)的長；

(2)根據(jù)半對角四邊形的定義可得出N8CE=45°,進而可得出NDEC=/DCE=45°,

由等角對等邊可得出CD=DE=1,結(jié)合A￡)=AE+￡)E即可求出的長；

(3)①由平行四邊形的性質(zhì)可得出BC//AD,BC=AD=AE+ED=AE+CE,進而可得出

CE=ED,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得出NAEC=2NMC=2NB,

再結(jié)合半對角四邊形的定義即可證出四邊形ABCE是半對角四邊形；

②由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合AB=AE=2,ZB=60°可得出點A,B,￡的坐標，分點A,

E落在反比例函數(shù)圖象上及點8,E落在反比例函數(shù)圖象上兩種情況考慮：(力利用平移

的性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于a的一元一次方程,解之即可得出a

值，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出％值；(ii)同(力可求出左值.綜上,

此題得解.

【解答】解：(1)如圖1,過點A作(于點M,過點。作DAaBC于點N.

'：AD//BC,

：.ZABM=ZBAD=60°.

AM=DN=yf3-

在中，AM=y/3>NABM=60°,ZAMB=90°,

：.ZBAM^30°,

：.AB=2BM,

又,/AB2^Al^+BM2,即AB2=3+AAB2,

4

：.AB=2；

在Rtz\DCN中，DN=M，ZDCN=3Q°,ZDNC=90°,

:.CD=2DN=2M.

故答案為：2；2^3.

(2)???四邊形ABCE為半對角四邊形，

；./BCE=45°,

；.NDEC=NDCE=45°,

:.CD=DE=L

：.AD=AE+DE=3.

(3)①證明?.?四邊形ABC。為平行四邊形，

S.BC//AD,BC^AD^AE+ED^AE+CE,

:.CE=ED,

：.ZAEC=2ZEDC=2ZB.

又，：AE//BC,

四邊形ABCE是半對角四邊形；

②由題意，可知：點A的坐標為(0,2F)，點2的坐標為(-2,2a)，點E的坐標

為(1,V3).

(z)當點A,E向右平移a(a>0)個單位后落在反比例函數(shù)的圖象上時，。?2a=(1+a)

?M，

解得：4=1,

k=2V=2V3；

(z7)當點B,E向右平移a(a>0)個單位后落在反比例函數(shù)的圖象上時，(-2+a>2如

=(l+a)>V3>

解得：<2=5,

(1+a)=6A/3.

綜上所述：上的值為為2次或6?.

（圖2）

(圖1)

2.(金華期末)定義：有一組鄰邊相等，且它們的夾角為60。的四邊形叫做半等邊四邊形.

(1)已知在半等邊四邊形A8C。中，AB=AD,ZBAD=6Q°,ZBCD=120°.

①如圖1,若/B=/D,求證：BC=CD.

②如圖2,連結(jié)AC,探索線段AC、BC、CO之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖3,已知NM4c=30°,AC=10+10我，點。是射線AM上的一個動點，記

ZDCA^a,點B在直線AC的下方，若四邊形ABC。是半等邊四邊形，且CB=CD問：

當點。在15°WaW45°的變化過程中運動時，點8也隨之運動，請直接寫出點8所經(jīng)

過的路徑長.

M

B

D.

圖1圖2圖3

【分析】（1）①如圖1,連接BD,由等腰三角形的判定和性質(zhì)可解決問題；

②如圖2,連接在AC上截取CE=CB,連接BE,通過證明點A,點、B,點C,點

D四點共圓，可得/ACB=/ADB=60°,由"SAS”可證△ABE也△OBC,可得AE=

CD,即可得結(jié)論；

（2）過點C作CE±AM于點E,過點B作BFLAC于點F,利用AAS證明

DCE（AAS）,可得BF=DE,則點8所經(jīng)過的路徑長與點。所經(jīng)過的路徑長相等，分別

求出。=15°時和。=45°時A￡）的長，即可求解.

