一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)與練習(xí)（一）教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能理解一元二次方程的定義，掌握其“整式方程、一元、二次”的核心特征；掌握一元二次方程的一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），能正確識(shí)別二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程，體會(huì)方程的建模思想。2.過(guò)程與方法通過(guò)觀察、比較、歸納等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力；通過(guò)實(shí)際問(wèn)題建模，提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀感受一元二次方程在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S習(xí)慣。（二）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：一元二次方程的定義及一般形式；難點(diǎn)：從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程；正確識(shí)別一般形式中的各項(xiàng)系數(shù)（含符號(hào)）。（三）教學(xué)過(guò)程1.情境導(dǎo)入：實(shí)際問(wèn)題引出課題問(wèn)題1：一個(gè)長(zhǎng)方形的寬為\(x\)cm，長(zhǎng)比寬多2cm，面積為15cm2，求長(zhǎng)方形的寬。列方程：\(x(x+2)=15\)，展開(kāi)得\(x^2+2x-15=0\)。問(wèn)題2：某公司去年利潤(rùn)為100萬(wàn)元，今年利潤(rùn)增長(zhǎng)到121萬(wàn)元，設(shè)年平均增長(zhǎng)率為\(x\)，列方程得\(100(1+x)^2=121\)。過(guò)渡：這些方程與之前學(xué)的一次方程有什么不同？引出課題——一元二次方程。2.探究一元二次方程的定義給出一組方程：(1)\(x^2+3x-2=0\)；(2)\(2x(x-1)=2x^2+3\)；(3)\(\sqrt{x}+x=5\)；(4)\(x^2+\frac{1}{x}=2\)。引導(dǎo)學(xué)生觀察：方程(1)是整式方程，只含一個(gè)未知數(shù)\(x\)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2；方程(2)展開(kāi)后為\(-2x-3=0\)，是一次方程；方程(3)含根號(hào)，不是整式方程；方程(4)含分式，不是整式方程。歸納定義：一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程。核心條件：①整式方程；②一元（一個(gè)未知數(shù)）；③二次（最高次數(shù)為2）。3.探究一元二次方程的一般形式定義：一元二次方程的一般形式為\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）。\(ax^2\)：二次項(xiàng)，\(a\)為二次項(xiàng)系數(shù)；\(bx\)：一次項(xiàng)，\(b\)為一次項(xiàng)系數(shù)；\(c\)：常數(shù)項(xiàng)。強(qiáng)調(diào)：\(a\neq0\)是必要條件（若\(a=0\)，方程退化為一次方程）。練習(xí)：將下列方程轉(zhuǎn)化為一般形式，并識(shí)別各項(xiàng)系數(shù)：(1)\(x(x-2)=5x-1\)；(2)\((2x-1)(x+3)=4\)。解答：(1)展開(kāi)得\(x^2-2x=5x-1\)，移項(xiàng)合并得\(x^2-7x+1=0\)；二次項(xiàng)系數(shù)1，一次項(xiàng)系數(shù)-7，常數(shù)項(xiàng)1。(2)展開(kāi)得\(2x^2+6x-x-3=4\)，移項(xiàng)合并得\(2x^2+5x-7=0\)；二次項(xiàng)系數(shù)2，一次項(xiàng)系數(shù)5，常數(shù)項(xiàng)-7。4.例題講解例1：判斷下列方程是否為一元二次方程：(1)\(3x^2=0\)（是，符合三個(gè)條件）；(2)\(x^2+xy=0\)（否，含兩個(gè)未知數(shù)）；(3)\(2x^2-3x+1=0\)（是）；(4)\(x+1=0\)（否，一次方程）。例2：某正方形邊長(zhǎng)增加3cm后，面積增加了39cm2，求原邊長(zhǎng)。解：設(shè)原邊長(zhǎng)為\(x\)cm，列方程得\((x+3)^2-x^2=39\)；展開(kāi)得\(x^2+6x+9-x^2=39\)，化簡(jiǎn)得\(6x+9=39\)；解得\(x=5\)。答：原邊長(zhǎng)為5cm。5.課堂小結(jié)一元二次方程的定義：整式方程、一元、二次；一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）；實(shí)際問(wèn)題建模：分析數(shù)量關(guān)系，列出方程。6.作業(yè)布置課本習(xí)題：轉(zhuǎn)化一般形式，識(shí)別系數(shù)；實(shí)際問(wèn)題：某商品原價(jià)200元，連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為162元，求平均降價(jià)率（列方程）。（四）板書(shū)設(shè)計(jì)一元二次方程1.定義：整式方程、一元、二次；2.一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）；二次項(xiàng)系數(shù)：\(a\)；一次項(xiàng)系數(shù)：\(b\)；常數(shù)項(xiàng)：\(c\)；3.例題：例1：判斷方程類型；例2：實(shí)際問(wèn)題建模。二、一元二次方程練習(xí)設(shè)計(jì)（一）基礎(chǔ)鞏固（每題10分，共50分）1.判斷下列方程是否為一元二次方程（是打“√”，否打“×”）：(1)\(x^2-5x=0\)（）；(2)\(2x+3=0\)（）；(3)\(x^2+\sqrt{x}=1\)（）；(4)\((x-1)(x+2)=x^2+1\)（）。2.將方程\(3x(x-1)=2(x+2)+8\)轉(zhuǎn)化為一般形式，并寫(xiě)出各項(xiàng)系數(shù)。（二）能力提升（每題15分，共30分）3.某矩形花園的長(zhǎng)比寬多4m，面積為60m2，求花園的長(zhǎng)和寬（列方程）。4.某公司2021年的銷(xiāo)售額為1000萬(wàn)元，2023年的銷(xiāo)售額為1210萬(wàn)元，求年平均增長(zhǎng)率（列方程）。（三）拓展延伸（每題20分，共20分）5.關(guān)于\(x\)的方程\((m+2)x^2-3x+1=0\)是一元二次方程，求\(m\)的取值范圍。（四）答案與解析1.基礎(chǔ)鞏固(1)√（符合三個(gè)條件）；(2)×（一次方程）；(3)×（含根號(hào)，非整式方程）；(4)×（展開(kāi)后為\(x-3=0\)，一次方程）。2.展開(kāi)左邊：\(3x^2-3x\)；右邊：\(2x+4+8=2x+12\)；移項(xiàng)得：\(3x^2-3x-2x-12=0\)；合并同類項(xiàng)得：\(3x^2-5x-12=0\)；二次項(xiàng)系數(shù)3，一次項(xiàng)系數(shù)-5，常數(shù)項(xiàng)-12。2.能力提升3.設(shè)寬為\(x\)m，則長(zhǎng)為\(x+4\)m，列方程得\(x(x+4)=60\)；展開(kāi)得\(x^2+4x-60=0\)（后續(xù)可通過(guò)因式分解或求根公式求解）。4.設(shè)年平均增長(zhǎng)率為\(x\)，列方程得\(1000(1+x)^2=1210\)；化簡(jiǎn)得\((1+x)^2=1.21\)（后續(xù)可直接開(kāi)平方求解）。3.拓展延伸5.由一元二次方程的定義，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即\(m+2\neq0\)，解得\(m\neq-2\)。設(shè)計(jì)說(shuō)明：基礎(chǔ)題聚焦定義與一般形式