第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的關(guān)系，歸納出

有關(guān)平行的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明.2.

能用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形平行關(guān)系的簡(jiǎn)單

命題.目錄CONTENTS知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類突破02.課時(shí)·跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)|課前自修

1.

直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面

?一條直線與此

平面

的一條直線平行，

那么該直線與此平面平行（簡(jiǎn)

記為“線線平行?線面平行”）

?

?a∥α外

內(nèi)

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果

過(guò)該直線的平面與此平面

?

，那么該直線與交線平行

（簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平

行”）

?

?a∥b相

交

2.

面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條

?

與另一個(gè)平面平行，那

么這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為

“線面平行?面面平行”）

?相交

直線

?β∥α

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平

面與這兩個(gè)平面

，那

么

?平行

?

?a∥b相交

兩條交線

1.

兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.2.

夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等.3.

兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.4.

如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.

1.

判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面

平行.

（

×

）（2）若直線a∥平面α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無(wú)數(shù)

條.

（

×

）（3）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平

行.

（

×

）（4）如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異

面.

（

√

）×××√2.

（人A必修二P143習(xí)題1題改編）如果直線a∥平面α，那么直線a與平

面α內(nèi)的（

）A.

一條直線不相交B.

兩條直線不相交C.

無(wú)數(shù)條直線不相交D.

任意一條直線都不相交解析：

因?yàn)橹本€a∥平面α，直線a與平面α無(wú)公共點(diǎn)，因此直線a與

平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交.√3.

平面α與平面β平行的充分條件可以是（

）A.

α內(nèi)有無(wú)窮多條直線與β平行B.

直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)C.

直線a?α，直線b?β，且a∥β，b∥αD.

α內(nèi)的任何一條直線都與β平行√解析：

對(duì)于A，α內(nèi)有無(wú)窮多條直線與β平行，并不能保證平面α內(nèi)有

兩條相交直線與平面β平行，這無(wú)窮多條直線可以是一組平行線，故A錯(cuò)

誤；對(duì)于B，直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)，當(dāng)直

線a平行于平面α與平面β的相交直線時(shí)滿足上述條件，但平面α與平面

β不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線a?α，直線b?β，且a∥β，

b∥α，當(dāng)直線a∥b時(shí)，不能保證平面α與平面β平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于

D，α內(nèi)的任何一條直線都與β平行，則α內(nèi)至少有兩條相交直線與平面

β平行，所以平面α與平面β平行，故D正確.4.

（蘇教必修二P179練習(xí)5題改編）〔多選〕如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-

A'B'C'D'的六個(gè)面所在的平面中，與AB平行的平面是（

）A.

平面A'B'C'D'B.

平面DCC'D'C.

平面BCC'B'D.

平面A'D'DA解析：AB

由于AB∥A'B'，AB?平面A'B'C'D'，A'B'?平面A'B'C'D'，所

以AB∥平面A'B'C'D'，故A符合.同理證得AB∥平面DCC'D'，故B符合.而

AB∩平面BCC'B'＝B，AB∩平面A'D'DA＝A，故C、D不符合.√√5.

（人A必修二P138例3改編）如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，

四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為

?.解析：因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝

HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，所以EF∥HG，同理EH∥FG，

所以四邊形EFGH是平行四邊形.平行四邊形PART02考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

直線與平面平行的判定與性質(zhì)（定向精析突破）考向1

直線與平面平行的判定與證明

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，PD＝

AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點(diǎn).求證：BE∥平面PAD.

又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.

解題技法線面平行的證明方法考向2

直線與平面平行的性質(zhì)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，E為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC

上的點(diǎn)，且EF∥平面PAD，證明：F為PC的中點(diǎn).證明：因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD，AD?平面

PAD，所以BC∥平面PAD.

因?yàn)镻∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可設(shè)平面PBC∩平面PAD＝PM，又因?yàn)锽C?平面PBC，所以BC∥PM.

因?yàn)镋F∥平面PAD，EF?平面PBC，所以

EF∥PM，從而得EF∥BC.

因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以F為PC的中點(diǎn).解題技法線面平行性質(zhì)的應(yīng)用

證明線線平行，常常將線面平行轉(zhuǎn)化為該線與過(guò)該線的一個(gè)平面和已

知平面的交線平行.提醒

應(yīng)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理時(shí)，一定要注意定理成立的條

件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書(shū)寫(xiě)步驟.

