24.4.1弧長(zhǎng)和扇形面積第二十四章

圓人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)【公開(kāi)課精品課件】授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********24.4.1弧長(zhǎng)和扇形面積一、引入在生活中，我們常常會(huì)遇到與弧長(zhǎng)和扇形面積相關(guān)的問(wèn)題。比如，制作一個(gè)扇形的燈罩需要計(jì)算所用材料的面積，修建弧形的跑道需要知道跑道的長(zhǎng)度。這些都涉及到弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算。這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)如何計(jì)算弧長(zhǎng)和扇形面積。二、弧長(zhǎng)公式（一）推導(dǎo)過(guò)程我們知道，圓的周長(zhǎng)公式為\(C=2\pir\)（其中\(zhòng)(r\)為圓的半徑），圓的周長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的是圓心角為\(360^\circ\)的弧長(zhǎng)。那么，圓心角為\(1^\circ\)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)的\(\frac{1}{360}\)，即\(\frac{2\pir}{360}=\frac{\pir}{180}\)。因此，圓心角為\(n^\circ\)的弧長(zhǎng)\(l\)的計(jì)算公式為：\(l=\frac{n\pir}{180}\)。（二）公式解讀在弧長(zhǎng)公式\(l=\frac{n\pir}{180}\)中，\(n\)表示圓心角的度數(shù)，\(r\)表示圓的半徑，\(l\)表示弧長(zhǎng)。應(yīng)用公式時(shí)，要注意單位的統(tǒng)一，\(n\)的單位是度，\(r\)和\(l\)的單位要一致。三、扇形面積公式（一）扇形的定義由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形。（二）面積公式推導(dǎo)圓的面積公式為\(S=\pir^2\)，圓的面積對(duì)應(yīng)的是圓心角為\(360^\circ\)的扇形面積。那么，圓心角為\(1^\circ\)的扇形面積就是圓面積的\(\frac{1}{360}\)，即\(\frac{\pir^2}{360}\)。因此，圓心角為\(n^\circ\)的扇形面積\(S\)的計(jì)算公式為：\(S=\frac{n\pir^2}{360}\)。另外，扇形面積還可以通過(guò)弧長(zhǎng)來(lái)表示。因?yàn)閈(l=\frac{n\pir}{180}\)，所以\(\frac{n\pir}{360}=\frac{1}{2}l\)，代入扇形面積公式可得\(S=\frac{1}{2}lr\)（其中\(zhòng)(l\)為扇形的弧長(zhǎng)，\(r\)為扇形所在圓的半徑）。（三）公式解讀扇形面積的兩個(gè)公式各有側(cè)重，\(S=\frac{n\pir^2}{360}\)適用于已知圓心角和半徑的情況；\(S=\frac{1}{2}lr\)適用于已知弧長(zhǎng)和半徑的情況，應(yīng)用時(shí)可根據(jù)具體條件選擇合適的公式。四、例題講解例題1：已知一個(gè)圓的半徑為6cm，求圓心角為\(60^\circ\)所對(duì)的弧長(zhǎng)。解：根據(jù)弧長(zhǎng)公式\(l=\frac{n\pir}{180}\)，其中\(zhòng)(n=60^\circ\)，\(r=6\)cm，可得：\(l=\frac{60\times\pi\times6}{180}=\frac{360\pi}{180}=2\pi\)（cm）所以，圓心角為\(60^\circ\)所對(duì)的弧長(zhǎng)為\(2\pi\)cm。例題2：一個(gè)扇形的圓心角為\(120^\circ\)，所在圓的半徑為9cm，求這個(gè)扇形的面積。解：方法一：根據(jù)扇形面積公式\(S=\frac{n\pir^2}{360}\)，其中\(zhòng)(n=120^\circ\)，\(r=9\)cm，可得：\(S=\frac{120\times\pi\times9^2}{360}=\frac{120\times\pi\times81}{360}=27\pi\)（\(cm^2\)）方法二：先求出扇形的弧長(zhǎng)\(l\)，\(l=\frac{120\times\pi\times9}{180}=6\pi\)（cm）再根據(jù)\(S=\frac{1}{2}lr\)，可得\(S=\frac{1}{2}\times6\pi\times9=27\pi\)（\(cm^2\)）所以，這個(gè)扇形的面積為\(27\pi\)\(cm^2\)。五、課堂練習(xí)填空題（1）一個(gè)圓的半徑為5cm，圓心角為\(90^\circ\)所對(duì)的弧長(zhǎng)為（

