第一節(jié)基本立體圖形及表面積與體積高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求1.

認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)

實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.

知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決

簡單的實(shí)際問題.3.

能用斜二測法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其

簡單組合）的直觀圖.目錄CONTENTS知識·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識|課前自修

1.

基本立體圖形（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形

名稱棱柱棱錐棱臺底面互相

?

且

?多邊形互相

且

?

?側(cè)棱互相

?

且

?相交于一點(diǎn)，但不一定

相等延長線交于

?側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形平行

全等

平行

相

似

平行

相等

一點(diǎn)

提醒常見的幾種四棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其之間的關(guān)系（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形

母線互相平行且相

等，

?于

底面長度

?且

相交于一點(diǎn)長度相等且延長線

交于

?垂直

相等

一點(diǎn)

名稱圓柱圓錐圓臺球軸截面全等的

?全等的

?

?全等的

?

?圓面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)矩形等腰三

角形等腰梯

形2.

立體圖形的直觀圖（1）畫法：常用斜二測畫法；（2）規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x'軸、y'軸的

夾角為

（或

），z'軸與x'軸和y'軸所在平面垂直；②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和

z軸的線段在直觀圖中保持原長度

，平行于y軸的線段長度在直觀

圖中變?yōu)樵瓉淼?/p>

?.45°

135°

不變

一半

3.

圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝

?S圓錐側(cè)＝

?S圓臺側(cè)＝

?2πrl

πrl

π（r＋r'）l4.

空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體（棱柱和圓柱）S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體（棱錐和圓錐）S表面積＝S側(cè)＋S底V＝

?

名稱幾何體表面積體積臺體（棱臺和圓臺）S表面積＝S側(cè)＋S上＋

S下V＝

?

?球S＝4πR2V＝

?提醒

幾何體的側(cè)面積是指（各個）側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所

有底面面積之和.

1.

原圖形與直觀圖面積的關(guān)系

2.

與體積有關(guān)的幾個結(jié)論（1）一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差；（2）底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等（祖暅原理）.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.

（

×

）（2）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.

（

×

）（3）菱形的直觀圖仍是菱形.

（

×

）（4）圓錐的任意一個軸截面都是全等的等腰三角形.

（

√

）×××√2.

（人A必修二P106習(xí)題8題改編）如圖，長方體ABCD-A'B'C'D'被截去體積較小的一部分，其中EH∥A'D'∥FG，則剩下的幾何體是（

）A.

棱臺B.

四棱柱C.

五棱柱D.

六棱柱解析：

由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱.√3.

（人A必修二P111習(xí)題1題改編）下列說法正確的是（

）A.

相等的角在直觀圖中仍然相等B.

相等的線段在直觀圖中仍然相等C.

正方形的直觀圖是正方形D.

若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行解析：

由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長度都有可能改變，而線段的

平行關(guān)系不變，正方形的直觀圖是平行四邊形.√4.

（人A必修二P119習(xí)題2題改編）如圖，把一個長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為

?.1∶47

5.

已知圓錐的表面積等于12π

cm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓

的半徑為

cm.解析：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r

cm，母線長為l

cm，依題意得2πr＝πl(wèi)，

∴l(xiāng)＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2

（cm）.2PART02考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

基本立體圖形（定向精析突破）考向1

結(jié)構(gòu)特征

〔多選〕下列說法正確的是（

）A.

底面是菱形，且有一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直的棱柱是正四棱柱B.

有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.

如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐D.

如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體√√解析：

若底面是菱形，且有一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直，則該四棱

柱底面為正方形，且側(cè)棱垂直于底面，所以該四棱柱為正四棱柱，故A正

確；棱臺是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得的，而有兩個面平行

且相似，其余各面都是梯形的多面體有可能不是棱臺，因為它的側(cè)棱延長

后不一定交于一點(diǎn)，故B錯誤；當(dāng)棱錐的各個側(cè)面的共頂點(diǎn)的角之和是

360°時，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，故C錯誤；

若每個側(cè)面都是長方形，則說明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長方形，符

合長方體的定義，故D正確.解題技法辨別空間幾何體的兩種方法考向2

直觀圖

解題技法

在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段的位置.平行于x軸的線段

的平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段的平行性不變，長度減半.考向3

展開圖

如圖，在正三棱錐S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)

B出發(fā)，沿著三棱錐的側(cè)面繞行一周回到點(diǎn)B的最短路線的長為（

）A.2B.3C.

2

D.

3

√

解題技法1.

多面體表面展開圖由剪開的位置不同可以有不同的形狀，但圖形面積相

等.借助展開圖可以求幾何體的表面積及表面上兩點(diǎn)間的距離，還可將部

分空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.2.

旋轉(zhuǎn)體表面展開圖一般沿母線剪開，多面體表面展開圖一般沿某些棱展

開，注意球無法展開成平面圖形.

1.

〔多選〕下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是（

）A.

底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.

用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C.

長方體是直平行六面體D.

存在每個面都是直角三角形的四面體√√解析：

當(dāng)頂點(diǎn)在底面的投影是正多邊形的中心時

才是正棱錐，故A不正確；當(dāng)平面與圓柱的母線平行或

垂直時，截得的截面才為圓或矩形，否則為橢圓或橢圓

的一部分，故B不正確；長方體是直平行六面體，故C正

確；如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形，故D正確.2.

如圖，一個水平放置的平面圖形由斜二側(cè)畫法得到的直觀圖A'B'C'D'是

邊長為2的菱形，且O'D'＝2，則原平面圖形的周長為（

）A.

4

＋4B.

4

＋4C.

8

D.8

√3.

某圓柱的高為2，底面周長為16，M，N分別是圓柱上、下底面圓周上

的兩點(diǎn)，其中ME垂直于底面，OE⊥ON，如圖所示，則在此圓柱側(cè)面

上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為

?.

