完全平方公式及應(yīng)用題解析一、引言完全平方公式是初中代數(shù)的核心公式之一，也是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)、因式分解、不等式等內(nèi)容的基礎(chǔ)工具。它揭示了二項(xiàng)式平方的展開規(guī)律，不僅能簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算，還能解決幾何、實(shí)際生活中的諸多問題。本文將從公式的定義推導(dǎo)、結(jié)構(gòu)特征、變形應(yīng)用入手，結(jié)合典型應(yīng)用題解析，幫助讀者深入理解并靈活運(yùn)用完全平方公式。二、完全平方公式的定義與推導(dǎo)完全平方公式分為和的平方與差的平方兩種形式，其標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為：\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\quad\text{（和的平方公式）}\]\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\quad\text{（差的平方公式）}\]1.推導(dǎo)過程（多項(xiàng)式乘法驗(yàn)證）完全平方公式的本質(zhì)是二項(xiàng)式乘二項(xiàng)式的展開結(jié)果。以和的平方為例：\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdota+a\cdotb+b\cdota+b\cdotb=a^2+2ab+b^2\]差的平方可通過類似方法推導(dǎo)，或利用符號(hào)變換轉(zhuǎn)化為和的平方：\[(a-b)^2=[a+(-b)]^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2\]2.公式的核心意義公式右邊的三項(xiàng)式由首項(xiàng)平方、尾項(xiàng)平方、兩倍首尾乘積組成，符號(hào)由左邊二項(xiàng)式的符號(hào)決定：和的平方：中間項(xiàng)為正（$+2ab$）；差的平方：中間項(xiàng)為負(fù)（$-2ab$）。三、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征與符號(hào)規(guī)律為避免應(yīng)用時(shí)出錯(cuò)，需重點(diǎn)關(guān)注公式的結(jié)構(gòu)特征：1.左邊：二項(xiàng)式的平方（兩項(xiàng)之和或差的平方）；2.右邊：三項(xiàng)式（二次三項(xiàng)式），且首尾兩項(xiàng)為左邊二項(xiàng)式各項(xiàng)的平方，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)乘積的2倍；3.符號(hào)規(guī)律：中間項(xiàng)的符號(hào)與左邊二項(xiàng)式的符號(hào)一致，首尾兩項(xiàng)恒為正（平方的非負(fù)性）。示例驗(yàn)證計(jì)算$(2x+3y)^2$：首項(xiàng)$2x$的平方為$(2x)^2=4x^2$，尾項(xiàng)$3y$的平方為$(3y)^2=9y^2$，中間項(xiàng)為$2\cdot2x\cdot3y=12xy$，故結(jié)果為$4x^2+12xy+9y^2$。計(jì)算$(5a-2b)^2$：首項(xiàng)$5a$的平方為$25a^2$，尾項(xiàng)$2b$的平方為$4b^2$，中間項(xiàng)為$-2\cdot5a\cdot2b=-20ab$，故結(jié)果為$25a^2-20ab+4b^2$。四、完全平方公式的常見變形及應(yīng)用完全平方公式的變形是解決復(fù)雜問題的關(guān)鍵，以下是最常用的三種變形：1.平方和公式由和的平方公式推導(dǎo)：\[a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\]同理，由差的平方公式推導(dǎo)：\[a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\]應(yīng)用場(chǎng)景：已知$a+b$（或$a-b$）與$ab$的值，求$a^2+b^2$。2.和差平方關(guān)系將和的平方與差的平方相加或相減，可得：\[(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)\quad\text{（平方和的2倍）}\]\[(a+b)^2-(a-b)^2=4ab\quad\text{（乘積的4倍）}\]應(yīng)用場(chǎng)景：快速轉(zhuǎn)換和平方與差平方的關(guān)系，或求$ab$的值。