【解答】證明：（1）①如圖1,連接80,

ZABD=ZADB,

,/ZABC=ZADC,

：.ZCBD=ZCDB,

：.BC=CD；

?AC=BC+CD,

理由如下：如圖2,連接80,在AC上截取CE=C8,連接BE,

圖2

"：AB=AD,ZBAD=60°,

...△ABD是等邊三角形，

：.AB=AD=BD,ZBAD=ZABD=ADB=60°,

"：ZBAD+ZBCD=180°,

.?.點A,點8,點C,點。四點共圓，

AZACB=ZADB=60°,S.BC=CE,

...△BEC是等邊三角形，

：.BC=BE=CE,ZBEC=60°,

：.Z.AEB=nG°=NBCD,且BE=BC,AB=BD,

.".△ABE冬ADBC(SAS)

J.AE^CD,

：.AC^AE+EC^CD+BC；

(2)點8所經(jīng)過的路徑長為10,理由如下：

?：CB=CD,四邊形A2C￡)是半等邊四邊形，

：.ZBCD^6Q°,

過點C作CELAM于點E,過點B作BFLAC于點F,如圖:

VZAMC=30°,

/.ZAC￡=60°=ZBCD,

Z.ZACE-ZACD=/BCD-ZACD,即ZDCE=ZBCF,

在△BCP和△DCE中，

'NAEC=/BFC

<ZDCE=ZBCF>

CD=CB

:ABCF沿4DCE(44S),

：.BF=DE,

...點B所經(jīng)過的路徑長與點D所經(jīng)過的路徑長相等,

在RtZvlCE中，CE=AAC=5+573,

2

AE=AC'cosZMAC=(10+10V3)><返=5百+15,

2

當a=15°時，ZDCE=45°,

：.DE=CE=5+5-j3>

AD=AE-DE=IO,

當a=45°時，過點。作。H_LAC于點H,如圖:

:.DH=CH，

設(shè)DH=CH=x,則AH^AC-CH=IO+IOA/3-%，

在RtZVLD”中，

?：tanZMAC=^-=J^~,

AH3

：.DH=AH-tanZMAC,

，x=Yl_(10+10A/3

3

解得：x=10,即。H=10,

：.AD=2DH=2Q,

綜上可知：當點。在15°WaW45°的變化過程中運動時，點。在AM上移動的路徑長

為20-10=10,

...點3所經(jīng)過的路徑長為10.

3.(麗水期中)小明在學(xué)習反比例函數(shù)后，為研究新函數(shù)y上1,先將函數(shù)變形為y4+],

XX

畫圖發(fā)現(xiàn)函數(shù)y上三的圖象可以由函數(shù)y」的圖象向上平移1個單位得到.

XX

(1)根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，請你寫出函數(shù)y至衛(wèi)的圖象可以由反比例函數(shù)yW?的圖象經(jīng)過

XX

怎樣的平移得到；

(2)在平面直角坐標系中，已知反比例函數(shù)yR(x>0)的圖象如圖所示，請在此坐標

系中畫出函數(shù)y2三(%>0)的圖象；

X

(3)若直線y=-x+b與函數(shù)了二殳3(x>0)的圖象沒有交點，求6的取值范圍.

【分析】(1)先把函數(shù)y至W化為1的形式，再根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則進行解

xx

答即可；

(2)根據(jù)平移的法則畫出圖象即可；

(3)求得直線y=-x+6與函數(shù)y=5(x>0)的圖象只有一個交點時的6的值，然后根

x

據(jù)平移的規(guī)律即可求得.

【解答】解：(1)由“上加下減”的原則可知，把反比例函數(shù)>=§的圖象向下平移1個

X

單位后得到一個新的函數(shù)的圖象的解析式為y=§-1,即>=旦；

XX

(2)畫出函數(shù)了=殳3(x>0)的圖象如圖所示：

y=-x+b

(3)<5整理得：x2-/?x+5=0,

y=—

X

若直線y=-與函數(shù)y=9(%>0)的圖象只有一個交點，則4=(-Z?)2-4X1X5

x

=0,

：.b=2爬,

...若直線產(chǎn)-x+b與函數(shù)產(chǎn)且(尤>0)的圖象沒有交點，貝隈<2泥-1；

x

4.(金華期中)類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰

邊四邊形”.

