黃浦區(qū)2023學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期終調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷2024.06考生注意：1．每位考生應(yīng)同時(shí)收到試卷和答題卷兩份材料，解答必須在答題卷上進(jìn)行，寫在試卷上的解答一律無效；2．答卷前，考生務(wù)必將姓名等相關(guān)信息在答題卷上填寫清楚；3．本試卷共21道試題，滿分100分；考試時(shí)間90分鐘．一、填空題（本大題共有12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.若扇形的圓心角為，半徑為4，則其弧長(zhǎng)為___________．【答案】【解析】【分析】代入弧長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】扇形弧長(zhǎng).故答案為：2.已知向量，設(shè)，向量，若，則___________．【答案】1【解析】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示列方程即可求得.【詳解】由，且可得，解得.故答案：13.若，則___________．【答案】##0.5【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】，則，故答案為：.4.在梯形中，，設(shè)，若用的線性組合表示，則___________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可得到答案.【詳解】，則，則，故答案為：.5.若，則___________．【答案】##【解析】【分析】將條件等式兩邊平方，再根據(jù)二倍角的正弦公式，即可求解.【詳解】由，兩邊平方后得，即，則.故答案為：6.若向量，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示即可計(jì)算得出結(jié)果.詳解】由可得，且；所以，又，可得.故答案為：7.設(shè)，若函數(shù)的.定義域?yàn)椋瑒t的值為___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域，列式求解.【詳解】由題意可知，，，所以.故答案為：8.某林場(chǎng)為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A和B．某日兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的林場(chǎng)人員都觀測(cè)到C處出現(xiàn)火情．在A處觀測(cè)到火情發(fā)生在北偏西方向，而在B處觀測(cè)到火情在北偏西方向．已知B在A的正東方向處，那么火場(chǎng)C與A距離約為___________．（結(jié)果精確到）【答案】14.6【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，，，則，在中，由正弦定理可得，即，所以，故答案為：14.6.9.若，則___________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)兩角和與差的余弦公式，再進(jìn)行弦化切即可得到答案.【詳解】.故答案為：3.10.已知點(diǎn)，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為______【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)知識(shí)即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則的傾斜角為，則，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.11.i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為___________．【答案】##【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式，得到復(fù)數(shù)表示的幾何圖形，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合求的最大值.【詳解】設(shè)，則，整理為，所以復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心的圓面，，，表示的幾何意義是圓面上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，如圖，的最大值為連結(jié)圓心和原點(diǎn)的距離再加半徑，所以.故答案為：12.已知平面非零向量的模均為，若，則___________．【答案】2【解析】【分析】設(shè)，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程則有，再分和討論即可.【詳解】設(shè)，，，，其中，因?yàn)?，則；因?yàn)?，則，則，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即，即，因?yàn)?，則或0，則，顯然當(dāng)時(shí)，，無實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，則或（舍去），當(dāng)時(shí)，，即，即，因?yàn)?，則或，則，顯然當(dāng)時(shí)，，無實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，則或（舍去），綜上所述：.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將向量坐標(biāo)化，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到相關(guān)方程，最后分和兩種討論即可.二、選擇題（本大題共有4題，滿分14分，第13-14題每題3分，第15-16題每題4分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.已知（i是虛數(shù)單位）是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，那么p，q的值分別是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將代入方程，即可求解.【詳解】由題意可知，，則，即，得，.故選：A14.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先設(shè)，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，即可求解函數(shù)的解析式.【詳解】設(shè)，，，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以.故選：B15.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，則角的終邊在（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式先化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)正弦值余弦值的正負(fù)判斷象限即可.【詳解】，，因?yàn)椋越堑慕K邊在第四象限.故選：D16.設(shè)，若對(duì)任意的，都存在，使得成立，則可以是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)的值域?yàn)?，的值域?yàn)?，求出，根?jù)題意，再代入選項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】設(shè)的值域?yàn)?，的值域?yàn)?，則由題意得，因?yàn)?，則，則，則，因?yàn)?，所以，?duì)A，當(dāng)時(shí)，，則，則，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，，則，則，滿足，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，則，則，不滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，則，則，不滿足，故D錯(cuò)誤；故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將其轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)值域之間的包含關(guān)系，再利用整體法求出相關(guān)三角函數(shù)的值域，代入選項(xiàng)逐個(gè)分析即可.三、解答題（本大題共有5題，滿分44分）解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的虛部為，是實(shí)數(shù)，求．【答案】【解析】【詳解】解：（4分）設(shè)，則，（12分）∵，∴（12分）18.已知，且．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平方關(guān)系可求得，再由二倍角公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）由（1）求得，再利用兩角和的正切公式即可計(jì)算出.【小問1詳解】由，且，可得；由二倍角公式可得；；所以；【小問2詳解】由（1）可得，所以19.（1）已知P是直線上一點(diǎn)，（為實(shí)數(shù)，且），點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）已知平面上三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是，小明在點(diǎn)B處休憩，有只機(jī)器狗沿著所在直線來回跑動(dòng)．當(dāng)機(jī)器狗在什么位置時(shí)，離小明最近？【答案】（1）；（2）機(jī)器狗在點(diǎn)處時(shí)，離小明最近.【解析】【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)表示得到方程組，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)機(jī)器狗運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，⊥時(shí)，離小明最近，求出與的方程，聯(lián)立求出答案.詳解】（1）由題意得，故，解得；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)機(jī)器狗運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，⊥時(shí)，離小明最近，直線，即，設(shè)直線，將點(diǎn)代入中，得，解得，故直線，聯(lián)立，解得，故當(dāng)機(jī)器狗在時(shí)，離小明最近.20.在中，已知邊上的中線長(zhǎng)為．（1）求證：；（2）若邊上的中線長(zhǎng)分別為，當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，求m、n、t之間所滿足的關(guān)系式，并指出哪個(gè)角為鈍角．【答案】（1）證明見解析（2），為鈍角【解析】【分析】（1）根據(jù)兩次余弦定理并結(jié)合角互補(bǔ)即可即可證明；（2）同（1）得到，，再利用合理變形即可得到m、n、t之間關(guān)系式，再通過作差法即可得到的大小關(guān)系，則得到為鈍角.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，則在和利用余弦定理得，化簡(jiǎn)得.【小問2詳解】由（1）知①，同理可得②，③，①②③得④，則m、n、t滿足④式，④①得，同理可得，，因?yàn)?，則則，則，，則，則，則，根據(jù)大邊對(duì)大角，則為鈍角.21.設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．（2）①根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；②若函數(shù)在區(qū)間（k為正整數(shù)）上恰有7個(gè)零點(diǎn)，求k的最小值及此時(shí)a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）①見解析；②的最小值為3，此時(shí).【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，判斷的正負(fù)，即可證明；（2）①根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，即可判斷；②根據(jù)①的結(jié)果以及分析過程，判斷當(dāng)時(shí)的交點(diǎn)情況，以及得到取值.【小問1詳解】設(shè)，，，，因?yàn)?，所以，且，所以，所以，則，所以，即，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).【小問2詳解】①，則，當(dāng)時(shí)，即，，，所以不管為何值，和是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)，即或時(shí)，，如圖畫出函數(shù)的圖象，若或時(shí)，與無交點(diǎn)，沒有零點(diǎn)，若或時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)，為和，需舍去，所以沒有零點(diǎn)，當(dāng)