三圓的切線(xiàn)的性質(zhì)及判定定理[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P25]1．切線(xiàn)的性質(zhì)(1)性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．如圖，已知AB切⊙O于A(yíng)點(diǎn)，則OA⊥AB.(2)推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．(3)推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心．2．圓的切線(xiàn)的判定方法(1)定義：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．(2)數(shù)量關(guān)系：到圓心距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．(3)定理：過(guò)半徑外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用數(shù)量關(guān)系來(lái)判定，而(3)是用位置關(guān)系加以判定的．[說(shuō)明]在切線(xiàn)的判定定理中要分清定理的題設(shè)和結(jié)論，“經(jīng)過(guò)半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，否則該直線(xiàn)就不是圓的切線(xiàn)．[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P25]圓的切線(xiàn)的性質(zhì)[思路點(diǎn)撥]⊙O切AB于點(diǎn)E，由圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，易聯(lián)想到連接OE構(gòu)造Rt△OAE，再利用相似三角形的性質(zhì)，求出⊙O的半徑．∵AB與⊙O切于點(diǎn)E，∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.∵∠C＝90°，∠A＝∠A，∴Rt△ACB∽R(shí)t△AEO，∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(AO,AB).∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13，∴eq\f(OE,5)＝eq\f(12－OE,13)，∴OE＝eq\f(10,3).即⊙O的半徑為eq\f(10,3).利用圓的切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)證明或進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算有時(shí)需添加輔助線(xiàn)，其中連接圓心和切點(diǎn)的半徑是常用輔助線(xiàn)，從而可以構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形邊角關(guān)系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．1．如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC.若∠A＝40°，則∠C＝()A．20° B．25°C．40° D．50°解析：連接OB，因?yàn)锳B切⊙O于點(diǎn)B，所以O(shè)B⊥AB，即∠ABO＝90°，所以∠AOB＝50°.又因?yàn)辄c(diǎn)C在A(yíng)O的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且在⊙O上，所以∠C＝eq\f(1,2)∠AOB＝25°.答案：B2.如圖，已知PAB是⊙O的割線(xiàn)，AB為⊙O的直徑．PC為⊙O的切線(xiàn)，C為切點(diǎn)，BD⊥PC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，PA＝AO＝OB＝1.(1)求∠P的度數(shù)；(2)求DE的長(zhǎng)．解：(1)連接OC.∵C為切點(diǎn)，∴OC⊥PC，△POC為直角三角形．∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2，∴sin∠P＝eq\f(OC,PO)＝eq\f(1,2).∴∠P＝30°.(2)∵BD⊥PD，∴在Rt△PBD中，由∠P＝30°，PB＝PA＋AO＋OB＝3，得BD＝eq\f(3,2).連接AE.則∠AEB＝90°，∴AE∥PD.∴∠EAB＝∠P＝30°，∴BE＝ABsin30°＝1，∴DE＝BD－BE＝eq\f(1,2).圓的切線(xiàn)的判定[例2]已知D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求證：AB是△BCD的外接圓的切線(xiàn)．[思路點(diǎn)撥]eq\x(連接OB，OC，OD)→eq\x(∠BOD＝90°)→eq\x(∠OBC＝∠OCB＝30°)→eq\x(∠ABO＝90°)→eq\x(結(jié)論).[證明]如圖，連接OB，OC，OD，OD交BC于E.∵∠DCB是所對(duì)的圓周角，∠BOD是所對(duì)的圓心角，∠BCD＝45°，∴∠BOD＝90°.∵∠ADB是△BCD的一個(gè)外角，∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，∴∠DOC＝2∠DBC＝30°，從而∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°.在△OEC中，因?yàn)椤螮OC＝∠ECO＝30°，∴OE＝EC，在△BOE中，因?yàn)椤螧OE＝90°，∠EBO＝30°.∴BE＝2OE＝2EC，∴eq\f(CE,BE)＝eq\f(CD,DA)＝eq\f(1,2)，∴AB∥OD，∴∠ABO＝90°，故AB是△BCD的外接圓的切線(xiàn)．