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn).（1）求證：AM∥平面BDE；解：

證明：如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.

因?yàn)镺，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，且四邊形ACEF是矩

形，所以EM∥OA且EM＝OA，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE，又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.

（2）若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l

與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解：

l∥m，證明如下：由（1）知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM?平面ABM，平面ABM∩平面

BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.平面與平面平行的判定及性質(zhì)（師生共研過(guò)關(guān)）

如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.（1）求證：平面A1BD∥平面CD1B1；證明：

在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥AD，且A1D1＝AD，

AD∥BC，AD＝BC，所以A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.

又因?yàn)锳1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.同理，A1D∥平面CD1B1.又因?yàn)锳1B∩A1D＝A1，且A1B，A1D?平面A1BD，所以平面A1BD∥平

面CD1B1.（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，求證：B1D1∥l.證明：

在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

且平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，平面A1B1C1D1∩平面B1D1C＝

B1D1，所以B1D1∥l.解題技法1.

證明面面平行的常用方法（1）利用面面平行的判定定理；（2）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（l⊥α，l⊥β?α∥β）；（3）利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這

兩個(gè)平面平行（α∥β，β∥γ?α∥γ）.2.

面面平行條件的應(yīng)用（1）兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行；（2）兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.提醒

利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說(shuō)明在一個(gè)平面內(nèi)的

兩條直線是相交直線.

如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).求證：（1）BE∥平面DMF；證明：

如圖，連接AE，則AE必過(guò)DF與GN的交

點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛DEF為平行四邊形，所以O(shè)為AE的

中點(diǎn).連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.

（2）平面BDE∥平面MNG.

證明：

因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊

AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥NG，又DE?平面MNG，NG?平面MNG，所以DE∥平面MNG.

因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.

平行關(guān)系的綜合應(yīng)用（師生共研過(guò)關(guān)）

（1）求證：PQ∥平面A1D1DA；

解題技法三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.（1）求證：AB∥平面EFGH；解：

證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，

∴EF∥HG.

∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.

又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，

∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.

（2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH的周長(zhǎng)l的取值范圍.

PART03課時(shí)·跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

α和β是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中可判定平面α與β平行的是

（

）A.

l∥α，l∥βB.

α內(nèi)不共線的三點(diǎn)到β的距離相等C.

l，m是平面α內(nèi)的直線且l∥β，m∥βD.

l，m是兩條異面直線且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β12345678910111213141516171819202022232425√解析：

對(duì)于A，α和β可平行也可相交；對(duì)于B，必須是α內(nèi)不共線的

三點(diǎn)，且在β的同側(cè)到β的距離相等，才可判定平面α與平面β平行，故

B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)l，m是平面α內(nèi)的兩條平行直線時(shí)，α與β可能相

交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)直線l，m分別作平面與平面α，β相交，設(shè)交

線分別為l1，m1與l2，m2，由l∥α，l∥β得l∥l1，l∥l2，從而l1∥l2，

則l1∥β，同理m1∥β，因?yàn)閘1與m1相交，所以α∥β.故選D.

2.

設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m?α，則“m∥β”是

“α∥β”的（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件解析：

若m?α，m∥β，而α，β可能相交或平行，充分性不成

立；若α∥β，m?α，則m∥β，必要性成立，故“m∥β”是

“α∥β”的必要不充分條件.故選B.

√3.

若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行

的棱有（

）A.0條B.1條C.2條D.1條或2條解析：

如圖，平面α即平面EFGH，則四邊形EFGH為

平行四邊形，則EF∥GH.

因?yàn)镋F?平面BCD，GH?平

面BCD，所以EF∥平面BCD.

又因?yàn)镋F?平面ACD，平

面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD.

又EF?平面

EFGH，CD?平面EFGH，所以CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以與平面α（平面EFGH）平行的棱有2條.√4.

如圖，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，且α交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，則S△A'B'C'∶S△ABC＝（

）A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.4∶25√解析：

∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC，

∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝

2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25.

A.

B.

C.

D.

√

6.

〔多選〕如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一

些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不

同，有下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A.

沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形B.

水面EFGH所在四邊形的面積為定值C.

