第三節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值、最值高中總復習·數(shù)學課標要求

1.

借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.2.

能利用導數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值，會求給定閉區(qū)間上不超過三

次的多項式函數(shù)的最大值、最小值.3.

體會導數(shù)與單調(diào)性、極值、最大（?。┲档年P(guān)系.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

函數(shù)的極值與導數(shù)條件f'（x0）＝0x0附近的左側(cè)f'

（x）

0，右側(cè)f'

（x）

?0x0附近的左側(cè)f'（x）

0，右

側(cè)f'（x）

?0圖象

形如山峰

形如山谷極值f（x0）為極

?值f（x0）為極

?值極值點x0為極

?值點x0為極

?值點＞

＜

＜

＞

大

小

大

小

提醒

f'（x0）＝0是x0為可導函數(shù)f（x）的極值點的必要不充分條件.如：f

（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是極值點.2.

函數(shù)的最值與導數(shù)（1）如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f（x）的圖象是一條

?的

曲線，那么它必有最大值和最小值；（2）若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，則f（a）為函數(shù)的

?

，f（b）為函數(shù)的

；若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞

減，則f（a）為函數(shù)的

，f（b）為函數(shù)的

?.連續(xù)不斷

最小

值

最大值

最大值

最小值

1.

若函數(shù)f（x）在（a，b）上是單調(diào)函數(shù)，則f（x）在（a，b）上無

極值.2.

若函數(shù)f（x）在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f（x）一定在區(qū)間端點處取

得最值.3.

若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個極值點，則該極值點一定是

函數(shù)相應(yīng)的最值點.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）函數(shù)的極大值不一定比極小值大.

（

√

）（2）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值.

（

√

）（3）函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.

（

×

）（4）開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.

（

√

）（5）設(shè)函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，那么y＝f（x）在區(qū)

間（a，b）內(nèi)不單調(diào).

（

√

）√√×√√2.

如圖是函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y＝f'（x）的圖象，下列結(jié)論正確的是

（

）A.

y＝f（x）在x＝－1處取得極大值B.1是函數(shù)y＝f（x）的極值點C.

－2是函數(shù)y＝f（x）的極小值點D.

函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（－1，1）上單調(diào)遞減解析：C

由題圖可知當x＜－2時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當

x≥－2時，f'（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，故－2是函數(shù)y＝f（x）的極

小值點，y＝f（x）無極大值.故選C.

3.

（人A選二P93例6改編）函數(shù)f（x）＝ln

x－x在區(qū)間（0，e]上的最大

值為（

）A.1－eB.

－1C.

－eD.0

4.

（蘇教選一P215例4改編）函數(shù)f（x）＝x3－12x的極小值為

?

，極大值為

?.解析：由題意可得f'（x）＝3x2－12＝3（x－2）（x＋2），令f'（x）＝

0，得x＝－2或x＝2.則f'（x），f（x）隨x的變化情況如表所示.x（－∞，－2）－2（－2，2）2（2，＋∞）f'

（x）＋0－0＋f（x）↗極大值↘極小值↗－

16

16

所以函數(shù)f（x）在x＝－2處取得極大值16，函數(shù)f（x）在x＝2處取得極

小值－16.5.

（人A選二P104復習參考題9題改編）若函數(shù)f（x）＝ex＋ax在x＝2處

取得極值，則a＝

?.解析：∵f（x）＝ex＋ax在x＝2處取得極值，∴f'（2）＝e2＋a＝0，解

得a＝－e2，經(jīng)檢驗，符合題意.－e2

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

函數(shù)的極值（定向精析突破）考向1

由圖象判斷函數(shù)的極值

〔多選〕（2025·玉溪階段練習）設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導，其導函

數(shù)為f'（x），且函數(shù)y＝（1－x）f'（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中

一定成立的是（

）A.

函數(shù)f（x）有極大值f（－2）B.

函數(shù)f（x）有極大值f（2）C.

函數(shù)f（x）有極小值f（1）D.

函數(shù)f（x）有極小值f（2）解析：AD

由圖可知，x∈（－∞，－2）時，1－x＞0，且（1－x）f'

（x）＞0，則f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間（－∞，－2）上單調(diào)遞增，當

x∈（－2，1）時，1－x＞0，且（1－x）f'（x）＜0，則f'（x）＜0，f

（x）在區(qū)間（－2，1）上單調(diào)遞減，當x∈（1，2）時，1－x＜0，且

（1－x）·f'（x）＞0，則f'（x）＜0，f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞

減，當x∈（2，＋∞）時，1－x＜0，且（1－x）f'（x）＜0，則f'（x）

＞0，f（x）在區(qū)間（2，＋∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）的極大值

為f（－2），函數(shù)f（x）的極小值為f（2）.故選A、D.

解題技法由圖象判斷函數(shù)y＝f（x）的極值要抓住兩點（1）由y＝f'（x）的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y＝f（x）的可能極值

點；（2）由導函數(shù)y＝f'（x）的圖象可以看出y＝f'（x）的值的正負，從而可

得函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點.考向2

求函數(shù)的極值（極值點）

已知函數(shù)f（x）＝ln

x－ax（a∈R）.

于是當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如表：x（0，2）2（2，＋∞）f'（x）＋0－f（x）↗ln

2－1↘故f（x）在定義域上的極大值為f（2）＝ln

2－1，無極小值.（2）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).

解題技法求函數(shù)的極值或極值點的步驟（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；（2）求導數(shù)f'（x），求方程f'（x）＝0的根；（3）檢查在方程的根的左右兩側(cè)f'（x）的符號，確定極值點和函數(shù)的

極值.考向3

已知函數(shù)的極值求參數(shù)

若函數(shù)f（x）＝2e2x＋（a－2）ex＋x有兩個極值點，則a的取值范

圍是（

）A.

