小學數(shù)學史料與數(shù)學教學《小學數(shù)學數(shù)學史與數(shù)學教學》簡介一、編著的背景（基礎）二、編著的愿景（意義）三、編著的風景（內(nèi)容）《小學數(shù)學數(shù)學史與數(shù)學教學》簡介一、編著的背景（基礎）1.起因

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一句話數(shù)學是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分?！度罩屏x務教育數(shù)學課程標準（2001版）》起因經(jīng)過成果數(shù)學知識數(shù)學思維數(shù)學文化《打開數(shù)學之門》——2002年蕭山區(qū)學科專題論文一等獎《挖掘數(shù)學的文化價值 提升學生的數(shù)學素養(yǎng)》——2008年省教研課題立項《小學數(shù)學文化課程體系構(gòu)建與運行的實踐研究》——市“名師工程”第一批專項科研重點課題（MSZ2009077）——全國教育部重點課題《基礎教育文化課程體系的構(gòu)建與實踐研究》子課題一、編著的背景自覺嘗試自發(fā)研究專業(yè)研究起因

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一句話經(jīng)過——三個階段一、編著的背景（基礎）起因

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一句話經(jīng)過——三個階段成果——三類成果發(fā)表——省級以及上教育刊物上發(fā)表相關文章10篇專欄式：《小學教學》2010年第四期和《教學月刊》2012年第一期以專欄的形式，介紹了我區(qū)開展數(shù)學文化實踐研究的情況。專題式： 《中小學數(shù)學》、 《教學月刊》 、《小學教學》分別發(fā)表了我們相關的研究成果。交流——在省級教研活動中交流《從數(shù)學史料中尋找數(shù)學探究的因子》在浙江省2010年小學數(shù)學和科學“疑難問題解決”專題研訓會上交流。專著——作為學生數(shù)學閱讀與社團活動資料《數(shù)學名人名題故事集》，浙江教育出版社，2012.7二、編著的愿景編著一套適合于小學數(shù)學教師閱讀的，專門介紹與小學數(shù)學內(nèi)容相關的數(shù)學史料集，并把這些數(shù)學史料與小學數(shù)學教學有機融合，設計富有數(shù)學文化背景的數(shù)學教學流程，使小學數(shù)學知識在數(shù)學背景知識的映襯下，煥發(fā)理性智慧的光芒與人文情愫的潤澤。史料閱讀融入教學文化潤澤我們的定位：如果把數(shù)學教材比之于一道菜肴，那么數(shù)學

基本知識是其中的主料，而數(shù)學史料只能算作其中

的輔料。但是，做一道真正可口或別具風味的菜肴，輔料卻對菜的色、香、味諸方面起著舉足輕重的作

用。如果把數(shù)學教學比之于烹飪一道菜肴，那么

有效地利用“數(shù)學史料”是調(diào)控烹飪火候的重要策略。因此，有效地利用“數(shù)學史料”的基本出發(fā)點要是使師生更加深刻地理解數(shù)學，使數(shù)學教學更具有啟迪智慧與傳承文化的意蘊。三、編著的風景第一部分 數(shù)學史料篇第一章 數(shù)的產(chǎn)生第二章 自然數(shù)的特征第三章 形的認識第四章 形的拓展第五章 常見的量第六章 數(shù)學符號第七章 數(shù)學的動力第二部分 小學數(shù)學教學篇第八章滲透式教學設計第九章融入式教學設計第十章拓展式教學設計源于教材低于教材第一章 數(shù)的產(chǎn)生全面介紹小學數(shù)學數(shù)學中的四種數(shù)（自然數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、負數(shù)）的產(chǎn)生歷史，以及對小學教學的啟示。第二章 自然數(shù)的特征以專題的形式介紹可以作為小學數(shù)學課程資源的數(shù)學家以及數(shù)學愛好者對自然數(shù)的特征的研究成果與研究過程。第三章 形的認識全面介紹人類對形的認識的幾個階段（以與小

學數(shù)學相關的內(nèi)容為主），并專題介紹“形的度量”和形的思維價值——幾何直觀。以及對教學的啟示。第一部分數(shù)學史料篇第四章 形的拓展以專題的形式介紹可以作為小學數(shù)學課程資源，但又是在歐氏幾何以后發(fā)展起來的幾何分支的最淺顯的一些例子。第五章 常見的量全面介紹《數(shù)學課程標準（2011版）》第一學段中所規(guī)定的三類常見(時間、質(zhì)量與貨幣)的量形成與發(fā)展歷史。以及對教學的啟示。第六章數(shù)學符號以分類的形式，全面介紹“數(shù)的符號”以外的小學數(shù)學教材中的各類符號的產(chǎn)生與形成歷史。以及對教學的啟示。第七章 數(shù)學的動力在小學數(shù)學內(nèi)容的基礎上，以適合成為小學數(shù)學課程資源為前提，以專題的形式介紹推動數(shù)學發(fā)展的人或事。第一部分數(shù)學史料篇第八章 滲透式教學設計以人教版小學數(shù)學教材為藍本，對其中可以滲透數(shù)學史背景知識的數(shù)學內(nèi)容進行梳理，并進行創(chuàng)編的策略研究與樣例列舉。第九章 融入式教學設計以典型課例為例子，總結(jié)融入式教學設計的一般策略與操作措施。第十章 拓展式教學設計以典型課例為例子，總結(jié)拓展式教學設計的一般策略與操作措施。第二部分小學數(shù)學教學篇只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷?！?/p>

喬治·波利亞（G.Polya,1887-1985）歷史是教學的指南?！?/p>

M.克萊因（M.Kline,1908-1992）第三章 形的認識在幾何學里,沒有專為國王鋪設的大道?！猍古希臘]歐幾里得（約公元前330年～前275年）形的認識最終形成了數(shù)學的一個重要的古老的分支——

幾何學。幾何學是研究圖形形狀大小或其間位置關系的數(shù)學，它歷史悠久，肇源甚古。希臘歷史學家Herodotus(公元前5世紀)說：“埃及受尼羅河恩賜，這條河把南方的水一年一度地泛濫到沿河兩岸之后，留下沃土。埃及自古以來一直靠耕種這片活土謀生。”他又說：“尼羅河每年漲水后，需要重新確定農(nóng)民田地的邊界才產(chǎn)生幾何學?！睅缀螌W一詞的希臘語