）cm。（2）一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為\(4\pi\)cm，所在圓的半徑為6cm，則這個(gè)扇形的圓心角為（

）度。解答題（1）已知一個(gè)圓的半徑為10cm，求圓心角為\(150^\circ\)所對(duì)的弧長(zhǎng)和該弧所在扇形的面積。（2）一個(gè)扇形的面積為\(10\pi\)\(cm^2\)，圓心角為\(72^\circ\)，求該扇形所在圓的半徑。六、課堂總結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算?；￠L(zhǎng)公式是\(l=\frac{n\pir}{180}\)，它是根據(jù)圓心角與周角的比例關(guān)系推導(dǎo)出來(lái)的；扇形面積有兩個(gè)公式，分別是\(S=\frac{n\pir^2}{360}\)和\(S=\frac{1}{2}lr\)，可根據(jù)不同的已知條件選擇使用。掌握這些公式，能幫助我們解決生活中與弧長(zhǎng)和扇形面積相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。七、作業(yè)布置教材第XX頁(yè)習(xí)題24.4的第1-5題。一個(gè)圓形花壇的半徑為8m，現(xiàn)要在花壇周圍修建一條弧形的小路，小路所對(duì)的圓心角為\(60^\circ\)，求小路的長(zhǎng)度和小路與花壇圍成的扇形的面積。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解圖片欣賞

如圖，在運(yùn)動(dòng)會(huì)的

4×100米比賽中，甲和乙分別在第

1

跑道和第

2

跑道，為什么他們的起跑線不在同一處？怎樣計(jì)算彎道的“展直長(zhǎng)度”？因?yàn)橐ＷC這些彎道的“展直長(zhǎng)度”是一樣的.情境引入圖片來(lái)源：新浪體育與弧長(zhǎng)相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題1

半徑為

R的圓，周長(zhǎng)是多少？OR問(wèn)題2

下圖中各圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)分別占圓周長(zhǎng)的多少?OR90°OR45°ORn°合作探究OR180°(1)

圓心角是180°，占整個(gè)周角的，因此它所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的(2)

圓心角是90°，占整個(gè)周角的，因此它所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的(3)

圓心角是45°，占整個(gè)周角的，因此它所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的(4)

圓心角是

n°，占整個(gè)周角的，因此它所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的________.________.________.________.注意：用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中

n的意義．n表示

1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的.知識(shí)要點(diǎn)弧長(zhǎng)公式算一算

已知弧所對(duì)的圓心角為

60°，半徑是

4，則弧長(zhǎng)為

．

例1

制造彎形管道時(shí)，要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”，再下料，試計(jì)算如圖所示管道的展直長(zhǎng)度

L(單位：mm，精確到1mm).解：弧

AB的長(zhǎng)為因此所要求的展直長(zhǎng)度

L=2×700+500π≈2971(mm).

答：管道的展直長(zhǎng)度約為

2971mm.700mm700mmR=900mm(100°ACBDO

一滑輪起重機(jī)裝置(如圖)，滑輪的半徑R=10cm，當(dāng)重物上升15.7cm時(shí)，滑輪的一條半徑

OA繞軸心

O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)多少度？(假設(shè)繩索與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，π取3.14)·OA解：設(shè)半徑

OA繞軸心

O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的度數(shù)為

n°，則解得n≈90°.因此，滑輪旋轉(zhuǎn)的角度約為90°.練一練

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形.如圖，黃色部分是一個(gè)扇形，記作扇形OAB.半徑半徑OBA圓心角弧OBA扇形概念學(xué)習(xí)與扇形面積相關(guān)的計(jì)算判斷：下列圖形是扇形嗎？√×××√練一練合作探究問(wèn)題1

