第四單元比【思維導(dǎo)圖+知識點(diǎn)講解+鞏固練習(xí)】思維導(dǎo)圖知識點(diǎn)講解知識點(diǎn)一：比的意義1.比的概念：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。也就是說，比表示兩個(gè)數(shù)之間的相除關(guān)系。寫作形式：用“:”（比號）連接兩個(gè)數(shù)，如a:b，讀作“a比b”。例如：6÷4可以寫成6:4或64（分?jǐn)?shù)形式表示比時(shí)，仍讀作“6比4”2.比的意義：（1）表示同類量的比：反映兩個(gè)同類量之間的倍數(shù)關(guān)系。例如：六(1)班有男生20人，女生25人，男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是20:25，表示男生人數(shù)是女生人數(shù)的2025（2）表示不同類量的比：得到一個(gè)新的量。例如：一輛汽車2小時(shí)行駛100千米，路程與時(shí)間的比是100:2，比值是50，表示汽車的速度。易錯(cuò)點(diǎn)提示：1.混淆“比”和“比值”：比表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，如3:2；比值是比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，是一個(gè)具體的數(shù)（可以是整數(shù)、分?jǐn)?shù)或小數(shù)），如3:2的比值是1.5或322.比的后項(xiàng)不能為0：因?yàn)楸鹊暮箜?xiàng)相當(dāng)于除法中的除數(shù)，分?jǐn)?shù)中的分母，除數(shù)和分母不能為0。體育比賽中的“2:0”等，只是一種計(jì)分形式，不表示數(shù)學(xué)意義上的比。3.不同類量的比要具有實(shí)際意義：不是任意兩個(gè)數(shù)量都能相比。例如，“小明的身高150厘米”和“他的體重40千克”，這兩個(gè)量的比就沒有實(shí)際意義。知識點(diǎn)二：比的各部分名稱1.比的組成：在一個(gè)比中，比號前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。例如：在6:4=6÷4=1.5中，6是前項(xiàng)，“:”是比號，4是后項(xiàng)，1.5是比值。2.比與除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別：比前項(xiàng)比號(:)后項(xiàng)(不能為0)比值(表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系)除法被除數(shù)除號(÷)除數(shù)(不能為0)商(表示一種運(yùn)算結(jié)果)分?jǐn)?shù)分子分?jǐn)?shù)線(-)分母(不能為0)分?jǐn)?shù)值(表示一個(gè)數(shù))聯(lián)系：a:b=a÷b=a易錯(cuò)點(diǎn)提示：1.混淆比、除法和分?jǐn)?shù)的意義：雖然它們在數(shù)值上有聯(lián)系，但意義不同。比強(qiáng)調(diào)兩個(gè)量的關(guān)系，除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)。2.比號與冒號的區(qū)別：書寫比號時(shí)，要寫在兩個(gè)數(shù)中間，占一個(gè)字符的位置，不要寫成漢語中的冒號（如“：”與“:”在某些字體中相似，但意義和用法不同）。知識點(diǎn)三：比的基本性質(zhì)1.比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。字母表示：若a:b=k，則(a×m):(b×m)=k，(a÷m):(b÷m)=k(其中m≠0,b≠0)。2.比的基本性質(zhì)的應(yīng)用：（1）化簡比（2）統(tǒng)一比的前項(xiàng)或后項(xiàng)易錯(cuò)點(diǎn)提示：1.忘記“0除外”：同時(shí)乘或除以的那個(gè)數(shù)不能是0，因?yàn)?做除數(shù)無意義。2.只乘或只除前項(xiàng)或后項(xiàng)：必須是前項(xiàng)和后項(xiàng)“同時(shí)”進(jìn)行相同的運(yùn)算。3.與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、商不變的性質(zhì)混淆：它們的實(shí)質(zhì)是相同的，但應(yīng)用的對象不同，要注意區(qū)分。知識點(diǎn)四：化簡比1.最簡整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)（即前項(xiàng)和后項(xiàng)的最大公因數(shù)是1），這樣的比叫做最簡整數(shù)比。例如：3:4，5:1，7:2都是最簡整數(shù)比；而6:8（可化簡為3:4），12:12.化簡比的方法：（1）整數(shù)比化簡：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)。例如：18:24=(18÷6):(24÷6)=3:4（2）分?jǐn)?shù)比化簡：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘它們分母的最小公倍數(shù)，轉(zhuǎn)化成整數(shù)比，再進(jìn)行化簡；或者利用求比值的方法，前項(xiàng)除以后項(xiàng)，得到最簡分?jǐn)?shù)形式，再寫成比的形式。例如：23:45=(23×15):(45×15)=10:12=5:6或23（3）小數(shù)比化簡：先把比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)（一般是10、100、1000...），轉(zhuǎn)化成整數(shù)比，再按整數(shù)比的方法化簡。例如：0.75:1.2=(0.75×100):(1.2×100)=75:120=(75÷15):(120÷15)=5:8（4）帶單位的比化簡：如果前項(xiàng)和后項(xiàng)的單位不同，要先統(tǒng)一單位，再進(jìn)行化簡。