語源就是量地。我國魏晉時數(shù)學家劉徽解釋方田章名時說：“以御田疇界域?！保ń枰源_定農(nóng)田邊界范圍）。這再一次說

明幾何學的發(fā)生和發(fā)展與先民開墾農(nóng)田有密切關系。幾何學的起源部分，正是小學數(shù)學的中形的認識的內(nèi)容。圖形認識圖形計算圖形測量（計量單位）圖形拼組運行幾何史、游戲欣賞等與圖形幾何長度角度面積體積（容積）靜態(tài)動態(tài)生態(tài)線面角體點測量測量公式公式方位分合合分（2，3）（3，2）觀察物體二維三維物體知識體系范希爾夫婦關于“幾何思維”的觀點(一)視覺期─第零層次(二)分析期─第一層次(三)關系期或非形式演繹期─第二層次(四)形式演繹期─第三層次(五)嚴密性或公理性─第四層次范希爾夫婦關于“幾何思維”的觀點(一)視覺期─第零層次兒童是通過視覺觀察實物，由實物的輪廓來辨識形體或圖形。非標準的數(shù)學語言標準的數(shù)學語言滾一滾摸一摸疊一疊(二)分析期─第一層次此層次的兒童應該具有豐富的視覺辨識經(jīng)驗，能進一步觀察圖形構(gòu)成要素與圖形之間的關系，可以開始尋找出某一類圖形的共同性質(zhì)。(二)分析期─第一層次此層次的兒童應該具有豐富的視覺辨識經(jīng)驗，能進一步觀察圖形構(gòu)成要素與圖形之間的關系，可以開始尋找出某一類圖形的共同性質(zhì)。(二)分析期─第一層次此層次的兒童應該具有豐富的視覺辨識經(jīng)驗，能進一步觀察圖形構(gòu)成要素與圖形之間的關系，可以開始尋找出某一類圖形的共同性質(zhì)。四邊形四個角是直角四條邊都相等兩組對邊平行平行四邊形長方形正方形這樣的一組組概念鏈體現(xiàn)了數(shù)學內(nèi)涵與外延之間的反變關系，即某一數(shù)學概念內(nèi)涵的擴大必然導致其外延的縮小，其內(nèi)涵的減少必然導致其外延的擴大。(三)關系期或非形式演繹期─第二層次此層次的兒童已經(jīng)能掌握各種圖形的構(gòu)成要素，可以進一步探索圖形內(nèi)在屬性關系，以及不同類圖形之間的包含關系。這里演繹的意義是指在一個公設系統(tǒng)中去建立幾何理論，故而此層次的人們能用演繹邏輯證明定理，并建立相關定理的網(wǎng)脈結(jié)構(gòu)關系。(四)形式演繹期─第三層次(五)嚴密性或公理性─第四層次達到這個層次的人們，可以在不同的公設系統(tǒng)中建立定理，并分析或比較這些定

理的特性，例如：能區(qū)分歐氏幾何與非歐

幾何系統(tǒng)間的差異，也可以理解抽像的幾

何推理，甚至可以自創(chuàng)一套幾何公設系統(tǒng)。一般的人很難達到這個層次第三章 形的認識在幾何學里,沒有專為國王鋪設的大道?！猍古希臘]歐幾里得（約公元前330年～前275年）第一節(jié) 形的歷史第二節(jié) 形的度量第三節(jié) 幾何直觀第一節(jié) 形的歷史上帝永遠在進行幾何化?！?/p>

柏拉圖一、形成“形”意識二、進行經(jīng)驗抽象三、采用演繹論證一、形成“形”意識體面線（點）面體1.體的意識舊石器時期的石球新石器時期的陶球2.面、線的意識西安半坡時期陶器上的兩幅雙魚圖案青銅器上的花紋對圓的認識的再認識圓是一個簡單的平面圖形，與長方形、正方形、三角形等簡單的平面圖形相比，有其與眾不同之處。從外形看它是由一條曲線圍成的，從求周長與面積來看，要借助于一個特殊的比值——圓周率。圓，是抽象的，又是具體的。作為一種最基本的形狀，圓比其它形狀更常見，在生活中更無可替代。如汽車的輪子，只有唯一的形狀——圓形；可以轉(zhuǎn)動的鎖孔，也只有唯一的

形狀——圓形；時針、分針和秒針轉(zhuǎn)動一周的軌跡——也是

圓形……形狀特殊；畫法獨有；應用獨到。1.在人類的認識史上，圓是怎樣被我們逐步認識的？了解圓的認識歷史，可以給我們的教學以怎么樣的啟發(fā)？在人們的日常生活與生產(chǎn)中，有許多物品的某一個或幾個面做成圓形，它們各是利用了圓的什么特點？能否利用一些學生常見的典型物品的分析，逐步抽象圓的特征？能否以“問題探究為中心”，讓學生以一個發(fā)現(xiàn)者的角色，體驗“圓”的奧妙與神奇？對圓的教學的再追問對圓的教學的再設計在我們的頭腦里，圓永遠存在于兩個世界中：客觀世界中形象的圓和幾何意義上抽象的圓。從人類對圓的認識歷程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，人類在還沒有認識到幾何意義的圓之前，就對圓的特點有了充分地了解，并且以物化的形式表現(xiàn)了出來，影響著人們的生產(chǎn)與生活。而抽象到幾何圓形中的“圓”，完全去除了所有物化的東西，只留下了一條曲線（圓）、一個點（圓心）與兩組線段（半徑與直徑）的認識，使“圓”變得“蒼白”而“空洞”。基本思路：思路一：從純數(shù)學的視角來認識圓，然后用所習得的有關圓的知識來對現(xiàn)實世界中的圓進行解釋思路二：對現(xiàn)實世界中具有典型意義的圓進行研究，發(fā)現(xiàn)圓的特征，逐步提煉和認識抽象的圓。思路二：對現(xiàn)實世界中具有典型意義的圓進行研究，發(fā)現(xiàn)圓的特征，逐步提煉和認識抽象的圓。觀察：圓與其它圖形比較，有什么與眾不同之處？ 從比較中，在外形上認識圓的特征。研究一：車輪為什么要做成圓形？由現(xiàn)象的自然解釋到數(shù)學的本質(zhì)解釋。研究二：瓶蓋可以擰的瓶口為什么一定要做成圓形？ 從發(fā)現(xiàn)問題到數(shù)學原理探究。對圓形物體的研究中認識圓，把知識的獲得真實地“鑲嵌”在相關的事實情境中，使知識成為探究活動的“產(chǎn)品”。生活事例發(fā)現(xiàn)問題數(shù)學解釋理解生活出示：師問：這些圖形中哪一個是圓？師追問：圓與其它的幾個平面圖形相比，有什么與眾不同的地方？師提問：舉例說一說，在我們生活中哪些物品的面是圓形？師追問：哪些物品的面一定要做成圓形？車輪為什么都做成圓形呢?車軸車軸到地面距離Or圓心半徑車輪為什么都做成圓形呢?師再問：哪些物品的面一定要做成圓形？拔擰為什么可以擰的容器的瓶口一定要做成圓形？在圓中畫一條最長的線段。再畫一條最長的線段。益農(nóng)鎮(zhèn)小 俞東良二、進行經(jīng)驗推測進行經(jīng)驗抽象就是指人們通過對大量的具體幾何素材進行反復的感知與體驗，歸納與概括出更為一般的幾何關系，再通過實際的例子進行驗證與檢驗，并從中挖掘和發(fā)現(xiàn)更新的幾何關系。實驗幾何三角形的內(nèi)角和等于180度“圓周率”的近似值三角形的內(nèi)角和等于180度帕斯卡（1623－1662）F21證法１：過A作EF∥BA，∴∠B=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)E∠C=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBA三角形的內(nèi)角和等于1800.∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCB證法２：延長BC到D，過C作CE∥BA，∴

∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等)

A又∵∠1+∠2+∠ACB=180°三角形的內(nèi)角和等于1800.(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBE

A證法3：過A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE三角形的內(nèi)角和等于1800.了解課前有多少學生已經(jīng)知道這個結(jié)論；了解學生是通過什么途徑知道這個結(jié)論；設想讓學生建立長方形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和之間的聯(lián)系，豐富學生驗證結(jié)論的方法。三角形的內(nèi)角和預學單□學校及班□上城區(qū)山區(qū)利小學

403班杭附小

407班高小學

406班湖小學

403班□學生人數(shù)35人25人43人41人知道□人數(shù)22人15人39人34人人教版四上配套作業(yè)《課堂作業(yè)》第17頁了解學生預學后的學習狀況；發(fā)現(xiàn)學生預學后存在的問題。三角形的內(nèi)角和（課堂教學）1

452

8

7

3長方形的內(nèi)角和=∠1+∠2+∠3+∠46把圖形中相鄰兩邊的夾角稱為內(nèi)角。123321三角形的內(nèi)角和=與∠1810+°∠有2關+∠3小組合作要求：①說一說預學單中自己已想到的方法；②找一找是否還有更好的方法來驗證；③想一想如何將你們組的驗證方法展示給全班同學?！?】【1】1°的角112233中點中點120°35°25A

°50°6B0°

70°直等角三A腰三角形60°角形根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，已知其中兩個角的度數(shù)，可以求出第三個角。想一想：有沒有這樣的三角形，告訴我一個角，就能求出其他兩個角的度數(shù)？A120°A

B70°

B想一想：有沒有這樣的三角形，一個角都不知道，卻能求出三個角的度數(shù)？等腰直角三角形等邊三角形∠A=180°-120°-35°=25°∠B=180°-50°-70°=60°圓周率歷史上一個國家所算得的圓周率的準確程度，可以作為衡量這個國家當時數(shù)學發(fā)展水平的指標?！聡鴶?shù)學史家康托實驗時期

幾何時期

分析時期

計算機時期公元前200年周三徑一生：圓的周長是直徑的3.14倍物品名稱周長（厘米）直徑（厘米）圓的周長是直徑的倍數(shù)硬幣棋子測量要求：同桌合作，各測量出其中的一個物品的周長；測量測量結(jié)果用厘米做單位，保留一位小數(shù)；計算結(jié)果請用合適的方法表示。圓的周長記錄表周三徑一公元公元4圓之術(shù)間從19億位小數(shù)前200年

周三徑一割圓術(shù)……

正12288邊形3.105828

3.1326283.1415926與3.1415927割60左右……祖沖之

π徑一

3.105828

……

3.132628

……82年 德國數(shù)學家林德曼

無限不循環(huán)49年起2000多約是

周三18生：圓的周長是直徑的3.14倍三、采用演繹論證泰勒斯歐幾里得第一位幾何學家《幾何原本》1.《幾何原本》中有關平面圖形的定義點：1.點是沒有大小的；3.線的盡頭是點。線：2.線有長，無寬；6.面的邊界是線。面：5.面只有長和寬；7.平面為一種面，把直線放在它上面，保持平坦者。圖形：14.一條或幾條邊界轉(zhuǎn)成圖形。圓：15.圓是平面圖，從內(nèi)部某定點作直線，與邊界有相等距離。半圓：18.直徑與邊界間的圖形是半圓。①小學教材中只有名稱沒有定義①小學教材中只有名稱沒有定義直線圖形、多邊形：19.直線圍成的圖形叫直線圖形?！?。四條以上直線圍成的圖形稱為多邊形。斜三角形：20.……；（三角形中）三邊各不相等稱為斜三角形。正方形、長方形、菱形：22.四邊形中四條邊相等，且四個角都是直角稱為正方形；四個角是直角，邊不全相等者稱為長方形；四條邊相等，角不是直角者稱為菱形；……。卷2.1.相鄰邊夾直角的平行四邊形是長方形。扇形：卷3.10.從圓心作角，夾角二邊與圓圍成的圖形稱為扇形。②與小學材料的定義表達的形式不相同直線：4.直線為線的一種，在兩盡頭之間保持平坦者（4）。平角：9.二直線相遇成角，當共線時，稱為平角。直角、互相垂直：10.二直線相遇，如二角相等，稱為 直角；二直線互相垂直。鈍角：11.大于直角的角稱為鈍角。銳角：12.小于直角的角稱為銳角邊界（邊）：13.邊界是物體的邊緣。平行四邊形：22.四邊形中，……；對角相等、對邊相等，而邊不全相等，角也不是直角者稱為平行四邊形。

