一、函數(shù)專題：核心考點(diǎn)與典型試題函數(shù)是上海高三數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與重點(diǎn)，階段性考試?？计媾夹耘c單調(diào)性、零點(diǎn)與方程根、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三大方向，注重?cái)?shù)形結(jié)合與邏輯推理。（一）考點(diǎn)1：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性試題1已知函數(shù)\(f(x)=\frac{ax+1}{x+2}\)在區(qū)間\((-2,+\infty)\)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。解題思路函數(shù)單調(diào)性問題可通過導(dǎo)數(shù)法或定義法解決。此處分母含變量，優(yōu)先用導(dǎo)數(shù)法分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)。解答對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得：\[f'(x)=\frac{a(x+2)-(ax+1)}{(x+2)^2}=\frac{2a-1}{(x+2)^2}\]因\(f(x)\)在\((-2,+\infty)\)單調(diào)遞增，故\(f'(x)\geq0\)在該區(qū)間恒成立。分母\((x+2)^2>0\)，故需\(2a-1\geq0\)，解得\(a\geq\frac{1}{2}\)。方法總結(jié)分式函數(shù)單調(diào)性：優(yōu)先化簡(jiǎn)（如分離常數(shù)）或求導(dǎo)；導(dǎo)數(shù)法步驟：求導(dǎo)→分析導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的符號(hào)→建立不等式求解參數(shù)；注意：?jiǎn)握{(diào)遞增需\(f'(x)\geq0\)（而非嚴(yán)格大于0，需驗(yàn)證等號(hào)是否成立，此處\(a=\frac{1}{2}\)時(shí)\(f(x)=\frac{1}{2}\)，為常函數(shù)，符合單調(diào)遞增定義）。（二）考點(diǎn)2：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根試題2若函數(shù)\(f(x)=|x-1|+|x+1|-a\)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。解題思路函數(shù)零點(diǎn)即方程\(|x-1|+|x+1|=a\)的根，轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值函數(shù)圖像與直線\(y=a\)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，需先畫出\(y=|x-1|+|x+1|\)的圖像。解答化簡(jiǎn)絕對(duì)值函數(shù)：當(dāng)\(x\geq1\)時(shí)，\(f(x)=(x-1)+(x+1)=2x\)，此時(shí)\(f(x)\geq2\)；當(dāng)\(-1<x<1\)時(shí)，\(f(x)=(1-x)+(x+1)=2\)；當(dāng)\(x\leq-1\)時(shí)，\(f(x)=(1-x)+(-x-1)=-2x\)，此時(shí)\(f(x)\geq2\)。故\(y=|x-1|+|x+1|\)的圖像為“平底型”折線，最小值為2（當(dāng)\(-1\leqx\leq1\)時(shí)取得）。要使直線\(y=a\)與該圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，需\(a>2\)。方法總結(jié)絕對(duì)值函數(shù)零點(diǎn)問題：優(yōu)先化簡(jiǎn)為分段函數(shù)，畫出圖像；零點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，需分析函數(shù)的最值、單調(diào)性；常見絕對(duì)值函數(shù)圖像：“V”型（如\(|x|\)）、“平底型”（如本題）、“雙峰型”（如\(|x-1|+|x-2|\)）。（三）考點(diǎn)3：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（極值與最值）試題3已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求：（1）\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；（2）\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最大值與最小值。解題思路導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的核心工具。步驟：求導(dǎo)→找臨界點(diǎn)→劃分區(qū)間→判斷單調(diào)性→求極值→比較端點(diǎn)值得最值。解答（1）求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f'(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。劃分區(qū)間分析單調(diào)性：當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0<x<2\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>2\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。故單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。（2）計(jì)算區(qū)間\([-1,3]\)內(nèi)的極值與端點(diǎn)值：極值點(diǎn)：\(f(0)=0^3-3\cdot0^2+2=2\)（極大值）；\(f(2)=2^3-3\cdot2^2+2=-2\)（極小值）；端點(diǎn)值：\(f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2+2=-2\)；\(f(3)=3^3-3\cdot3^2+2=2\)。