（－∞，－2）B.

（－∞，－1）C.

（－∞，1）D.

（－∞，2）

解題技法

已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的2個要領(lǐng)（1）列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定

系數(shù)法求解；（2）驗證：因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用

待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.提醒若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，那么y＝f（x）在

（a，b）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).

A.2ln

2－6B.ln

2－

C.ln

2－6D.2ln

2－

2.

（2024·邢臺高三開學考試）已知函數(shù)f（x）＝（x－a）（x2－x）在

x＝a處取得極小值，則a＝（

）A.

－1B.0C.1D.0或1

3.

若函數(shù)f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的極值，則實數(shù)a的取值范圍

是（

）A.

（－∞，－

）B.

（－

，0）C.

（0，

）D.

（

，＋∞）

函數(shù)的最值（定向精析突破）考向1

不含參函數(shù)的最值

π

0

e＋2

解題技法利用導數(shù)求給定區(qū)間上的最值的步驟（1）求函數(shù)f（x）的導數(shù)f'（x）；（2）利用f'（x）＝0求f（x）在給定區(qū)間上所有可能極值點的函數(shù)值；（3）求f（x）在給定區(qū)間上的端點值；（4）將f（x）的各極值與f（x）的端點值進行比較，確定f（x）的最大

值與最小值.提醒若最值在端點處取得，且所給區(qū)間為開區(qū)間，則f（x）的最值不

存在.考向2

含參函數(shù)的最值

A.

[－5，0）B.

（－5，0）C.

[－3，0）D.

（－3，0）

解題技法

已知函數(shù)的最值求參數(shù)，可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在

區(qū)間端點處的函數(shù)值，通過比較它們的大小，判斷出哪個是最大值，哪個

是最小值，結(jié)合已知求出參數(shù)，進而使問題得以解決.

1.

（2024·東北三省四市聯(lián)合體模擬）在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)y＝

f（x）及其導函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個

公共點，其坐標為（0，1），則（

）A.

函數(shù)y＝f（x）·ex的最大值為1B.

函數(shù)y＝f（x）·ex的最小值為1C.

函數(shù)y＝

的最大值為1D.

函數(shù)y＝

的最小值為1

e2

PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習

1.

已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)f'（x）的大致圖象如圖所示，

則下列敘述正確的是（

）A.

f（b）＞f（a）＞f（c）B.

函數(shù)f（x）在x＝c處取得最大值，在x＝e處取得最小

值C.

函數(shù)f（x）在x＝c處取得極大值，在x＝e處取得極小值D.

函數(shù)f（x）的最小值為f（d）√12345678910111213141516171819202022232425解析：

由題圖可知，當x≤c時，f'（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在（－

∞，c]上單調(diào)遞增，又a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），故A

不正確；因為f'（c）＝0，f'（e）＝0，且當x＜c時，f'（x）＞0；當c＜

x＜e時，f'（x）＜0；當x＞e時，f'（x）＞0.所以函數(shù)f（x）在x＝c處

取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，但不一定是最

小值，故B不正確，C正確；由題圖可知，當d≤x≤e時，f'（x）≤0，所

以函數(shù)f（x）在[d，e]上單調(diào)遞減，從而f（d）＞f（e），所以D不正

確.故選C.

2.

（2024·伊春開學考試）函數(shù)f（x）＝（4x－5）e2x的極值點為

（

）A.

B.

C.

D.

√3.

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若x0（x0≠0）是f（x）的極大值點，則

以下結(jié)論中一定正確的是（

）A.

?x∈R，f（x）≤f（x0）

B.

－x0是f（－x）的極小值點C.

－x0是－f（x）的極小值點D.

－x0是－f（－x）的極小值點解析：

極值為函數(shù)的局部性質(zhì)，A錯誤.因為f（－x）與f（x）的圖象

關(guān)于y軸對稱，所以－x0是f（－x）的極大值點，B錯誤.因為－f（x）與

f（x）的圖象關(guān)于x軸對稱，所以x0是－f（x）的極小值點，C錯誤.因為

－f（－x）與f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，所以－x0是－f（－x）的極

小值點，D正確.√4.

函數(shù)f（x）＝x2＋（a－1）x－3ln

x在（1，2）內(nèi)有最小值，則實數(shù)a

的取值范圍為（

）A.

（－

，2）B.

［－

，2］C.

（－

，2）D.

（－

，1］

√5.

〔多選〕（2025·遼寧高三開學考試）對于函數(shù)f（x）＝－2ln

x＋x2－

3x，下列說法正確的是（

）A.

f（x）在區(qū)間（2，＋∞）上單調(diào)遞增B.2是函數(shù)f（x）的極大值點C.

f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）D.

函數(shù)f（x）的最小值為－2ln

2－2√√√

6

3

9.

已知函數(shù)f（x）＝－xln

x＋2x.（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間以及極值；解：

f（x）＝－xln

x＋2x的定義域是（0，＋∞），依題意，f'（x）＝1－ln

x，令f'（x）＞0，得0＜x＜e，令f'（x）＜0，得

x＞e，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，＋

∞），所以函數(shù)f（x）的極大值為f（e）＝e，無極小值.（2）求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值.解：

由（1）可知，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，在（e，3]上單調(diào)

遞減，所以f（x）在[1，3]上的最小值為min{f（1），f（3）}，而f（1）＝

2，f（3）＝－3ln

3＋6，可知f（3）＞f（1），故函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值為2.

10.

對任意x∈R，函數(shù)f（x）＝ax3＋ax2＋7x不存在極值點的充要條件

是（

）A.0≤a≤21B.0＜a≤21C.

a＜0或a＞21