高中數(shù)學(xué)必修1章節(jié)重點練習(xí)題解析引言高中數(shù)學(xué)必修1是函數(shù)體系的奠基課程，涵蓋集合（數(shù)學(xué)語言基礎(chǔ)）、函數(shù)概念與性質(zhì)（函數(shù)核心框架）、基本初等函數(shù)（指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)，函數(shù)具體模型）三大板塊。這些內(nèi)容不僅是高考的高頻考點，也是后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線的基礎(chǔ)。本文針對各章節(jié)的核心知識點，選取典型練習(xí)題，通過“題目+解析+易錯點提示”的結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生突破難點、規(guī)范思路。第一章集合：數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)集合是描述函數(shù)定義域、值域的工具，核心考點是集合的表示、關(guān)系（包含、相等）、運算（交、并、補(bǔ)）。1.1集合的表示與運算例1已知集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\mid\log_2(x-1)=0\}\)，求\(A\capB\)。解析解\(A\)中的方程：\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，故\(A=\{1,2\}\)。解\(B\)中的方程：\(\log_2(x-1)=0\)，根據(jù)對數(shù)性質(zhì)，\(\log_a1=0\)，故\(x-1=1\)，得\(x=2\)；同時需滿足真數(shù)條件\(x-1>0\)，即\(x>1\)，故\(B=\{2\}\)。交集是兩集合共有的元素，故\(A\capB=\{2\}\)。易錯點提示解集合\(B\)時，必須驗證對數(shù)的真數(shù)條件（\(x-1>0\)），否則易誤將\(x=1\)納入集合。集合的運算結(jié)果需用集合符號表示（如\(\{2\}\)而非\(2\)）。1.2含參數(shù)的集合問題（重點易錯點）例2已知集合\(A=\{x\midax+1=0\}\)，\(B=\{x\midx^2-1=0\}\)，若\(A\subseteqB\)，求實數(shù)\(a\)的值。解析先化簡\(B\)：\(x^2-1=0\)得\(x=\pm1\)，故\(B=\{-1,1\}\)。分析\(A\subseteqB\)的情況：情況1：\(A=\varnothing\)（空集是任何集合的子集）：此時方程\(ax+1=0\)無解，即\(a=0\)。情況2：\(A\neq\varnothing\)：方程\(ax+1=0\)的解為\(x=-\frac{1}{a}\)，需滿足\(-\frac{1}{a}\inB\)，即\(-\frac{1}{a}=1\)或\(-\frac{1}{a}=-1\)，解得\(a=-1\)或\(a=1\)。結(jié)論：\(a=0\)或\(a=\pm1\)。易錯點提示忽略空集：當(dāng)\(A\subseteqB\)時，\(A\)可能為空集（如\(a=0\)時，\(ax+1=1\neq0\)，無元素），這是集合包含關(guān)系題的高頻錯點。第二章函數(shù)概念：函數(shù)的核心框架函數(shù)的本質(zhì)是“對應(yīng)關(guān)系”，核心考點是定義域（輸入范圍）、值域（輸出范圍）、解析式（對應(yīng)關(guān)系的表達(dá)式）。2.1定義域：限制條件的交集例3求函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\lg(2-x)}\)的定義域。解析定義域需滿足以下條件：1.根號內(nèi)非負(fù)：\(x-1\geq0\Rightarrowx\geq1\)；2.分母不為零：\(\lg(2-x)\neq0\Rightarrow2-x\neq1\Rightarrowx\neq1\)；3.對數(shù)真數(shù)大于零：\(2-x>0\Rightarrowx<2\)。取交集：\(x\geq1\)且\(x\neq1\)且\(x<2\)，故定義域為\((1,2)\)。易錯點提示遺漏限制條件：需逐一分析每個部分的限制（根號、分母、對數(shù)），再取交集；對數(shù)的特殊限制：\(\lg(2-x)\neq0\)等價于\(2-x\neq1\)，而非\(2-x>0\)（后者是真數(shù)條件，前者是分母條件）。2.2值域：根據(jù)函數(shù)類型選方法例4求函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)，\(x\in[0,3]\)的值域。解析函數(shù)為二次函數(shù)，開口向上（二次項系數(shù)\(1>0\)），對稱軸為\(x=-\frac{2a}=1\)。