第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律

§1.1電荷與電場

I、庫侖定律

(1)庫侖定律

如圖ITT所示，真空中靜止電荷?！?/p>

一個靜止電荷。的作用力廣為

式中與是真空介電常數(shù)。

(2)電場強度后

靜止的點電荷0在真空中所產(chǎn)生的電場強度E為

后二」一

()

4%

(3)電場的疊加原理

N個分立的點電荷在尸處產(chǎn)生的場強為

后二￡一盧丁仔一、)。

/=,4叫叫耳

體積V內(nèi)的體電荷分布夕卜')所產(chǎn)生的場強為

E=—__，|3\)

4您。r-r

式中/為源點的坐標，尸為場點的坐標。

2、高斯定理和電場的散度

高斯定理：電場強度后穿出封閉曲面S的總電通量等于S內(nèi)的電荷的代數(shù)和(Z0)除

r

以4。用公式表示為

(耳面=I：別離電荷情形)()

或

￡E-d§=pdv（電荷連續(xù)分布情形）（）

其中V為S所包住的體積，用為S上的面元，其方向是外法線方向。

應(yīng)用積分變換的高斯公式

￡E-J5=￡VR/V（）

由（）式可得靜電場的散度為

3.靜電場的旋度

由庫侖定律可推得靜電場后的環(huán)量為

[Edi=00

應(yīng)用積分變換的斯托克斯公式

從0式得出靜電場的旋度為

VxE=0（）

§1.2電流和磁場

1、電荷守恒定律

不與外界交換電荷的系統(tǒng)，其電荷的代數(shù)和不隨時間變化。對于體積為V,邊界面為S

的有限區(qū)域內(nèi)，有

Vpdv0

或

▽.7+迦=0（）

dt

這就是電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表達式。

2、畢奧一薩伐爾定律

/處的電流元//在『處產(chǎn)生的磁感強度為

o

參見圖l-l-2o由此得沿閉合

動的電流/所產(chǎn)生的磁感強度為

加噴￡與嚀。

如果電流是體分布，那么電流

這時

而⑺啜0

刖)啜［*)勺，兒()

3、磁場的環(huán)量和旋度

(1)安培環(huán)路定理

磁感強度與沿閉合曲線L的環(huán)量等于通過L所圍的曲面S的電流代數(shù)和的死倍：即

(2)磁場的旋度

由安培環(huán)路定理和斯托克斯公式

可得磁場的旋度為

▽x月=//0J()

這是安培環(huán)路定理的微分形式。

4、磁場的散度

磁場的散度為V-5=00

§1.3麥克斯韋方程組

1、麥克斯韋對電磁感應(yīng)定律的推廣

按照法拉第電磁感應(yīng)定律，變化的磁場在一固定導(dǎo)體回路L中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為

d①d不

c--------=-----\B?dS()

dtdtJs

依定義，感應(yīng)電動勢￡是電場強度E感沿導(dǎo)體回路L的線積分，因此0式可寫做

fE^dl=-—[B-dS0

h1dt人

其中&是變化的磁場在導(dǎo)體中產(chǎn)生的感應(yīng)電場的電場強度。

麥克斯韋的推廣：當導(dǎo)體回路不存在時，變化的磁場在空間仍然產(chǎn)生感應(yīng)電場后感，并

且滿足0式。

應(yīng)用斯托克斯公式，可將()式化為微分形式

▽xE=-黑o

dt

在一般情況下，既有靜電場瓦，又有感應(yīng)電場瓦，那么總電場便為

E=ES+瓦0

又因為Vx瓦=0,故得

這就是麥克斯韋推廣了的法拉第電磁感應(yīng)定律。

2、麥克斯韋對安培環(huán)路定理的推廣

穩(wěn)恒電流的安培環(huán)路定理為Vx月=47，由此得出

V-J=—V.(VxB)=0()

Ao

這與電荷守恒定律

▽J--論才0()

dt

相矛盾。

麥克斯韋的推廣：在一般情況下，安培環(huán)路定理的普遍形式為

VxB=//0(J+JD)()

其中

幾=辿()

”dt

叫做位移電流密度。即

VxA=〃oj/+尊］()

