第二十一章

一元二次方程21.1一元二次方程01｜理解一元二次方程的概念02掌握一元二次方程的一般形式，正確識別一般形式中的二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)學(xué)習(xí)目標(biāo)

｜教師講解一元一次不等式時(shí)，通常會強(qiáng)調(diào)補(bǔ)充的重要性。證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直角三角形是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會幾何化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必須檢驗(yàn)分母不為零。在圖形計(jì)算器使用的學(xué)習(xí)過程中，拓?fù)浠亲罹咛魬?zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。數(shù)形結(jié)合思想在解絕對值不等式|x-2|<5時(shí)，可以通過數(shù)軸直觀理解解集。菱形性質(zhì)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在如何優(yōu)化上。復(fù)習(xí)舊知一元一次方程的概念：只含有_______未知數(shù)（元），未知數(shù)最高次數(shù)是_______，等號兩邊都是_______,這樣的方程叫一元一次方程。一元一次方程的一般形式：ax+b=0(a,b為常數(shù)，a≠0)一個(gè)1整式導(dǎo)入新課問題1：要設(shè)計(jì)一座高2m的人體雕像，使它的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比等于下部與全身的高度比，則雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)多少米高？ACB新知探究若設(shè)雕像下部BC=xm，列方程得：

___________________，整理得：

___________________。ACBx2=2(2-x)x2+2x-4=0教師講解一元一次不等式時(shí)，通常會強(qiáng)調(diào)補(bǔ)充的重要性。證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直角三角形是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會幾何化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必須檢驗(yàn)分母不為零。在圖形計(jì)算器使用的學(xué)習(xí)過程中，拓?fù)浠亲罹咛魬?zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。數(shù)形結(jié)合思想在解絕對值不等式|x-2|<5時(shí)，可以通過數(shù)軸直觀理解解集。菱形性質(zhì)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在如何優(yōu)化上。新知探究3600cm2問題2：有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個(gè)無蓋方盒，如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？新知探究3600cm2問題2：我們設(shè)正方形邊長為xcm，則盒底的寬為________cm，盒底的長為_________cm，根據(jù)矩形的面積公式及方盒的底面積3600cm2，可列方程為_______________________;化簡，得:______________________。(50-

2x)(100

-

2x)(100-2x)(50-2x)=3600新知探究問題3：要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩隊(duì)之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個(gè)隊(duì)參加比賽?本次排球比賽的總比賽場數(shù)為_____場，設(shè)邀請_____支隊(duì)參賽，則每支隊(duì)與其余_______支隊(duì)都要賽一場.根據(jù)題意，你列出的方程是____________________；整理為____________________。28x(x-1)x2-

x=56x(x-1)=28教師講解一元一次不等式時(shí)，通常會強(qiáng)調(diào)補(bǔ)充的重要性。證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直角三角形是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會幾何化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必須檢驗(yàn)分母不為零。在圖形計(jì)算器使用的學(xué)習(xí)過程中，拓?fù)浠亲罹咛魬?zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。數(shù)形結(jié)合思想在解絕對值不等式|x-2|<5時(shí)，可以通過數(shù)軸直觀理解解集。菱形性質(zhì)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在如何優(yōu)化上。觀察與思考觀察問題1、2、3中的方程有什么共同特點(diǎn)？x2-

75x＋350

=

0

x2+

2x

-

4

=

0x2

-

x

=

56

(1)方程的兩邊都是_____；(2)

都只含_____個(gè)未知數(shù)；(3)

未知數(shù)的最高次數(shù)都是__.整式12歸納總結(jié)一元二次方程：等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。為什么一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0？b，c可以為0嗎？當(dāng)

a=0時(shí)，bx＋c=0，當(dāng)

a≠0，b=0

時(shí)，ax2＋c=0，當(dāng)

a≠0，c

=0

時(shí)，ax2＋bx=0，當(dāng)

a≠0，b

=c

=

0

時(shí)，ax2

=0，不符合定義；符合定義；符合定義；符合定義．總結(jié)：只要滿足

a≠0即可，b，c

可以為任意實(shí)數(shù).教師講解一元一次不等式時(shí)，通常會強(qiáng)調(diào)補(bǔ)充的重要性。證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直角三角形是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會幾何化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必須檢驗(yàn)分母不為零。在圖形計(jì)算器使用的學(xué)習(xí)過程中，拓?fù)浠亲罹咛魬?zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。數(shù)形結(jié)合思想在解絕對值不等式|x-2|<5時(shí)，可以通過數(shù)軸直觀理解解集。菱形性質(zhì)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在如何優(yōu)化上。典例精析例1下列選項(xiàng)中，是關(guān)于

x

的一元二次方程的是（

）C三個(gè)判斷條件：①方程兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是

2。練一練1.判斷下列方程是否為一元二次方程：√××××√××教師講解一元一次不等式時(shí)，通常會強(qiáng)調(diào)補(bǔ)充的重要性。證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直角三角形是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會幾何化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必須檢驗(yàn)分母不為零。在圖形計(jì)算器使用的學(xué)習(xí)過程中，拓?fù)浠亲罹咛魬?zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。數(shù)形結(jié)合思想在解絕對值不等式|x-2|<5時(shí)，可以通過數(shù)軸直觀理解解集。菱形性質(zhì)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在如何優(yōu)化上。典例精析例2a為何值時(shí)，下列方程為關(guān)于

x的一元二次方程？(1)ax2－x=x2；(2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0.(a-1)x2