平行線：23.在同平面內(nèi)，二直線向兩方向無限延長，不論哪一方向它們都不相遇，稱為平行線。③與小學材料的定義相同或基本相同圓心：（從內(nèi)部某定點作直線，與邊界有相等距離。）16.這個定點稱為圓心。直徑：過圓心作直線，在邊界間的線段稱為直徑。直徑平分圓。圖形的高：卷6.4.從頂點到對邊所引垂線稱為圖形的高。三角形、四邊形：19.……。三條直線圍成者稱為三角形。四條直線圍成四邊形?！Ｈ切蔚姆诸悾?0.三角形中三邊都相等，稱為等邊三角形；有二邊相等稱為等腰三角形?！?。21.三角形中有一角為直角，稱為直角三角形；有一角為鈍角，稱為鈍角三角形；三個角都是銳角，稱為銳角三角形。2.《幾何原本》中立體幾何中的定義體：1.體有長、寬和高。2.體的邊界是面。圓錐：18.以直角三角形一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐?！瓐A柱：21.以長方形一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成圓柱。正方體：六個全等正方形拼成的體，稱為正方體。3.《幾何原本》中的公設與公理（1）公設①從一點到另一點只能作一直線；②線段(有限直線)可以無限地延長；③以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓；④凡是直角都相等；⑤同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于兩直角，則這兩條直線在這一側(cè)相交。3.《幾何原本》中的公設與公理（2）公理①等于同一量的量彼此相等。②等量加等量，所得和彼此相等。③等量減等量，所得差彼此相等。④彼此能夠重合的圖形，二者全等。⑤整體大于部分。墨翟(公元前468—公元前376)《墨經(jīng)》是我國戰(zhàn)國時期墨家思想的代表作，是由墨家思想的創(chuàng)始人墨翟(圖3-1-14)與他的弟子的集體著作，修成的時間在公元前400~公元前240年(吳文俊，1998，p.229)?！赌?jīng)》的內(nèi)容包含哲學、政法、經(jīng)濟、教育、辯學、邏輯、數(shù)學、物理等。在數(shù)學方面，在《墨子》的“經(jīng)上”、“經(jīng)上說”等篇中，給

出了許多幾何定義與命題。

下面列舉與《幾何原本》相

應的一些幾何定義。1.關于“點”的定義[經(jīng)上61]端，體之無序而最前者也。

[經(jīng)說上]端：是無同也。意思是說：所謂“端”，就是物體中排成序列的點中最前面的一點。物體中任一點與此點都不相同。這包含了《幾何原本》中關于點的第2個定義

(線的盡頭是點)，并賦予更廣闊的意義。2.關于“同長”的定義[經(jīng)上53]同長，以正相盡也。[經(jīng)說上]同：楗與框之同長也。意思是說：兩個物體的長度相互比較，正好一一對應，完全相等。就好像柜門的直木與門框之高等長一樣。這與公理①(等于同一量的量彼此相等)意思相仿。3.關于“中”的定義[經(jīng)上54]中，同長也。[經(jīng)說上]中：心。自是往相若也。這里的“中”指物體的對稱中心。意思是說：所謂線段的中點，就是到兩端長度相同的一點。它是線段的中心，從這一點往兩端距離相等。這是《幾何原本》第一卷第10個命題(一條線段可以被分成兩條相等的線段)的另一種說法。4.關于“圓”的定義[經(jīng)上58]圜，一中同長也。

[經(jīng)說上]圜，規(guī)與交也。這里的“圜”即圓，“中”即為圓心，意思是圓心到圓周上各點的線段長度相等。圓是用規(guī)畫出來的，并且起點與終點相交的圖形。這與《幾何原本》中的公設③相同。5.關于“正方形”的定義[經(jīng)上59]方，柱隅四權(quán)也。

[經(jīng)說上]方：矩寫交也。正方形的四邊稱為四“柱”，四角稱為四“隅”，“權(quán)”作“正”解，指邊正好相等，角都是直角。意思是說：所謂正方形，就是四條邊相等四個角都是直角的圖形。這與《幾何原本》中正方形的定義完全相同。6.關于“相交、重合、復合、包含”的定義[經(jīng)上52]攖，相得也。[經(jīng)說上]攖：尺與尺俱不盡，端與端俱盡。尺與端，或盡、或不盡。堅白之攖相盡，體攖不相盡。所謂“攖(yīng

）”，就是互相吻合為一?！皵t”根據(jù)具體情況有不同的意義：直線與直線相交，彼此都不能包含；點與點相疊，能完全重合。點與直線相接，點包含于線，但直線不能被這個點占滿。(這好比是)石質(zhì)之堅與石質(zhì)之白能存在于同一塊石頭中，但“堅”與“白”的性質(zhì)是兩種不同的性質(zhì)，不能相互包含。這里論述了兩直線、兩點或點與直線的相交后，兩者之間的集合關系。這種論述方法與《幾何原本》中“兩直線相遇”及“從直線上已知點作垂線”關于兩直線或點與直線關系的論述方法更基礎。7.關于“平行”的定義[經(jīng)上52]平，同高也。[經(jīng)說上]謂臺執(zhí)者也。若弟兄。所謂兩直線相平，就是兩線間的高都相等。就好像身材相同的兩兄弟所抬的物體與地面

相平一樣。這與《幾何原本》中命題：平行

線間的公垂線相等，意思相同。平行與垂直【浙教版----平行】1.下面圖形認識嗎？為什么叫平行四邊形？ABCD1.AB和CD平行2.想一個辦法來驗證生：可以把一條直線平移看是不是與別一條重合。CD

是AB的平行線

AB是

CD的平行線AB和CD互相平行不相交的兩條直線，叫平行線。平行線就是直線平移得到的直線?？纯撮L方體中有沒有垂直和平行的現(xiàn)象？ABCDEFGH1.AB和EF（

互相平行），AB和FB（

互相垂直）。AB和GH（

互相平行）。AB和CH（

不相交，但不平行）。校園里的平行與垂直1.判斷，有錯的請改正確。（3）如圖

ab（1）不相交的兩條直線叫平行線。

(

×

)（2）兩條直線相交，那么這兩條直線互相垂直。

(

×

),

直線a叫垂線，直線b叫垂線。

(

×

)在同一平面內(nèi)，成直角直線b的直線a的3.在網(wǎng)格圖中擺小棒,再填一填。（1）把兩根小棒都擺成與第三根小棒平行。這兩根小棒（

互相平行）兩條直線與第三條直線分別平行，這兩條直線也（互相平行

）？（2）把兩根小棒都擺成與第三根小棒垂直。這兩根小棒（互相平行）兩條直線與第三條直線分別垂直，這兩條直線就（互相平行）？今天的學習你有什么收獲？還想到了什么新問題？課堂總結(jié)A

BCDEFGH什么叫平行四邊形？什么叫梯形？第二節(jié) 形的度量米制屬于所有人和所有時代——[法]孔多塞（1743～1794）長度體積兩點之間的距離?！缎氯A詞典》一維空間的度量。（百度百科）長短用以度量平面或曲面上一塊區(qū)域大小。《辭?！访娣e物體的表面或封閉圖形的大小。 （新教材）大小用以度量空間區(qū)域大小的正數(shù)?！掇o海》物體所占空間的大小。