［ot)

或

舊加=〃。"7+包］.40

兀"°見dt)

3、麥克斯韋方程組

我們把電磁學(xué)中最根本的實驗定律概括、總結(jié)和提高到一組在一般情況下相互協(xié)調(diào)的

方程組，這便是麥克斯韋推廣了的安培環(huán)路定理。它與電荷守恒定律不矛盾。

VxE=~—

dt

--dE

￡。

▽?月二0

這組方程稱為麥克斯韋方程組。

4、洛倫茲力公式

帶電荷q的粒子以速度0在電磁場中運動時，它所受的力為

作用在單位體積的電荷上的力(力密度)為

§1.4介質(zhì)的電磁性質(zhì)

I、介質(zhì)的極化

(1)極化強度聲

在外電場的作用下，介質(zhì)的分子產(chǎn)生電偶極矩或固有的電偶極矩趨向有規(guī)則的排列,

這叫做介質(zhì)的極化。

極化強度戶是描述介質(zhì)極化狀態(tài)的量，其定義是單位體積內(nèi)的電偶極矩，即

P三二一()

AV

式中AV為包含有大量分子的物理小體積，瓦為第i個分子的電偶極矩。

如果每個分子的平均電偶極矩為力，那么

P=np()

式中〃為分子數(shù)密度。

(2)極化電荷與極化強度的關(guān)系

極化電荷體密度以與極化強度戶的關(guān)系為

[PdS=-[/PpdV()

或

Pp=-V.P0

極化電荷面密度/與P的關(guān)系為

。尸=心但-2)()

式中萬為交界面法線方向的單位矢量，從介質(zhì)1指向介質(zhì)2。如果介質(zhì)2為真空，那么

ar=n-P()

均勻介質(zhì)內(nèi)的極化電荷

"夕=一▽?戶=—▽?(力一/區(qū))=一卜一包)夕,()

即均勻介質(zhì)內(nèi)任意一點的極化電荷密度等于該點的自由電荷密度0/的-(1-晟)倍。

因此，假設(shè)該點處無自由電荷分布，那么夕尸=0。

(3)有介質(zhì)時的電場

在一般情況下，介質(zhì)中的電場后是自由電荷的電場號.，極化電荷的電場后「以及變化

磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電場后的和，即

E=Ef+Ep+Ei0

在介質(zhì)中，電場的旋度和散度分別為

VxE=VxE.=-—()

'dt

和

VE=—p..+—=—pf-—VP()

4%%%

(4)電位移力及其與電場強度后的關(guān)系

電位移矢量力的定義為

D=￡()E+P()

在各向同性的線性介質(zhì)中，戶與后成線性關(guān)系

月=然％后()

入叫做介質(zhì)的電極化率。代入()式得

5=%("厲0

定義相對介電常數(shù)J和介電常數(shù)￡分別為

￡，三1+乙，￡=￡,￡°()

這時

D=sE0

2、介質(zhì)的磁化

(1)磁化強度用

在外磁場的作用下，介質(zhì)分子產(chǎn)生的磁矩或固有磁矩趨向有規(guī)則排列，這叫做介質(zhì)

的磁化。磁化強度而是描述介質(zhì)磁化狀態(tài)的量，其定義是單位體積內(nèi)的磁矩，即

而三」一()

AV

式中AV為含有大量分子的物理小體積，電為第i個分子的磁矩。

如果每個分子的平均磁矩為玩，那么

M—nm()

式中n為分子數(shù)密度。

(2)磁化電流與磁化強度的關(guān)系

磁化電流體密度7M與磁化強度瀝的關(guān)系為

￡M.J/=pA/^5

上式可寫作

九\IvM.cii=Ii??r0

式中是積分環(huán)路人所套住的磁化電流的代數(shù)

和，如圖l-l-3o

把斯托克斯公式用于0式，便得

7M=VxM

0

磁化電流面密度區(qū)W與碳化強度而的關(guān)系：面電流是指在曲面上流動的電流，面電流

密度山的大小等于通過與a垂直的單位長度橫截線的電流。設(shè)介質(zhì)1的磁化強度為后介

質(zhì)2的磁化強度為京2,在兩介質(zhì)的交界面上，磁化面電流密度為處一交界面的單位法向

矢量為萬，從介質(zhì)1指向介質(zhì)2,那么

=nx(A?2-A?))()