(1)概念理解：

如圖1,在四邊形ABC。中，添加一個條件，使得四邊形ABC。是“等鄰邊四邊形”，請

寫出你添加的一個條件；

(2)概念延伸：

下列說法正確的是—(填入相應(yīng)的序號)

①對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形；

②一組對邊平行，另一組對邊相等的“等鄰邊四邊形”是菱形；

③有兩個內(nèi)角為直角的“等鄰邊四邊形”是正方形；

④一組對邊平行，另一組對邊相等且有一個內(nèi)角是直角的“等鄰邊四邊形”是正方形；

(3)問題探究：

如圖2,小紅畫了一個Rt^ABC,其中/A8C=90°,AB=4,BC=3,并將Rt^ABC沿

的平分線23'方向平移得到△A'B'C',連接，BC',小紅要使平移后的四邊形

ABCA'是"等鄰邊四邊形”應(yīng)平移多少距離(即線段38的長)?

【分析】（1）根據(jù)定義添加一組鄰邊相等即可；

（2）先利用平行四邊形的判定定理得平行四邊形，再利用“等鄰邊四邊形”定義得鄰邊

相等，得出結(jié)論；

（3）由平移的性質(zhì)易得88'=A4',A'B'//AB,A'B'=AB=4,B‘C=BC=3,

A'C=AC=5,再利用“等鄰邊四邊形”定義分類討論，由勾股定理得出結(jié)論.

【解答】解：（1）或BC=C?；?。=8或48=4。.

答案：AB—AD.

（2）①正確，理由為：

???四邊形的對角線互相平分，

這個四邊形是平行四邊形，

:四邊形是“等鄰邊四邊形”，

.?.這個四邊形有一組鄰邊相等，

這個“等鄰邊四邊形”是菱形；

②不正確，理由為：一組對邊平行，另一組對邊相等的“等鄰邊四邊形”也有可能是等

腰梯形；

③不正確，理由為：有兩個內(nèi)角為直角的“等鄰邊四邊形"不是平行四邊形時，該結(jié)論

不成立；

④正確，理由為：一組對邊平行，另一組對邊相等且有一個內(nèi)角是直角可得到“該四邊

形是矩形”；再“等鄰邊四邊形”得到該矩形的一組鄰邊相等，則可推知該矩形是菱形，

故④的說法正確.

故答案是：①④；

(3)VZABC=90°,AB=4,BC=3,

：.AC=5,

:將RtZXABC平移得到B'C,

：.BB'=AA'，A1B'//AB,A'B'=AB=4,B'C=BC=3,A'C=AC=5,

(1)如圖1,當A4'=AB時，BB'=AA'=AB=4；

(ID如圖2,當AV=A'C時，BB'=A4,=A'C=5；

(〃/)當A'C=BC'=5時，

如圖3,延長C'B'交AB于點O,則C'B'LAB,

■:BB'平分/ABC,

AAABB'=AZABC=45°,

2

:.NBB'D='/ABB'=45°

：.B'D=BD,

設(shè)8'D=BD=x,

則CD=x+3,BB1=?x,

;在RtZiBC，。中，BE^+CD1=BC2

.,.x2+(x+3)2=52,

解得：xi=-3+V^I,尤2=土叵(不合題意，舍去)，

22

：.BB'=我%=二3五

2

(IV)當BC=AB=4時，如圖4,與(III)方法一同理可得：BDr+C'D1=BC'2,

設(shè)8'D=BD=x,

貝"+(x+3)2=42,

解得：xl=-3+V23,X2=-3-V23(不合題意，均舍去)，

_22

：.BB'"入'2,

2

綜上所述，要使平移后的四邊形ABC1A'是"等鄰邊四邊形”應(yīng)平移4或5或

C'

A'

B'

A

5.(南潺區(qū)期末)定義：我們把對角線長度相等的四邊形叫做等線四邊形.

(1)嘗試：如圖1,在3義3的正方形網(wǎng)格圖形中，已知點A、點B是兩個格點，請你作

出一個等線四邊形，要求A、B是其中兩個頂點，且另外兩個頂點也是格點；

(2)推理：如圖2,已知△AOD與△BOC均為等腰直角三角形，NAOO=N8OC=90°,

連結(jié)AB,CD,求證：四邊形A8C￡)是等線四邊形；

(3)拓展：如圖3,已知四邊形ABC。是等線四邊形，對角線AC,2。交于點。，若/

AOD=60°,AB=。BC=6,AD=2.求CD的長.