要證明某直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，主要是運(yùn)用切線(xiàn)的判定定理，除此以外，還有圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑等判定方法，但有時(shí)需添加輔助線(xiàn)構(gòu)造判定條件，其中過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)是常用輔助線(xiàn)．3．本例中，若將已知改為“∠ABD＝∠C”，怎樣證明：AB是△BCD的外接圓的切線(xiàn)．證明：作直徑BE，連接DE，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BDE＝90°，∴∠E＋∠DBE＝90°.∵∠C＝∠E，∠ABD＝∠C，∴∠ABD＋∠DBE＝90°.即∠ABE＝90°.∴AB是△BCD的外接圓的切線(xiàn)．4.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，sinB＝eq\f(1,2)，∠D＝30°.(1)求證：AD是⊙O的切線(xiàn)．(2)若AC＝6，求AD的長(zhǎng)．解：(1)證明：如圖，連接OA，∵sinB＝eq\f(1,2)，∴∠B＝30°，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°，∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOC＝90°，∴AD是⊙O的切線(xiàn)．(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴OA＝AC＝6，∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝eq\r(3)AO＝6eq\r(3).圓的切線(xiàn)的性質(zhì)和判定的綜合考查[例3]如圖，AB為⊙O的直徑，D是的中點(diǎn)，DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，⊙O的切線(xiàn)BF交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.(1)求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；(2)若DE＝3，⊙O的半徑為5，求BF的長(zhǎng)．[思路點(diǎn)撥](1)連接OD，證明OD⊥DE；(2)作DG⊥AB.[證明](1)連接OD，∵D是中點(diǎn)，∴∠1＝∠2.∵OA＝OD，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OD∥AE.∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切線(xiàn)．(2)過(guò)D作DG⊥AB，∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3.在Rt△ODG中，OG＝eq\r(52－32)＝4，∴AG＝4＋5＝9.∵DG⊥AB，F(xiàn)B⊥AB，∴DG∥FB.∴△ADG∽△AFB.∴eq\f(DG,BF)＝eq\f(AG,AB).∴eq\f(3,BF)＝eq\f(9,10).∴BF＝eq\f(10,3).對(duì)圓的切線(xiàn)的性質(zhì)與判定的綜合考查往往是熱點(diǎn)，其解答思路常常是先證明某直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，再利用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)求解相關(guān)結(jié)果．5.如圖，已知兩個(gè)同心圓O，大圓的直徑AB交小圓于C、D，大圓的弦EF切小圓于C，ED交小圓于G，若小圓的半徑為2，EF＝4eq\r(3)，試求EG的長(zhǎng)．解：連接GC，則GC⊥ED.∵EF和小圓切于C，∴EF⊥CD，EC＝eq\f(1,2)EF＝2eq\r(3).又CD＝4，∴在Rt△ECD中，有ED＝eq\r(EC2＋CD2)＝eq\r(2\r(3)2＋42)＝2eq\r(7).由射影定理可知EC2＝EG·ED，∴EG＝eq\f(EC2,ED)＝eq\f(2\r(3)2,2\r(7))＝eq\f(6\r(7),7).6．如圖，以Rt△ABC直角邊AC上一點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的⊙O與AC的另一個(gè)交點(diǎn)為E，D為斜邊AB上一點(diǎn)且在⊙O上，AD2＝AE·AC.(1)證明：AB是⊙O的切線(xiàn)；(2)若DE·OB＝8，求⊙O的半徑．解：(1)證明：連接OD，CD，∵AD2＝AE·AC，∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(AC,AD).又∵∠DAE＝∠DAC，∴△DAE∽△CAD，∴∠ADE＝∠ACD.∵OD＝OC，∴∠ACD＝∠ODC，又∵CE是⊙O的直徑，∴∠ODE＋∠CDO＝90°，∴∠ODA＝90°，∴AB是⊙O的切線(xiàn)．(2)∵AB，BC是⊙O的切線(xiàn)，∴OB⊥DC，∴DE∥OB，∴∠CED＝∠COB，∵∠EDC＝∠OCB，∴△CDE∽△BCO，∴eq\f(DE,CO)＝eq\f(CE,BO)，DE·OB＝2R2＝8，∴⊙O的半徑為2.[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P27]一、選擇題1．下列說(shuō)法：①與圓有公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；②垂直于圓的半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；③與圓心的距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；④過(guò)直徑的端點(diǎn)，垂直于此直徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．其中正確的有()A．①② B．②③C．③④ D．①④答案：C2．