假設(shè)介質(zhì)2為真空，那么

aM=HX(A?2-MJ()

(3)有介質(zhì)時的磁場

自由電流乙、磁化電流7M和位移電流乙都產(chǎn)生磁場，這些磁場的疊加就是介質(zhì)中的

磁場月。因此，在一般情況下，磁場的旋度和散度分別為

▽xA=〃o(j/.+7僧+7Q)=〃Ojf+VxM+g()

和

VB=O0

(4)磁場強度方及其與磁感強度月的關(guān)系

磁場后定義為

A

H=——M0

〃o

對于各向同性的非鐵磁物質(zhì)，磁化強度而和月之間有簡單的線性關(guān)系

后=而后()

7M叫做介質(zhì)的磁化率。把0式代入(1.4.25)式可得

定義相對磁導(dǎo)率〃「加磁導(dǎo)率〃分別為

"「三1+XM，〃=4,〃。()

這時

B=pH0

對于所有物質(zhì)來說，相對介電常數(shù)J都大于1,但相對磁導(dǎo)率〃,那么可以大于1(順

磁質(zhì))，也可以小于1(抗磁質(zhì))。

3、介質(zhì)中的麥克斯韋方程組

電磁場遵守的普遍規(guī)律為

VxE=---

dt

Vx/7=J+—0

dt

VD=p

▽?占=()

物質(zhì)方程：在各向同性的線性介質(zhì)中

力=屈，B=^H0

§1.5電磁場邊值關(guān)系

由麥克斯韋方程組的積分形式得出介質(zhì)交接面兩側(cè)場量的關(guān)系為

式中而是交接面法線上的單位矢量，從介質(zhì)1指向介質(zhì)2；。和1分別是交界面上的自由電

荷和自由面電流密度。

在用交界面兩側(cè)的切向分量(下標/),和法向分量(下標〃)表示時，邊值關(guān)系可寫

做

§1.6電磁場的能量和能流

1.電磁系統(tǒng)的能量守恒定律

考慮圖『1-4所示的空間區(qū)域V,其邊界面為N。

設(shè)v內(nèi)有電荷分布P和電流分布7。

(1)電磁場作用在單位體積電荷上的力為

f=p(E+vxB),這力的功率為

/-v=p{EIvxB)v=pEv=JE()

式中九左代表介質(zhì)單位體積消耗的焦耳熱。

(2)電磁場對體積V內(nèi)的電荷系統(tǒng)做功的功率為

^f-vdV=^JEdV0

(3)體積V內(nèi)電磁場能量的增加率為

—\coclV=—{-(ED+BH)dV()

出小dl*2

(4)單位時間內(nèi)從邊界面E流出體積V的電磁能量為

j\S-6ZZ=￡v-5t/V0

因為能量守恒，對于體積V內(nèi)的電磁場能量有

fj-EdV+\\7SdV=--fcvdV0

JvJvdtJ”

或

dco

()

JE+V-5=~d7

這便是電磁場的能量守恒定律。

2.電磁場的能量密度切

單位體積內(nèi)的電磁場能量為

<y=i(ED+/7B)()

3.電磁場的能量密度S

單位時間流過垂直于能流方向的單位面積的電磁場能量為

S=ExH0

S通常叫做坡印廷矢量。

第二章靜電場

§2.1靜電場的標勢及其微分方程

1、靜電場的標勢

(1)靜電場的根本方程

VD=p()

或jsDdS=Q()

VxE=O()

