第四節(jié)事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義；結(jié)合古典概

型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率、了解條件概率，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的

條件概率.2.結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系，會(huì)用乘法公式計(jì)算

概率.3.結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.目錄CONTENTS123知識(shí)體系構(gòu)建課時(shí)跟蹤檢測(cè)考點(diǎn)分類突破PART1知識(shí)體系構(gòu)建必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

1.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中

靶概率為0.9，則兩人都中靶的概率為（

）A.0.26B.0.98C.0.72D.0.9解析：

甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，顯然甲中靶的

事件與乙中靶的事件相互獨(dú)立，所以甲、乙兩人都中靶的概率為

0.8×0.9＝0.72，故選C.

A.

B.

C.

D.

4.兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)的廢品率為0.04，第二臺(tái)的廢品

率為0.07，加工出來(lái)的零件混放，且第一臺(tái)加工的零件是第二臺(tái)加

工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件，則它是合格品的概率為

?.

0.95

1.事件

A

與事件

B

是互斥事件，則

A

與

B

不相互獨(dú)立.2.已知

P

（

A

）＞0，

P

（

B

）＞0，

P

（

B

｜

A

）＝

P

（

B

），則

P

（

A

｜

B

）＝

P

（

A

）.A

1.一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體，六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，

拋擲這個(gè)正方體一次，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字得到樣本空

間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，設(shè)事件

E

＝{1，2}，事件

F

＝{1，

3}，事件

G

＝{2，4}，則（

）A.

E

與

F

不是互斥事件B.

F

與

G

是對(duì)立事件C.

E

與

F

是獨(dú)立事件D.

F

與

G

是獨(dú)立事件

PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練相互獨(dú)事件的概率【例1】

（1）設(shè)

M

，

N

為兩個(gè)隨機(jī)事件，則以下命題是真命題的為

（

）A.若

M

，

N

為互斥事件，且

P

（

M

）＝

，

P

（

N

）＝

，則

P

（

M

∪

N

）＝

B.若

P

（

M

）＝

，

P

（

N

）＝

，

P

（

MN

）＝

，則事件

M

，

N

相

互獨(dú)立C.若

P

（

M

）＝

，

P

（

）＝

，

P

（

MN

）＝

，則事件

M

，

N

相

互獨(dú)立D.若

P

（

M

）＝

，

P

（

N

）＝

，

P

（

）＝

，則事件

相

互獨(dú)立

（2）（2022·全國(guó)乙卷10題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一

盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝

的概率分別為

p

1，

p

2，

p

3，且

p

3＞

p

2＞

p

1＞0.記該棋手連勝兩

盤的概率為

p

，則（

）A.

p

與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，

p

最大C.該棋手在第二盤與乙比賽，

p

最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，

p

最大解析：法一設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為

P

甲，在第二

盤與乙比賽連勝兩盤的概率為

P

乙，在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為

P

丙，由題意可知，

P

甲＝2

p

1[

p

2（1－

p

3）＋

p

3（1－

p

2）]＝2

p

1

p

2＋2

p

1

p

3－4

p

1

p

2

p

3，

P

乙＝2

p

2[

p

1（1－

p

3）＋

p

3（1－

p

1）]＝2

p

1

p

2＋2

p

2

p

3－4

p

1

p

2

p

3，

P

丙＝2

p

3[

p

1（1－

p

2）＋

p

2（1－

p

1）]＝2

p

1

p

3＋2

p

2

p

3－4

p

1

p

2

p

3.所以

P

丙－

P

甲＝2

p

2（

p

3－

p

1）＞0，

P

丙－

P

乙＝2

p

1（

p

3－

p

2）＞0，所以

P

丙最大，故選D.法二（特殊值法）

不妨設(shè)

p

1＝0.4，

p

2＝0.5，

p

3＝0.6，則該棋手在

第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率

P

甲＝2

p

1[

p

2（1－

p

3）＋

p

3（1－

p

2）]＝0.4；在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率

P

乙＝2

p

2[

p

1（1－

p

3）

＋

p

3（1－

p

1）]＝0.52；在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率

P

丙＝2

p

3[

p

1（1－

p

2）＋

p

2（1－

p

1）]＝0.6.所以

P

丙最大，故選D.解題技法

求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟（1）確定各事件是相互獨(dú)立的；（2）確定各事件會(huì)同時(shí)發(fā)生；（3）求每個(gè)事件發(fā)生的概率，再用公式求解.

1.（2021·新高考Ⅰ卷8題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，

4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第

一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字

是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件

“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A.甲與丙相互獨(dú)立B.

甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.

丙與丁相互獨(dú)立

?

條件概率【例2】

（1）（2023·全國(guó)甲卷6題）某地的中學(xué)生中有60％的同學(xué)

愛(ài)好滑冰，50％的同學(xué)愛(ài)好滑雪，70％的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪.在

該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也

愛(ài)好滑冰的概率為（

）A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

（2）在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品，現(xiàn)從中不放回地

取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次

取到不合格品的概率為

?.

A.

B.

C.

D.

