第12章全等三角形人教版八年級(上)數(shù)學(xué)12.3

角的平分線的性質(zhì)探究新知知識歸納典型例題當堂訓(xùn)練課堂小結(jié)導(dǎo)入新課---角平分線的性質(zhì)

用量角器度量,也可用折紙的方法.

【問題2】如果把前面的紙片換成木板、鋼板等,還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？情境導(dǎo)入【問題1】在紙上畫一個角,你能得到這個角的平分線嗎？【問題3】如圖,是一個角平分儀,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線,你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS,兩全等三角形的對應(yīng)角相等.情境導(dǎo)入尺規(guī)作角平分線01角平分線的性質(zhì)02知識點【問題】如果沒有此儀器,我們用數(shù)學(xué)作圖工具,能實現(xiàn)該儀器的功能嗎?ABO做一做：請大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法,并說明作圖方法與儀器的關(guān)系.提示：(1)已知什么?求作什么?(2)把平分角的儀器放在角的兩邊,儀器的頂點與角的頂點重合,且儀器的兩邊相等,怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢?(3)在平分角的儀器中,BC=DC,怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢?(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎?探究新知知識點一尺規(guī)作角平分線ABMNCO【例1】已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：(1)以點O為圓心,適當長為半徑畫弧，交OA于點M,交OB于點N.(3)畫射線OC.射線OC即為所求.(2)分別以點MN為圓心,大于0.5MN的長為半徑畫弧,兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.如何證明OC平分∠AOB作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖典型例題知識點一尺規(guī)作角平分線已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結(jié)論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.ABOC基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點一尺規(guī)作角平分線尺規(guī)作角平分線01角平分線的性質(zhì)02知識點1.操作測量:取點P的三個不同的位置,分別過點P作PD⊥OA,PE⊥OB,點D、E為垂足,測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果,猜想線段PD與PE的大小關(guān)系,寫出結(jié)：_______

PDPE第一次第二次第三次COBAPD=PEPDE猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等實驗：OC是∠AOB的平分線,點P是射線OC上的任意一點.探究新知知識點二角平分線的性質(zhì)驗證猜想已知:如圖,∠AOC=∠BOC,點P在OC上,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E.求證:PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90o.在△PDO和△PEO中，∠PDO=PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等探究新知知識點二角平分線的性質(zhì)

一般情況下,我們要證明一個幾何命題時,可以按照類似的步驟進行,即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意,畫出圖形,并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析,找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑,寫出證明過程.要點歸納知識點一角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：(1)點在角的平分線上；(2)兩條垂線段；定理的作用：

證明線段相等.∵OP是∠AOB的平分線,PD⊥OA,PE⊥OB，∴PD=PEBADOPEC要點歸納知識點一角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)定理：推導(dǎo)格式：推理的理由有三個,必須寫完全,不能少了任何一個.【例1】已知：如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典型例題知識點一角平分線的性質(zhì)1.判一判：(1)∵如下左圖,AD平分∠BAC(已知),

∴BD=CD,(在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)×BADC(2)∵如上右圖,DC⊥AC,DB⊥AB(已知).

∴BD=CD,(在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)×BADC基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點一角平分線的性質(zhì)2.如圖,在△ABC中,AC=BC,AP平分∠BAC交BC于點P,PC=4,AB=14.(1)則點P到AB的距離為___.(2)求△APB的面積.(3)求?PDB的周長.4基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點一角平分線的性質(zhì)ABCPDS△PDB=0.5·AB·PD=28.(2)由垂直平分線的性質(zhì),可知,PD=PC=4，(3)C△PDB=PD+PB+DB=PC+PB+DB=BC+DB=AD+DB=AB=141.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解要點歸納知識點一角平分線的性質(zhì)3.△ABC中,∠C=90o,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是

.4.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線,則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是(

)A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABCD3E基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點一角平分線的性質(zhì)ABMNCOA5.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E,S△ABC=7,DE=2，AB=4,則AC的長是()A.6B.5C.4D.3DBCEAD解析：過點D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,∴DF=DE=2，

解得AC=3.F方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點一角平分線的性質(zhì)解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.∵AD∥BC,∴MN⊥BC,MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理,PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD與BC之間的距離為6.6.如圖,已知AD∥BC,P是∠