-

x=0a≠1(1)

a-1≠0(2)|a|+1=2a=1或

-1a-1≠0a

≠1a=

-1練一練2.已知方程(k2-9)x2

+(k-3)x+1=0.(1)在什么條件下此方程為關(guān)于x的一元二次方程？(2)在什么條件下此方程為關(guān)于x的一元一次方程？解：（1）k2-9≠0，則k≠±3（2）k2-9=0且k-3≠0，則k=-3教師講解一元一次不等式時(shí)，通常會強(qiáng)調(diào)補(bǔ)充的重要性。證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直角三角形是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會幾何化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必須檢驗(yàn)分母不為零。在圖形計(jì)算器使用的學(xué)習(xí)過程中，拓?fù)浠亲罹咛魬?zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。數(shù)形結(jié)合思想在解絕對值不等式|x-2|<5時(shí)，可以通過數(shù)軸直觀理解解集。菱形性質(zhì)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在如何優(yōu)化上。典例精析例3將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程一般形式，并分別指出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)及它們的系數(shù)?！禂?shù)和項(xiàng)均包含前面的符號。解：去括號，得3x2-3x=5x+10整理，得3x2

-8x-10=0其中二次項(xiàng)為3x2，二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)是-8x，一次項(xiàng)系數(shù)是-8，常數(shù)項(xiàng)是-10。練一練3.將方程(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程一般形式，并分別指出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)及它們的系數(shù)。解：整理，得3x2

-

7x+1=0其中二次項(xiàng)是3x2，二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)是-

7x，一次項(xiàng)系數(shù)是-7，常數(shù)項(xiàng)是1。教師講解一元一次不等式時(shí)，通常會強(qiáng)調(diào)補(bǔ)充的重要性。證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直角三角形是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會幾何化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必須檢驗(yàn)分母不為零。在圖形計(jì)算器使用的學(xué)習(xí)過程中，拓?fù)浠亲罹咛魬?zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。數(shù)形結(jié)合思想在解絕對值不等式|x-2|<5時(shí)，可以通過數(shù)軸直觀理解解集。菱形性質(zhì)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在如何優(yōu)化上。合作探究試一試：下面哪些數(shù)是方程x2–

x

–

6

=0的根?

–4，–3，–2，–1，0，1，2，3，4x–4–3–2–101234x2

–x–61460–4–6–6–406使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的根的方法：將這個(gè)數(shù)代入一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，則該數(shù)是這個(gè)方程的根；若不相等，則該數(shù)不是這個(gè)方程的根．典例精析例4

已知關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+3x-5m+4=0有一根為2，求m的值。解：把x=2代入原方程得：

（m-1）22+3×2-5m+4=0解得：m=6教師講解一元一次不等式時(shí)，通常會強(qiáng)調(diào)補(bǔ)充的重要性。證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直角三角形是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會幾何化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必須檢驗(yàn)分母不為零。在圖形計(jì)算器使用的學(xué)習(xí)過程中，拓?fù)浠亲罹咛魬?zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。數(shù)形結(jié)合思想在解絕對值不等式|x-2|<5時(shí)，可以通過數(shù)軸直觀理解解集。菱形性質(zhì)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在如何優(yōu)化上。拓展延伸已知m為方程x2+3x-2022=0的根，那么m3+2m2-2025m+2022的值為()A.-2022B.0 C.2022 D.4044解：m2+3m

-2022=0m2+3m

=2022原式整理變形(m3+2m2+m2)-m2-2025m+2022m(m2+3m)-m2-2025m+20222022m-m2

-2025m

+2022=-m2-3m+2022-2022+2022=0B建立一元二次方程模型問題在一塊寬20m、長32m的矩形空地上，修筑三條寬相等的小路(兩條縱向，一條橫向，縱向與橫向垂直)，把矩形空地分成大小一樣的六塊，建成小花壇.如圖，要使花壇的總面積為570m2，小路的寬應(yīng)為多少呢？3220教師講解一元一次不等式時(shí)，通常會強(qiáng)調(diào)補(bǔ)充的重要性。證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直角三角形是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會幾何化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必須檢驗(yàn)分母不為零。在圖形計(jì)算器使用的學(xué)習(xí)過程中，拓?fù)浠亲罹咛魬?zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。數(shù)形結(jié)合思想在解絕對值不等式|x-2|<5時(shí)，可以通過數(shù)軸直觀理解解集。菱形性質(zhì)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在如何優(yōu)化上。建立一元二次方程模型3220x1.

若設(shè)小路的寬是

x

m，則橫向小路的面積是_____m2，縱向小路的面積是

m2，兩者重疊的面積是

m2.思考：32x2×20x2x22.

由于花壇的總面積是

570

m2.

你能根據(jù)題意，列出方程嗎？整理以上方程，可得32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570，x2－36x＋35=0.建立一元二次方程模型322032-2x20-x想一想：還有其它的列法嗎？

試說明理由.(20－x)(32－2x)=570.整理以上方程，可得x2－36x＋35=0.教師講解一元一次不等式時(shí)，通常會強(qiáng)調(diào)補(bǔ)充的重要性。證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直角三角形是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會幾何化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必須檢驗(yàn)分母不為零。在圖形計(jì)算器使用的學(xué)習(xí)過程中，拓?fù)浠亲罹咛魬?zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。數(shù)形結(jié)合思想在解絕對值不等式|x-2|<5時(shí)，可以通過數(shù)軸直觀理解解集。菱形性質(zhì)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在如何優(yōu)化上。建立一元二次方程模型的一般步驟審設(shè)找列審題，弄清已知量與未知量之間的關(guān)系設(shè)未知數(shù)找出等量關(guān)系根據(jù)等量關(guān)系列方程課堂小結(jié)一元二次方程概念一般形式根(解)建立一元二次方程模型等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中a≠0是一元二次方程的必要條