第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年陜西省西安市長安三中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=1?i5i3，則A.1 B.?1 C.i D.?i2.已知點(diǎn)A(1,0)，B(2,?1)，則與向量AB方向相反的單位向量為(

)A.(?22,22) 3.已知向量a=(4,2)，b=(1,m)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)A.2 B.?2 C.12 D.4.在△ABC中，A=60°，AC=3，BC=362，則A.30° B.45° C.60° D.60°或120°5.已知m，n表示不同的直線，α，β表示不同的平面，A表示點(diǎn)，則下列命題正確的是(

)A.若直線m上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)，則m//α

B.若m?α，n?β，且α//β，則m//n

C.若m?α，n?β，則m//n

D.若α∩β=m，且A∈α，A∈β，則A∈m6.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N滿足CM=2MD，BN=3NC，則MNA.13AB+34AD B.17.“七巧板”是我國古代勞動(dòng)人民的偉大發(fā)明，被譽(yù)為“東方魔方”.某同學(xué)制作了一個(gè)“七巧板”玩具，如圖所示.其中正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，O，G分別是線段AB，AC，OC的中點(diǎn)，則DE?BG=(

)A.?10

B.10

C.?14

D.148.如圖，邊長為1的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，則三棱錐P?AEF的最短的高長為(

)A.13 B.2C.34 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形B.圓錐過軸的截面是一個(gè)等腰三角形

C.直四棱柱是長方體D.任何一個(gè)棱臺(tái)都可以補(bǔ)一個(gè)棱錐使它們組成一個(gè)新的棱錐10.已知z1，z2都是復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.若|z1|=|z2|，則z1=±z2B.若z1+z2為實(shí)數(shù)，則z111.已知正方體ABCD?A1B1A.直線BC1與B1D1所成的角為60°B.直線BD與CA1所成的角為60°

C.平面BA1C1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積

．13.在邊長為2的正方形ABCD中，挖去一個(gè)以AB為直徑的半圓，再將所得平面圖形(如圖)以線段CD的垂直平分線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的體積為______．14.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，B=60°，c=4，若△ABC有兩解，則b的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,?2)，(3,1)．

(1)求|z1z2|；

16.(本小題15分)

已知平面向量a與b的夾角為3π4，且|a|=1，|b|=2．

(1)求向量3a+2b的模；

(2)若(a17.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C118.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=4，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：AM⊥PC；

(Ⅱ)求直線AC與平面PCD所成角的正切值．19.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且sinCsinA+sinB=a?bb+c．

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)設(shè)△ABC的面積為23，

(i)已知M為BC的中點(diǎn)，求△ABC底邊BC上中線AM長的最小值；

(ii)求△ABC的內(nèi)角答案解析1.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=1?i5i3=1?i?i=(1?i)i?i2=i+1，

故2.【答案】A

【解析】解：已知點(diǎn)A(1,0)，B(2,?1)，

則AB=(1,?1)，

則與向量AB方向相反的單位向量為?AB|AB|=(?22,223.【答案】B

【解析】解：因?yàn)橄蛄縜=(4,2)，b=(1,m)，且a⊥b，

所以4×1+2m=0，解得m=?2．

故選：B．4.【答案】B

【解析】解：因?yàn)椤鰽BC中，A=60°，AC=3，BC=362，

所以由正弦定理BCsinA=ACsinB，可得sinB=ACsinABC=3×32362=22，

5.【答案】D

【解析】解：已知m，n表示不同的直線，α，β表示不同的平面，A表示點(diǎn)，

對(duì)于A，若直線m上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)，

則m?α，

即A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若m?α，n?β，且α//β，

則m//n或m與n異面，

即B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若m?α，n?β，

則m與n的位置關(guān)系不確定，

即C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若α∩β=m，且A∈α，A∈β，

則A∈m，

即D正確．

故選：D．

結(jié)合空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系逐一判斷即可．

本題考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．6.【答案】D

【解析】解：平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N滿足CM=2MD，BN=3NC，

AB=DC,AD=BC，

由CM=2MD，BN=3NC，得MC=237.【答案】C

【解析】解：以A為原點(diǎn)，以AB，AD所在的直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為4，且點(diǎn)E，O，G分別是線段AB，AC，OC的中點(diǎn)，

可得E(2,0)，D(0,4)，B(4,0)，G(3,3)，

則DE=(2,?4)，BG=(?1,3)，

所以DE?BG=2×(?1)+(?4)×3=?14．

故選：C．

以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，求得DE=(2,?4)8.【答案】A

【解析】解：由題意知，PA，PE，PF兩兩垂直，

根據(jù)題意作出三棱錐P?AEF，如圖所示，其中PE=PF=12，PA=1，

所以EF=22，AE=AF=52，

所以△AEF的面積為12×22×(52)2?(24)2=38，

設(shè)P到平面AEF的距離為d，

因?yàn)閂P?AEF=VA?PEF，

所以13?d?38=13?1?12?12?12，解得9.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A，棱柱上下底的對(duì)應(yīng)邊平行且相等，側(cè)棱平行且相等，所以側(cè)面都是平行四邊形，故A正確；