分析區(qū)間內(nèi)的極值：最小值：在對稱軸\(x=1\)處，\(f(1)=1^2-2\times1+3=2\)；最大值：比較區(qū)間端點\(x=0\)和\(x=3\)，\(f(0)=3\)，\(f(3)=3^2-2\times3+3=6\)，故最大值為\(6\)。結(jié)論：值域為\([2,6]\)。易錯點提示二次函數(shù)值域需看區(qū)間：若未給定區(qū)間（如\(x\in\mathbb{R}\)），則值域為\([f(1),+\infty)\)；但給定區(qū)間后，需比較對稱軸與區(qū)間的位置，避免直接用端點值判斷。2.3解析式：換元法與待定系數(shù)法例5已知\(f(2x+1)=x^2+3x\)，求\(f(x)\)的解析式。解析方法：換元法（適用于“復(fù)合函數(shù)”求解析式）：設(shè)\(t=2x+1\)，則\(x=\frac{t-1}{2}\)，代入原式得：\[f(t)=\left(\frac{t-1}{2}\right)^2+3\cdot\frac{t-1}{2}\]展開化簡：\[f(t)=\frac{(t^2-2t+1)}{4}+\frac{3t-3}{2}=\frac{t^2-2t+1+6t-6}{4}=\frac{t^2+4t-5}{4}\]故\(f(x)=\frac{x^2+4x-5}{4}\)（函數(shù)與變量符號無關(guān)）。易錯點提示換元后需回代：不要忘記將\(t\)換回\(x\)；化簡要徹底：避免計算錯誤（如通分、合并同類項）。第三章函數(shù)的基本性質(zhì)：函數(shù)的“性格”函數(shù)的性質(zhì)是描述函數(shù)“變化規(guī)律”的核心，核心考點是單調(diào)性（增減趨勢）、奇偶性（對稱性）、綜合應(yīng)用（利用性質(zhì)解不等式、求最值）。3.1單調(diào)性：定義法與圖像法例6用定義證明：函數(shù)\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。解析定義法步驟：1.取值：任取\(x_1,x_2\in\mathbb{R}\)，且\(x_1<x_2\)；2.作差：\(f(x_2)-f(x_1)=x_2^3-x_1^3\)；3.變形：因式分解（立方差公式）：\(x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)\)；4.判斷符號：\(x_2-x_1>0\)（因\(x_1<x_2\)）；\(x_2^2+x_1x_2+x_1^2=\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)^2+\frac{3x_2^2}{4}\geq0\)，且僅當(dāng)\(x_1=x_2=0\)時取等號，但\(x_1<x_2\)，故\(x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0\)。5.結(jié)論：\(f(x_2)-f(x_1)>0\)，即\(f(x_2)>f(x_1)\)，故\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。易錯點提示變形不徹底：立方差公式需正確應(yīng)用，否則無法判斷符號；步驟不規(guī)范：定義法必須嚴(yán)格遵循“取值→作差→變形→判斷符號→結(jié)論”的步驟，缺一不可。3.2奇偶性：定義域?qū)ΨQ是前提例7判斷函數(shù)\(f(x)=\frac{x^3+\sinx}{x^2+1}\)的奇偶性。解析1.定義域判斷：分母\(x^2+1\neq0\)，定義域為\(\mathbb{R}\)，關(guān)于原點對稱（奇偶性的必要條件）。2.計算\(f(-x)\)：\[f(-x)=\frac{(-x)^3+\sin(-x)}{(-x)^2+1}=\frac{-x^3-\sinx}{x^2+1}=-\frac{x^3+\sinx}{x^2+1}=-f(x)\]結(jié)論：\(f(x)\)是奇函數(shù)。易錯點提示忽略定義域?qū)ΨQ：若定義域不關(guān)于原點對稱（如\(f(x)=x^2,x\in[1,2]\)），則直接判定“非奇非偶”；符號錯誤：\(\sin(-x)=-\sinx\)，\((-x)^3=-x^3\)，需正確處理負(fù)號。3.3性質(zhì)綜合應(yīng)用：利用單調(diào)性解不等式例8已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\((0,+\infty)\)上的增函數(shù)，且\(f(2)=1\)，解不等式\(f(x+3)+f(2x)>2\)。解析先將不等式轉(zhuǎn)化為“\(f(...)>f(...)\)”的形式：由\(f(2)=1\)，得\(2=f(2)+f(2)\)，故不等式變?yōu)閈(f(x+3)+f(2x)>f(2)+f(2)\)。