4.4.3不同函數增長的差異2019人教A版第一冊第四章探究新知在前面的學習中我們看到，一次函數與指數函數的增長方式存在很大差異．事實上，這種差異正是不同類型現實問題具有不同增長規(guī)律的反映．因此，如果把握了不同函數增長方式的差異，那么就可以根據現實問題的增長情況，選擇合適的函數模型刻畫其變化規(guī)律．下面就來研究一次函數、指數函數和對數函數增長方式的差異．探究新知

不妨以y=2x和y=2x為例探究新知利用信息技術，列出上述兩個函數的自變量與函數值的對應值表(表4.4-3)，并在同一直角坐標系中畫出它們的圖象xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386探究新知追問1：你從圖象中可以得到什么信息？（從圖象的相對位置和兩個函數的增長方式考慮）(1,2)(2,4)從圖象的相對位置來看在區(qū)間[0,1)上，函數y=2x的圖象位于y=2x的圖象之上，2x>2x;在區(qū)間(1,2)上，函數y=2x的圖象位于y=2x的圖象之下，2x<2x;在區(qū)間(2,3)上，函數y=2x的圖象位于y=2x的圖象之上，2x>2x;探究新知追問1：你從圖象中可以得到什么信息？（從圖象的相對位置和兩個函數的增長方式考慮）(1,2)(2,4)從函數的增長方式來看

不同點：增長速度不同①函數y=2x的增長速度保持不變②函數y=2x的增長速度在變化探究新知下面在更大的范圍內，觀察y=2x和y=2x的增長情況xy=2xy=2x0102444168664128256161010242012409624(1)當自變量x越來越大時，y=2x的圖象就像與x軸垂直一樣，2x的值快速增長；(2)而函數y=2x的增長速度依然保持不變，與函數y=2x的增長速度相比幾乎微不足道.從表4.4-4和圖4.4-6可以看到探究新知xy=2xy=2x0102444168664128256161010242012409624

探究新知1.一般地，指數函數y=ax(a>1)與一次函數y=kx(k>0)的增長差異都與上述情況類似，即使k的值遠遠大于a的值，y=ax(a>1)的增長速度最終都會遠遠超過y=kx(k>0)的增長速度.一次函數y=kx(k>0)：增長速度不變，直線上升指數函數y=ax(a>1)：增長先慢后快，指數爆炸探究新知

探究新知利用信息技術，列出上述兩個函數的自變量與函數值的對應值表(表4.4-5)，并在同一直角坐標系中畫出它們的圖象(圖4.4-7)表4.4-5xy=lgxy=x/100不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786………探究新知表4.4-5xy=lgxy=x/100不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786………從函數的增長方式來看

不同點：增長速度不同

②函數y=lgx的增長速度在變化，隨著x的增大，y=lgx的圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣.探究新知

yxO

函數y=1000lgx的增長速度在變化，隨著x的增大，y=1000lgx的圖象越來越平緩探究新知

一次函數y=kx(k>0)：增長速度不變，直線上升對數函數y=logax(a>1)：增長先快后慢，趨于平緩探究新知問題4：(1)類比上述過程，畫出一次函數y=2x，對數函數y=lgx和指數函數y=2x的圖象，并比較它們的增長差異.yxO①一次函數y=2x的增長速度保持不變；②對數函數lgx的增長速度在變化，先快后慢，蝸牛式增長；③指數函數y=2x的增長速度在變化，先慢后快，爆炸增長；探究新知問題4：(2)試著概括一次函數y=kx(k>0)，對數函數y=logax(a>1)和指數函數y=bx(b>1)的增長差異.一次函數y=kx(k>0)：增長速度不變，直線上升對數函數y=logax(a>1)：增長先快后慢，趨于平緩指數函數y=bx(b>1)：增長先慢后快，指數爆炸學以致用【書本139頁練習1】1．三個變量y1，y2，y3隨變量x變化的數據如下表：x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155其中關于x呈指數增長的變量是

．y2學以致用【書本139頁練習2】2．（1）（2）（3）分別是函數y=3x和y=5x在不同范圍的圖象，借助計算工具估算出3x>5x的x的取值范圍（精確到0.01）.

