九年級數(shù)學(xué)特殊平行四邊形測試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.矩形的對角線具有的核心性質(zhì)是（）A.互相垂直B.相等C.平分一組對角D.互相垂直且平分答案：B解析：矩形的對角線相等且互相平分，互相垂直是菱形的特性，故選B。2.菱形的兩條對角線長分別為4和6，則該菱形的面積是（）A.12B.24C.10D.20答案：A解析：菱形面積公式為對角線乘積的一半，即\((4×6)/2=12\)，故選A。3.下列條件中，能直接判定四邊形是正方形的是（）A.對角線互相平分的矩形B.對角線相等的菱形C.有一個角是直角的平行四邊形D.鄰邊相等的平行四邊形答案：B解析：正方形是特殊的菱形（對角線相等），也是特殊的矩形（對角線垂直），故選B。4.如圖，矩形ABCD沿EF折疊，使點B落在AD邊上的點B'處，若∠B'EC=50°，則∠AEB'的度數(shù)為（）A.65°B.70°C.75°D.80°答案：B解析：折疊后∠BEC=∠B'EC=50°，則∠BEB'=100°，故∠AEB'=180°-100°=80°？不對，等一下，矩形AD∥BC，∠AEB'與∠B'EC是同旁內(nèi)角，應(yīng)為∠AEB'+∠B'EC=180°，所以∠AEB'=180°-50°=130°？不對，可能圖中B'在AD上，折疊后∠BEF=∠B'EF，設(shè)∠AEB'=x，則∠B'EF=(180°-x)/2，∠B'EC=50°，所以∠B'EF+∠FEC=∠B'EC=50°，而∠FEC=∠BEF=(180°-x)/2，所以(180°-x)/2+(180°-x)/2=50°？不對，可能我之前的題設(shè)計有誤，應(yīng)該改為：矩形ABCD沿EF折疊，使點C落在AB邊上的點C'處，∠DEC'=40°，求∠EFC'，這樣答案是70°，如之前的解析，所以第4題應(yīng)調(diào)整為：4.如圖，矩形ABCD沿EF折疊，使點C落在AB邊上的點C'處，若∠DEC'=40°，則∠EFC'的度數(shù)為（）A.70°B.65°C.60°D.55°答案：A解析：折疊后∠DEC=∠DEC'=40°，故∠DEF=∠CEF=(180°-40°)/2=70°；矩形AD∥BC，故∠EFC'=∠DEF=70°（內(nèi)錯角相等），故選A。5.在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點A(0,0)、B(1,0)、C(1,2)，則頂點D的坐標(biāo)為（）A.(0,2)B.(2,2)C.(0,-2)D.(2,0)答案：A解析：菱形對邊平行且相等，向量AB=(1,0)，故向量DC=AB，因此D=C-AB=(1-1,2-0)=(0,2)，故選A。二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）6.菱形的邊長為5，面積為20，則該菱形的高為______。答案：4解析：菱形面積=邊長×高，故高=20÷5=4。7.矩形ABCD中，AB=2，BC=3，折疊使點B與點D重合，折痕為EF，則EF的長為______。答案：15/4解析：連接BD，EF垂直平分BD，OB=BD/2=√(22+32)/2=√13/2；設(shè)BE=x，則DE=x，AE=3-x，在Rt△ABE中，22+(3-x)2=x2，解得x=13/6；在Rt△BOE中，OE=√(x2-OB2)=√((169/36)-(13/4))=√((____)/36)=√(52/36)=√13/3，故EF=2OE=2√13/3？不對，之前的計算有誤，正確步驟：BD=√(AB2+BC2)=√(4+9)=√13，OB=OD=√13/2；設(shè)BE=x，則DE=x，AE=BC-BE=3-x；在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即22+(3-x)2=x2，展開得4+9-6x+x2=x2，解得13-6x=0，x=13/6；在Rt△BOE中，OE2=BE2-OB2=(169/36)-(13/4)=169/____/36=52/36=13/9，故OE=√13/3，EF=2OE=2√13/3，這樣答案是2√13/3，符合要求。8.正方形的對角線長為2，則其面積為______。答案：2解析：正方形面積=對角線2/2=22/2=2。9.順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是______。答案：菱形解析：矩形對角線相等，中點四邊形鄰邊分別平行于對角線且等于對角線一半，故四邊相等，為菱形。10.點A(0,1)、B(1,0)，點P在x軸上，若四邊形OAPB是菱形，則點P的坐標(biāo)為______。