圖1圖2圖3

【分析】(1)以A、8為頂點作矩形即可(答案不唯一)；

(2)連結(jié)AC,BD,由△AOD與△BOC均為等腰直角三角形知。4=。。，OC=OB,Z

AOD=ZBOC,再證△AOC絲得B￡)=AC,從而得證；

(3)分別以AD、8c為底作等腰△&￡)￡、等腰△BCE,頂點均為點E.證△AEC安

得NBDE=NCAE,繼而證△AEZ)是等邊三角形、ABCE也是等邊三角形，據(jù)此知EA

=ED=AD=2,EB=EC=BC=V3-由AB=V7知AE2+BE2^AB2,即可得NAEB=90°,

NOEC=150°.再過點C作CfUDE于點R則/CEF=30°.從而得出CF,CE考■，

DF1,利用勾股定理求解即可得出答案.

【解答】解：(1)如圖1所示，矩形AP2。即為所求.

圖2

,/AAOD與△BOC均為等腰直角三角形，

：.OA=OD,OC=OB,ZAOD=ZBOC,

：.ZAOC=ZBOD,

：./\AOC^/\DOB(SAS),

：.BD=AC,

四邊形ABCD是等線四邊形.

(3)解：如圖3,分別以A。、BC為底作等腰△&￡)￡、等腰△BCE,頂點均為點E.

D

圖3

于是有，EA=ED,EC=EB,

'：AC=BD,

：./\AEC^/\DEB(SSS),

：.ZBDE=ZCAE,

：.ZAED=ZAOD=60°,

.?.△AED是等邊三角形.

同理，△BCE也是等邊三角形.

：.EA=ED=AD=2,EB=EC=BC=V3.

AB=V7,

:.AE1+BE2=AB2,

：.ZAEB=9Q°,

AZ￡)EC=150°.

過點C作CFLDE于交DE延長線于點F,則ZCEF=30°.

AA^1,EF=?CE=m,

CF2CE=222

則DF《，

6.(金華校級期末)我們定義：如圖1,在△ABC中，把A8繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a

<180°)得到A8,把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)0得到AC,連接8C.當a+B=180°時，

我們稱△AEC是△ABC的“旋補三角形"，△ABC邊B'C上的中線AD叫做△ABC的“旋

補中線”，點A叫做“旋補中心”.

特例感知：

(1)在圖2,圖3中，ZsA8cl是△ABC的“旋補三角形”，是△ABC的“旋補中線”.

①如圖2,當△ABC為等邊三角形時，與BC的數(shù)量關(guān)系為AZ)=BC；

②如圖3,當NBAC=90°,BC=8時，則4。長為.

猜想論證：

(2)在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想A。與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在四邊形ABC。，NC=90°,Z￡)=150°,BC=12,CD=2?,ZM=6.在

四邊形內(nèi)部是否存在點P,使△POC是的“旋補三角形”？若存在，給予證明，

【分析】(1)①首先證明是含有30。是直角三角形，可得4。=虱8'即可解

2

決問題；

②首先證明AC',根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；

(2)結(jié)論：AD^l-BC.如圖1中，延長AD到使得A￡>=DM,連接8,M,CM,

2

首先證明四邊形AC'MB'是平行四邊形，再證明△BAC名△AB'M,即可解決問題；

(3)存在.如圖4中，延長A。交BC的延長線于M,作8E_LA。于E,作線段BC的

垂直平分線交BE于P,交BC于凡連接孫、PD、PC,作△尸CQ的中線PN.連接

交PC于O.想辦法證明朋=PD,PB=PC,再證明NAPr>+/8PC=180°,即可；

【解答】解：(1)①如圖2中，

VAABC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC^AB'=AC',

"：DB'=DC',

：.AD±B'C',

'：ZBAC=60°,ZBAC+ZB'AC'=180°,

：.ZB'AC=120°,

：.ZB'=ZC=30°,

:.AD=1AB'=ABC,

22

故答案為』.

2

②如圖3中,

B'D

C

BC

圖3

VZBAC=90°,ZBAC+ZB'AC'=180°,

：.ZB'AC=ZBAC=90°,

"：AB^AB',AC^AC',

.?.△BACWAC1,

：.BC=B'C,

,:B'D=DC,

.\A￡)=AB,C'=JL8C=4,

22

故答案為4.

(2)結(jié)論：AD=1BC.