或fE-6/Z=00

其中電荷。是封閉曲面S包住的自由電荷的代數(shù)和，「是自由電荷密度。

（2）靜電場的電勢

在靜電場中，根據(jù)0式知道有勢函數(shù)。存在，使得

E=-\^（p（）

如果在無窮遠處的電場強度為零，一般便選后=8為電勢參考點，這時由上式得空間

一點P（尸）的電勢為

（p（r）=^Edr0

①點電荷的電勢

由庫侖定律可得'處（源點）的點電荷。在開處（場點）產(chǎn)生的電勢為

g，（）

4仍r-r

②電勢疊加原理

分立的點電荷系所產(chǎn)生的電勢為

^（r）=_Ly_^（）

4在亍卜一弓

連續(xù)分布的電荷所產(chǎn)生的電勢為

市）="Lj皿（）

''4宏后r-r

2、靜電勢所滿足的微分方程和邊值關(guān)系

（1）電勢的微分方程

電勢0滿足方程

V（iV^）=-/7（）

在均勻介質(zhì)內(nèi)，（）式可化為

力①=_2（）

E

這個方程叫泊松方程。式中。是自由電荷密度。如果夕=0那么（）式便化為拉普拉斯方程

vV=o

(2)電勢的邊值關(guān)系

在介電常數(shù)不同的兩種介質(zhì)交界面上，電勢0滿足以下邊值關(guān)系

%=。2()

其中而是由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的單位法向矢量，。是交界面上的自由電荷面密度。

如果介質(zhì)1是導(dǎo)體，那么以上兩式分別化為

/二常量〔)

和￡,也…()

on

3、靜電場能量

電荷分布在區(qū)域V內(nèi)，密度為0(k)，所具有的靜電能量為

這能量分布在電場中，因此

W=^EDdV=^cE2dV0

式中E是上述電荷所產(chǎn)生的電場，積分普及后不為零的全部空間。

§2.2唯一性定理

靜電學(xué)的根本問題是求出在所有邊界上滿足邊值關(guān)系或給定邊界條件的泊松方程的

解。唯一性問題是討論在什么條件下，解是唯一的。這點很重要，因為求解的方法不同，

求出的解可能有不同的表達形式，有時要證明它們是同一解頗非易事；但如果這些解都滿

足相同的邊界條件，那么它們必定相同。其次，對于有些問題，可以根據(jù)經(jīng)驗提出嘗試解。

如果所提出的嘗試解滿足唯一性定理所要求的條件，它就是該問題的唯一正確解。

I.問題說明

假定空間V可以分為假設(shè)干個小區(qū)域匕，每一小區(qū)域匕內(nèi)都是充滿均勻的，介電常數(shù)

為的各向同性介質(zhì)。設(shè)V內(nèi)的自由電荷分布0。），那么在匕內(nèi)，電勢滿足泊松方程

^2（p.=--p0

在兩區(qū)域匕和匕的交界面上，電勢滿足邊值關(guān)系

=（Pj（）

竺］竺］（）

I加J\加J

2.唯一性定理

設(shè)區(qū)域V內(nèi)自由電荷的分布夕（尸），在V的邊界S上給定

（i）電勢為，

或

（ii）電勢的法向?qū)?shù)（署）（即工），

那么V內(nèi)的電場便唯一確定。

3.有導(dǎo)體存在時的唯一性定理

設(shè)區(qū)域V內(nèi)有一些導(dǎo)體，給定導(dǎo)體之外的電荷分布0。），并給定

（i）每個導(dǎo)體上的電勢外,

或

（ii）每個導(dǎo)體上的總電荷Q,,

以及V的邊界S上的內(nèi)或值，那么V內(nèi)的電場便唯一地確定。

§2.3拉普拉斯方程別離變量法

1、笛卡兒坐標系

拉普拉斯方程(簡稱拉氏方程】的形式為

也+駕+駕=00

dx~dy~dz~

設(shè)電勢0(x，F(xiàn)z)可別離變數(shù)，即MY，y，z)=x(x)y()，)z(z),那么拉氏方程可分為以下三

個方程

1d2y

7￡.2

由此得方程的通解為

(G/國一屈二)()

式中各常數(shù)A&,B”,B",GH，等由問題的具體條件決定。

2、柱坐標系

拉氏方程為

12(陛］+4①+駕=o()

rdrVdr)r~d(pdz~

設(shè)電勢0(幾。,z)可別離變數(shù)，即e(r,°,z)=M亦Mo)z(z),代入上式求得z(z)的解為

Z(z)=Cjcosh/?z+C2sinhZ?z()