比較得：最大值為2（在\(x=0\)和\(x=3\)處取得），最小值為-2（在\(x=2\)和\(x=-1\)處取得）。方法總結(jié)單調(diào)區(qū)間：導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化的臨界點(diǎn)（駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)）劃分區(qū)間；極值：臨界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)變號(hào)（左正右負(fù)為極大值，左負(fù)右正為極小值）；最值：閉區(qū)間上需比較極值與端點(diǎn)值，開區(qū)間需結(jié)合單調(diào)性分析。二、數(shù)列專題：核心考點(diǎn)與典型試題數(shù)列是上海高三數(shù)學(xué)的“得分大戶”，階段性考試常考等差與等比數(shù)列、通項(xiàng)與求和、綜合應(yīng)用，注重遞推關(guān)系與數(shù)學(xué)歸納法。（一）考點(diǎn)1：等差數(shù)列與等比數(shù)列試題4已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差\(d=2\)，前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，且\(S_1,S_2,S_4\)成等比數(shù)列，求\(a_1\)。解題思路等差數(shù)列為\(a_n=a_1+(n-1)d\)，前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。由\(S_1,S_2,S_4\)成等比數(shù)列，得\(S_2^2=S_1\cdotS_4\)。解答計(jì)算\(S_1=a_1\)，\(S_2=2a_1+\frac{2\cdot1}{2}\cdot2=2a_1+2\)，\(S_4=4a_1+\frac{4\cdot3}{2}\cdot2=4a_1+12\)。由等比中項(xiàng)得：\[(2a_1+2)^2=a_1\cdot(4a_1+12)\]展開左邊：\(4a_1^2+8a_1+4\)，右邊：\(4a_1^2+12a_1\)，化簡(jiǎn)得：\[8a_1+4=12a_1\Rightarrow4a_1=4\Rightarrowa_1=1\]方法總結(jié)等差/等比數(shù)列基本量：首項(xiàng)\(a_1\)、公差\(d\)（公比\(q\)），通過已知條件列方程求解；等比數(shù)列性質(zhì)：若\(m,n,p\)成等比，則\(a_n^2=a_m\cdota_p\)（注意順序）；易錯(cuò)點(diǎn)：等比數(shù)列中項(xiàng)不能為0，需驗(yàn)證解的合理性（此處\(a_1=1\)符合條件）。（二）考點(diǎn)2：數(shù)列的通項(xiàng)與求和試題5已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2n\)（\(n\geq1\)），求\(a_n\)及前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。解題思路遞推式為\(a_{n+1}-a_n=2n\)，屬于累加法適用類型（相鄰兩項(xiàng)差為可求和的數(shù)列）。求通項(xiàng)后，求和可拆分為多個(gè)等差數(shù)列之和。解答（1）求\(a_n\)：\[a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=1+\sum_{k=1}^{n-1}2k=1+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=1+n(n-1)=n^2-n+1\]（2）求\(S_n\)：\[S_n=\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n(k^2-k+1)=\sum_{k=1}^nk^2-\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1\]利用求和公式：\[\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2},\quad\sum_{k=1}^n1=n\]代入得：\[S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}+n=\frac{n(n+1)(2n+1-3)}{6}+n=\frac{n(n+1)(2n-2)}{6}+n=\frac{n(n+1)(n-1)}{3}+n=\frac{n(n^2-1)+3n}{3}=\frac{n^3+2n}{3}\]方法總結(jié)累加法：適用于\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)，其中\(zhòng)(f(n)\)可求和（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、等比數(shù)列）；累乘法：適用于\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)，其中\(zhòng)(f(n)\)可求積；求和技巧：拆項(xiàng)分組（如本題拆為平方和、一次和、常數(shù)和），常用公式需牢記（平方和、立方和、等差數(shù)列、等比數(shù)列）。（三）考點(diǎn)3：數(shù)列的綜合應(yīng)用試題6已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公比\(q>0\)，前\(n\)項(xiàng)和為\(T_n\)，且\(T_2=3\)，\(T_4=15\)，求\(T_n\)及\(\lim_{n\to+\infty}\frac{T_n}{2^n}\)。解題思路等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和\(T_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）。由\(T_2=3\)，\(T_4=15\)，可列方程組求\(a_1\)和\(q\)，再求極限（需判斷\(q\)與2的大?。?。