2.有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種

子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為

?.解析：設(shè)種子發(fā)芽為事件

A

，種子成長(zhǎng)為幼苗為事件

B

（發(fā)芽又成

長(zhǎng)為幼苗）.依題意

P

（

B

｜

A

）＝0.8，

P

（

A

）＝0.9.根據(jù)條件概

率公式

P

（

AB

）＝

P

（

B

｜

A

）·

P

（

A

）＝0.8×0.9＝0.72，即這粒

種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.0.72全概率公式【例3】

（1）（2024·威海質(zhì)檢）某考生回答一道四選一的考題，

假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時(shí)，答對(duì)的概率為

100％，而不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率為0.25，那么他答對(duì)題目的概

率為（

）A.0.625B.0.75C.0.5D.0

（2）（教材題改編）某學(xué)校有

A

，

B

兩家餐廳，甲同學(xué)第一天午餐時(shí)

隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第一天去

A

餐廳，那么第二天去

A

餐廳的概率為0.6；如果第一天去

B

餐廳，那么第二天去

A

餐廳

的概率為0.8.則甲同學(xué)第二天去

A

餐廳用餐的概率為

?.0.7解析：設(shè)

A

1＝“第1天去

A

餐廳用餐”，

B

1＝“第1天去

B

餐廳

用餐”，

A

2＝“第2天去

A

餐廳用餐”，則Ω＝

A

1∪

B

1，且

A

1

與

B

1互斥，根據(jù)題意得，

P

（

A

1）＝

P

（

B

1）＝0.5，

P

（

A

2｜

A

1）＝0.6，

P

（

A

2｜

B

1）＝0.8，由全概率公式，得

P

（

A

2）

＝

P

（

A

1）

P

（

A

2｜

A

1）＋

P

（

B

1）

P

（

A

2｜

B

1）＝0.5×0.6

＋0.5×0.8＝0.7.解題技法應(yīng)用全概率公式求概率的思路（1）按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件

Ai

（

i

＝1，2，…，

n

）；（2）求

P

（

Ai

）和所求事件

B

在各個(gè)互斥事件

Ai

發(fā)生條件下的概率

P

（

Ai

）

P

（

B

｜

Ai

）；（3）代入全概率公式計(jì)算.

A.

B.

C.

D.

2.（2024·六盤水第一次?？迹┎シN用的一批一等葫蘆種子中混有2％

的二等種子，1.5％的三等種子，1％的四等種子，一、二、三、四

等種子長(zhǎng)出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實(shí)的概率分別為0.5，0.15，

0.1，0.05，則這批種子所生長(zhǎng)出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實(shí)的概率

為（

）A.0.3815B.0.4815C.0.3825D.0.4825解析：

設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事

件分別是

A

1，

A

2，

A

3，

A

4，則Ω＝

A

1∪

A

2∪

A

3∪

A

4，且

A

1，

A

2，

A

3，

A

4兩兩互斥，設(shè)

B

表示“從這批種子中任選一顆，所生長(zhǎng)

出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實(shí)”，則

P

（

B

）＝

P

（

A

1）

P

（

B

｜

A

1）＋

P

（

A

2）·

P

（

B

｜

A

2）＋

P

（

A

3）

P

（

B

｜

A

3）＋

P

（

A

4）

P

（

B

｜

A

4）＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝

0.4825.PART3課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)

A.

B.

C.

D.

123456789101112131415161718192021222324252627282.（2024·酒泉模擬）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記兩枚骰子正

面向上的點(diǎn)數(shù)分別為

x

，

y

，則在2

x

＋

y

＝12的條件下，

x

與

y

不相

等的概率是（

）A.

B.

C.

D.

A.0.21B.0.4C.0.42D.0.58

A.

B.

C.

D.

B

A

6.（多選）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅

球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別用

A

1，

A

2和

A

3表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜?/p>

中隨機(jī)取出一球，用

B

表示從乙罐取出的球是紅球，則下列結(jié)論中

正確的是（

）A.

P

（

B

｜

A

1）＝

B.

P

（

B

）＝

C.事件

B

與事件

A

1相互獨(dú)立

D.

A

1，

A

2，

A

3兩兩互斥

7.人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥?lái)一定時(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化，往往會(huì)去分析影

響股票價(jià)格的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利

率下調(diào)的概率為60％，利率不變的概率為40％.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，人們估

計(jì)，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價(jià)格上漲的概率為80％，而在

利率不變的情況下，其價(jià)格上漲的概率為40％，則該支股票價(jià)格上

漲的概率為

?.64％

A

9.（多選）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗

歷程，增進(jìn)全體黨員干部職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，某單位組織開展

黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題

中（有3道選擇題和2道填空題），不放回地依次隨機(jī)抽取2道題作

答，設(shè)事件

A

為“第1次抽到選擇題”，事件

B

為“第2次抽到選擇

題”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A.

P

（

A

）＝

B.

P

（

AB

）＝

C.

P

（

B

｜

A

）＝

D.

P

（

B

｜

）＝

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.若將整個(gè)樣本空間看成一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，任何事件都對(duì)應(yīng)樣

本空間的一個(gè)子集，且事件發(fā)生的概率對(duì)應(yīng)子集的面積.則如圖所

示的陰影部分的面積表示（

）A.事件

A

發(fā)生的概率B.事件

B

發(fā)生的概率C.在事件

B

不發(fā)生的條件下事件

A

發(fā)生的概率D.事件

A

，

B

同時(shí)發(fā)生的概率

12.（多選）（2023·新高考Ⅱ卷12題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)

的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的

概率為1－α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概

率為1－β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指

每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；