例如：2米:150厘米=200厘米:150厘米=200:150=4:3易錯(cuò)點(diǎn)提示：1.化簡比與求比值混淆：（1）化簡比的結(jié)果必須是一個(gè)比，而且要化成最簡整數(shù)比。（2）求比值的結(jié)果是一個(gè)數(shù)（整數(shù)、小數(shù)或分?jǐn)?shù)）。例如：化簡比4:8=1:2(結(jié)果是比)；求比值4:8=4÷8=0.5或12(結(jié)果是數(shù))2.分?jǐn)?shù)比化簡時(shí)直接約分：例如34:910，不能直接約分為14:310，而應(yīng)先找到分母3.小數(shù)比化簡時(shí)小數(shù)點(diǎn)處理不當(dāng)：例如0.25:1.5，應(yīng)先都擴(kuò)大100倍變?yōu)?5:150，再化簡，而不是只擴(kuò)大10倍。知識點(diǎn)五：比的應(yīng)用——按比分配1.按比分配的意義：把一個(gè)數(shù)量按照一定的比進(jìn)行分配，這種分配方法叫做按比分配。2.按比分配問題的特征：已知總量和各部分量的比，求各部分量是多少。3.解題方法：（1）方法一（歸一法）：①先求出總份數(shù)：把比的前項(xiàng)和后項(xiàng)相加。②再求出每份是多少：總量÷總份數(shù)。③最后求出各部分量：每份的量×各部分對應(yīng)的份數(shù)。（2）方法二（分?jǐn)?shù)法）：①先求出總份數(shù)：把比的前項(xiàng)和后項(xiàng)相加。②再求出各部分量占總量的幾分之幾：部分量=總量×(該部分份數(shù)/總份數(shù))③最后用總量乘以各部分對應(yīng)的分率，求出各部分量。例如：學(xué)校把70棵樹的種植任務(wù)按照六年級三個(gè)班的人數(shù)分配給各班，一班有46人，二班有44人，三班有50人。三個(gè)班各應(yīng)植樹多少棵？分析：人數(shù)比就是植樹棵數(shù)比，即46:44:50，可先化簡為23:22:25。總份數(shù)：23+22+25=70方法一：每份：70÷70=1(棵)一班：23×1=23(棵)二班：22×1=22(棵)三班：25×1=25(棵)方法二：一班：70×2370=23(棵二班：70×2270=22(棵三班：70×2570=25(棵易錯(cuò)點(diǎn)提示：1.分配前未化簡比：如果給出的比不是最簡整數(shù)比，應(yīng)先化簡，再進(jìn)行分配，可以使計(jì)算更簡便。2.混淆“份數(shù)”與“具體數(shù)量”：按比分配中的“比”指的是份數(shù)關(guān)系，不是具體數(shù)量。3.總量與比不對應(yīng)：確保所分配的總量與所給的比是對應(yīng)的。例如，給了“甲:乙=3:2”，總量就應(yīng)該是甲乙之和。4.計(jì)算錯(cuò)誤：在進(jìn)行分?jǐn)?shù)乘法或除法時(shí)容易出錯(cuò)，要細(xì)心計(jì)算。特別是當(dāng)總量不能被總份數(shù)整除時(shí)，用分?jǐn)?shù)法可能更直接。鞏固練習(xí)一、填空題1．“雙十一”期間某手機(jī)降價(jià)110，把看作單位“1”，現(xiàn)價(jià)與原價(jià)的比是2．甲車4小時(shí)行180千米，乙車6小時(shí)走330千米。那么甲車和乙車行駛的時(shí)間比是，路程比是，速度比是。3．把56:89化為最簡的整數(shù)比是4．58=:40=(5．一個(gè)長方形的舞蹈室，周長是40米，長與寬的比是3:2，這個(gè)舞蹈室的面積是平方米。6．一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比是1:2:3，這個(gè)三角形最大的內(nèi)角是°，這是一個(gè)三角形。7．某車間職工人數(shù)在40到50之間，其中男職工人數(shù)和女職工人數(shù)的比是5：6，這個(gè)車間有男職工人，女職工人。8．蜂蜜和水按1：9調(diào)制成蜂蜜水?，F(xiàn)在有50mL蜂蜜，需兌mL的水才能配制成這種蜂蜜水；若要沖兌300mL蜂蜜水，需要蜂蜜mL。9．體育室有30根跳繩，按人數(shù)分配給六(1)班的男、女同學(xué)。男同學(xué)有27人，女同學(xué)有18人。男同學(xué)一共分得根跳繩，女同學(xué)一共分得根跳繩。10．《詩經(jīng)》是中國古代最早的一部詩歌總集，共305篇。詩經(jīng)在內(nèi)容上分為《風(fēng)》《雅》《頌》三個(gè)部分，其中《雅》占總篇數(shù)的2161，《風(fēng)》與《頌》篇數(shù)的比為4：1，詩經(jīng)中的《風(fēng)》有二、判斷題11．比的后項(xiàng)可以是任意整數(shù)。（）12．3：0.6化成最簡整數(shù)比是5。（）13．楊樹的棵數(shù)比柳樹少2714．在18：16中，將比的前項(xiàng)除以2，要使比值不變，比的后項(xiàng)應(yīng)乘2。（）15．大小兩個(gè)正方體的棱長比是3：2，那么它們的體積比是9：4。（）三、選擇題16．下面哪個(gè)比的比值不等于25。（）A．2：5 B．0.6：1.5 C．58：117．一個(gè)活動(dòng)場所有50人，其中一部分人戴著口罩，下面的比中，戴口罩的人數(shù)和沒戴口罩的人數(shù)比不可能是（）。A．7：3 B．13：12 C．3：2 D．4：318．如果一個(gè)比的前項(xiàng)擴(kuò)大到原來的6倍，后項(xiàng)縮小到原來的12，那么這個(gè)比的比值就比原來（）A．?dāng)U大3倍 B．?dāng)U大4倍 C．?dāng)U大8倍 D．?dāng)U大12倍19．男女生人數(shù)的比是為4：5，已知男女生共有180人，則男生比女生少（）人。A．45 B．20 C．36 D．4020．學(xué)校買來一些圖書，按照一定的比例分配給三個(gè)班，三個(gè)班分到的圖書本數(shù)比是2：3：4，學(xué)?？赡苜I（）。A．160 B．170 C．270 D．190四、計(jì)算題21．化簡比。（1）916：34 （2）78：52 22．求比值。（1）54：72 （2）0.6：0.16 （3）0.08：1五、操作題23．在下圖中畫一個(gè)長方形，使長方形的周長是18cm，長和寬的比為2：1。（先計(jì)算再畫圖）（每一格的邊長為1cm）

