基礎估計技術試題及答案一、單項選擇題（每題3分，共30分）1.以下哪種方法不屬于基礎的參數估計技術？（）A.矩估計法B.最大似然估計法C.最小二乘法D.枚舉法2.在最大似然估計中，似然函數是（）。A.樣本的聯合概率密度函數B.樣本的邊緣概率密度函數C.總體的概率密度函數D.總體的分布函數3.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)是樣本均值，則\(\overline{X}\)是\(\mu\)的（）。A.無偏估計量B.有偏估計量C.一致估計量D.有效估計量4.用矩估計法估計總體的均值時，是用（）。A.樣本一階原點矩B.樣本二階中心矩C.樣本一階中心矩D.樣本二階原點矩5.已知總體\(X\)的概率密度函數為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\thetax^{\theta1},&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，\(\theta\gt0\)，用最大似然估計法估計\(\theta\)時，似然函數\(L(\theta)\)為（）。A.\(\theta^{n}(\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\theta1}\)B.\(\theta(\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\theta1}\)C.\(\theta^{n}(\sum_{i=1}^{n}x_i)^{\theta1}\)D.\(\theta(\sum_{i=1}^{n}x_i)^{\theta1}\)6.若估計量\(\hat{\theta}\)滿足\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的（）。A.有效估計量B.一致估計量C.無偏估計量D.漸近無偏估計量7.設總體\(X\)的方差為\(\sigma^{2}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(S^{2}=\frac{1}{n1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}\)，則\(E(S^{2})\)等于（）。A.\(0\)B.\(\sigma^{2}\)C.\(n\sigma^{2}\)D.\(\frac{\sigma^{2}}{n}\)8.設總體\(X\simU[0,\theta]\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，用矩估計法得到的\(\theta\)的估計量\(\hat{\theta}\)為（）。A.\(2\overline{X}\)B.\(\overline{X}\)C.\(\frac{\overline{X}}{2}\)D.\(\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\)9.在估計總體參數時，評價估計量的標準不包括（）。A.無偏性B.有效性C.一致性D.隨機性10.設總體\(X\)的概率分布為\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，\(\lambda\gt0\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，用最大似然估計法得到的\(\lambda\)的估計量\(\hat{\lambda}\)為（）。A.\(\overline{X}\)B.\(S^{2}\)C.\(\frac{1}{\overline{X}}\)D.\(\frac{S^{2}}{\overline{X}}\)二、多項選擇題（每題4分，共20分）1.以下關于無偏估計量的說法正確的有（）。A.無偏估計量的期望等于被估計的參數B.無偏估計量一定是有效估計量C.多個無偏估計量的線性組合仍為無偏估計量D.樣本均值是總體均值的無偏估計量2.最大似然估計法的步驟包括（）。A.寫出似然函數B.對似然函數取對數C.求對數似然函數的駐點D.確定最大似然估計值3.評價估計量好壞的標準有（）。A.無偏性B.有效性C.一致性D.充分性4.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，以下哪些是\(\mu\)的無偏估計量（）。A.\(\overline{X}\)B.\(X_1\)C.\(\frac{1}{2}(X_1+X_2)\)D.\(\sum_{i=1}^{n}a_iX_i\)（其中\(zhòng)(\sum_{i=1}^{n}a_i=1\)）5.關于矩估計法，下列說法正確的是（）。A.矩估計法是用樣本矩來估計總體矩B.矩估計法不需要知道總體的分布形式C.矩估計法可能得到多個估計方程D.矩估計法得到的估計量一定是無偏估計量三、判斷題（每題2分，共10分）1.無偏估計量一定是有效估計量。（）2.最大似然估計值一定是唯一的。（）3.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的一致估計量。（）4.用矩估計法估計總體參數時，只需要用到樣本的一階矩。（）5.若\(\hat{\theta}_1\)和\(\hat{\theta}_2\)都是\(\theta\)的無偏估計量，且\(D(\hat{\theta}_1)\ltD(\hat{\theta}_2)\)，則稱\(\hat{\theta}_1\)比\(\hat{\theta}_2\)更有效。（）四、簡答題（每題10分，共20分）1.簡述無偏性、有效性和一致性的含義，并說明它們在評價估計量中的作用。2.請說明矩估計法和最大似然估計法的基本思想和步驟。五、計算題（每題10分，共20分）1.設總體\(X\)的概率密度函數為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}\)，\(\theta\gt0\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本。