學以致用【書本139頁練習3】3．如圖對數函數y=lgx的圖象與一次函數y=f(x)的圖象有A，B兩個公共點.求一次函數y=f(x)的解析式.解：由題圖可知A(1,0)，B(2，lg2)設一次函數的解析式為f(x)=kx+b(k≠0)

學以致用【書本139頁練習4】4．y=f(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)可能是（）解析：根據f(2)<1，f(3)>1可知y=lnx滿足C題型一：幾類函數的增長差異

D

[變式]

將本例題設改為：三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如下表：則與x呈對數型函數、呈指數型函數、呈冪函數型函數變化的變量依次是(

)A．y1，y2，y3

B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1

D．y3，y1，y2x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.957.207.40解析:

觀察數表知，三個變量y1，y2，y3均是從5開始變化，變量y1，y2，y3都是越來越大，但增長速度不同，其中增長最快的y2應呈指數型函數，y1呈冪函數型函數，y3呈對數型函數．C

題型一：幾類函數的增長差異[方法總結]

在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數y＝ax(a＞1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n＞0)都是增函數，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax的增長速度越來越快，遠遠超過y＝xn的增長速度，而y＝logax的增長速度越來越慢．因此，總會存在一個數x0，當x＞x0時，有ax>xn>logax(a＞1，n＞0).

題型一：幾類函數的增長差異

解析:

指數函數y＝ax，在a>1時呈爆炸式增長，并且a值越大，增長速度越快．A

題型一：幾類函數的增長差異[例2]函數f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的圖象如圖所示．設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.題型二：指數函數、對數函數與冪函數的增長比較(1)請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數；(2)結合函數圖象，比較f(8)，g(8)，f(2023)，g(2023)的大?。甗例2]函數f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的圖象如圖所示．設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.題型二：指數函數、對數函數與冪函數的增長比較(1)請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數；解：

(1)C1對應的函數為g(x)＝x3，x≥0，C2對應的函數為f(x)＝2x.[例2]函數f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的圖象如圖所示．設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.題型二：指數函數、對數函數與冪函數的增長比較(2)結合函數圖象，比較f(8)，g(8)，f(2023)，g(2023)的大?。猓?/p>

(2)因為g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，所以f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10).所以1<x1<2，9<x2<10.所以x1<8<x2<2023.從圖象上知，當x1<x<x2時，f(x)<g(x)；當x>x2時，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函數，所以f(2023)>g(2023)>g(8)>f(8).[方法總結]

由圖象判斷指數函數、對數函數和冪函數的方法根據圖象判斷增長型的指數函數、對數函數和冪函數時，通常是觀察函數圖象上升的快慢，即隨著自變量的增長，圖象最“陡”的函數是指數函數，圖象趨于平緩的函數是對數函數．

題型二：指數函數、對數函數與冪函數的增長比較[訓練2]

函數f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．

(1)指出曲線C1，C2分別對應哪一個函數；(2)比較兩函數的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較).題型二：指數函數、對數函數與冪函數的增長比較[訓練2]

函數f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．

(1)指出曲線C1，C2分別對應哪一個函數；題型二：指數函數、對數函數與冪函數的增長比較解：

(1)C1對應的函數為g(x)＝0.3x－1，C2對應的函數為f(x)＝lgx．[訓練2]

函數f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．

(2)比較兩函數的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較).題型二：指數函數、對數函數與冪函數的增長比較解：(2)當x∈(0，x1)時，g(x)＞f(x)；

當x∈(x1，x2)時，g(x)＜f(x)；

當x∈(x2，＋∞)時，g(x)＞f(x).題型三：選擇函數模型解決實際問題[例3]某工廠今年1月、2月、3月某種產品的產量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件，為估測以后每個月的產量，以這三個月的產量為依據，用一個函數模擬該產品的月產量y和月份x的關系，模擬函數可以選用二次函數y＝ax2＋bx＋c或函數y＝a·bx＋c(其中a，b，c為常數，a≠0，b>0且b≠1).已知4月份該產品的產量為1.37萬件，問用上述哪一種函數作為模擬函數好？請說明理由．題型三：選擇函數模型解決實際問題

題型三：選擇函數模型解決實際問題

[方法總結]

開放型的探究題，函數模型不是確定的，需要我們去探索，