中(0)的解為

①(0)=gcosa°+gsin〃0()

在內(nèi)，符合物理實際的解必須是單值的，因此。必須是整數(shù)。

的解為

式(r)=C5(/")+。6N”(附()

式中

8㈠喈/?)\a+2n1

，""')=自'〃!「(4+'〃+1)0

和

N3r）=（cos=比例）-乙①）（）

sin。乃

其中級數(shù)J0-）是。階第一類貝塞耳函數(shù)，如果，=〃（整數(shù)），那么在累級數(shù)中的伽瑪函數(shù)

「（4+〃?+1）可以用（〃+根）!來代替。N?（br）是a階第二類貝塞耳函數(shù)。

函數(shù)N.0。在r=（）附近的奇異性與//相似。因此，只要「=（）處的電勢是有限的，在

解中就不包含N〃（W）,即系數(shù)。$為零。

3、球坐標系

球坐標系中拉氏方程為

噂卜焉默，山啜卜忌"答二。()

設(shè)電勢0（二"。）可別離變數(shù)，即/卜,仇初=/（7旭0）0（0）,且在9=0和乃時雙幾夕。）為

有限值，那么拉氏方程（）的通解為

0（廠,"0）=X+結(jié)］/f（cose）cos〃地

l.rn=Q\r）

()

式中/r（cos。）是連帶勒讓德多項式。

如果問題具有軸對稱性（〃7=0）,通解為

0（廠，。）=￡（4/+2］（COS6）

/=okrJ

式中6（cos。）是勒讓德多項式。

通解中的系數(shù)《,"，/%,Clm,d［m或小、瓦等由問題的具體條件確定。

§2.4鏡像法

1、平面邊界

(1)無限大導(dǎo)體平面外的點電荷

點電荷。到電勢為零的無限大導(dǎo)體平面的距離為。，如圖1-2-1,電像q=一夕在導(dǎo)體

平面的另一側(cè)，與導(dǎo)體平面的距離為那么導(dǎo)體外的電勢為

圖1-2-1

_______1_1

爾)'")=六,(z>0)()

4在。G+(z-yjx2+y2+(2+?)2

導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷面密度為

0

導(dǎo)體面上的總感應(yīng)電荷為

j<ydS=-q()

導(dǎo)體上感應(yīng)電荷吸引點電荷q的力為

F=——/■于力()

16癥04r

感應(yīng)電荷與點電荷的相互作用能為

u=——!—貴()

4%4。

(2)劈形導(dǎo)體平面間的點電荷

如圖1-2-2,兩無限大導(dǎo)體平板電勢為零，夾角為。(。工乃)。其間有一點電荷〃，點電

荷4的幅角為綜，與。角的頂點。的距離為。。4有多重電像，當。=巳(。為整數(shù))時，電

n

像的個數(shù)為(2n-l)個，

一。1(1

-2--4-----=20n-\[J

0

所有電像均位于以。為圓心，。為半徑的圓周上。諸電像的位置為

2萬-4期..，生上珞,

q:J-9°,F%.共5-1)個。

nnn

2-4，網(wǎng)-4,?

，2兀-%,共〃個。

nn

圖122是。4時電像的分布圖。共有七個電

像。

(3)介質(zhì)平面外的點電荷

兩無窮大的均勻介質(zhì)的介電常數(shù)分別為a和

打交界面為平面。在J中有一自由點電荷9,距

交界面為。，如圖1-2-3所示。

求zNO區(qū)域(邑)的解時，可在

z<0區(qū)域內(nèi)距界面為密處設(shè)置一電像

電荷夕2。那么所求電勢為：

+-L)%

4叫yjx2+y2+(z+6/)2

()圖143

求zWO區(qū)域〕的解時，可在z>0區(qū)域內(nèi)距界面為外處設(shè)置電像電荷火,那么所求

電勢必為

02("Z)=/--0

4-Jjr+),+(z_〃J-

在z=0的交界面上任意一點處，電勢應(yīng)滿足邊值關(guān)系

6=。20

d(p.d(py

()

'dz2dz

設(shè)4]=%=。，那么在原點處(x=y=z=()),應(yīng)用上式可得

0

￡、三

q-q?=q\()

解得

?J一￡,

%=-----0

.2g,

%=——1()

q+4

因此

0

_____1_____________q

=(z<0)0

2乃(4+邑)yjx2+y2+(z-a)2

點電荷q所受的庫侖力為

.二H.