半徑為

r的圓,面積是多少？Or問(wèn)題2下圖中各扇形面積分別是圓面積的幾分之幾？具體是多少呢?Or180°Or90°Or45°Orn°圓心角占

周角的比例扇形面積占

圓面積的比例扇形的面積=半徑為

r

的圓中，圓心角為

n°的扇形的面積①公式中

n的意義：n表示

1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；②公式要理解記憶（即按照上面推導(dǎo)過(guò)程記憶）.注意知識(shí)要點(diǎn)視頻：弧長(zhǎng)和扇形面積公式的推導(dǎo)視頻來(lái)源：洋蔥學(xué)院點(diǎn)擊視頻開(kāi)始播放→

●O

ABDCEF●OABCD問(wèn)題3

扇形的面積與哪些因素有關(guān)？

大小不變時(shí)，對(duì)應(yīng)的扇形面積與

有關(guān)，

越長(zhǎng)，面積越大.圓心角半徑半徑圓的

不變時(shí)，扇形面積與

有關(guān)，

越大，面積越大.圓心角半徑圓心角總結(jié)：扇形的面積與圓心角、半徑有關(guān).問(wèn)題

扇形的弧長(zhǎng)公式與面積公式有聯(lián)系嗎？想一想扇形的面積公式與什么公式類似？ABOO類比學(xué)習(xí)例2

如圖，圓心角為60°的扇形的半徑為10cm.求這個(gè)扇形的面積和周長(zhǎng)（精確到0.01cm2和0.01cm）.Or60°解：∵n=60，r=10cm，∴該扇形的面積為該扇形的周長(zhǎng)為1.已知扇形的半徑為

2cm，其弧長(zhǎng)為

cm，則這個(gè)扇形的面積

S=

.2.已知扇形的圓心角為

120°，半徑為

2，則這個(gè)扇形的面積

S=

.練一練例3如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高

0.3m，求截面上有水部分的面積

(精確到

0.01m2).(1)O.BA

討論：(1)截面上有水部分的面積是指圖上哪一部分？陰影部分.(2)水面高

0.3m是指哪一條線段的長(zhǎng)？這條線段應(yīng)該怎樣畫(huà)出來(lái)？過(guò)點(diǎn)

O作

OD⊥AB

于點(diǎn)

D，并延長(zhǎng)

OD

交圓

O

于

C.則線段DC

的長(zhǎng)為水面高.(3)要求圖中陰影部分面積，應(yīng)該怎么辦？S陰影

=S扇形

OAB

-

S△OABO.BAD(2)C∵OC＝0.6，DC＝0.3，∴OD＝OC-

DC＝0.3.∴OD＝DC.又AD⊥OC，∴AD是線段

OC的垂直平分線.∴AC＝AO＝OC.從而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.O.BACD解：如圖，連接

OA、OB，過(guò)點(diǎn)

O作弦

AB

的垂線，垂足為

D，交

于點(diǎn)

C，連接

AC.在Rt△AOD中，OA=0.6m，OD=0.3m，∴AD=m.∴AB=2AD=m.∴截面上有水部分的面積為S=S扇形AOB

-

SΔOABO.BACD左圖：

S弓形

=S扇形

-

S三角形右圖：S弓形

=S扇形

+

S三角形OO弓形的面積

=扇形的面積

±

三角形的面積知識(shí)要點(diǎn)弓形的面積公式

2.某扇形的圓心角為

72°，面積為

5π，則此扇形的弧長(zhǎng)為（）A．πB．2πC．3πD．4π1.已知弧所對(duì)的圓周角為90°，半徑是

4，則弧長(zhǎng)為

.B4π3.如圖，∠ACB

是⊙O

的圓周角，若⊙O

的半徑為

10，∠ACB

=

45°，則扇形

AOB

的面積為（）A．5

πB．12.5

πC．20

πD．25

πD知識(shí)點(diǎn)1

弧長(zhǎng)公式及其應(yīng)用

C

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A

返回

D

返回（