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線(xiàn)，AC交⊙O于D.AB＝6，BC＝8，則BD等于()A．4 B．4.8C．5.2 D．6解析：∵AB是⊙O的直徑，∴BD⊥AC.∵BC是⊙O的切線(xiàn)，∴AB⊥BC.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.∴BD＝eq\f(AB·BC,AC)＝4.8.答案：B3.如圖，CD切⊙O于B，CO的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于A(yíng)，若∠C＝36°，則∠ABD的度數(shù)是()A．72° B．63°C．54° D．36°解析：連接OB.∵CD為⊙O的切線(xiàn)，∴∠OBC＝90°.∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°，∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.答案：B4．如圖，在⊙O中，AB為直徑，AD為弦，過(guò)B點(diǎn)的切線(xiàn)與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于C，若AD＝DC，則sin∠ACO等于()A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(2),10)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),4)解析：連接BD，則BD⊥AC.∵AD＝DC，∴BA＝BC，∴∠BCA＝45°.∵BC是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為B，∴∠OBC＝90°.∴sin∠BCO＝eq\f(OB,OC)＝eq\f(OB,\r(5)OB)＝eq\f(\r(5),5)，cos∠BCO＝eq\f(BC,OC)＝eq\f(2OB,\r(5)OB)＝eq\f(2\r(5),5).∴sin∠ACO＝sin(45°－∠BCO)＝sin45°cos∠BCO－cos45°sin∠BCO＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(5),5)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(10),10).答案：A二、填空題5．如圖，已知∠AOB＝30°，M為OB邊上一點(diǎn)，以M為圓心、2為半徑作⊙M.若點(diǎn)M在OB邊上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)OM＝________時(shí)，⊙M與OA相切．解析：若⊙M與OA相切，則圓心M到直線(xiàn)OA的距離等于圓的半徑2.過(guò)M作MN⊥OA于點(diǎn)N，則MN＝2.在Rt△MON中，∵∠MON＝30°，∴OM＝2MN＝2×2＝4.答案：46．已知PA是圓O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點(diǎn)，PB＝1.則圓O的半徑R＝________.解析：AB＝eq\r(AP2－PB2)＝eq\r(3).由AB2＝PB·BC，∴BC＝3，Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝2eq\r(3).∴R＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，過(guò)C作圓的切線(xiàn)l，過(guò)A作l的垂線(xiàn)AD，AD分別與直線(xiàn)l、圓交于點(diǎn)D、E，則∠DAC＝________，DC＝________.解析：連接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB，∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形．∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝3eq\r(3)，DC＝ACsin30°＝eq\f(3,2)eq\r(3).答案：30°eq\f(3\r(3),2)三、解答題8.如圖所示，D是⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，PD是⊙O的切線(xiàn)，P是切點(diǎn)，∠D＝30°.求證：PA＝PD.證明：如圖，連接OP，∵PD是⊙O的切線(xiàn)，P為切點(diǎn)．∴PO⊥PD.∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°.又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO＝30°.∴∠A＝∠D.∴PA＝PD.9.如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，過(guò)D點(diǎn)作⊙O的切線(xiàn)交AC于E.求證：(1)DE⊥AC；(2)BD2＝CE·CA.證明：(1)連接OD，AD.∵DE是⊙O的切線(xiàn)，D為切點(diǎn)，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.又AB＝AC，∴BD＝DC.∴OD∥AC.∴DE⊥AC.(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴△CDE∽△CAD.∴eq\f(CD,CA)＝eq\f(CE,CD).∴CD2＝CE·CA.∴BD＝DC.∴BD2＝CE·CA.10.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE.(1)求證：AE是⊙O的切線(xiàn)；(2)若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的長(zhǎng)．解：(1)證明：連接OA.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA.∵