對(duì)于B，圓錐的母線長相等，則過軸的軸截面是等腰三角形，故B正確；

對(duì)于C，直棱柱是側(cè)棱垂直于底面的四棱柱，但底面不一定是長方形，則不一定是長方體，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，根據(jù)棱臺(tái)的定義，可知棱臺(tái)是由用平行于棱錐的底面的平面截棱錐，所得截面與底面間的部分叫做棱臺(tái)，所以任何一個(gè)棱臺(tái)都可以補(bǔ)一個(gè)棱錐使它們組成一個(gè)新的棱錐，故D項(xiàng)正確．

故選：ABD．

由空間體的性質(zhì)屬性和結(jié)構(gòu)特征直接判斷即可．

本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】ABC

【解析】解：對(duì)于A，取z1=1+2i，z2=2+i，則|z1|=|z2|=5，

但z1≠±z2，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，取z1=1+2i，z2=2?2i，則z1+z2=1+2i+2?2i=3是實(shí)數(shù)，

但z1?z2=(1+2i)?(2?2i)=?1+4i，不是純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，∵z1z2=0，則z111.【答案】AD

【解析】解：如圖，

對(duì)于A，由正方體知，AD1/?/BC1，所以直線BC1與B1D1所成的角為∠B1D1A(或其補(bǔ)角)，

因?yàn)椤鰾1D1A為正三角形，所以∠B1D1A=60°，故直線BC1與B1D1所成的角為60°，A正確；

對(duì)于B，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD，

因?yàn)锽D⊥AC，AC∩AA1=A，所以BD⊥平面ACAA1，所以BD⊥CA1，

即直線BD與CA1所成的角為90°，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由正方體知，AB⊥平面C1CBB1，所以AB⊥CB1，

又BC1⊥CB1，BC1∩AB=B，所以CB1⊥平面ABC1D1，

若平面BA1C1⊥平面ABC1D1，則CB1?平面BA1C1，或CB1//平面BA1C1，

易知CB1與平面12.【答案】2【解析】解：根據(jù)題意，正方形OABC的邊長為1，則其面積S′=1，

又由正方形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則其原圖的面積S=22S′=22．

故答案為：2213.【答案】4π3【解析】解：因?yàn)檫呴L為2的正方形ABCD中，挖去一個(gè)以AB為直徑的半圓，

以線段CD的垂直平分線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是：

底面半徑為1，高為2的圓柱挖去一個(gè)半徑為1的半球，

所以體積為：π×12×2?12×43π×14.【答案】(2【解析】解：由正弦定理有：bsinB=csinC?bsin60°=csinC=4sinC?sinC=4sin60°b=215.【答案】52；

(?【解析】(1)由已知條件可得：z1=1?2i，z2=3+i，

∴z1z2=(1?2i)(3+i)=3+i?6i?2i2=5?5i，

∴|z1z2|=52+(?5)2=516.【答案】5；

k=?3；

2【解析】(1)因?yàn)槠矫嫦蛄縜與b的夾角為3π4，且|a|=1，|b|=2，

所以a?b=1×2×(?22)=?1．

所以|3a+2b|2=9a2+12a?b+4b2=9?12+8=5，

所以|3a+2b|=5；

(2)17.【答案】證明見解答；(Ⅱ)證明見解答．

【解析】

證明：(1)如圖，連接NE，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，

∵N，E分別是A1D1，B1C1的中點(diǎn)，

∴NE//A1B1，NE=A1B1，

∵A1B1/?/AB，A1B1=AB，

∴NE//AB，NE=AB，

∴四邊形ABEN為平行四邊形，

∴AN//BE，

∵AN?平面DBEF，BE?平面DBEF，

∴AN/?/平面DBEF；

(Ⅱ)由(1)同理可證AM/?/平面DBEF，又AN∩AM=A，

且AN18.【答案】(Ⅰ)證明詳情見解答．

(Ⅱ)6【解析】(Ⅰ)證明：因?yàn)镻A⊥面ABCD，CD?面ABCD，

所以PA⊥CD，

又四邊形ABCD是矩形，

所以CD⊥DA，

因?yàn)镈A∩PA=A，DA?面PAD，PA?面PAD，

所以CD⊥面PAD，

因?yàn)锳M?面PAD，

所以CD⊥AM，

又M是PD的中點(diǎn)，PA=AD=4，

所以AM⊥PD，

因?yàn)镃D∩PD=D，CD?面PCD，PD?面PCD，

所以AM⊥面PCD，

又PC?面PCD，

所以AM⊥PC．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AM⊥面PCD，

所以直線AC在平面PCD上的射影為MC，

所以直線AC與平面PCD所成角為∠ACM，

因?yàn)镻A=AD=2CD=4，PA⊥面ABCD，

所以PA⊥AD，

所以PD=42，

所以AM=4×442=22，MC=CD2+(PD2)2=23，

又因?yàn)椤螦MC=90°，

所以tan19.【答案】(Ⅰ)2π3；

(Ⅱ)(i