繼兵

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材料學(xué)院教師：孫繼兵

簞一音Y自升勢(shì)司衍射方向

第一節(jié)晶體學(xué)基礎(chǔ)第

腎二節(jié)布拉格定律

三方程與布氏方程的一致性第.

衍射方法

材料學(xué)院教師：孫繼兵

第一節(jié)晶體學(xué)基礎(chǔ)

?晶體特性

?晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣

?倒易點(diǎn)陣

修回本

第二節(jié)布拉格定律

本節(jié)序言

，布拉格方程推導(dǎo)二

「「J似格方程的討論二

布拉格方程的應(yīng)用匹

?衍射方向

材料學(xué)院教師：孫繼兵

?利用射線研究晶體結(jié)構(gòu)中的各類問題，主要是通過

X射線在晶體中產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象Q

?當(dāng)一束X射線照射到晶體上時(shí)，首先被電子所散射,

每個(gè)電子都是一個(gè)新的輻射波源，向空間輻射出與

入射波同頻率的電磁波?

?可以把晶體中每個(gè)原子都看作一個(gè)新的散射波源，它

們各自向空間輻射與入射波同頻率的電磁波。由于這

?些散射波之間的干涉作用，使得空間某些方

向上的波則始終保持相互疊加，于是在這個(gè)方向上

可以觀測(cè)到衍射線，而另一些方向上的波則始終是互

相是抵消的，于是就沒有衍射線產(chǎn)生。

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本節(jié)序言

?X射線在晶體中的衍射現(xiàn)象，實(shí)質(zhì)上是大量的原子散射波互

相干涉的結(jié)果Q

?晶體所產(chǎn)生的衍射花樣都反映出晶體內(nèi)部的原子分布規(guī)律0概

括地講，一個(gè)衍射花樣的特征，可以認(rèn)為由兩個(gè)方面的內(nèi)容

組成：

一方面是衍射線在空間的分布規(guī)律，（稱之為

有謝幾何）,衍射線的分布規(guī)律是晶胞的大小、

形狀和位向決定

H另一方面是衍射線束的強(qiáng)度，衍射線的強(qiáng)度則

取決于原子的品種和它們?cè)诰О械奈恢聾

,X射線衍射理論所要解決的中心問題:在衍射現(xiàn)象與晶體結(jié)構(gòu)

之間建立起定性和定量的關(guān)系。

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在1912年之前，物理學(xué)家對(duì)可見光的衍射現(xiàn)象已經(jīng)有了確切的解釋，認(rèn)為光晡數(shù)

伸期肯就輟的的脛旬翩躥阻坐射,讖崢跚

另一方面，晶體學(xué)家和礦物學(xué)家們對(duì)晶體的研究也有了初步的認(rèn)識(shí)，當(dāng)時(shí)礦物

學(xué)家認(rèn)為晶體是由以原子或分子為單位的共振體（偶極子）呈周期排列所構(gòu)成

的空間點(diǎn)陣，各共振體間距大約是10-8?io-7cmQ法國晶體學(xué)家M.A.

Bravais計(jì)算出晶體將有十四種點(diǎn)陣類型.