0

16叫9+邑)。2

2、球面邊界

(1)導(dǎo)體球外的點電荷

有一電勢為零，半徑為A的導(dǎo)體

球，球外距球心。為/處的A點有一

點電荷鄉(xiāng)。

如圖1-2-4,在球內(nèi)A點設(shè)置一

電像一,距球心為由邊界條件得

/上0

I

R

q=一7

于是球外尸⑺處的電勢為

(廠>穴)0

4成or-IIr-I

\/

這里選取球心為原點，7和1分別為電荷q和夕的位置矢量。

球上的電荷密度面為

。⑻_￡。絲小一J—i—

==()

dr4乃R（R2+『_2R/cos。）”

電荷與導(dǎo)體球的相互作用能為

u=1、o

4吟21_心）

電荷夕所受的庫侖力為

Ldu1q2Rl

0

614的or-R?

（2）導(dǎo)體球形空腔內(nèi)的點電荷

導(dǎo)體內(nèi)有一球形空腔，腔內(nèi)距球心。為/處有一點電荷導(dǎo)體的電勢為零。

由對稱性可知，這時圖1-2-4中，位于A點的電荷夕便是夕的電像，并且

,R2

0

R.

q=yq0

這時空腔內(nèi)的電勢為

°G）=―----———導(dǎo)空Q<R）0

§2.5格林函數(shù)

點電荷的密度：位于于處的單位點電荷的密度為p（i）=^（x-r）o

格林函數(shù)：它是單位正點電荷在一定邊界條件下的電勢。它用G（工,F）表示，括號內(nèi)左邊的

位矢工對應(yīng)場點，右邊的F代表點源g=+l的位矢。它滿足方程

V2G（x,x,）=-—0

￡o

第一類邊值問題的格林函數(shù)滿足邊界條件

G（無7）L=0⑵5.2)

第二類邊值問題的格林函數(shù)滿足邊界條件

-G（工，］=__1_

(2.5.3)

dn,s0S

其中〃為邊界面法線方向。

格林函數(shù)的對稱性

G（x,r）=G（r,x）(2.5.4)

對于一定邊界條件下的格林函數(shù)，場點和源點交換時，格林函數(shù)的值不變。如球外空間的

第一類格林函數(shù)是

G(無D=-----.=-f(2.5.5)

4您。+.-2/3(駕2+/w

VR。

工與工'互換（即凡R'互換）.從上式看出函數(shù)值不變。

含格林林函數(shù)的格林公式

。⑴=￡G(X；/「(/)〃'+%￡[G3,元格一0(f).G?,x)]dSf(2.5.6)

第一類邊值問題的解

(p(x)=￡G(x；x)p(x,)dV,-￡(p(x')x)dS>(2.5.7)

式中的G(E1)位為第一類邊值格林函數(shù)，邊界條件由"(亍)I給定。

第二類邊值問題的解

a

夕(1)=fG(F,幻河+G(r,x)一(p(F)dS'(2.5.8)

JvJsdn

式中的G(?j)為第二類邊值，邊界條件由等2I給定，S中應(yīng)包含無限遠處的面。

§2.6電多極矩

1、電勢的多極展開

電荷分布在有限的區(qū)域v內(nèi)，體密度為.行)，那么它所產(chǎn)生的電勢為

^)=_Ljpfc>()

4在卜一/

對于遠場(即〃>>廠處的場)，上式可展開為

0(尸)=-'—[f--rV-+—Xx;x——

4%bjyrr2!勺―dxidxj

0

4在0rry2/

I.