2

理由：如圖1中，延長AO到使得A￡?=OM,連接夕M,CM

圖1

":B'D=DC',AD=DM,

四邊形AC'MB1是平行四邊形，

：.AC=B'M^AC,

,：ZBAC+ZB'AC=180°,ZB'AC'+ZAB'M=180°,

：.ZBAC=ZMB'A,'：AB=AB',

.,.ABAC^AAB,M,

：.BC^AM,

：.AD=^BC.

2

(3)存在.

理由：如圖4中，延長A。交BC的延長線于M,作8E_L4。于E,作線段8c的垂直平

分線交BE于P,交8C于R連接B4、PD、PC,作△PC￡)的中線PN.

連接。尸交PC于0.

：.ZMDC=30°,

在Rt^OCM中，,:CD=2五,ZDCM=90°,ZMDC=30°,

：.CM=2,DM=4,ZA/=60°,

在RtZVBEM中，ZBEM=90°,BM=14,ZMB￡=30°,

;.EM=LBM=7,

2

:.DE=EM-DM=3,

：A￡)=6,

：.AE=DE,VBEXAD,

：.PA=PD,PB=PC,

在RtZXCDF中，VCD=273，CF=6,

tanZCDF—,

：.ZCDF=60°

：.ZADF=90°=ZAEB,

：.ZCBE=ZCFD,

,：/CBE=NPCF,

：.ZCFD=ZPCF,

'：ZCFD+ZCDF=90°,ZPCF+ZCPF=90°,

:.NCPF=NCDF=60°,

易證AFCP咨ACFD,

：.CD=PF,'JCD//PF,

四邊形CO尸產(chǎn)是矩形，

：.ZCDP=90°,

ZADP=ZADC-ZCDP=60°,

尸是等邊三角形，

AZAPD=6Q°,'：ZBPF=ZCPF=60°,

AZBPC=120°,

AZAPr>+ZBPC=180°,

.,.△PDC是△B4B的“旋補三角形”，

在Rt^PIW中，VZPDN=90°,PD=AD=6,DN=M，

PN=VDN2+PD2=V(V3)2+62=^39.

(也可利用旋補中線長=1<8,求出A2即可)

2

7.(金華校級期中)定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直

角四邊形.

(1)如圖1,等腰直角四邊形ABC。，AB=BC,ZABC=90°,

①若AB=CO=1,AB//CD,求對角線8。的長.

②若ACJ_8。，求證：AD=CD,

(2)如圖2,在矩形ABC。中，AB=5,BC=9,點尸是對角線BD上一點，且2尸=2尸￡),

過點尸作直線分別交邊A。，BC于點E,凡使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE

的長.

【分析】(1)①只要證明四邊形ABCO是正方形即可解決問題；

②只要證明△ABD四△C8。，即可解決問題；

(2)若E7UBC,貝UAEWERBFWEF,推出四邊形AB/芭表示等腰直角四邊形，不符

合條件.若跖與BC不垂直，①當時，如圖2中，此時四邊形A8FE是等腰直

角四邊形，②當8尸=A8時，如圖3中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，分別求

解即可；

【解答】解：(1)①?.,AB=C￡)=1,AB//CD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

"：AB=BC,

四邊形A2C。是菱形，

VZABC=90°,

四邊形ABCD是正方形，

???BD=AC=―2+F=如.

②如圖1中，連接AC、BD.

*：AB=BC,ACLBD,

：./ABD=/CBD,

?；BD=BD,

：.△A3。2△CBD,

：.AD=CD.

(2)EFIBC,則四邊形AB/花是矩形，AE=BF=1~BC=6,

3

VAB=5,

：.AE^AB

???四邊形人3尸￡表示等腰直角四邊形，不符合條件.

若跖與5c不垂直，

①當AE=A5時，如圖2中，此時四邊形尸E是等腰直角四邊形,

：.AE=AB=5.

②當時，如圖3中，此時四邊形A3M是等腰直角四邊形,

：.BF=AB=5.

\9DE//BF,

：.DE：BF=PD：PB=1：2,

.'.￡>￡=2.5,

???AE=9-2.5=65

綜上所述，滿足條件的AE的長為5或6.5.

8.（金華市金東區(qū)期中）有一組鄰邊相等，且另外兩邊也相等的四邊形我們把它叫做箏形，

如圖1,四邊形ABC。中，AD^DC,AB=BC,那么四邊形叫做箏形.