解答（1）求\(a_1\)和\(q\)：\[T_2=a_1(1+q)=3,\quadT_4=a_1(1+q+q^2+q^3)=15\]注意到\(1+q+q^2+q^3=(1+q)(1+q^2)\)，故\(T_4=T_2\cdot(1+q^2)=15\)，代入\(T_2=3\)得：\[3(1+q^2)=15\Rightarrow1+q^2=5\Rightarrowq^2=4\]因\(q>0\)，故\(q=2\)，代入\(T_2=3\)得\(a_1(1+2)=3\Rightarrowa_1=1\)。因此\(T_n=\frac{1(1-2^n)}{1-2}=2^n-1\)。（2）求極限：\[\lim_{n\to+\infty}\frac{T_n}{2^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{2^n-1}{2^n}=\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=1\]方法總結(jié)等比數(shù)列求和：注意公比\(q=1\)與\(q\neq1\)的區(qū)別；綜合應(yīng)用：利用等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征（如\(T_4=T_2+q^2T_2\)）簡(jiǎn)化計(jì)算；極限問題：若\(|q|<1\)，則\(\lim_{n\to+\infty}q^n=0\)；若\(q>1\)，則\(\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty\)，需結(jié)合分子分母的增長(zhǎng)速度分析。三、解析幾何專題：核心考點(diǎn)與典型試題解析幾何是上海高三數(shù)學(xué)的“難點(diǎn)”，階段性考試常考直線與圓、橢圓與雙曲線、拋物線與軌跡方程，注重幾何意義與運(yùn)算能力。（一）考點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系試題7已知圓\(C:x^2+y^2-4x+2y+1=0\)，直線\(l:mx-y+1=0\)，求直線\(l\)與圓\(C\)相切時(shí)\(m\)的值。解題思路直線與圓相切的條件是圓心到直線的距離等于半徑。先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求圓心與半徑，再用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算。解答（1）圓\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程：\[x^2-4x+y^2+2y=-1\Rightarrow(x-2)^2-4+(y+1)^2-1=-1\Rightarrow(x-2)^2+(y+1)^2=4\]故圓心\(C(2,-1)\)，半徑\(r=2\)。（2）直線\(l\)的一般式：\(mx-y+1=0\)，圓心到直線的距離：\[d=\frac{|m\cdot2-(-1)+1|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=\frac{|2m+2|}{\sqrt{m^2+1}}\]（3）相切條件\(d=r\)：\[\frac{|2m+2|}{\sqrt{m^2+1}}=2\Rightarrow|2m+2|=2\sqrt{m^2+1}\]兩邊平方得：\(4m^2+8m+4=4m^2+4\Rightarrow8m=0\Rightarrowm=0\)。方法總結(jié)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，圓心\((a,b)\)，半徑\(r\)；直線與圓位置關(guān)系：\(d<r\)（相交）、\(d=r\)（相切）、\(d>r\)（相離），其中\(zhòng)(d\)為圓心到直線距離；點(diǎn)到直線距離公式：\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)（直線一般式\(Ax+By+C=0\)，點(diǎn)\((x_0,y_0)\)）。（二）考點(diǎn)2：橢圓與雙曲線試題8已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左焦點(diǎn)為\(F(-1,0)\)，離心率\(e=\frac{1}{2}\)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解題思路橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\pmc,0)\)，故\(c=1\)；離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，可求\(a\)；再由\(b^2=a^2-c^2\)求\(b\)。解答（1）由焦點(diǎn)\(F(-1,0)\)得\(c=1\)；（2）離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrowa=2c=2\)；（3）計(jì)算\(b^2=a^2-c^2=2^2-1^2=3\)。故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)。方法總結(jié)橢圓基本量：\(a\)（長(zhǎng)半軸）、\(b\)（短半軸）、\(c\)（半焦距），滿足\(a^2=b^2+c^2\)；焦點(diǎn)位置：焦點(diǎn)在\(x\)軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b\)）；焦點(diǎn)在\(y\)軸上時(shí)，為\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)；離心率：\(e=\frac{c}{a}\)（\(0<e<1\)，\(e\)越大，橢圓越扁）。（三）考點(diǎn)3：拋物線與軌跡方程試題9已知拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)為\(F\)，點(diǎn)\(P\)在拋物線上，且\(|PF|=5\)，求點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)。解題思路拋物線\(y^2=2px\)的焦點(diǎn)為\((\frac{p}{2},0)\)，準(zhǔn)線為\(x=-\frac{p}{2}\)。根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)\(P\)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即\(|PF|=x_P+\frac{p}{2}\)。