答案：(1,0)（注：調(diào)整為點A(0,0)、B(2,0)，點P在y軸上，四邊形OABP是菱形，則P(0,2)或(0,-2)）答案：(0,2)或(0,-2)解析：菱形邊長相等，OA=OB=2，故OP=2，P在y軸上，坐標(biāo)為(0,2)或(0,-2)。三、解答題（本大題共5小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）11.（8分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，E、F分別是OB、OC的中點。求證：四邊形AEFD是平行四邊形。證明：∵矩形ABCD，∴AC=BD，OA=OC=OB=OD（矩形對角線性質(zhì)）?！逧、F是OB、OC中點，∴OE=OB/2，OF=OC/2，故OE=OF（OB=OC）。又∵OA=OD，∴四邊形AEFD的對角線AF、DE互相平分（OA=OD，OE=OF），故四邊形AEFD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）。12.（10分）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E為AD中點，連接OE。求證：OE=AB/2。證明：∵菱形ABCD，∴AC⊥BD（菱形對角線互相垂直），故△AOD是直角三角形。∵E為AD中點，∴OE是Rt△AOD斜邊AD的中線（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），故OE=AD/2。又∵菱形AB=AD（菱形四邊相等），∴OE=AB/2。13.（10分）如圖，正方形ABCD中，E為AB邊上一點，F(xiàn)為BC邊上一點，且AE=BF，連接DE、AF交于點G。求證：DE⊥AF。證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠B=∠BAD=90°。∵AE=BF，∴BE=AB-AE=AD-BF=AD-AE（不對，應(yīng)該是BF=AE，故在△ABF和△DAE中，AB=DA，∠B=∠DAE=90°，BF=AE，故△ABF≌△DAE（SAS）?！唷螧AF=∠ADE（全等三角形對應(yīng)角相等）?！摺螧AF+∠DAF=90°（正方形角為直角），∴∠ADE+∠DAF=90°（等量代換）。在△ADG中，∠ADE+∠DAF+∠AGD=180°，故∠AGD=180°-90°=90°，即DE⊥AF。14.（10分）如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，求對角線AC、BD的長。解：∵菱形ABCD，∠ABC=60°，AB=BC=2（菱形四邊相等），故△ABC是等邊三角形，AC=AB=2。對角線AC⊥BD（菱形性質(zhì)），OA=AC/2=1，OB=BD/2。在Rt△AOB中，OB=√(AB2-OA2)=√(22-12)=√3，故BD=2OB=2√3。答案：AC=2，BD=2√3。15.（12分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A(0,0)，B(3,0)，點C在y軸正半軸上，點D在第一象限，四邊形ABCD是菱形。（1）求點D的坐標(biāo)（用含點C坐標(biāo)的式子表示）；（2）若菱形ABCD的面積為6，求點D的坐標(biāo)。解：（1）設(shè)點C坐標(biāo)為(0,c)（c>0），∵菱形ABCD，∴AB=BC=CD=DA，且AB∥CD，AD∥BC。點A(0,0)，B(3,0)，故AB=3，向量AB=(3,0)，故點D坐標(biāo)為C+AB=(0+3,c+0)=(3,c)（菱形對邊平行且相等）。答案：D(3,c)（c>0）。（2）菱形面積=AB×高=3×c=6（高為點C到AB的距離，即c），解得c=2。故點D坐標(biāo)為(3,2)。答案：D(3,2)。四、附加題（本大題共1小題，共10分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）16.如圖，正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，連接AE、CE，過E作EF⊥AE交BC于點F。求證：AE=EF。證明：過E作EG⊥AB于G，EH⊥BC于H，∵正方形對角線BD平分∠ABC，故EG=EH（角平分線上的點到兩邊距離相等），且∠EGH=∠EHG=90°，故四邊形EGHB是正方形，∠GEH=90°?！逧F⊥AE，故∠AEG+∠GEF=90°，又∠GEF+∠FEH=90°，故∠AEG=∠