隨著容器傾斜程度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D.

當(dāng)容器傾斜如圖3所示時(shí)，AE·AH為定值√√解析：

根據(jù)棱柱的特征（有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，

并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行），結(jié)合題圖易知A正確；由

題圖可知水面EFGH的邊EF的長(zhǎng)保持不變，但鄰邊的長(zhǎng)卻隨傾斜程度而改

變，可知B錯(cuò)誤；因?yàn)锳1C1∥AC，AC?平面ABCD，A1C1?平面

ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，當(dāng)平面EFGH不平行于平面ABCD時(shí)，

A1C1不平行于水面所在平面，故C錯(cuò)誤；當(dāng)容器傾斜如題圖3所示時(shí)，因?yàn)?/p>

水的體積是不變的，所以棱柱AEH-BFG的體積V為定值，又V＝

S△AEH·AB，高AB不變，所以S△AEH也不變，即AE·AH為定值，故D正確.7.

如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱

CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及

其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿足條件

?

時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1（注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的

一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況）.點(diǎn)M與點(diǎn)H重合（點(diǎn)M只要在線段

FH上即可）解析：連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N（圖略），則FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.8.

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA＝PB＝AB＝2，E，

F分別是AB，CD的中點(diǎn)，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，

且PG＝λGD，則λ＝

；若ED與AF相交于點(diǎn)H，則GH

＝

?.1

9.

如圖，三棱錐P-ABC中，Q為PA的中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，G為△AOC

的重心，求證：QG∥平面PBC.

證明：法一如圖1，連接OG并延長(zhǎng)交AC于M，連

接QM，QO.

由G為△AOC的重心，知M為AC中點(diǎn)，由Q為PA中點(diǎn)，得QM∥PC.

又O為AB中點(diǎn)，得OM∥BC.

又因?yàn)镼M，MO?平面OQM，PC，BC?平面PBC，QM∩MO＝M，PC∩BC＝C，所以平面OQM∥平面PBC，因?yàn)镼G?平面OQM.

所以QG∥平面PBC.

連接OG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M，易知M為AC中點(diǎn)，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N，又O為AB中點(diǎn)，得OM∥BC，根據(jù)平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例可知AG＝GN，從而在△APN中，QG為中位線，QG∥PN，因?yàn)镼G?平面PBC，PN?平面PBC，所以QG∥平面PBC.

法二如圖2，

10.

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P，Q分別

為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點(diǎn)，則下列敘述中正確的是

（

）A.

直線BQ∥平面EFGB.

直線A1B∥平面EFGC.

平面APC∥平面EFGD.

平面A1BQ∥平面EFG√解析：

過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面如圖所示（H，I分別

為AA1，BC的中點(diǎn)），連接A1B，BQ，AP，PC，易知

BQ與平面EFG相交于點(diǎn)Q，故A錯(cuò)誤；∵A1B∥HE，

A1B?平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG，

故B正確；AP?平面ADD1A1，GH?平面ADD1A1，GH

與PA的延長(zhǎng)線必相交，故C錯(cuò)誤；易知平面A1BQ與平面EFG有交點(diǎn)Q，故D錯(cuò)誤.11.

如圖，四棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D'的底面為正方形，M為CC'的中點(diǎn)，

點(diǎn)N在線段AB上，AB＝4BN.

若MN∥平面ADD'A'，則此棱臺(tái)上下底面

邊長(zhǎng)的比值為（

）A.

B.

C.

D.

√

12.

〔多選〕如圖所示是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正

方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn).在此幾何體中，

給出下列結(jié)論，正確的是（

）A.

平面EFGH∥平面ABCDB.

直線PA∥平面BDGC.

直線EF∥平面PBCD.

直線EF∥平面BDG√√√解析：

作出立體圖形如圖所示.連接E，F(xiàn)，G，

H四點(diǎn)構(gòu)成平面EFGH.

對(duì)于A，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，

PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD.

又EF?平面ABCD，AD?

平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.

同理，EH∥平面

ABCD.

又EF∩EH＝E，EF?平面EFGH，EH?平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，連接AC，BD，DG，BG，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，則M也是BD的中點(diǎn)，連接MG，則MG∥PA，又MG?平面BDG，PA?平面BDG，所以PA∥平面BDG，