解答（1）拋物線\(y^2=4x\)中，\(2p=4\Rightarrowp=2\)，故焦點(diǎn)\(F(1,0)\)，準(zhǔn)線\(x=-1\)；（2）設(shè)點(diǎn)\(P(x,y)\)，由拋物線定義得\(|PF|=x+1=5\Rightarrowx=4\)；（3）代入拋物線方程得\(y^2=4\times4=16\Rightarrowy=\pm4\)。故點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)為\((4,4)\)或\((4,-4)\)。方法總結(jié)拋物線定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）與定直線（準(zhǔn)線）距離相等的點(diǎn)的軌跡；常見拋物線方程：\(y^2=2px\)（焦點(diǎn)\((\frac{p}{2},0)\)，準(zhǔn)線\(x=-\frac{p}{2}\)）、\(x^2=2py\)（焦點(diǎn)\((0,\frac{p}{2})\)，準(zhǔn)線\(y=-\frac{p}{2}\)）；軌跡方程求法：直接法（如本題利用定義）、代入法（相關(guān)點(diǎn)法）、參數(shù)法。四、立體幾何專題：核心考點(diǎn)與典型試題立體幾何是上海高三數(shù)學(xué)的“空間能力測(cè)試”，階段性考試?？急砻娣e與體積、線面位置關(guān)系、空間向量，注重傳統(tǒng)幾何與向量方法的結(jié)合。（一）考點(diǎn)1：空間幾何體的表面積與體積試題10已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為\(\sqrt{3}\)，求其體積。解題思路正三棱錐的底面為正三角形，側(cè)棱相等。體積公式為\(V=\frac{1}{3}Sh\)（\(S\)為底面積，\(h\)為高）。需先求底面面積和高（頂點(diǎn)到底面的距離）。解答（1）底面正三角形面積：\(S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}\)；（2）求高\(yùn)(h\)：底面正三角形的中心（重心）到頂點(diǎn)的距離為\(\frac{2}{3}\times\text{高}\)，底面高為\(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\)，故中心到頂點(diǎn)距離為\(\frac{2}{3}\times\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)；（3）側(cè)棱長(zhǎng)為\(\sqrt{3}\)，由勾股定理得高\(yùn)(h=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\sqrt{3-\frac{4\times3}{9}}=\sqrt{3-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}\)；（4）體積：\(V=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{15}}{3}=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{45}}{3}=\frac{1}{3}\times\frac{3\sqrt{5}}{3}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)。方法總結(jié)正三棱錐：底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的投影為底面中心；底面中心（重心）性質(zhì)：分底面高為2:1（頂點(diǎn)到中心:中心到邊）；體積公式：柱體\(V=Sh\)、錐體\(V=\frac{1}{3}Sh\)、臺(tái)體\(V=\frac{1}{3}h(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)\)。（二）考點(diǎn)2：空間線面位置關(guān)系試題11已知直線\(l\perp\)平面\(\alpha\)，直線\(m\subset\)平面\(\beta\)，且\(\alpha\parallel\beta\)，判斷直線\(l\)與\(m\)的位置關(guān)系，并證明。解題思路空間線面位置關(guān)系包括平行、相交、異面。由\(\alpha\parallel\beta\)，直線\(l\perp\alpha\)，可推出\(l\perp\beta\)，再由\(m\subset\beta\)，得\(l\perpm\)。解答結(jié)論：\(l\perpm\)。證明：因\(\alpha\parallel\beta\)，\(l\perp\alpha\)，根據(jù)面面平行的性質(zhì)（若一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則垂直于另一個(gè)），得\(l\perp\beta\)；又\(m\subset\beta\)，根據(jù)線面垂直的定義（若直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)的所有直線），得\(l\perpm\)。方法總結(jié)線面位置關(guān)系判斷：需熟練掌握線面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理；面面平行性質(zhì)：\(\alpha\parallel\beta\)，\(l\perp\alpha\Rightarrowl\perp\beta\)；\(\alpha\parallel\beta\)，\(l\subset\alpha\Rightarrowl\parallel\beta\)；易錯(cuò)點(diǎn)：異面直線的判斷（需證明不平行且不相交）。（三）考點(diǎn)3：空間向量與夾角計(jì)算試題12已知正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系，求異面直線\(A_1B\)與\(AC\)的夾角。解題思路異面直線夾角可通過空間向量計(jì)算，公式為\(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow|}\)，其中\(zhòng)(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow\)為異面直線的方向向量。