六、解決問題24．盒子里有若干個(gè)紅球、白球和黃球，已知紅球和白球的個(gè)數(shù)比是3∶2，白球與黃球的個(gè)數(shù)比是3∶4，黃球比白球多12個(gè)，盒子里一共有多少個(gè)球？25．妙妙給家里準(zhǔn)備了軟糖拼盤，一共有44顆軟糖。葡萄味和玉米味軟糖的總數(shù)量與牛奶味軟糖的數(shù)量之比是3：1，葡萄味軟糖比玉米味軟糖多7顆，三種口味的軟糖各有多少顆?26．徽杭古道是一條著名的古道，具有豐厚的歷史文化底蘊(yùn)。市政公司決定對徽杭古道全路段進(jìn)行修整，第一天修整了32027．火藥是我國古代的四大發(fā)明之一，一批火藥由木炭、硝石、硫磺按3∶15：2的比配置而成，硝石比木炭多用了24千克，配置這批火藥木炭、硝石、硫磺各用了多少千克？28．為了鍛煉大家的動(dòng)手操作能力，活動(dòng)課上老師發(fā)給每個(gè)小組一根長240cm的鐵絲，要求大家做一個(gè)長方體框架，第一小組計(jì)劃做一個(gè)長、寬、高之比是7：4：4的長方體框架，這個(gè)長方體的體積是多少?29．“口袋公園”是利用城市閑置地，因地制宜打造的市民生活休閑娛樂空間。某口袋公園規(guī)劃了一個(gè)直角三角形的文化展區(qū)。該文化展區(qū)最長的邊為25m，且三條邊的長度比為3：4：5，這個(gè)文化展區(qū)的面積是多少平方米?30．周末，李叔叔早上8點(diǎn)開車從甲城出發(fā)前往乙城，到上午11點(diǎn)時(shí)，已行的路程和剩下的路程比是3：5，繼續(xù)前行120千米后，已行的路程是剩下路程的45

