階段質(zhì)量檢測(一)相似三角形定理與圓冪定理(時間：90分鐘，總分120分)一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．如圖，AB與圓O相切于點B，過點A作圓O的割線交圓O于C，D兩點，BC⊥AD，AB＝2AC＝2，則圓O的直徑等于()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．42．在⊙O的直徑CB的延長線上取一點A，AP與⊙O相切于點P上∠APB＝30°，AP＝eq\r(3)，則CP等于()A.eq\r(3)B.eqB.\r(2,3)C.eq\r(2,3)D.eqD.eq\r(2,3)＋13．點P為⊙O的弦AB上一點，且AP＝9，PB＝4，連接PO，作PC⊥OP交圓于點C，則PC等于()A．4 B.6C．8 D．94．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，∠A＝80°，則∠BIC等于()A．80° B.100°C．120° D．130°5.如圖，在⊙O中，弦AB與CD相交于P點，∠B＝30°，∠APD＝80°，則∠A＝()A．40° B.50°C．70° D．110°6．如圖所示，PC切⊙O于A，PO的延長線交⊙O于B，BC切⊙O于B，若AC∶CP＝1∶2，則PO∶OB等于()A．2∶1 B.1∶1C．1∶2 D．1∶47．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝6cm，則其外接圓的直徑為()A.eq\r(3)cm B.2eq\r(3)cmC．4eq\r(3)cm D．6eq\r(3)cm8.如圖所示，在⊙O中，弦AB與半徑OC相交于點M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，則OC等于()A．2eq\r(6)B.eqB.\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(2)9．(天津高考)如圖，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交圓于點D，交BC于點E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.則所有正確結(jié)論的序號是()A．①② B.③④C．①②③ D．①②④10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB＝10cm，點P由C出發(fā)以每秒2cm的速度沿線段CA向點A運動(不運動至A點)，⊙O的圓心在BP上，且⊙O分別與AB、AC相切，當(dāng)點P運動2s時，⊙O的半徑是()A.eq\f(12,7)B.eq B.eq\f(12,5)cmC.eq\f(5,3)cm D．2cm二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在題中的橫線上)11.如圖，在?ABCD中，BC＝24，E、F為BD的三等分點，則BM＝______，DN________.12．(湖南高考)如圖，已知AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，則⊙O的半徑等于________．13．如圖，⊙O中的弦AB與直徑CD相交于P，M為DC延長線上一點，MN為⊙O的切線，N為切點，若AP＝8，PB＝6，PD＝4，MC＝6，則MN的長為________．14．如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上的射影為E.若AB＝3AD，則eq\f(CE,EO)的值為________．三、解答題(本大題共4個小題，共50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)如圖所示，已知邊長為12的正三角形ABC，DE∥BC，S△BCD∶S△BAC＝4∶9，求EC的長．16．(本小題滿分12分)如圖，AD是∠BAC的平分線，⊙O過點A且與BC邊相切于點D，與AB，AC分別交于E，F(xiàn)，求證：EF∥BC.17.(本小題滿分12分)在△ABC中，∠B＝∠C＝2∠A.求證：AB2＝BC2＋AB·BC.18．(本小題滿分14分)(遼寧高考)如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG＝PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若AC＝BD，求證：AB＝ED.答案1．選B由切割線定理知AB2＝AC·AD，即22＝1·AD，解得AD＝4，所以CD＝AD－AC＝3，連接BD，因為BC⊥AD，所以BD為圓O的直徑，又因為BC2＝AB2－AC2＝3，所以BD＝eq\r(CD2＋BC2)＝eq\r(32＋3)＝2eq\r(3).2.選A連接CP，BP，則∠PCB＝30°，∠CPB＝90°.于是∠PBC＝60°，∠PBA＝120°，∠A＝30°＝∠PCB，∴CP＝PA＝eq\r(3).3．選B延長CP交⊙O于點D，則OP垂直平分弦CD，且CP·PD＝AP·PB＝36，∴PC2＝36，PC＝6.4．選D∵∠A＝80°，∴∠ABC＋∠ACB＝100°.∵∠IBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ICB＝eq\f(1,2)∠ACB，∴∠IBC＋∠ICB＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝50°，∴∠BIC＝180°－50°＝130°.5．選B易知∠A＝∠D，又∵∠APD＝∠B＋∠D，∠B＝30°，∠APD＝80°，∴∠D＝∠APD－∠B＝80°－30°＝50°.