(教材）——張奠宙《小學教學》2014.9長度體積周長測量長度單位計算面積單位計算體積單位計算

面積度以身為“度”排黍成“度”辨音定“度”光波為“度”二、面積1.面積與面積單位物體的表面是一個二維的圖形，直觀地感覺它所占的區(qū)域具有一定的大小。例如，不同的樹葉除了可能形狀不同，也會有大小的區(qū)別。久而久之人們建立起了“大小”的觀念。當建立起物體表面的“大小”觀念之后，為了描述它的大小，需要用一個有著“大小”意義的“數(shù)”來表達，并稱這個數(shù)為圖形的面積。教師出示右面的七巧板，然后問：這幅七巧板有多大？第一，可以密。如果用作位去量，周會留出空白。第二，量方便。也就是，只要一個挨著一個入就可以了。如果是其他形狀，需要按照“一一倒”去放才可能密。第三，定科學。因正方形的各等，如果取

1個度位，其面定

1個面位。既足了數(shù)與形的一，又保持了前后定的一致性（即度位

面位

體位）。第四，形狀唯一。如面是1平方厘米的正方形只有唯一的一個。用其他形狀作面位，形狀往往不具唯一性?！浣饓眩宏P于面位的定探析，《小學青年教》2006年第5期，31。面積單位為什么用正方形？在比較中學習“面積與面積單位”——

《面積與面積單位》的教學反思與實踐長度體積周長測量長度單位計算面積單位計算體積單位計算

面積問題1：如何把面積概念與長度、周長概念進行比較，在比較中逐步抽象出面積的概念？問題2：如何讓學生感受到用正方形做為測量圖形面積的優(yōu)越性？問題3：如何在面積單位的描述中逐步感受到與長度單位之間的聯(lián)系？在比較中學習“面積與面積單位”教學目標：通過對不同的實物或圖形從“長度”、“周長”與“面積”這三個概念的比較，認識并理解面積概念。通過用不同的角度描述圖形面積，感受到統(tǒng)一面積單位的重要性，讓學生經(jīng)歷面積單位的形成過程，形成面積單位“平方厘米、平方分米和平方米”的大小觀念，體會到面積單位與長度單位間的聯(lián)系。通過本節(jié)課的學習，體會到數(shù)學在描述客觀事物的方法與作用，感受到數(shù)學學習的價值。一、在與“長度”的比較中引出“面積”二、在與周長及平面圖形的辨析理解面積的定義三、在解決問題中體驗面積單位的形成過程比一比，說一說黑板面比電視機屏幕面()。大紅筆比綠筆（

長

）。紅筆的（

長度）與綠筆的（

長度）在比較。黑板面的（

大小）和電視機屏幕的(

大小)在比較。一、在與“長度”的比較中引出“面積”面積前概念調(diào)查答案數(shù)據(jù)班正確描述和在比沒回答或其它人數(shù)百分比人數(shù)百分比人數(shù)百分比益二小（40人）2665％25％1230％任伯年小學（45人）3476％24％920％松小學（35人）2777％617％26％二、在與周長及平面圖形的辨析理解面積的定義辨析周長與面積辨析形的面3概括面積的定義封面

一周的長度是封面的周長。封面的大小

就是封面的面積。1.辨析周長與面積答案數(shù)據(jù)正確描述與“面”混淆沒回答或其它班人數(shù)百分比人數(shù)百分比人數(shù)百分比益二?。?0人）21人53％6人15％13人35％任伯年小學（45人）25人56％1人2％19人42％松小學（35人）20人57％8人23％7人20％①②③④⑤⑥下面哪些圖形有面積？什么樣的圖形有面積？涂色部分能分別表示它們的面積嗎？封閉圖形2.辨析圖形的面積六名學生剛好相反，認為③⑤圖形可以看出它的大小，兩名學生認為6個圖形都可以看出它的大小，其余學生全都認為①②④⑤四個圖形可以看出它的大小，而③⑤圖形不可以看出它的大小，占全體學生的95％，3.概括面積的定義教師概括學生記憶學生理解三、在解決問題中體驗面積單位的形成過程1.從描述七巧板中引出面積單位2.在與長度單位的比較中確定面積單位3.在多種感觀刺激中形成各面積單位觀念答案數(shù)據(jù)班寫出名稱寫成度位的沒回答或其它人數(shù)百分比人數(shù)百分比人數(shù)百分比益二小（40人）5人13％10人25％25人63％任伯年小學（45人）11人24％9人20％25人56％松小學（35人）10人29％7人20％18人51％2.把①號圖形看作1個單位，這幅七巧板有（ ）個這樣的單位。②③④⑥⑦①⑤3.把⑤號圖形看作1個單位，這幅七巧板有（）個這樣的單位。測量面積時首先要確定統(tǒng)一的面積單位。2

）號圖形的48⑤1.因需要引出面積單位（1）這幅七巧板中，（1

）號和（面積最大。說一說，這幅七巧板有多大？取邊長是多少的正方形作為面積單位的形狀？2.用操作選擇面積單位的形狀。選用什么圖形作為面積單位的形狀最合適呢？選用什么圖形作為面積單位的形狀最合適呢？取邊長是怎樣的正方形作為面積單位的形狀？3.用類推建立面積單位體系（3）為測量創(chuàng)造合適的面積單位用長度單位描述面積單位1平方厘米

1厘米經(jīng)變式拓展面積單位認識1平方分米邊長是1分米的正方形剪拼成其它圖形折疊成曲面長方形書本封面黑板面…………（1）一張郵票的面積是4（

）平方厘米一塊手帕的面積是4（

平方分米）一塊黑板長4（

米）,

面積是4（

平方米）一塊試驗田的面積是4（

平方千米）公頃(qǐng)4.在比較鞏固面積單位填上合適的單位名稱：這節(jié)課中你有什么收獲？你有什么新的問題？觀察下面的圖形，有什么發(fā)現(xiàn)？②③①④畝的認識【課程開發(fā)】二、直線形面積計算1.方形的面《九章算術(shù)》方田章第一題：今有田廣十五步，縱十六步。問：為田幾何？答曰：一畝。這是如何解答的呢？唐代數(shù)學家李淳風作了形象的解釋：有長方形田一畝。如果寬是15步，就沿長的方向分成15條，每條寬1步。長