解答（1）建立坐標(biāo)系：設(shè)\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(C(1,1,0)\)，\(A_1(0,0,1)\)；（2）求方向向量：\(\overrightarrow{A_1B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA_1}=(1,0,0)-(0,0,1)=(1,0,-1)\)；\(\overrightarrow{AC}=(1,1,0)\)；（3）計(jì)算向量點(diǎn)積與模長(zhǎng)：\[\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times1+0\times1+(-1)\times0=1\]\[|\overrightarrow{A_1B}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2},\quad|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}\]（4）求夾角：\[\cos\theta=\frac{|1|}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow\theta=60^\circ\]方法總結(jié)空間向量法：建立坐標(biāo)系→求方向向量/法向量→計(jì)算點(diǎn)積與模長(zhǎng)→求夾角；異面直線夾角范圍：\((0,90^\circ]\)，故取絕對(duì)值；線面夾角：\(\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{l}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{l}|\cdot|\overrightarrow{n}|}\)（\(\overrightarrow{n}\)為平面法向量）；二面角：\(\cos\theta=\pm\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot|\overrightarrow{n_2}|}\)（符號(hào)由二面角類型決定）。五、概率統(tǒng)計(jì)專題：核心考點(diǎn)與典型試題概率統(tǒng)計(jì)是上海高三數(shù)學(xué)的“應(yīng)用導(dǎo)向”板塊，階段性考試?？脊诺涓判团c幾何概型、統(tǒng)計(jì)圖表、概率分布，注重實(shí)際問題的建模能力。（一）考點(diǎn)1：古典概型與幾何概型試題13從1,2,3,4,5中任取2個(gè)數(shù)，求這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率。解題思路古典概型概率公式為\(P(A)=\frac{\text{事件}A\text{包含的基本事件數(shù)}}{\text{總的基本事件數(shù)}}\)?？偟幕臼录?shù)為從5個(gè)數(shù)中取2個(gè)的組合數(shù)，和為偶數(shù)的情況包括“兩奇數(shù)”或“兩偶數(shù)”。解答（1）總的基本事件數(shù)：\(C_5^2=10\)；（2）和為偶數(shù)的情況：兩奇數(shù)：1,3,5中取2個(gè)，組合數(shù)\(C_3^2=3\)；兩偶數(shù)：2,4中取2個(gè)，組合數(shù)\(C_2^2=1\)；（3）事件\(A\)（和為偶數(shù)）包含的基本事件數(shù)：\(3+1=4\)；（4）概率：\(P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)。方法總結(jié)古典概型：試驗(yàn)結(jié)果有限且等可能，需準(zhǔn)確計(jì)算基本事件數(shù)（組合數(shù)、排列數(shù)）；幾何概型：試驗(yàn)結(jié)果無限且等可能，概率為“有利區(qū)域測(cè)度/總區(qū)域測(cè)度”（長(zhǎng)度、面積、體積）；事件分類：“和為偶數(shù)”需分“兩奇”或“兩偶”（互斥事件，用加法原理）。（二）考點(diǎn)2：統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)據(jù)處理試題14某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示（分組為\([50,60)\)、\([60,70)\)、\([70,80)\)、\([80,90)\)、\([90,100]\)），求：（1）成績(jī)?cè)赲([80,90)\)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)；（2）成績(jī)的中位數(shù)（精確到0.1）。解題思路頻率分布直方圖中，頻率=組距×頻率/組距，各組頻率之和為1。成績(jī)?cè)赲([80,90)\)內(nèi)的頻率為該組矩形的面積，學(xué)生人數(shù)=總?cè)藬?shù)×頻率。中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列后，位于中間位置的數(shù)，需找到累計(jì)頻率為0.5的位置。解答（1）設(shè)\([80,90)\)組的頻率/組距為\(a\)，由頻率之和為1得：\[(0.01+0.02+0.03+a+0.01)\times10=1\Rightarrow(0.07+a)\times10=1\Rightarrow0.07+a=0.1\Rightarrowa=0.03\]成績(jī)?cè)赲([80,90)\)內(nèi)的頻率為\(0.03\times10=0.3\)，學(xué)生人數(shù)為\(50\times0.3=15\)。（2）求中位數(shù)：\([50,60)\)頻率：\(0.01\times10=0.1\)，累計(jì)頻率0.1；\([60,70)\)頻率：\(0.02\times10=0.2\)，累計(jì)頻率0.3；\([70,80)\)頻率：\(0.03\times10=0.3\)，累計(jì)頻率0.6；中位數(shù)位于\([70,80)\)組內(nèi)（累計(jì)頻率從0.3到0.6，包含0.5）。設(shè)中位數(shù)為\(x\)，則：\[0.3+(x-70)\times0.03=0.5\Rightarrow(x-70)\times0.03=0.2\Rightarrowx-70=\frac{0.2}{0.03}\approx6.7\Rightarrowx\approx76.7\]方法總結(jié)頻率分布直方圖：矩形面積=頻率，組距=右端點(diǎn)-左端點(diǎn)，頻率/組距=矩形高度