第三章：單自由度體系的自由振動(dòng)

自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)受到擾動(dòng)離開平衡位置以后，不再受任何外力影響的振動(dòng)過程。

運(yùn)動(dòng)方程：擾動(dòng)的表現(xiàn)：

3.1無阻尼自由振動(dòng)

無阻尼：c=0自由振動(dòng)：p(t)=0運(yùn)動(dòng)方程：初始條件：

3.1無阻尼自由振動(dòng)

設(shè)無阻尼自由振動(dòng)解的形式為：

其中：s

為待定系數(shù)；A

為常數(shù)系數(shù)方程：兩個(gè)虛根：

3.1無阻尼自由振動(dòng)

運(yùn)動(dòng)方程的通解為：

指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系：運(yùn)動(dòng)方程的解：A，B—待定常數(shù)，由初始條件確定。3.1無阻尼自由振動(dòng)

將位移

和速度帶入初始條件：得待定常數(shù)為：3.1無阻尼自由振動(dòng)

體系無阻尼自由振動(dòng)的解

其中無阻尼振動(dòng)是一個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)（Simpleharmonicmotion）

ωn——圓頻率

3.1無阻尼自由振動(dòng)

圖3.1

無阻尼體系的自由振動(dòng)

形式2：3.1無阻尼自由振動(dòng)

結(jié)構(gòu)自振頻率和自振周期

自振頻率：Naturalfrequency(ofvibration)

自振周期：NaturalPeriod(ofvibration)

——結(jié)構(gòu)的重要?jiǎng)恿μ匦?.1無阻尼自由振動(dòng)

結(jié)構(gòu)自振頻率和自振周期及其關(guān)系

自振圓頻率：(單位：弧度/秒,rad/s)自振周期：(單位：秒,sec)自振頻率：(單位：周/秒,赫茲,Hz)第3章單自由度體系的自由振動(dòng)

3.2有阻尼自由振動(dòng)

運(yùn)動(dòng)方程：初始條件：

3.2有阻尼自由振動(dòng)

令u(t)=est，代入運(yùn)動(dòng)方程

得：

3.2有阻尼自由振動(dòng)

u(t)=est

當(dāng)：

體系不發(fā)生往復(fù)的振動(dòng)當(dāng)：

體系產(chǎn)生往復(fù)的振動(dòng)

使：成立的阻尼c稱為臨界阻尼臨界阻尼記為ccr：

微分方程的特征方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，方程的解為A、B為待定系數(shù)，由初始條件確定對(duì)于臨界阻尼情況3.2有阻尼自由振動(dòng)

臨界阻尼體系的自由振動(dòng)

3.2有阻尼自由振動(dòng)

1.臨界阻尼和阻尼比

臨界阻尼：體系自由振動(dòng)反應(yīng)中不出現(xiàn)往復(fù)振動(dòng)所需的最小阻尼值。臨界阻尼完全由結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量決定的常數(shù)。阻尼比：阻尼系數(shù)c和臨界阻尼ccr的比值，用ζ表示

3.2有阻尼自由振動(dòng)

（1）當(dāng)ζ＜1時(shí)，稱為低阻尼（Underdamped），結(jié)構(gòu)體系稱為低阻尼體系（2）當(dāng)ζ＝1時(shí)，稱為臨界阻尼（Criticallydamped）（3）當(dāng)ζ＞1時(shí)，稱為過阻尼（Overdamped），結(jié)構(gòu)體系稱為過阻尼體系。

對(duì)于鋼結(jié)構(gòu)：

鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)：

3.2有阻尼自由振動(dòng)

低阻尼、臨界阻尼和高阻尼體系的自由振動(dòng)曲線3.2有阻尼自由振動(dòng)

2.低阻尼體系（UnderdampedSystems）

將：代入：得：

低阻尼體系滿足初始條件的自由振動(dòng)解：其中：

ωD—阻尼體系的自振頻率

3.2有阻尼自由振動(dòng)

ωD—阻尼體系的自振頻率

TD—阻尼體系的自振周期

ωn和Tn分別為無阻尼體系的自振頻率和自振周期(1)阻尼的存在使體系自由振動(dòng)的自振頻率變小(2)阻尼的存在使體系的自振周期變長，當(dāng)ζ＝1時(shí)，自振周期TD=∞。

3.2有阻尼自由振動(dòng)

現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)：ωD

和TD理論計(jì)算：ωn

和Tn工程中結(jié)構(gòu)的阻尼比ζ在1—5%之間，一般不超過20%，因此可以用有阻尼體系的結(jié)果代替無阻尼結(jié)果。阻尼對(duì)自振頻率和自振周期的影響3.2有阻尼自由振動(dòng)

(1)低阻尼體系的阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的影響很大，因而，合理地確定體系的阻尼是結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題研究中的一項(xiàng)重要工作。(2)由于阻尼對(duì)體系的衰減自由振動(dòng)曲線影響大，通過對(duì)體系衰減曲線的分析，可以有效地分辨出不同體系的阻尼比。3.2有阻尼自由振動(dòng)