空間幾何體的表（側(cè)）面積（師生共研過關(guān)）

（人A必修二P120習(xí)題6題改編）如圖所示為某工廠內(nèi)一手電筒最初

模型的組合體，該組合體是由一個圓臺和一個圓柱組成的，其中O為圓臺

下底面圓心，O2，O1分別為圓柱上、下底面的圓心，經(jīng)實(shí)驗測量得到圓柱

上、下底面圓的半徑為2

cm，O1O2＝5

cm，OO1＝4

cm，圓臺下底面圓半

徑為5

cm，則該組合體的表面積為（

）A.42π

cm2B.84π

cm2C.36π

cm2D.64π

cm2√

解題技法求解幾何體表面積的類型及方法（1）求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利

用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積；（2）求旋轉(zhuǎn)體的表面積：可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，

將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開

圖中的邊長關(guān)系；（3）求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、

錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和

或作差，求出所給幾何體的表面積.

如圖所示，已知三棱臺ABC-A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形，

CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，則這個三棱臺的側(cè)面積為

（

）A.

B.

C.

D.3＋2

√

空間幾何體的體積（師生共研過關(guān)）

（2）棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的

中點(diǎn)，則三棱錐A1-D1MN的體積為

?；

1（3）如圖所示，已知多面體ABC-DEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂

直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝

2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為

?.4

解題技法求空間幾何體的體積的三種方法

1.

（2025·八省聯(lián)考）底面直徑和母線長均為2的圓錐的體積為（

）A.

πB.πC.2πD.3π

√2.

如圖，一個裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為30°，液面呈橢圓形，橢圓長軸上的頂點(diǎn)M，N到容器底部的距離分別是10和16，則容器內(nèi)液體的體積是（

）A.36πB.39πC.42πD.45π√

PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

下列說法正確的是（

）A.

各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B.

球的直徑是連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段C.

以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐D.

用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺√12345678910111213141516171819202022232425解析：

雖然各側(cè)面都是正方形，但底面可能是菱形，所以該四棱柱不

一定是正方體，故A錯誤；球的直徑的定義即為“連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)

過球心的線段”，故B正確；以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一

周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得

的旋轉(zhuǎn)體是兩個共底面的圓錐組成的幾何體，故C錯誤；用一個平行于底

面的平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺，故D錯誤.2.

若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，

其中A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，則原四邊形中AO的長度

為（

）A.

B.

2

C.2D.

√

A.

2

πB.

3

πC.

6

πD.

9

π

√4.

（2025·北京東城一模）《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一年級計劃實(shí)踐這種方法，為同學(xué)們準(zhǔn)備了制瓦用的黏土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為20

cm，高為20

cm.首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為2

cm的黏土，然后，沿圓桶母線方向?qū)ね翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等黏土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學(xué)制作四

片瓦，全年級共500人，需要準(zhǔn)備的黏土量（不計損耗）約為（參考數(shù)

據(jù)：π≈3.14）（

）A.0.8

m3B.1.4

m3C.1.8

m3D.2.2

m3√解析：

由條件可得四片瓦的體積V＝π×122×20－π×102×20＝880π

（cm3），所以500名學(xué)生，每人制作4片瓦共需黏土的體積為500×880π＝

440

000π（cm3），又π≈3.14，所以共需黏土的體積約為1.381

6≈1.4

m3，

故選B.

5.

如圖所示的幾何體是從棱長為2的正方體中截去到正方體的某個頂點(diǎn)的距離均為2的幾何體后的剩余部分，則該幾何體的表面積為（

）A.24－3πB.24－πC.24＋πD.24＋5π

√6.

〔多選〕（2022·新高考Ⅱ卷11題改編）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一點(diǎn)，且BP＝2B1P，記三棱錐A1-B1C1P，四棱錐P-ACC1A1，三棱錐C-ABP的體積分別為V1，V2，V3，則（

）A.

V3＝2V1B.

V3＝V2C.

V2＝2（V1＋V3）D.

2V3＝3V1√√

128.

（2025·呂梁一模）已知圓臺O1O2的高為3，中截面（過高的中點(diǎn)且垂直

于軸的截面）的半徑為3，若中截面將該圓臺的側(cè)面分成了面積比為1∶2

的兩部分，則該圓臺的母線長為

?.

5

10.

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a（a＞1），動點(diǎn)E，F(xiàn)在棱

A1B1上，動點(diǎn)P，Q分別在棱CD，AD上，若EF＝1，A1F＝x，DP＝

y，DQ＝z（x，y，z均大于零），則四面體PEFQ的體積（

）A.

與x，y，z都有關(guān)B.

與x有關(guān)，與y，z無關(guān)C.

與y有關(guān)，與x，z無關(guān)D.

與z有關(guān)，與x，y無關(guān)√

11.

（2024·天津一模）在各棱長均為2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上、下

底面的中心分別為D，H，三個側(cè)面的中心分別為E，F(xiàn)，G，若在該三

棱柱中挖去兩個三棱錐D-EFG和H-EFG，則剩余部分的體積為（

）A.

B.

C.

D.

√

12.

一個底面半徑為2的圓錐的軸截面為正三角形，現(xiàn)用平行于底面的平面

將該圓錐截成兩個部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在圓錐上的

截面面積為（

）A.3πB.

2

πC.

2

πD.2π√

A.

B.

C.

D.

√

14.

〔多選〕如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，

∠ABC＝90°，側(cè)面AA1C1C的中心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個動點(diǎn)，

下列判斷正確的是（

）A.

直三棱柱的側(cè)面積是4＋2

B.

直三棱柱的體積是

C.

三棱錐E-AA1O的體積為定值D.

AE＋EC