式中Q為電荷系的總電量，即

Q=\p(r')dV0

V

力為電荷系的電偶極矩，即

p=^rp(r')dV0

V

$為電荷系的電四極矩，即

5-j（3r,r,-r,27）p（r'）t/V'0

V

它的）分量為

Da=1（3*-超bb\iv（）

點電荷系的電四極矩為

54（3注+11（）

n

其4?分量為

D.i==Z（3/x.jr：6ij）q.0

n

電四極矩張量6是對稱張量，又因為

D"+。22+。33=。0

因而6只有五個獨立分量。

2、相互作用能

點電荷q在外場內(nèi)中的能量為

式中心是4所在處外電場的電勢。

電荷系"（廣）在外場中的能量為

點電荷系的相互作用能為

式中%是除外.外所有其余的點電荷在外所在點產(chǎn)生的電勢。

第三章靜磁場

§3.1矢勢及其微分方程

1、矢勢

（1）穩(wěn)恒電流磁場的根本方程

V-B=00

或珀?加二00

VxH=J0

或加疝=i0

式中J是自由電流密度，/是被閉合環(huán)路L套住的自由電流的代數(shù)和。

（2）穩(wěn)恒磁場的矢勢

由▽.月=0知，存在空間矢量勢函數(shù)它滿足

B=VxA0

對于一個確定的磁場月，由0式確定的矢勢Z不是唯一的，可以有一個附加的任意

空間函數(shù)的梯度。通常用條件

VM=0u

來對這個任意函數(shù)加以限制。

（3）矢勢Z的物理意義

()

即矢勢H沿任一閉合環(huán)路L的積分等于通過以L為邊界的曲面S的磁通量。

2、矢勢X的微分方程和邊值關(guān)系

在均勻介質(zhì)內(nèi)，矢勢4滿足泊松方程

V2A=-/J0

矢勢的邊值關(guān)系

在均勻介質(zhì)內(nèi)，該方程的特解是

YL瑞°

式中的積分普及電流所分布的空間V。

3、矢勢的近似

電流分布在區(qū)域V（線度為/）內(nèi)，電流密度為7（尸’）。

這電流在遠處（即，?>>/）產(chǎn)生的磁場其矢勢可近似為

A=—玩x4(J

44r

式中

Zw=l￡r,xJ(r'Vv()

2i

叫做這電流的磁矩。對于一個載流為/的小線圈L,其磁矩為

m=-frxdl'()

4、穩(wěn)恒電流磁場的能量

(1)自具能

電流分布在區(qū)域V內(nèi)，密度為/(/),所具有的能量為

w=-[jAdV0

2Jv

這能量分布在磁場中，因此

W=-\HBdV=-\juH2dV0

2Jv2人,

式中方是上述電流所產(chǎn)生的磁場，積分普及后不為零的全部空間V。

(2)相互作用能

電流J(r)在外磁場片中的能量為

叱=p-AedV()

載電流/的小線圈在外磁場瓦中的能量為

叱=沅?月0

式中沅為小線圈的磁矩。

§3.2磁標勢

1、磁標勢

如果在某一閉合區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷(即/=0),這時穩(wěn)恒磁場的根本方程為

VxH=0()

V-B=0()

由后=0知，在該區(qū)域內(nèi)存在勢函數(shù)e”，它滿足

2=73()

這時，后在形式上與靜電場的后相對應(yīng)，而外，那么與靜電場的電勢。相對應(yīng)。

2、磁標勢的拉氏方程和邊值關(guān)系

拉氏方程為

歹8=0()

在沒有傳導(dǎo)電流的兩介質(zhì)交界面上，由

=H2.()

4“=%()

得出磁標勢的邊值關(guān)系為

夕初=/2()

式中方是交界面上由介質(zhì)1有向介質(zhì)2的單位法向矢量。

3、“磁荷”

磁荷密度：p,n=-^(>V-M

第四章電磁波的傳播

§4.1平面電磁波

1、電磁場的波動方程

(1)真空中

在0=0,J=o的自由空間中，電磁強度后和磁場強度后滿足波動方程

1d2E

V2E=o0

2dr

1dzH

v2/7=00

c-er

式中

c=]=2.997925X108米/秒

是光在真空中的速度。

（2）介質(zhì)中

當電磁波在介質(zhì)內(nèi)傳播時，介質(zhì)的介電常數(shù)￡和磁導(dǎo)率〃一般地都隨電磁波的頻率變

化，這種現(xiàn)象叫色散。這時沒有后和后的一般波動方程，僅在單色波（頻率為。）的情況

下才有

.V票=。0

1d2H

V2/；=0()

v2dr

式中

是頻率0的函數(shù)。

2、亥姆霍茲方程

在各向同性的均勻介質(zhì)內(nèi)，假設(shè)夕=0,J=o,那么對于單色波有

左卜,/）二的1()