是16步，又把田沿寬的方向分成16行，每行寬一步，長是

15步。經(jīng)過如此縱、橫分劃，把田分成240個正方形，每

塊面積都是一方步。1畝地的方步數(shù)正是正方形的個數(shù)，因此方田術(shù)取得驗證。從李淳風的解釋中我們推測，長方形的面積計算公式的推導并不是從單位面積的“拼組”中總結(jié)的，而應該是從對長方形的“分割”的過程中發(fā)現(xiàn)的。1厘米邊長是1厘米的正方形面積是1平方厘米。1厘米1厘米4厘米3厘米3厘米5厘米4厘米3厘米4×3＝12（平方厘米）3×3＝9（平方厘米）4厘米4厘米4×5＝20（平方厘米）

4×4＝16（平方厘米）5厘米5×2＝10（平方厘米）5米5米5×5＝25（平方米）1、計算下面各圖形的面積。2厘米6厘米3厘米6×3＝18（平方厘米）有兩塊菜地（如下圖），現(xiàn)在用同樣長的籬笆把其中一塊圍起來種大白菜，你會用籬笆圍哪塊菜地？5米3米4米4米4×4＝16（平方米）5×3＝15（平方米）2.平行四邊形的面積計算很可惜，在中外的數(shù)學古籍中筆者沒有查到平行四邊形的面積計算方法。但卻查到了一般四邊形的面積計算方法。因此我們猜測，在初始階段，我們的古人是否把平行四邊形

看成一般四邊形來計算面積的呢？北周數(shù)學家甄（字叔遵，535-566）所著的《五曹算》第1卷第14如下：今有四不等田，東三十五步，西四十五步，南二十五步，北十五步。問田幾何？答數(shù)：800步。解法：并東西得八十步，半之，得四十步。又并南北，得四十步，半之，得二十步。二位相乘，即得。平行四邊形的面積你能求出下面平行四邊形的面積嗎？方法1：（5+7）×2=24（平方厘米）；方法2：5×7=35（平方厘米）；方法3：3×7=21（平方厘米）。從課內(nèi)預學情況看，方法2出現(xiàn)最多，方法1比較少，而方法3基本沒有，可以看出學生對于平行四邊形的面積公式基本不知曉，較多停留在平行四邊形能拉成長方形，根據(jù)長方形面積等于長乘

寬，推導出平行四邊形面積等于底乘鄰邊這種錯誤的理解，教學

重點定位在評析方法2，引導出平行四邊形面積與高有關，并進行驗證。前概念量一量，算一算課內(nèi)預學后教底×鄰邊底×高一、打開推導的渠道學生驗證：驗證方法一：數(shù)格子驗證方法一：剪、移、拼師：誰來分享一下你們的驗證過程？（學生投影單子，講解過程，如果用剪、移、拼的方法，講解“我的發(fā)現(xiàn)”時注意講明這幾點：①沿著什么剪的？②轉(zhuǎn)化成什么圖形？③這個圖形和原來的平行四邊形之間有何聯(lián)系？④結(jié)論是什么？）師：現(xiàn)在看來，平行四邊形的面積用“底×高”來計算可能是對的。那么，我們來深入想一想，為什么平行四邊形的面積用“底×高”來計算?而用“底×鄰邊”不能算這個平行四邊形的面積，原因又在哪里？觀察黑板上的圖，請仔細想一想。從計算結(jié)果上直接排除“平行四邊形的面積=底×鄰邊”的假設，研究方向變?yōu)椤捌叫兴倪呅蔚拿娣e=底×高”的假設是否成立。目標指向也更為明確。二、初建公式的模型對比兩個轉(zhuǎn)化，讓學生在對比中明晰并不是所有的轉(zhuǎn)化都有效，要依據(jù)不同的問題有選擇地進行。課堂實錄片段：為什么同樣是轉(zhuǎn)化成長方形，這樣是不行的，這樣是可行的呢？這個轉(zhuǎn)化中，誰變了，誰沒變?（面積不變，周長變了）這個轉(zhuǎn)化中，誰又變了，誰又沒變?（面積變了，周長不變）那我們今天是在探究平行四邊形的面積，我們應該選擇哪種轉(zhuǎn)化？（面積不變，周長變了）看來，在運用轉(zhuǎn)化的方法時，我們要想清楚，轉(zhuǎn)化之后，變的是什么，不變的是什么。轉(zhuǎn)化補充面積不變，周長變了演示第一的格式，生獨立后兩反：方形的面可以用S=ah解決？正方形的面能用個公式解決？什么方形可以把兩條相乘，而平行四形不可以？：方形的和是互相垂直的，相當于底和高，而平行四形的兩條不是互相垂直的。四、擴充公式的外延練習1. 利用公式計算下面圖形的面積。（單位：厘米）10米10米9厘米6厘米12厘米8厘米練習2. 求出下面平行四邊形的面積。五、活動框架的拓展師：平行四邊形拉動可以變成長方形，那么，長方形拉動就可變成平行四邊形?，F(xiàn)在有一個長1O厘米、寬6厘米的長方形，拉動它，它會變成怎樣的平行四邊形?(課件呈現(xiàn)，學生觀察想象)生：底是10厘米，高是6厘米。師：你發(fā)現(xiàn)了什么?生：我發(fā)現(xiàn)高不斷變小，面積也在不斷變小。平行四邊形的面積和高有著緊密的聯(lián)系。師：在這個過程中，還有一樣東西也一直在變?你發(fā)現(xiàn)了嗎?引向鄰邊之間的夾角也一直在變，正因為角度的變化，才引起了面積的變化。教師告知學生，將來用兩條鄰邊的長度和這個角度，也可以計算平行四邊形的面

