第1課時雙曲線的定義、方程與性質(zhì)目錄CONTENTS12課時跟蹤檢測考點分類突破PART1考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

（1）已知定點

F

1（－2，0），

F

2（2，0），

N

是圓

O

：

x

2＋

y

2＝1上任意一點，點

F

1關(guān)于點

N

的對稱點為

M

，線段

F

1

M

的中

垂線與直線

F

2

M

相交于點

P

，則點

P

的軌跡是（

）A.橢圓B.

雙曲線C.拋物線D.

圓解析：如圖，連接

ON

，由題意可得｜

ON

｜＝1，且

N

為

MF

1的中點，又

O

為

F

1

F

2

的中點，所以｜

MF

2｜＝2.因為點

F

1關(guān)于點

N

的對稱點為

M

，線段

F

1

M

的中垂線與直線

F

2

M

相交于點

P

，由垂直平分線的性質(zhì)可得｜

PM

｜＝｜

PF

1｜，所以｜｜

PF

2｜－｜

PF

1｜｜＝｜｜

PF

2｜－｜

PM

｜｜＝｜

MF

2｜＝2＜｜

F

1

F

2｜，所以由雙曲線的定義可得，點

P

的軌跡是以

F

1，

F

2為焦點的雙曲線.

1

解題技法1.雙曲線定義的應(yīng)用（1）利用雙曲線的定義判斷平面內(nèi)動點的軌跡是否為雙曲線，進

而根據(jù)要求可求出曲線方程；（2）在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)

合｜｜

PF

1｜－｜

PF

2｜｜＝2

a

，運用平方的方法，建立關(guān)

于｜

PF

1｜·｜

PF

2｜的方程.2.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法（1）待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，

列出參數(shù)

a

，

b

，

c

的方程（組）并求出

a

，

b

，

c

的值；（2）定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出

a

的值，由

定點位置確定

c

的值.提醒

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，若焦點位置不確定，要注

意分類討論.也可以設(shè)雙曲線方程為

mx

2＋

ny

2＝1（

mn

＜

0）求解.

1.已知圓

C

1：（

x

＋3）2＋

y

2＝1，

C

2：（

x

－3）2＋

y

2＝9，動圓

M

同時與圓

C

1和圓

C

2相外切，則動圓圓心

M

的軌跡方程為（

）A.

x

2－

＝1B.

－

y

2＝1C.

x

2－

＝1（

x

≤－1）D.

x

2－

＝1（

x

≥1）

雙曲線的幾何性質(zhì)考向1

雙曲線的漸近線問題

A.

x

±

y

＝0B.2

x

±

y

＝0C.

x

±2

y

＝0D.2

x

±

y

＝0

解題技法求雙曲線漸近線方程的方法（1）求雙曲線中

a

，

b

的值，進而得出雙曲線的漸近線方程；（2）求

a

與

b

的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程；（3）令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程右側(cè)為0，將所得代數(shù)式化為一次式即為漸近

線方程.提醒

兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸

近線關(guān)于

x

軸，

y

軸對稱.考向2

雙曲線的離心率問題【例3】

（1）（2021·全國甲卷5題）已知

F

1，

F

2是雙曲線

C

的兩個

焦點，

P

為

C

上一點，且∠

F

1

PF

2＝60°，｜

PF

1｜＝3｜

PF

2｜，則

C

的離心率為（

）A.

B.

C.

D.

A.雙曲線

C

的實軸長為定值B.雙曲線

C

的焦點在

y

軸上C.雙曲線

C

的離心率為定值D.雙曲線

C

的漸近線方程為

y

＝±

x

雙曲線模型的實際應(yīng)用【例4】某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：

正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間

比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m.則該

巨響發(fā)生在接報中心的（假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各

點均在同一平面上）（

）A.北偏西45°方向，距離680

mB.南偏東45°方向，距離680

mC.北偏西45°方向，距離680

mD.南偏東45°方向，距離680

m

解題技法利用雙曲線模型解決實際問題的步驟（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（2）求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）根據(jù)雙曲線方程及性質(zhì)解決實際應(yīng)用問題（注意實際意義）.

（2024·濮陽模擬）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種

設(shè)計中，例如從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射

后，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個焦點.如圖，從雙曲線

C

的右焦

點

F

2發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經(jīng)過

左焦點

F

1.已知入射光線

F

2

P

的斜率為－2，且

F

2

P

和反射光線

PE

互相垂直（其中

P

為入射點），則雙曲線

C

的漸近線方程為

?

?.2

x

＋

y

＝0和2

x

－

y

＝0

PART2課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)

A.－2＜

m

＜1B.

m

＞1C.

m

＜－2D.

－1＜

m

＜2

12345678910111213141516171819202122232425262728

A.

＝1B.

＝1C.

x

2－

＝1D.

－

y

2＝1

A.

y

＝±2

x

B.

y

＝±

x

C.

y

＝±

x

D.

y

＝±

x

4.已知

F

1，

F

2為雙曲線

C

：

x

2－

y

2＝2的左、右焦點，點

P

在

C

上，｜

PF

1｜＝2｜

PF

2｜，則cos∠

F

1

PF

2＝（

）A.

B.

C.

D.

A.雙曲線

C

的實軸長為8B.雙曲線

C

的漸近線方程為

y

＝±

x

C.雙曲線

C

的焦點到漸近線的距離為3D.雙曲線

C

上的點到焦點距離的最小值為

－1

A.2

πB.3πC.2

πD.4π

A.

B.

C.

D.

A.雙曲線

C

的離心率為

B.雙曲線

＝1與雙曲線

C

的漸近線相同C.若

PO

⊥

PF

，則△

PFO

的面積為

D.｜

PF

｜的最小值為2

±2

（1）用

a

表示｜

PF

1｜，｜

PF

2｜；

（2）若∠

F

1

PF

2是鈍角，求雙曲線的離心率

e

的取值范圍.

A.

B.3C.

D.5

解：根據(jù)題意，道路

MN

段上的任意一點到景點

A

的距離比到景點

B

的距離都多16km，則道路

MN

所在的曲線是以定點

A

，

B

為左、右焦點的雙曲線的右支，其方程為

x

2－

y

2＝64（8≤

x

≤10，0≤

y

≤6）.又由道路

NP

段上的任意一點到

O

的距離都相等，則道路

NP

所在的曲線為以

O

為圓心，

ON

為半徑的圓，其方程

為

x

2＋

y

2＝64（－8≤

y

≤0）.故道路

M

-

N

-

P

對應(yīng)的曲線方程為

MN

段：

x

2－