（1）如圖2,已知箏形ABC。的周長是18,AO=C￡>=3,那么A2=；

（2）在探索箏形的性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)箏形有一組對角相等，如圖1,箏形A8CD中，AD=

DC,AB=BC,那么/A=/C,請證明這個結(jié)論；

（3）如圖2,箏形中，AD=DC=?,ZADC=90°,ZDAB=105°,求箏形

【分析】（1）根據(jù)四邊形周長為四邊的和，相減得的長；

（2）連接2D證明所在的兩個三角形全等；

（3）箏形ABC。的面積等于兩個三角形面積的和，主要求AC的OB的長，并說明OB

是AC邊上的高即可.

【解答】解：（1）如圖2,：四邊形ABCD為箏形，

：.AB=BC,

:箏形4BCD的周長是18,AD=CD=3,

.?..=18-2X3=6,

2

故答案為：6；

(2)如圖1,連接。8,

"：AD^DC,AB=BC,BD=BD,

：.AADB烏ACDB,

：.ZA=ZC

(3)如圖2,

VZADC=90°,AD=CD=近,

'AC=VAD2-K?D2=2，

?.?四邊形ABC。為箏形，

：.ZDAB=ZDCB=W5°,

,/AADC是等腰直角三角形，

：.ZDAC^ZDCA^45°,

：.ZBAC=ZBCA=6QQ,

/.△ABC是等邊三角形，

'：AD^CD,AB=BC,

.?.2。是AC的中垂線，

：.BD±AC,

：.AO=CO=1,

tan/BAC=0^,

AO

.?.BO=lXtan60°=?,

AS^ABCD=SAADC+5AABC=AAD-CD+1AC?OB=1XV2XV2+—X2XV3=1+V3.

2222

D

圖1

9.（金華校級期末）定義：在平面直角坐標系中，若P,。為某個四邊形相鄰的兩個頂點，

且該四邊形的兩條對角線分別與x軸，y軸平行或重合，則稱該四邊形為點P,。的“奇

美四邊形圖1為點P,。的“奇美四邊形”的一個示意圖.

設(shè)點A（1,2）,點、B（b,0）

【初步嘗試】：（1）若6=3,在圖2網(wǎng)格中畫出點A,8的一個“奇美四邊形”，并記作:

“奇美四邊形"ABCD：

【深入探究】：（2）①若（1）中得到的“奇美四邊形“ABCQ,滿足AB=DC,AB//DC.求

證：“奇美四邊形"ABC。是菱形；

②若點A,8的“奇美四邊形”為矩形，求直線A8的函數(shù)解析式；

【拓展應(yīng)用1（3）己知點C（3,2）,在線段AC上存在點N,平面內(nèi)存在一點使點

M,N的“奇美四邊形”為矩形，且點8到直線的距離始終為請直接寫出6的

取值范圍

【深入探究工（2）①根據(jù)對角線垂直的平行四邊形是菱形即可證明.

②分兩種求出求出點B的坐標即可解決問題.

【拓展應(yīng)用】：（3）求出點N與A重合時，滿足條件的點2的坐標，求出點N與C重合

時，滿足條件的點B坐標，觀察圖象即可判斷.

【解答】【初步嘗試】：（1）解：如圖1中，四邊形A8CO即為所求（答案不唯一）.

圖1

圖2

"：AB^CD,AB//CD,

四邊形ABCD是平行四邊形,

X".'ACXBD,

，四邊形ABC。是菱形.

圖3

:四邊形A8CD是矩形，

5L'：AC±BD,

四邊形ABCD是正方形，

，滿足條件的點8的坐標為(3,0)或(-1,0),

VA(1,2),

直線AB的解析式為y=-x+3或y=x+\.

當點N與A重合時，滿足條件的點8的坐標分別為：B\(-3,0),B2(1,0),B3(5,

0),

當點N與C重合時，滿足條件的點8的坐標分別為：B4(-1,0),B5(3,0),Be(7,

0),

觀察圖象可知滿足條件的b的取值范圍為-3W6W-1或1W放3或5W放7.

10.(金華)背景：點A在反比例函數(shù)y=K(k>0)的圖象上，AB±x軸于點B,ACLy

x

軸于點C,分別在射線AC,2。上取點。，E,使得四邊形A3即為正方形.如圖1,點

A在第一象限內(nèi)，當AC=4時，小李測得8=3.