積。8厘米6厘米平行四邊形面積：8×6三角形面積：8×6÷23.三角形的面積計算《萊因得紙草書》第51題:有一塊三角形田，假使它的邊（高）是10亥特，底是4亥特。問：它的面積是多少？答：20（塞塔）。在巴比泥版：莫斯科珍品15073中：有一三角形，底長15，高是30。問：它的面積是多少？答：225。解法：三角形面積等于底與高乘積的一半?！毒耪滤阈g(shù)》方田章第25題：今有圭田，廣十二步，正縱二十一步。問：為田幾何？[1]答曰：一百二十六步。術(shù)曰：半廣以乘正縱。劉徽在《九章算術(shù)注》半廣者，以盈補虛為直田也。亦可半正縱以乘廣。按半廣乘縱，以取中平之數(shù)。故廣縱相乘為積步。畝法除之即得也。4.梯形的面積計算《萊因得紙草》第52題：如果有人對你說，梯形兩底長4亥特，6亥特，邊長（高）20亥特。問：梯形的面積是多少？答數(shù)：100塞塔。解法：把兩底相加得10，10的一半是5，這是為了得到長方形。5的20倍，得100塞塔。《九章算術(shù)》方田章今有斜田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正縱六十四步。問：為田幾何？答曰：九畝一百四十四步。（第27題）今有斜田，正廣六十五步，一畔縱一百步，一畔縱七十二步。問：為田幾何？答曰：二十三畝七十步。（第28題）等腰梯形又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正縱一百三十五步。問：為田幾何？答曰：四十五畝二百三十二步半。術(shù)曰：并踵舌而半之，以乘正縱。畝法而一。5.圓的面積計算小學數(shù)學教材中的五種直線圖形的面積計算，很早就有了與現(xiàn)代相同的面積計算公式，并且，在推導四邊形（包括平行四邊形）、三角形與梯形的面積計算公式時，創(chuàng)造了“出入相補”原理。有了這樣的經(jīng)驗，人們在推導圓的面積計算公式時，肯定也在思考，是否可以通過“出入相補”原理，把圓轉(zhuǎn)化成等積的長方形或正方形（通常被稱為“化圓為方”）。但人們發(fā)現(xiàn)，要完成這個轉(zhuǎn)化過程，并不是一件容易的事，因為圓是曲線圖形。因此，圓的面積計算公式的推導經(jīng)歷了一個較為漫長探索過程。(1)“估算思路”下的圓面積計算古埃及人的“化圓為方”《萊茵得紙草》第48題：已給圓田的直徑是9亥特，問：它的面積是多少：答數(shù)：64（塞塔）。解法：減去直徑的九分之一，即減去1，余數(shù)為8。8自乘，得64，所以所求面積是64塞塔。3.1605（2）古羅馬人的“化圓為方”oCD從已知正方形ABCD的中心O向邊AB引垂線OP，使OP=OA，并交AB于H，于HP上截取HK,使HK

= HP

。以OK為半徑畫圓，這個圓的面積等于。

正方形ABCD的面積。（3）古印度人的“化方為圓”公元前

5

或

4 世紀的《繩法經(jīng)》1.“估算思路”下的圓面積計算古埃及人的“化圓為方”（2）古羅馬人的“化圓為方”oCD（3）古印度人的“化方為圓”2.“極限思想”下的圓面積計算印度圓法3.“類比思想”下的圓面積計算《九章算術(shù)》方田章第31題、32題是求圓田面積的兩個題例：今有圓田，周三十步，徑十步，問為田幾何？答曰：七十五[方]步又有圓田，周一百八十一步，徑六十步三分步之一，問為田幾何？答曰：十一畝九十步十二分步之一術(shù)曰：半周半徑相乘得積步?！吨荀滤憬?jīng)》：“圓出于方，方出于矩，……”關注圖形公式本質(zhì)，提升數(shù)學思維水平——

以《圓的面積》教學為例你認為圓面積公式可以怎樣推導？你有什么困難嗎？前人數(shù)45人的面一定會和正方形有關系，愿意14人（31.1%）可以化，但不知從何入手11人（24.4%）無從下手，曲怎化成直？10人（22.2%）也可以使用、正方形面的推方法5人（11.1%）將分割、拼成、正方形5人（11.1%）學生方法1：把圓的四邊去掉變成正方形，但我們不知道這4個部分怎樣求？價值分析：學生沒有選擇長方形、平行四邊形和梯形，而是選擇了正方形，已經(jīng)意識到圓應該和一個邊長相等的圖形最接近。學生方法2：可以在圓上畫方塊，如果不足一個方塊可以用其他地方的方塊來補，但我們不知道怎樣補最合適？成近似的平行四邊形或長方形。我們的困惑：已有的面積計算公式推導的兩種基本思路：一是把圖形放到單位面積的方格紙上數(shù)出面積；二是通過切拼的方法轉(zhuǎn)化為已知面積計算公式的圖形。由于圓是由曲線圍成的，因此用上面的兩種方法求出圓的面積均有困難。人教版的教材中直接讓學生進行實驗來發(fā)現(xiàn)圓可以分割成同樣大小的扇形進行拼組，變?yōu)槭裁磿氲揭褕A這樣進行分割？拼組的思路只是轉(zhuǎn)化嗎？如果分的份數(shù)越多，每一份就會越小，拼成的圖形就會越接近于長方形。我們的思考圓面積

公式推導平行四邊形

面積公式推導轉(zhuǎn)化三角形\梯形面積公式推導測量面積與面積單位類比長方形面積公式推導轉(zhuǎn)化長方形r有限類比無限切拼有限切拼無限類比我們的設計?圓并不“圓”S=數(shù)方格估”半周乘半徑“45°角的妙用【例1】如圖所示，已知一個四邊形的兩條邊的長度（單位：厘米）和三個角的度數(shù)，求四邊形

ABCD的面積?！纠?】如圖（6），已知四邊形ABCD與四邊形CEFG均為正方形，大正方形ABCD的邊長是

5厘米，求陰影部分的面積?！纠?】 如下（8）所示，在一個大正方形中，有兩個陰影部分的小正方形。求大的一個陰影的小正方形的面與小的一個陰影的小正方形的面的比?！纠?】如圖所示，A、B、C為坐落在一條

南北走向的公路沿線上的三個汽車站。其中AB、BC的距離分別為3km和2km。在B站的正西方

有D處，測得∠ADC的度數(shù)是45°。已知三角形

ACD為一片開發(fā)區(qū)，其中水塘、建筑物及道路

面積為6.3平方千米（圖中的陰影部分），其余均為綠地。求出綠地的面積?！?/p>

△ACD?△EDC

∠ADC=45°∴

∠CDE=45°

∠ADE=90°AD=DE∴四邊形ADEF是正方形

點D、C、F處于同一直線上?！唷螪OP=∠AOP=Rt∠

OD=OA又∵∠DBC=Rt∠∴△ODP?△OAC

△BDC∽△BAP三、體積體積就是對“物體”大小的量度。體積的計量單位在我國稱為“量”。在現(xiàn)代，體積單位的確定與長度單位有著密切的聯(lián)系：棱長分別是1厘米、1分米和1米的立方體，它們的體積分別是1立方厘米、1立方分米和1立方米，而容積單位1毫升與1升分別與1立方厘米和1立方分米相當。有了這一種聯(lián)系，我們很容易建立起這些體積單位的觀念，也很容易地推導出各個單位之間的進率。但是，相對于我們現(xiàn)在學習的幾個體積或容積單位而言，我國古代的體積單位與容積單位要豐富得多，如鐘、釜（fǔ）、豆、斛(hú)、龠（yuè）等各種器皿或樂器的名稱都曾經(jīng)做過體積單位的名稱。體積單位也經(jīng)歷了一個如長度單位一樣的發(fā)展歷程。量以身為“度”制器定“量”以度審“量”科學測“量”成語中的度量衡【課程開發(fā)】第三章 幾何直觀數(shù)學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上。—— M.克萊因直就是借助于、察、或比想，所生的事物關系直接的感知與，而幾何直是借助于到的或想到的幾何形的形象關系生數(shù)量關系的直感知。借助幾何形的直性，把抽象形象化，有助于探索解決的思路，果，在整個數(shù)學學程中都著重要作用。在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力