3.運(yùn)動(dòng)的衰減和阻尼比的測(cè)量

相鄰振動(dòng)峰值比：

3.2有阻尼自由振動(dòng)

對(duì)數(shù)衰減率δ:

阻尼比計(jì)算公式：小阻尼時(shí)計(jì)算公式：3.2有阻尼自由振動(dòng)

相隔j周的振動(dòng)峰值比：對(duì)數(shù)衰減率：阻尼比：J50%—振幅衰減至50%所需的次數(shù)經(jīng)驗(yàn)表明，振幅減少到50％，臨界阻尼比等于10％、5％、2％時(shí)，所需循環(huán)次數(shù)分別為1、2、4。3.2有阻尼自由振動(dòng)

4.自由振動(dòng)試驗(yàn)

阻尼比ζ的測(cè)量（當(dāng)ζ＜20%時(shí)）：用位移記錄：用加速度記錄：結(jié)構(gòu)的自振周期TD的測(cè)量：用相鄰振幅的時(shí)間間隔來計(jì)算：

3.2有阻尼自由振動(dòng)

4.自由振動(dòng)試驗(yàn)

算例3.1

用自由振動(dòng)法研究一單層框架結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，用一鋼索給結(jié)構(gòu)的屋面施加P=73kN的水平力，使框架結(jié)構(gòu)產(chǎn)生Δst=5.0cm的水平位移，突然切斷鋼索，讓結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)，經(jīng)過2.0sec，結(jié)構(gòu)振動(dòng)完成了4周循環(huán)，振幅變?yōu)?.5cm。從以上數(shù)據(jù)計(jì)算：①阻尼比ζ；②無阻尼自振周期Tn；③等效剛度k；④等效質(zhì)量m；⑤阻尼系數(shù)c；⑥位移振幅衰減到0.5cm時(shí)所需的振動(dòng)周數(shù)。3.2有阻尼自由振動(dòng)

4.自由振動(dòng)試驗(yàn)

解：① 計(jì)算阻尼比ζ

ui=5.0cm，j=4，ui+j=2.5cm代入方程：得：結(jié)構(gòu)屬于小阻尼體系3.2有阻尼自由振動(dòng)

4.自由振動(dòng)試驗(yàn)

解：②計(jì)算無阻尼自振周期Tn

(振動(dòng)周次：4；時(shí)間：2秒)有阻尼自振周期：無阻尼自振周期：對(duì)于小阻尼體系，自振周期近似等于無阻尼自振周期

3.2有阻尼自由振動(dòng)

4.自由振動(dòng)試驗(yàn)

解：③計(jì)算等效剛度k(外荷載P=73kN，靜位移Δst=0.05m)

④等效質(zhì)量m3.2有阻尼自由振動(dòng)

4.自由振動(dòng)試驗(yàn)

解：⑤阻尼系數(shù)c

3.2有阻尼自由振動(dòng)

4.自由振動(dòng)試驗(yàn)

解：⑥位移振幅衰減到0.5cm時(shí)所需的振動(dòng)周數(shù)

3.3自由振動(dòng)過程中的能量

SDOF體系中能量來源:初始位移和初始速度體系初始時(shí)刻具有的總能量:任意t時(shí)刻體系的總能量:其中,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能EK和彈簧的應(yīng)變能ES

：

3.3自由振動(dòng)過程中的能量

無阻尼體系中的能量:

無阻尼體系自由振動(dòng)過程中的總能量守恒，不隨時(shí)間變化，等于初始時(shí)刻輸入的能量。

3.3自由振動(dòng)過程中的能量

有阻尼體系中的能量:

在0至t時(shí)刻由粘性阻尼耗散的能量ED為：

阻尼在體系振動(dòng)過程中始終在消耗能量t→∞體系中的總能量將完全被阻尼所消耗當(dāng)t→∞時(shí)，ED=EI

3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動(dòng)

具有庫侖摩擦阻尼的彈簧—質(zhì)點(diǎn)體系

(b)：(c)：其中

-特解-無阻尼自由振動(dòng)頻率3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動(dòng)

設(shè)在初始時(shí)刻t=0初始條件為：在第一個(gè)半周循環(huán)（0≤t≤Tn/2）：由初始條件：

振動(dòng)解：一個(gè)余弦函數(shù)，振幅為u(0)－uF，但其中軸向上偏移uF

當(dāng)t=π/ωn(=Tn/2)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)達(dá)到負(fù)向最大值：3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動(dòng)

在第二個(gè)半周循環(huán)（Tn/2≤t≤Tn）：在時(shí)刻t=Tn/2的條件為：由初始條件：

振動(dòng)解：振動(dòng)的振幅為u(0)－3uF，但其中軸向下偏移uF

當(dāng)t=2π/ωn(=Tn)時(shí)：3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動(dòng)

在第三個(gè)半周循環(huán)（T≤t≤3Tn/2）：○○○在每一周循環(huán)中，振幅衰減了4uF

：3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動(dòng)

具有庫侖摩擦阻尼的彈簧—質(zhì)點(diǎn)體系的自由振動(dòng)時(shí)程3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動(dòng)