1895年W.C.Rontgen發(fā)現(xiàn)X射線，認(rèn)為X射線是一種波，但還無法證明它。

,1919年，法國物理學(xué)家M.Von.Laue在和青年研究生厄瓦爾德討論光散射角時(shí)4

?啟發(fā)，想：如果X射線是一種波且具有波動(dòng)性的話，那么在光柵上可以產(chǎn)生衍

射，而這個(gè)光柵常數(shù)必須在1?10埃的數(shù)量級(jí)Q這樣的光柵用人工的方法是加

工不出來的,但是，如果像晶體學(xué)家所推斷的，晶體由原子組成，而原子在

空間的排列間距是埃，那么，如果X射線的波長(zhǎng)也與此相當(dāng)?shù)脑?，晶體就

可以作為X射線衍射的光柵！這一發(fā)現(xiàn)使Laue很興奮，盡管有一些科學(xué)家表示

［懷疑，膽他還是堅(jiān)持要做這個(gè)實(shí)驗(yàn)03BSH產(chǎn)］■B

Laue用CuSO4?5H2O晶體作試樣，經(jīng)兩次實(shí)驗(yàn)得到了第一張透射花樣照片，

?M.Von.Laue還推導(dǎo)出了X射線在晶體上衍射的兒何規(guī)律，提出了著名的Laue方

?程Laue的這一發(fā)現(xiàn)在X射線物理學(xué)和晶體學(xué)上具有劃時(shí)代的意義，一方面

證實(shí)了X射線的波動(dòng)性，又證明了晶體結(jié)構(gòu)的周期性，奠定了X射線衍射的基

礎(chǔ)°

兩個(gè)英國人，物理學(xué)家W.HBragg和WLBragg（大學(xué)生）看了Laue的報(bào)告很顫,

?is了Laue的實(shí)驗(yàn)，于同一鐲導(dǎo)出了比Laue方程更簡(jiǎn)捷的衍射公

布拉格材S就一教師：孫繼兵7

由于在實(shí)驗(yàn)中工業(yè)合金有晶粒用寸冬80；2；0.02亳松圍內(nèi)，、而晶面距一般是2-3

-八7——I/,?-I"一‘一”2tpy。

假定原子排列在與板面垂直并且相互

平行的一組平面A、B、C…上

設(shè)晶體面間距為dX射線波長(zhǎng)為九

而且是完全的X射線,

以入射角(incidentangle)。入射至U

晶面上

須主意：X射線學(xué)中入射角與反射

角的含義與一般光學(xué)中的有所不同

如果在X射線前進(jìn)方向上有一個(gè)原

子，那么X射線必然被這個(gè)向四面八

方散射。

現(xiàn)在從這些散射波中挑選出與入射線成2e角的那個(gè)方向上的散射波。

下貢

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?波1與2兩條線被同一層原子面A晶面上的K原子和P原子向四面八

方散射，但是在和入射方向上射線束成2。角方向上的散射波

「與2的波程差：

QK—PR=PKcos0-PKcosO=(y[

結(jié)論1：同一晶面上的所有原子在與入射方向上射線束成2。角方

向上散射線的位相都是相同的，所以互相加強(qiáng)。

對(duì)于相鄰原子層,

波1和2分別被K各L原子在散射時(shí)，1K「與2L2之間的波程差為:

ML+NL=dsin。+dsin。=2dsim

波程差為波長(zhǎng)的整數(shù)倍，散射波的位相完全相同，所以互相加強(qiáng)。

令2dSinO=nn=(1,2,3....)

綜上IdSinO-nn=(0,1,2,3....)

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小結(jié)論

?凡是滿足布拉格方程式的方向上的所有晶面上的所有原子散射波的位相完

全相同，其振幅互相加強(qiáng)Q這樣，在與入射線成2。角的方向上就會(huì)出現(xiàn)衍

射線Q而在其它方向上的散射線的振幅互相抵消，X射線的強(qiáng)度減弱或

者等于零Q

?X射線在晶體中的衍射實(shí)質(zhì)上是晶體中各原子散射波之間的干涉結(jié)果Q只

是由于衍射線的方向恰好相當(dāng)于原子面對(duì)入射線的反射，所以借用藪詼反

紛規(guī)律來描述衍射幾何Q

■X射線的反射角不同于可見光反射角，X射線的入射線與反射線的夾角水遠(yuǎn)

IdSinO=nk

式中：n為整數(shù)，稱為反射級(jí)數(shù)；

e為入射線或反射線與反射面的夾

角，稱為，由于它等于入射線

與衍射線夾角的一半，故又稱為半衍

射角，把29稱為。

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復(fù)習(xí)

結(jié)論1：晶面上的所有原子在與入射線成2。角方向上的所

直散射波的位相都是相同的，都可以疊加產(chǎn)生衍射線。

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不同晶面（A、B）上的原子在與入射線成的20角方向上的散射波的位相也可以相

同，必要條件是：波程差為波長(zhǎng)的整數(shù)倍。

:、布拉格方程的討論

1、X射線的衍射與可見光反射的區(qū)別

1、被晶體衍射的/射線是由入射線在晶體中所經(jīng)過跑程上的

所有原子散射波干涉的結(jié)果;（X射線被晶體的原子網(wǎng)

時(shí)祁融前昂栩輛哂醐幃;

可見光的反射是在極表層上產(chǎn)生的，可見光反射僅發(fā)生法臥

介質(zhì)的界面上:

