第十一章立體幾何初步

11.4空間中的垂直關系

11.4.1直線與平面垂直

知識梳理

1.直線與直線所成的角

一般地，如果。，b是空間中的兩條異面直線，過空間中任意一點，分別作與6平行或重合的

直線"，b',則相與〃所成角的大小，稱為異面直線。與b所成角的大小.

規(guī)定空間中兩條平行直線所成角的大小為0°,兩條直線所成的角也稱為這兩條直線的夾角.特別

地，空間中兩條直線/,加所成角的大小為90。時，稱/與根垂直，記作/_L根.

2.直線與平面垂直的定義

文字語言圖形語言符號語言

如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直1

lA_a=VmUa,

線/與平面a互相垂直，直線/叫做平面a的垂線，平面

7lA_m.

a叫做直線/的垂面，它們唯一的公共點尸叫做垂足

3.直線與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩

條相交直線垂直，則這條直線與

這個平面垂直

4.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言如果兩條直線垂直于同一個平面，那么兩條直線平行

/Xa

符號語言，=/〃m

im

圖形語言匚7

常見考點

考點一判斷線面垂直

典例L以下哪個條件能判斷直線/與平面a垂直（）

A.直線/與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直B.直線/與平面a內(nèi)兩條平行直線垂直

C.直線/與平面a內(nèi)兩條直線垂直D.直線7與平面a內(nèi)兩條相交直線垂直

變式11.一條直線垂直于一個平面內(nèi)的下列各種情況：

①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊.

其中能保證該直線與平面垂直的是

A.①③B.②C.②④D.①②③

變式12.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在的平面的位置關系是（）

A.垂直B.斜交C.平行D.在平面內(nèi)

變式13.已知相，“為兩條不同的直線,%尸為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

A.mua,nua,mH/?,〃〃(3aII(3B.n/1a=mLa

C.a11/3,mua、nu(3=mlInD.m1a,niLnnn//a

考點二證明線面垂直

典例2.如圖，在正方體ABCD-A4G2中,E,尸分別是棱8?,耳8的中點，求證：C尸，平面

EAB.

變式21.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A3CO是菱形，且B4=PC,判斷直線AC與平面P3O

是否垂直，并說明理由.

變式22.如圖，在三棱柱ABC-AAC中，BCG為正三角形，ACLBC,AC；=2血,AG=胴=2，

P為B用的中點，證明：CG，平面AGP

變式23.如圖，在四棱錐P-4BCD中，ABCD,ADLCD,AD!IBC,PA^AD^CD=2,BC=3.E

PF1

為P。的中點，點F在PC上，5.-=-,求證：CD,平面01D

D

BC

考點三根據(jù)線面垂直證明線線垂直

典例3.所有棱長均相等的三棱錐稱為正四面體，如圖，在正四面體A-BC。中，求證：ABLCD.

A

變式31.如圖所示，ABC在平面a內(nèi)，/B4C=90。且于A,求證：ABLPC.

變式32.如圖所示，?是邊長為1的正六邊形ABCDE/所在平面外一點，PA=1,P在平面ABC內(nèi)

的射影為斯的中點。.證明戶.

變式33.如圖，在三棱錐"BC中，CDLAB,垂足為D,P。，底面ABC,垂足為0,且。在CD

上，求證：ABYPC.

考點四根據(jù)線面垂直確定點所在位置

典例4.如圖，四棱柱ABCD-AAG2的底面四邊形ABCD是菱形,且ZC,CB=ZQCD=ZBCD=60°,

當岸■的值為多少時，4^平面和8。？

變式41.如圖，在單位正方體AB。-A片CQ中，瓦尸分別是的中點.

(1)求證：瓦V/平面第力2；

(2)在線段AB上是否存在點G,使EG,平面43和？若存在，求點G到平面A3CD的距離；若不

存在，請說明理由.

變式42.如圖，平行六面體4BC。-A0cQ的底面ABC。是菱形，且NC。/?==4BCD=。.

(1)求證：QC1BD.

CD

(2)當否的值為多少時，4^平面6瓦)？請給出證明.

變式43.如圖1,在R/AABC中，ZC=90°,D,E分別為AC,AB的中點，點P是線段C。上的

一點，將A4DE沿DE折起到的位置，使如圖2.

(1)證明：\F1BE.

(2)線段/?上是否存在點0,使AC,平面。EQ?若存在，求出笑的值；若不存在，說明理由.

鞏固練習

練習一判斷線面垂直

1.設/,加是兩條不同直線，a,A是兩個不同的平面，則下面命題正確的是（）

A.若/J_〃z,mlla,則/_LaB.若〃/￡,a，/3,l_La

C.若mua,則/_LaD.若I工B,m±/3,m±a,則/_La

2.如圖，正方形A5CO中，E,歹分別是BC,CD的中點，G是的中點，現(xiàn)在沿AE,Ab及

把這個正方形折成一個空間圖形，使C,。三點重合，重合后的點記為“，那么，在這個空

A.AHLZkEFH所在平面B.所在平面

C.所在平面D.HGLZXAEN所在平面

3.已知直線a,b和平面a,下列推論錯誤的是（）

A.a±a,bua=aLbB.a//b,a_Lanb_L（z

C.aLb>b，a=alla或auaD.alia,bua=aHb

4.如圖，將一張三角形紙片沿著8C邊上的高AO翻折后豎立在桌面上，則折痕A。所在直線與桌

面a所成的角等于（）

A.150°B.135°C.90°D.60°

練習二證明線面垂直

5.如圖，四棱錐P—A8CD的底面是矩形，平面ABC。，E,尸分別AB,P。的中點，且弘

=AD.

P,

(1)求證：/平面PEC；

(2)求證：AF±WPCD.

6.如圖，在三棱臺ABC—DEb中，平面8CFE，平面A8C,zACB=90°,BE=EF=FC=1,BC

=2.求證：B/，平面ACFD

7.如圖所示，力以是圓柱的母線，48是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于4B的任意一點,

44=AB=2.求證:8。，平面AiAC.

8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA=PD,ABIICD,CD^AD,CD=2AB,點E為PC的中點,

且BE1平面尸CD.求證：CD,平面PAD；

練習三根據(jù)線面垂直證明線線垂直

9.如圖，在直三棱柱A6C4SG中，ZBAC=90°,AB^AC,。是3C的中點，點E在棱85上

運動.證明：AD1C1E.

JT._

10.圖1是一ABC,AC=2BC=6,ZACB=-,D、E分別是邊AC、AB上的兩點，且BC=3M,

TT

將.血＞沿中折起使得NADC=§,如圖2,證明：圖2中，ACVED.

E/—

11.已知圓柱的軸截面A3C。是正方形，點E在底面圓周上，AFX.DE,尸是垂足，求證：AFA.BD.

D

12.如圖，已知在正方體ABC。-4月中，E為AG的中點.求證：CELBD.

練習四根據(jù)線面垂直確定點所在位置

13.如圖，在正方體ABCD-A4G〃中，ADl]\AiD=E,CD,CiD=F.

(1)求證：EF±BD；

(2)在線段BG上，是否存在點a,使得平面沏？并說明理由.

14.如圖，在四棱錐RWCD中，ABLAD,CD±AD,以，平面A3CD,PA=AD