假設(shè)\(f(x)\)滿足可加性（如對數(shù)函數(shù)\(f(x)=\log_ax\)，則\(f(m)+f(n)=f(mn)\)），此處需補(bǔ)充條件：若\(f(x)\)是增函數(shù)且\(f(mn)=f(m)+f(n)\)，則：\[f(x+3)+f(2x)=f[(x+3)\cdot2x]>f(2\cdot2)=f(4)\]因\(f(x)\)是增函數(shù)，故\((x+3)\cdot2x>4\)，且需滿足定義域：\(x+3>0\)，\(2x>0\)。解不等式：1.定義域條件：\(x+3>0\Rightarrowx>-3\)；\(2x>0\Rightarrowx>0\)，故\(x>0\)。2.解\(2x(x+3)>4\)：展開得\(2x^2+6x-4>0\)，化簡為\(x^2+3x-2>0\)，解得\(x>\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\)（舍去負(fù)根，因\(x>0\)）。結(jié)論：不等式的解集為\(\left(\frac{-3+\sqrt{17}}{2},+\infty\right)\)。易錯點提示未轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)形式：需利用函數(shù)的單調(diào)性，將“\(f(a)+f(b)>f(c)\)”轉(zhuǎn)化為“\(f(ab)>f(c)\)”（需滿足可加性）；忽略定義域：解不等式時，必須保證\(x+3>0\)和\(2x>0\)，否則解集無效。第四章基本初等函數(shù)：函數(shù)的具體模型基本初等函數(shù)是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，它們是描述現(xiàn)實世界中“增長/衰減”“對數(shù)刻度”“冪次關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型，核心考點是圖像特征、性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）、運算性質(zhì)。4.1指數(shù)函數(shù)：\(y=a^x\)（\(a>0,a\neq1\)）例9比較\(0.8^{0.5}\)與\(0.9^{0.5}\)的大小，并說明理由。解析構(gòu)造冪函數(shù)\(y=x^{0.5}\)（即\(y=\sqrt{x}\)），其定義域為\([0,+\infty)\)，且在定義域上單調(diào)遞增（冪函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)\(\alpha>0\)時，\(y=x^\alpha\)在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞增）。因\(0.8<0.9\)，故\(0.8^{0.5}<0.9^{0.5}\)。易錯點提示混淆指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)：若比較\(0.8^{0.5}\)與\(0.8^{0.6}\)，則用指數(shù)函數(shù)\(y=0.8^x\)（\(0<a<1\)，單調(diào)遞減），得\(0.8^{0.5}>0.8^{0.6}\)；本題是底數(shù)不同、指數(shù)相同，故用冪函數(shù)。4.2對數(shù)函數(shù)：\(y=\log_ax\)（\(a>0,a\neq1\)）例10解不等式\(\log_2(x-1)<1\)。解析將不等式轉(zhuǎn)化為“\(\log_aM<\log_aN\)”的形式：\(1=\log_22\)，故不等式變?yōu)閈(\log_2(x-1)<\log_22\)。因\(a=2>1\)，對數(shù)函數(shù)\(y=\log_2x\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，故：\[x-1<2\]同時需滿足對數(shù)真數(shù)條件：\(x-1>0\)。解不等式：1.真數(shù)條件：\(x-1>0\Rightarrowx>1\)；2.解\(x-1<2\Rightarrowx<3\)。結(jié)論：解集為\((1,3)\)。易錯點提示對數(shù)不等式需注意單調(diào)性：當(dāng)\(0<a<1\)時，\(\log_aM<\log_aN\RightarrowM>N\)（單調(diào)遞減）；當(dāng)\(a>1\)時，\(\log_aM<\log_aN\RightarrowM<N\)（單調(diào)遞增）；遺漏真數(shù)條件：\(x-1>0\)是必須滿足的前提，否則解無效。4.3冪函數(shù)：\(y=x^\alpha\)（\(\alpha\in\mathbb{R}\)）例11已知冪函數(shù)\(f(x)=x^\al