和模型思想。為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課

程還要特別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用?！墩n程標準》（2011版）“課程設計理念”：圖形與幾何認知對象（特征、形狀、大小、關系、運動、變換……）基礎 應用思維工具（思考、分析與解決問題）幾何直觀的特點：1、透過現(xiàn)象看到本質(zhì)（揭示實質(zhì)，不求華麗）；2、清晰反映事物之間的結(jié)構(gòu)與數(shù)量關系。幾何直觀的能力構(gòu)成：圖形知識與空間觀念；不經(jīng)充分推理而對事物的本質(zhì)結(jié)構(gòu)或全局特征的把握與洞察能力；邏輯推理與合情推理能力；數(shù)形結(jié)合的能力。小學數(shù)學的特點內(nèi)容呈現(xiàn)與思維方式：直觀、形象知識結(jié)論的得出常常來自于合情推理（猜想、聯(lián)想、不完全歸納法……）教材對概念常采用描述性定義或沒有定義教材數(shù)形結(jié)合方式單一——情境圖、線段圖；數(shù)形結(jié)合基于靜態(tài)的圖形大小的表述，指向

于相關計算（周長、面積、體積等）學生的知識經(jīng)驗與理解能力有限幾何直觀對經(jīng)歷過程、促進理解、拓展方法、豐富經(jīng)驗有重要意義。幾何直觀與數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合：重要的數(shù)學思想，數(shù)與形的互助互譯，是雙向的。數(shù)形以形助數(shù)以數(shù)解形幾何直觀：分析、解決數(shù)學問題的重要策略方法，利用圖形直觀地描述和分析數(shù)學問題，是單向的。形的基本元素是點、線、面、體，它們都可以獨立或綜合地應用在畫意之中。再加上與形相近的表格正好合成五大幾何直觀的基本策略。一、點的幾何直觀1.用點記數(shù)一、點的幾何直觀2.用點記錄斐波那契數(shù)列1張桌子1個人

1個蘋果……234……自然數(shù):表示物體個數(shù)古埃及 古巴比倫瑪雅 中國……1排桌子1群人1筐蘋果……1……二、線的幾何直觀線的幾何直觀，也叫做畫線段圖，用線段表示某一種數(shù)量，線段的長度表示數(shù)量的多少，線段長度間的關系表示數(shù)量關系，從而直觀地顯示題意，以便尋求已知條件和問題之間的聯(lián)系。線的幾何直觀往往可以與點的幾何直觀相聯(lián)系。點表示“事物”，線表示“事物”之間的關系。用這種直觀可以說明不能計算、用語言表述又十分困難的數(shù)學問題。1.拉姆賽理論之“六人相識問題”任何一個集會、聚會或者宴會，參加者都是四面八方來的人，兩人

可能相互認識或相互不認識，拉姆

賽的定理是講，如果集會的總?cè)藬?shù)

等于或超過6個人，那么其中至少有

3人，這3個人互相都認識或者都不

認識。請對上面的結(jié)論做出解釋。3.斯圖姆之輪船相遇問題一次，法國數(shù)學家斯圖姆去參加一個國際學術(shù)會議，一位朋友向他請教了如下一個問題：每天中午有一艘輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛，輪船在途中均要航行七天七夜，試問，每條從哈佛開出后的輪船在到達紐約前能遇上幾艘從紐約開來的輪船？每天中午有一艘輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛，輪船在途中均要航行七天七夜，試問，每條從哈佛開出后的輪船在到達紐約前能遇上幾艘從紐約開來的輪船？甲、乙兩人在一條長30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米。如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，當他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？甲行一個全程用30÷1=30秒，乙行一個全程用30÷0.6=50秒PISA測試題時間起點0下面的曲線表示的是汽車在行駛哪一個跑道的運動情況。速度三、面的幾何直觀“點”是0維空間，一個點可以表示一個單位數(shù)量；“線”表示一維空間，可以反映出數(shù)量的多少（或點與點之間的關系），面是二維空間，它既可以表示大小又可以表示數(shù)量間的關系。如矩形的面積可以用來表示兩個量之間乘除關系，韋恩圖表示量與量之間的重疊或并列關系，當然也具有與線段圖同樣的意義，只是用矩形圖表示后，能做到更加直觀形象。1.“雞兔同籠”問題今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？2.維恩圖3.托爾斯泰的割草問題一組割草人，要把兩片草地割完。草地A的面積是草地B的2倍.上半天大家都在草地A上工作，午后分成兩組，一半人在草地A上工作，到傍晚正好

割完。另一半人在草地B上割草，到

傍晚時還剩一小塊，這一小塊只要留下一個人第二天正好割完，問這組割草人共有幾人？（假設每個割草人的割草速度相同）一組割草人，要把兩片草地割完。草地A的面積是草地B的2倍.上半天大家都在草地A上工作，午后分成兩組，一半人在草地A上工作，到傍晚正好割完。另一半人在草地B上割草，到傍晚時還剩一小塊，這一小塊只要留下一個人第二天正好割完，問這組割草人共有幾人？（假設每個割草人的割草速度相同）商不變性質(zhì)1、計算：16÷8=2（16×2）÷（8×2）=2（16÷2）÷（8÷2）=2……2、猜想：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大相同的倍數(shù)，商不變；被除數(shù)與除數(shù)同時縮小到原來的幾分之一，商不變。

3、初步驗證：其他的倍數(shù)行不行？（16×6）÷（8×6）=2（16÷8）÷（8÷8）=2……4、再次驗證：其他算式行不行？14÷2=715÷3=5（14÷2）÷（2÷2）=7……（15×4）÷（3×4）=5……8÷4=2（8÷3）÷（4÷3）=2……84四、體的幾何直觀1859年，英國數(shù)學家哈密頓在一個市場上公布了一個有趣的數(shù)學問題，不少人為它絞盡腦汁。一個旅行家要瀏覽地球上的20個城市，而每個城市有三條路與毗鄰的城市連接。旅行家每個城市都要去，但每個城