2、單色X射線的衍射只在滿足布拉格定律的若干個(gè)特殊角歸

生（選擇衍射）（或說J僅選擇一定數(shù)目的固定“入射

角D；而可見光的反射可以在任意角度產(chǎn)生；

3、可見光在良好的鏡面上反射，其效率可以接近100%,而

X射線衍射的強(qiáng)度比起入射線強(qiáng)度卻微乎其微°

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2、產(chǎn)生衍射的極限條件

根據(jù)布拉格方程，Sin。不能大于1,因此:

nA

-=Sin6<1,即〃2<2d

2d

1）對(duì)衍射而言，n的最小值為1,所以在任何可觀測(cè)的衍射角

下，產(chǎn)生衍射的條件為這也就是說，能夠被晶體衍射的

電磁波的波長(zhǎng)必須小于參加反射的晶面中最大面間距的二倍，

否則不能產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。

2）當(dāng)d一定時(shí)，減小，n可增大，說明對(duì)同一種晶面，當(dāng)采用

短波長(zhǎng)X射線時(shí)，可獲得較多級(jí)數(shù)的反射，即衍射花樣會(huì)復(fù)雜。

3）在晶體中，干涉面的劃取是無限的，但并非所有的干涉面均

□條件是：dN/2

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3、反射級(jí)數(shù)和干涉指數(shù)(1)

布拉格方程2dsin9=(n=0,1,2,....),

物理意義：表示面間距為d的(hkl)晶面上產(chǎn)生了幾級(jí)衍射，

n為任意正整數(shù)，稱為衍射級(jí)數(shù)(orderofreflection)。

對(duì)于一定的入和d,必然存在可以產(chǎn)生衍射的若干個(gè)角和、02、

。3，分別對(duì)應(yīng)于n=1,2,3,o

?在n=1時(shí)稱為第一級(jí)反射，波1和2的波程差為波長(zhǎng)的一

倍面和3和波程差為波長(zhǎng)的兩倍，以此類推，1與4的

波程差為波長(zhǎng)的三倍……Q

布拉格方程表示面間距為d的(hkl)晶面上產(chǎn)生了幾級(jí)衍

射，但衍射線出來之后，我們關(guān)心的是光斑的位置而級(jí)數(shù)

是不重要的，而且也難以判別，故我們需要進(jìn)一步處理。

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3、反射級(jí)數(shù)和干涉指數(shù)（2）

?從布拉格方程可以看出，在波長(zhǎng)一定的情況下，衍射線的向

是晶面間距d的函數(shù)°如果將各晶系的d值代入布拉格方程，

2%5加。=%令1目救:如

HKL

nn

貝盾：2dHKLSin3=2

把（hkl）晶面的n級(jí)反射看成為與（hkl）晶面平行、面間距

為（HKL）的晶面（H=nh,K=nk,L=nl）的一級(jí)反射。面間距為

dHKL=dhk/n的晶面并不一定是晶體中的原子面，或者說是實(shí)際

上存在或不存在的假想晶面，是為了簡(jiǎn)化布拉格方程所引入

的反射面，我們把這樣的反射面稱為干涉面的面指

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3、反射級(jí)數(shù)和干涉指數(shù)（3）

?干涉指數(shù)與晶面指數(shù)的明顯差別是干涉指數(shù)中有公約數(shù)，麗

面指數(shù)只能是互質(zhì)的整數(shù)，當(dāng)干涉指數(shù)也互為質(zhì)數(shù)時(shí)，它

就代表一族真實(shí)的晶面，所以干涉指數(shù)是廣義的晶面指數(shù)。

習(xí)慣上經(jīng)常將HKL混為hkl來討論問題.H■

設(shè)d-d/nJ布拉格方程可以寫成

Id'sin。=2

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3、反射級(jí)數(shù)和干涉指數(shù)(4)

(a)(100)晶面的二級(jí)反射，鄰近兩個(gè)晶面的波程差A(yù)BC為波長(zhǎng)的兩倍

?在(100)晶面之間本來沒有別的晶面，但假想還有一個(gè)(200)面的話，酸B

近的(200)晶面之間的波程差DEF為波長(zhǎng)的一倍，小好角成了

(200)晶面的一級(jí)反射，稱為200反射

三、布拉格方程的應(yīng)用

?lx結(jié)構(gòu)分析(structure

analysis)：利用已知波長(zhǎng)的特

征X射線，通過測(cè)量。角，可

以計(jì)算出晶面間距也

?X射線光譜學(xué)(X-ray

spectroscopy)：利用已知晶面

間目的晶體，通過測(cè)量。角,

從而計(jì)算出未知X射線的波長(zhǎng)

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四、衍射方向

衍射

,從布拉s似粉/%霸場(chǎng)'

口S

[2

立方晶系：夕層夕=("2+K2+L2

^4/

無HUK21}

正方晶系：Sir^O=

4a2一+了

22j)

22H

斜方晶系：Sin0=—(

4b2c2

由此可見，布拉格方程可以反映出晶體結(jié)構(gòu)中小及形

的變化，但是并未反映出晶胞中原子的品種和位置。

材料學(xué)院教師：孫繼兵21

(a)體心立方a-Fe

Intensity(%)

1.1.0a=b=c=0.2866nm舉例

(44.68J00.0)

2JJ

2Qo(82.35,28.1)3.L0

(65.03J4.9)220()

(98.96.9,3)

20(T?)

i"1'I1■■■?■■■■?■?-1■''|"

6065707580859095100105IIO115120

Intensity(%)

1.1.0(b)體心立方W

100?