參考答案1．原價(jià)；9：102．2∶3；6∶11；9∶113．15：16；15164．25；15；4；0.6255．966．90；直角7．20；248．450；309．18；1210．16011．錯(cuò)誤12．錯(cuò)誤13．錯(cuò)誤14．錯(cuò)誤15．錯(cuò)誤16．C17．D18．D19．B20．C21．（1）解：916：34

=（916×16）：（34×16）

=9：12（2）解：78：52

=（78÷26）：（52÷26）

=3：2（3）解：1.42：0.72

=（1.42÷0.02）：（0.72÷0.02）

=71：3622．（1）54：72=54÷72=54=3（2）0.6：0.16=0.6÷0.16=60=15（3）0.08：1=8100÷=8100=24=0.2423．解：長方形長寬之和18÷2=9（厘米）

長：9×22+1=9×23=6（厘米）

寬：9-6=3（厘米）24．解：白球：12÷（4－3）×3＝36（個(gè)）

黃球：36＋12＝48（個(gè)）

紅球：36÷2×3＝54（個(gè)）

36＋48＋54＝138（個(gè)）

答：盒子里一共有138個(gè)球。25．解：葡萄味和玉米味軟糖的總數(shù)量：44×33+1=33（顆）

玉米味軟糖的數(shù)量：（33-7）÷2=13（顆）

葡萄味軟糖的數(shù)量：33-13=20（顆）

牛奶味軟糖的數(shù)量：44-33=11（顆）

26．解：兩天共修整：1全長為：2÷1答：徽杭古道全路段長是20千米。27．解：根據(jù)題意，可得

24÷(15-3)=2(千克)使用木炭：2×3=6(千克)使用硝石：2×15=30(千克)使用硫磺：2×2=4(