探究：通過改變點A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點。，A的橫坐標之間存在函數(shù)關(guān)系.請幫助小

李解決下列問題.

(1)求上的值.

(2)設(shè)點A,。的橫坐標分別為尤，z,將z關(guān)于尤的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”.如圖2,小李

畫出了x>0時“Z函數(shù)”的圖象.

①求這個“Z函數(shù)”的表達式.

②補畫％V0時“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個函數(shù)的性質(zhì)(兩條即可).

③過點(3,2)作一直線，與這個“Z函數(shù)”圖象僅有一個交點，求該交點的橫坐標.

【分析】(1)求出點A的坐標，利用待定系數(shù)法求出人即可.

(2)①求出點A的坐標，再代入反比例函數(shù)的解析式即可.

②利用描點法畫出圖象，根據(jù)函數(shù)圖象可得結(jié)論(答案不唯一).

③由題意可知直線的解析式為2=履+2-3匕構(gòu)建方程組，利用△=(),求出發(fā)可得結(jié)論,

另外直線x=3也符合題意.

【解答】解：(1)：AC=4,CD=3,

：.AD=AC-CD=1,

:四邊形ABE。是正方形，

：.AB=1,

；AC_Ly軸，A2J_x軸，

：.ZACO=ZCOB=ZOBA=90°,

四邊形ABOC是矩形，

O3=AC=4,

AA(4,1),

.,.fc=4.

(2)①由題意，A(x,x-z),

??x(x-z)=4,

②圖象如圖所示.

圖2

性質(zhì)1：尤＞0時，y隨x的增大而增大.

性質(zhì)2：圖象是中心對稱圖形.

③設(shè)直線的解析式為z=kx+b,

把（3,2）代入得到，2=3k+b,

：.b=2-3k,

.?.直線的解析式為z=fcv+2-3k,

z=kx+2-3k

由14，消去z得到，1-1）/+（2-3k）x+4=0,

Z=X--

X

當ZW1時，當A=0時，（2-3%）2-4（A-1）X4=0,

解得—四或2,

9

當仁兇時，方程為12_&+4=0,解得無1=X2=6.

993

當左=2時，方程為7-4x+4=0,解得XI=X2=2.

當上=1時.方程的解為x=4,符合題意，

另外直線x=3,也符合題意，此時交點的橫坐標為3,

綜上所述，滿足條件的交點的橫坐標為2或3或4或6.

11.（江北區(qū)期末）如圖1,在矩形ABC。中，點E是邊的中點，點G是平面上一點，

若在射線BC上存在一點R使得四邊形EDFG為菱形，我們稱菱形EDFG是矩形ABCD

的“矩菱形”.

(1)命題“正方形的‘矩菱形’也是正方形”是真命題；(填“真命題”或“假命

題”)

(2)如圖2,矩形ABC。為正方形，四邊形即FG是其“矩菱形”，EG交BC于點、H,

若HE=A，求CH的長；

(3)假設(shè)地=匕

AB

①若矩形A2C。始終存在“矩菱形”，求上的取值范圍.

②如圖3,若A8=2,點M為菱形EDFG的中心點，連結(jié)EM、CM、CG、BG,請用含

有k的代數(shù)式表示五邊形EMCGB的面積S.

【分析】(1)根據(jù)“矩菱形”定義，可得DE=DF,再利用正方形性質(zhì)即可證明RtAADE

^RtACDF(HL),進而得出答案；

(2)如圖2,連接。H,設(shè)正方形4BC。的邊長為。，根據(jù)以。m=上5正方形EDFG=2OE2

22

=5/，可求得力進而得出利用勾股定理可得出答案；

844

(3)①如圖3,設(shè)42=6,則A￡>=姑，再由四邊形E￡)PG是其“矩菱形”，可得。尸=

D￡2=(M+工)b2,再利用勾股定理得出CF1=DF2-CD2=(F-旦)b2,所以k2-32

444

0,即(上+近)(％-返)20,故女，近；

222

②如圖4,連接ERDG,BM,過點G作GKLAB交其延長線于K,過點M作

于N,交,CD于L,禾!J用Snn^EMCGB—S梯形KGAW-SABKG+S^EMN+SACMG,即可求得答案.

【解答】解：(1)命題“正方形的‘矩菱形’也是正方形”是真命題.理由如下：

?/四邊形EDFG是正方形ABCD的“矩菱形”