90?a=b=c=0.3165nm

XO?

70?

60?

50?

40

2.IJ

30?

20?2.0.03.1.0

22)

102.2.2

0------\■i2o（r?）

35404550556065707580859095100105110115120

linen(c)體心四方

a=b=0.286nm,c=0.320nm

0.0.22.0.0

IO22??0，3

0-----------

35

liHcnsity(%>

□1.1

(d)體心正交：

a=0.286nm,b=0.300nm,

c=0.320nm

0.0.2今

020200

0.2.22.0.2O.IUA303.1.3.0

a

Intensity(%)(e)面心立方：y-Fe

(43.51.!(X).O>a=b=c=0.360nm

100

90

80

2.0.0

(50.67.44.6)

(74.49.21.4)(90.41.22.7)

4.0.0

(95.67,6.6)(117.71.3.8)

23

第三節(jié)勞埃方程與布氏方程的一致性

勞埃方程的推導(dǎo)

?二.勞埃方程與布氏方程的一致性

、勞埃方程的推導(dǎo)

?M.Von.Laue勞埃推導(dǎo)出了X射線在晶體上衍

射的幾何規(guī)律，即著名的勞埃方程Q

(1)推導(dǎo)時(shí)假定晶體是理想結(jié)構(gòu)，X射線束單色平行。當(dāng)X射線照射到整齊排列

的原子列時(shí)，其衍射情況與電子列相似Q

在散射方向上X射線加強(qiáng)的條件是:

a(cosa-cosao)=HX

H-稱為勞埃第一干涉指數(shù)

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各原子向空間各個(gè)方做原子列衍射圓錐

射的X射線，互相干

涉的結(jié)果使與原子列

成a角的方向可以疊

加加強(qiáng)，衍射線分布

在一個(gè)圓錐上，錐面

頂角為2a。由于H

可以取若干個(gè)值而使

a亦有不同的數(shù)

值，故當(dāng)單色X射線

照射原子列時(shí)，在垂直

于原子列的底片上可

以記錄到一系列同心

得到雙曲線Q

原了?列衍時(shí)刑徒示意圖

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勞埃二維衍射

原子的二維排列稱為原子島

可視為一系列平行的原子

歹L每個(gè)原子列的衍射線

分布在自身的同軸圓錐上。

若要發(fā)生衍射，必須同時(shí)

r-t

a(cosa-cosao)=HXH

b(cosP-cosPo)=KX11

K-稱為勞埃第二干涉指數(shù)

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勞埃三維衍射

?三維衍射可看作是一系列平行的原?

網(wǎng)組成?X射線能發(fā)生衍射必須同

時(shí)滿足三個(gè)方程：

a(cosa-cosao)=Hk

b(cosp-cosPo)=Kk

c(cosy-cosyo)=LX

勞埃方程的推導(dǎo)是根據(jù)晶體中的原子對(duì)X射線的散射以及散

射線間的干涉考慮的Q

布氏方程是將復(fù)雜的衍射轉(zhuǎn)化為晶面對(duì)x射線的反射進(jìn)行的。

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二、勞埃方程與布氏方程的一致性

以“方晶系為例。(cosa-cosao)=H入(1)

b(cosp-cosPo)=KX(2)

c(cos丫-cosyo)=LX(3)

?將勞埃三個(gè)方程兩邊平方得到

2222

a[(cos2a+cosp+cos^)+(cosa0+cosp0+cos1)-2(cosacosa0+cospcosp()

2222

+cosycosy0)]=X(H+K+L)

22222

對(duì)同一直角坐標(biāo)，cosa+cosp+008^=1cosa0+cosp0+COSY0=1

cosacosa0+cospcospo+cosycosyo=cos20

2a2(l-cos20)=X2(H2+K2+L2)4a2sin20=X2(H2+K2+L2)

d=-/----,H=nh,K=nk,L=nl2dsin。=n.

根據(jù)，2+R+/2得到

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■、勞埃法

勞埃法特點(diǎn)

?針對(duì)一組（hkl）晶面的面間距小,產(chǎn)生反射時(shí)，