∴∠A＝50°.6.選A連接OA，則OA⊥PC，∴△PAO∽△PBC，∴eq\f(PO,PC)＝eq\f(OA,BC)，即eq\f(PO,OA)＝eq\f(PC,BC)，又∵OA＝OB，AC∶CP＝1∶2，設(shè)AC＝x，則CP＝2x，∴CA＝x＝BC，∴eq\f(PO,OA)＝eq\f(2x,x)＝2，∴PO∶OB＝2∶1.7．選C作BC邊上的中線AD，則AD⊥BC，延長AD交△ABC外接圓于E，連接CE.∵AE⊥BC，AE平分BC，∴AE為△ABC外接圓的直徑，∴∠ACE＝90°.在Rt△ACD中，∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝60°，CD＝eq\f(1,2)BC＝3cm，∴AC＝eq\f(CD,sin∠CAD)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3)(cm)．在Rt△ACE中，AE＝eq\f(AC,cos∠CAD)＝eq\f(2\r(3),\f(1,2))＝4eq\r(3)(cm)．即△ABC外接圓的直徑為4eq\r(3)cm.8.選D延長CO交⊙O于D，則DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝3CM2，CM＝eq\r(2)，OC＝2eq\r(2).9．選D因為∠BAD＝∠FBD，∠DBC＝∠DAC，又AE平分∠BAC，即∠BAD＝∠DAC，所以∠FBD＝∠DBC，所以BD平分∠CBF，結(jié)論①正確；易證△ABF∽△BDF，所以eq\f(AB,AF)＝eq\f(BD,BF)，所以AB·BF＝AF·BD，結(jié)論④正確；由切割線定理，得BF2＝AF·DF，結(jié)論②正確；由相交弦定理，得AE·DE＝BE·CE，結(jié)論③錯誤．選D.10．選A∵PC＝2×2＝4cm，∴P是AC的中點，∴BC＝6cm，BP＝2eq\r(13)cm.連接OD，∵D為切點，∴OD⊥AC，則OD∥BC，即eq\f(DP,OD)＝eq\f(PC,BC)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).設(shè)半徑OD＝3k，DP＝2k，∴OP＝eq\r(3k2＋2k2)＝eq\r(13)k，∴OB＝2eq\r(13)－eq\r(13)k.∵AE、AD為⊙O的切線，∴AE＝AD＝AP＋PD＝4＋2k，BE＝10－(4＋2k)＝6－2k.在Rt△BOE中，∵OB2＝BE2＋OE2，∴(2eq\r(13)－eq\r(13)k)2＝(6－2k)2＋(3k)2，解得k＝eq\f(4,7).故半徑OD＝3k＝eq\f(12,7).11．解析：eq\f(BM,AD)＝eq\f(BE,ED)＝eq\f(1,2)，∴BM＝eq\f(1,2)BC＝12，eq\f(DN,BM)＝eq\f(DF,FB)＝eq\f(1,2)，∴DN＝eq\f(1,2)BM＝6.答案：12612.解析：設(shè)AO，BC的交點為D，由已知可得D為BC的中點，則在直角三角形ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝1，設(shè)圓的半徑為r，延長AO交圓O于點E，由圓的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即(eq\r(2))2＝2r－1，解得r＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)13．解析：由相交弦定理得：CP·PD＝AP·PB，CP＝eq\f(AP·PB,PD)＝12，又由切割線定理得：MN2＝MC·MD＝6×22，所以，MN＝2eq\r(33).答案：2eq\r(33)14.解析：連接AC，BC，則AC⊥BC.∵AB＝3AD，∴AD＝eq\f(1,3)AB，BD＝eq\f(2,3)AB，OD＝eq\f(1,6)AB.又AB是圓O的直徑，OC是圓O的半徑，∴OC＝eq\f(1,2)AB.在△ABC中，根據(jù)射影定理有：CD2＝AD·BD＝eq\f(2,9)AB2.在△OCD中，根據(jù)射影定理有：OD2＝OE·OC，CD2＝CE·OC，可得OE＝eq\f(1,18)AB，CE＝eq\f(4,9)AB，∴eq\f(CE,EO)＝8.答案：815．解：如圖，過D作DF⊥BC，過A作AG⊥BC，S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DF，S△BAC＝eq\f(1,2)BC·AG.因為S△BCD∶S△BAC＝4∶9，所以DF∶AG＝4∶9.因為△BDF∽△BAG，所以BD∶BA＝DF∶AG＝4∶9.因為AB＝12，所以CE＝BD＝eq\f(16,3).16.證明：如圖，連接DF.因為BC與圓相切，所以∠CDF＝∠DAF.因為∠EFD與∠EAD同為弧所對的圓周角，所以∠EFD＝∠EAD.又因為AD是∠BAC的平分線，故∠EAD＝∠DAF.所以∠CDF＝∠EFD，所以EF∥BC.17．證明：如圖所示．延長BC到點D，使CD＝AB，連接AD.∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC.又∵AB＝CD，∴AC＝CD.∴∠D＝eq\f(1,2)∠ACB＝∠BAC.∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA.∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(BC,AB).∴AB2＝BC·BD＝BC(BC＋CD)＝BC2＋BC·CD＝BC2＋AB·BC.18．證明：(1)因為PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，