后（尸,。=后卜,“()

這時麥克斯韋方程組可化為

22

\7E+kE=O,[fc=()

V-E=O()

H=--—VxE()

PCD

()式稱為亥姆霍茲方程。由于導(dǎo)出該方程時用到了V?巨=()的條件，因此，亥姆霍茲方

程的解只有滿足▽?巨=0時，才是麥克斯韋方程的解。

3、單色平面波

亥姆霍茲方程的最簡單解是單色平面波

跖,。=瓦一體-劃)0

方伍。=凡，價e)()

式中左為波矢量，其值為

平面波在介質(zhì)中的相速度為

式中￡和4一般是頻率。的函數(shù)c

算符▽和(作用于單色平面波的場()式或(4.1.13)式時，可簡化為

V=ik,—=-ico()

dt

即Vx后二itx左，▽?左二灰左，而色E=T①E。

dt

電場和磁場的關(guān)系為

式中五=%,為波傳播方向上的單位矢量。

4、電磁波的能量和能流

電磁波的能量密度為

co=^(ED+H0

對于單色平面波有,故

co=sE2=/.1H20

單色平面波的能流密度為

￡)

S=ExH=Ex(nxE=cov()

對時間平均的能流密度為

S=-Re(ExH^0

§4.2電磁波在介質(zhì)交界面上的反射和折射

如圖1-3-1所示，取兩介質(zhì)

的交界面為xy平面，z軸從介質(zhì)

1指向介質(zhì)2。設(shè)平面電磁波從介

質(zhì)1人射到交界面上，入射波、

反射波和折射波的電場強度分別

為

入射波：

（）

反射波：區(qū)=巨;（/附/（）

折射波：&=瓦。/%，⑹0

1、反射定律和折射定律

電磁波在交界面上反射和折射時，分別遵守反射定律和折射定律

a=a（）

sin/k】屈必

式中〃21為介質(zhì)2相對于介質(zhì)1的折射率。除鐵磁質(zhì)外，一般介質(zhì)故可得

2、反射波和折射波的振幅

(1)菲涅耳公式

按入射波電矢量的振幅E。分以下三種情形:

(i)Eo垂直于入射面

E；。二sin?-%)

Eosin(a+%)

E_2cosasin0

2020

E】osin?+%)

(ii)go平行于入射面

Etan(<?1-<9)

10=;()

/tane1+4)

E_2cos<9]sin^

2()2)0

Egsin(q+%)cos(4一夕2

(iii)與入射面斜交_fy

把三個波的電矢量的振幅值)

BioiXEgzo,一

都分解為垂直于入射面的分量及)1

和平行于入射面的分量值0〃)，如圖

1-3-2所示，即

ei、Eton與

E。=^ioi+Eo〃(J

圖1-3-2

瓦0=Eoi+瓦0"()

尼20-^201十后20〃()

結(jié)果得出，Em和邑0_L都只與Eg有關(guān)；而耳0〃和耳0M那么都只與耳0〃有關(guān)。具體關(guān)系如

7：

E-sin?「一】（）

“嘰一sin（a+/）皿U

A_2sin2c°s用-

…sin（4+%）%1U

-1r-'tan?]—%）-p,（\

“1°"=陽+%產(chǎn)°，°

后_2sin_cos4后

2MLsin（d+%）cos（，f）?10//U

可見（i）和（ii）是（iii）的兩種特殊情況。

（2）反射和折射產(chǎn)生的偏振

由0式可知，在用+%=90°的情況下，后平行于入射面的分量沒有反射波，因而反

射波便是后垂直于入射面的完全偏振波。這就是光學(xué)d的布儒斯特定律，這時的入射角稱

為布儒斯特角，其值為

3^全反射

由折射定律知，