3.差平方的展開變形\[(a-b)^2=(b-a)^2\quad\text{（平方的對(duì)稱性）}\]\[(-a-b)^2=(a+b)^2\quad\text{（提取負(fù)號(hào)后平方）}\]應(yīng)用場(chǎng)景：處理符號(hào)復(fù)雜的二項(xiàng)式平方，避免符號(hào)錯(cuò)誤。變形示例例1：已知$a+b=5$，$ab=3$，求$a^2+b^2$的值。解：利用平方和公式：\[a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2\times3=25-6=19\]例2：已知$(x+y)^2=16$，$(x-y)^2=4$，求$xy$的值。解：利用和差平方關(guān)系：\[(x+y)^2-(x-y)^2=4xy\implies16-4=4xy\impliesxy=3\]五、典型應(yīng)用題解析完全平方公式的應(yīng)用場(chǎng)景廣泛，以下按數(shù)值計(jì)算、代數(shù)化簡(jiǎn)、幾何問題、實(shí)際應(yīng)用分類解析：1.數(shù)值計(jì)算：簡(jiǎn)化平方運(yùn)算例3：計(jì)算$101^2$。思路：將101拆分為$100+1$，利用和的平方公式簡(jiǎn)化計(jì)算。解：\[101^2=(100+1)^2=100^2+2\times100\times1+1^2=____+200+1=____\]例4：計(jì)算$99^2$。思路：將99拆分為$100-1$，利用差的平方公式。解：\[99^2=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=____-200+1=9801\]2.代數(shù)化簡(jiǎn)：合并同類項(xiàng)例5：化簡(jiǎn)$(3x-2y)^2-(2x-3y)^2$。思路：先展開兩個(gè)完全平方，再合并同類項(xiàng)。解：\[(3x-2y)^2=9x^2-12xy+4y^2\]\[(2x-3y)^2=4x^2-12xy+9y^2\]\[\text{原式}=(9x^2-12xy+4y^2)-(4x^2-12xy+9y^2)=9x^2-4x^2+(-12xy+12xy)+4y^2-9y^2=5x^2-5y^2\]3.幾何問題：面積變化分析例6：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為$a$，若邊長(zhǎng)增加$b$，求面積增加的部分。思路：計(jì)算新面積與原面積的差，利用完全平方公式展開。解：原面積：$S_1=a^2$新面積：$S_2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$面積增加量：$S_2-S_1=(a^2+2ab+b^2)-a^2=2ab+b^2$結(jié)論：正方形邊長(zhǎng)增加$b$后，面積增加$2ab+b^2$（可理解為“兩個(gè)長(zhǎng)方形面積加一個(gè)小正方形面積”）。4.實(shí)際應(yīng)用：利潤(rùn)與銷量問題例7：某商店銷售某種商品，每件利潤(rùn)為$x$元，每天銷量為$y$件。若每件利潤(rùn)增加$a$元，每天銷量減少$b$件，求每天利潤(rùn)的變化量。思路：計(jì)算新利潤(rùn)與原利潤(rùn)的差，展開后分析變化。解：原利潤(rùn)：$P_1=xy$新利潤(rùn)：$P_2=(x+a)(y-b)=xy-xb+ay-ab$利潤(rùn)變化量：$P_2-P_1=(xy-xb+ay-ab)-xy=ay-xb-ab$分析：若$ay>xb+ab$，則利潤(rùn)增加；否則利潤(rùn)減少。例如，若$x=10$，$y=100$，$a=2$，$b=5$，則變化量為$2\times100-10\times5-2\times5=200-50-10=140$（元），利潤(rùn)增加140元。六、易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.符號(hào)錯(cuò)誤：如$(-a+b)^2=(b-a)^2=a^2-2ab+b^2$，而非$a^2+2ab+b^2$；2.系數(shù)遺漏：如$(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$，尾項(xiàng)應(yīng)為$(3y)^2=9y^2$，而非$3y^2$；3.中間項(xiàng)倍數(shù)：如$(a+b)^2$的中間項(xiàng)是$2ab$，而非$ab$；4.公式混淆：避免與平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$混淆（平方差公式右邊是兩項(xiàng)，完全平方公式右邊是三項(xiàng)