（1）用矩估計法求\(\theta\)的估計量；（2）用最大似然估計法求\(\theta\)的估計量。2.設總體\(X\)的分布律為\(P(X=1)=\theta^{2}\)，\(P(X=2)=2\theta(1\theta)\)，\(P(X=3)=(1\theta)^{2}\)，其中\(zhòng)(0\lt\theta\lt1\)是未知參數。現得到樣本值\(x_1=1\)，\(x_2=2\)，\(x_3=1\)，求\(\theta\)的最大似然估計值。答案一、單項選擇題1.D2.A3.A4.A5.A6.C7.B8.A9.D10.A二、多項選擇題1.ACD2.ABCD3.ABC4.ABCD5.ABC三、判斷題1.×2.×3.√4.×5.√四、簡答題1.無偏性：設\(\hat{\theta}\)是未知參數\(\theta\)的估計量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計量。無偏性的作用是保證估計量在多次抽樣下，其平均值等于被估計的參數，從平均意義上給出了正確的估計。有效性：設\(\hat{\theta}_1\)和\(\hat{\theta}_2\)都是\(\theta\)的無偏估計量，若\(D(\hat{\theta}_1)\ltD(\hat{\theta}_2)\)，則稱\(\hat{\theta}_1\)比\(\hat{\theta}_2\)更有效。有效性衡量了估計量的取值在其均值附近的集中程度，方差越小，估計量越穩(wěn)定，越有效。一致性：設\(\hat{\theta}_n\)是\(\theta\)的估計量，若對于任意的\(\epsilon\gt0\)，有\(zhòng)(\lim_{n\rightarrow\infty}P(|\hat{\theta}_n-\theta|\lt\epsilon)=1\)，則稱\(\hat{\theta}_n\)是\(\theta\)的一致估計量。一致性保證了隨著樣本容量的增大，估計量以概率收斂到被估計的參數，即樣本容量越大，估計越準確。2.矩估計法：基本思想：用樣本矩來估計總體矩，用樣本矩的函數來估計總體矩的函數。因為樣本來自總體，樣本矩在一定程度上反映了總體矩的特征，所以可以通過樣本矩來推斷總體參數。步驟：計算總體的\(k\)階矩\(E(X^{k})\)，\(k=1,2,\cdots\)，它們通常是未知參數的函數。計算樣本的\(k\)階矩\(A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^{k}\)，\(k=1,2,\cdots\)。令總體矩等于相應的樣本矩，得到關于未知參數的方程組。解方程組，得到未知參數的矩估計量。最大似然估計法：基本思想：在已經得到樣本觀測值的情況下，尋找使樣本出現概率最大的參數值作為參數的估計值。即認為在一次試驗中出現的樣本是最有可能出現的，所以應該選擇使該樣本出現概率最大的參數值作為估計值。步驟：寫出似然函數\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(X_i;\theta)\)（連續(xù)型總體）或\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}P(X_i;\theta)\)（離散型總體），其中\(zhòng)(\theta\)是未知參數。對似然函數取對數，得到對數似然函數\(\lnL(\theta)\)。求對數似然函數關于\(\theta\)的導數（或偏導數），并令其等于0，得到似然方程（或似然方程組）。解似然方程（或似然方程組），得到\(\theta\)的最大似然估計值。五、計算題1.（1）矩估計法：首先求總體\(X\)的一階矩\(E(X)\)：\(E(X)=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}dx\)，令\(t=\frac{x}{\theta}\)，則\(x=\thetat\)，\(dx=\thetadt\)，\(E(X)=\int_{0}^{+\infty}\thetat\cdote^{-t}\cdot\thetadt=\theta\int_{0}^{+\infty}t\cdote^{-t}dt=\theta\)。用樣本一階矩\(A_1=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)估計總體一階矩\(E(X)\)，令\(E(X)=\overline{X}\)，得\(\hat{\theta}=\overline{X}\)。（2）最大似然估計法：似然函數\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{X_i}{\theta}}=\frac{1}{\theta^{n}}e^{-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^{n}X_i}\)，\(X_i\gt0\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。取對數得\(\lnL(\theta)=-n\ln\theta-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^{n}X_i\)。對\(\lnL(\theta)\)求導：\(\frac{d\lnL(\theta)}{d\theta}=-\frac{n}{\theta}+\frac{1}{\theta^{2}}\sum_{i=1}^{n}X_i\)。令\(\frac{d\lnL(\theta)}{d\theta}=0\)，即\(-\frac{n}{\theta}+\frac{1}{\theta^{2}}\sum_{i=1}^{n}X_i=0\)，解得\(\hat{\theta}=\overline{X}\)。2.似然函數\(L(\theta)=P(X_1=1)P(X_2=2)P(X_3=1)=\theta^{2}\cdot2\theta(1\theta)\cdot\theta^{2}=2\theta^{5}(1\theta)\)。取對數得\(\lnL(\theta)=\ln2+5\ln\theta+\ln(1\theta)\)。對\(\lnL(\the